第二章線性系統的數學模型

§2-1引言§2-2微分方程模型§2-3傳遞函數模型§2-4方塊圖模型§2-5狀態空間表達式§2－1引言數學模型：描述系統輸入、輸出及內部物理量之間關系的數學表達式。常用的數學模型：微（差）分方程傳遞函數（或脈沖傳遞函數）頻率特性狀態空間表達式1)為何要建模？定量分析系統的性能；對系統進行仿真的基礎；2)建模方法解析法：根據系統及元件各變量之間所遵循的物理、化學定律，列出各變量之間的數學關系式；實驗法：人為施加某種測試信號，記錄系統的響應曲線，根據系統的輸入輸出辨識系統模型；3)建模要求準確性簡化性一、系統建模}折中考慮二、數學模型的分類及形式分類靜態：靜態（穩態）下的代數方程（不含各階導數，信號無變化率）動態：動態條件下的微分方程（差分方程）形式時域：微分方程差分方程狀態空間表達式復域：傳遞函數結構圖（方塊圖）信號流圖頻域：頻率特性

z域：脈沖傳遞函數集總參數系統——分布參數系統定常系統——時變系統線性系統——非線性系統SISO系統——MIMO系統經典控制理論研究對象是：

SISO、集總參數、線性定常系統三、關于系統四、線性系統1、線性系統：描述系統的微分方程滿足疊加原理。疊加原理的意義：對線性系統進行分析和設計時，根據線性系統的疊加原理，可以把復雜的問題簡單化：1、每個外作用在數值上可以只取單位值；2、如果有幾個外作用同時作用于系統時，可以依次求出各個外作用單獨作用于系統時的輸出，然后疊加得到總輸出；3、系統的全響應分為零輸入響應和零狀態響應，可以分別進行分析和求解；

根據線性系統的疊加原理，可以把復雜的問題簡單化：1、每個外作用在數值上可以只取單位值；2、如果有幾個外作用同時作用于系統時，可以依次求出各個外作用單獨作用于系統時的輸出，然后疊加得到總輸出；3、系統的全響應分為零輸入響應和零狀態響應，可以分別進行分析和求解；試問：某系統靜特性如下圖，從控制理論的觀點看此系統是線性系統嗎？結論：此系統不是線性系統。原因：自動控制系統一般都有一個平衡工作點，特別是恒值控制系統主要研究系統處于平衡工作點時，擾動作用產生偏差后的動態過程。（錯）yxx0y0bAo設系統的平衡工作點為，經擾動作用后工作于，則：(2)-(1)得：結論：控制理論是研究系統在平衡工作點附近的性能，是研究變量的增量之間的關系，稱為動態關系。yxx0+Δxx0y0y0+ΔybA’Ao2、非線性系統的線性化——小偏差理論小偏差理論適用范圍：1）連續系統；2）有一個額定工作點；3）小偏差；4）在工作點處可微；飽和特性磁滯特性繼電特性實質：在工作點處，用切線來代替非線性特性。A不可微—>本質非線性—>非線性理論小偏差理論適用范圍：1、連續系統；2、有一個額定工作點；3、小偏差；4、在工作點處可微；小偏差理論繼電特性總結：1、關于模型：建模的意義，形式、方法2、關于系統：控制理論中線性系統是指增量線性的系統；對于非線性系統，運用小偏差理論，在工作點處近似為增量式線性方程；本章主要內容：微分方程的建立（時域）傳遞函數的概念與求取（復域）方塊圖的建立和化簡（時域或復域）狀態空間表達式（時域）返回首頁§2-2

線性系統的微分方程

微分方程的建立相似系統本節內容：一、用解析法列寫系統微分方程的一般步驟為：1、確定系統或元件的輸入、輸出變量；3、從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據各變量所遵循的物理定理，列寫出原始微分方程組；4、消去中間變量，寫出只含有輸入、輸出變量的微分方程。5、標準化。（輸出項降階排列＝輸入量降階排列）2、進行適當的簡化，忽略次要因素；注意：若有a個中間變量，就要列寫a+1個線性無關的方程。用解析法列寫系統微分方程的一般步驟為：設一彈簧、質量塊、阻尼器組成的系統如圖所示，原處于平衡狀態，當外力F(t)作用于系統時，系統將產生運動。試寫出外力F(t)與質量塊的位移y(t)之間的微分方程。

線性彈簧；忽略彈簧、阻尼器質量；質量與阻尼器是剛性連接；1、輸入：輸出：解：例2-12、簡化kF(t)mfy(t)阻尼力：彈簧力：由阻尼器、彈簧的特性可得：式中f—阻尼系數,k—彈性系數。F1(t)為阻尼器的阻力，F2(t)為彈簧力。3、依據牛頓定律：kF(t)mfy(t)4、消去中間變量：5、標準化（輸出項降階排列＝輸入量降階排列）質量塊:RLC電路如圖所示，ur(t)為輸入電壓，uc(t)為輸出電壓，輸出端開路。要求列出uc(t)與ur(t)的關系式。1、輸入：輸出：2、簡化解：3、根據克希霍夫定律寫出原始方程式：4、消去中間變量i(t)，并且標準化：例2-2克希霍夫電壓定律：在集總參數電路中，任何時刻，沿任一回路，所有支路電壓的代數和恒等于0.相似系統相似系統：本質不相同的物理系統具有相同結構的微分方程。相似系統揭示了不同物理現象之間的相似關系。為我們利用簡單易實現的系統（如電氣系統）去研究復雜難實現的系統（如機械系統）提供了方便。P41:習題2－3設機械系統如圖所示，其中Xi為輸入位移，X0為輸出位移。試分別列寫各系統的微分方程式。2、簡化（線性彈簧；忽略彈簧、阻尼器質量；剛性連接；）解：3、列原始方程組：1、輸入：輸出：4、消去中間變量，標準化：設阻尼塊向下位移為xf(t)例2－3K1K2fxixo該題關鍵在于阻尼器向下位移為xf，缸體向下位移為xo，那么兩者的相對位移為xf-xoP42:習題2－7設RC電路如圖所示，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試寫出該電路的微分方程。urR1R2ucC2i1i2C1解：1、輸入：輸出：

2、簡化例2－4urR1R2ucC2i1i2C14、消去中間變量，且標準化得：3、設回路電流i1、i2如圖中所示，從輸入端開始，按信號傳遞順序寫出各變量間的微分方程式如下：uc1注意

整個電路雖然是由兩個RC電路所組成，但不能把它看作是兩個獨立的RC電路的連接。因為第二級電路的i2要影響第一級電路的i1和uc1，列寫方程式應考慮這個影響。這種后一級對前一級的影響叫做負載效應。存在負載效應時，必須把全部元件作為整體來加以考慮。若將本例看作兩個獨立的RC電路的連接，求解如下：

消去中間變量得：顯然，與前面得到的結果不同。urR1R2ucC2i1i2C1試證明圖2-2(a)、(b)所示的機、電系統是相似系統。例2-5i對電氣網絡(b)：輸入為Ur，輸出為Uc，根據克希霍夫定律列寫電路方程如下：解：對機械網絡（a）：輸入為Xr，輸出為Xc，根據力平衡，可列出其運動方程式:標準化：B1B2K1K2XrXcR2C2R1C1UrUci利用②、③、④求出將上式代入①，將①兩邊微分得：力-電壓相似性中的相似量機械阻尼B1阻尼B2彈性系數K1彈性系數K2電氣電阻R1電阻R21/C11/C2線性系統的微分方程優點：1、時域中精確描述系統動、靜態性能的數學模型；2、輸入信號和初始條件已知時，通過求解微分方程可以得

到系統的輸出響應，并可通過響應曲線直觀地反映出系

統的動態過程；缺點：1、高階微分方程求解困難；2、輸出響應中包含了系統初始條件和輸入信號的信息，不能單純反映系統自身的固有響應特性，不利于各系統之間的橫向比較；3、只要初始條件或輸入信號發生變化，就要重新求解微分程；返回§2-3線性系統的傳遞函數

根據求解微分方程的拉氏變換法，可以得到系統的另一種數學模型——傳遞函數。它不僅可以表征系統的動態特性，而且可以方便地研究系統的參數或結構的變化對系統性能所產生的影響。在經典控制理論中廣泛應用的根軌跡法和頻率法，就是在傳遞函數基礎上建立起來的。

一、傳遞函數的定義線性定常系統①在零初始條件②下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統的傳遞函數，記為G(s).

若線性定常系統的微分方程為:

零初始條件下，進行拉氏變換，由微分定理，得：根據傳遞函數的定義，描述該線性定常系統的傳遞函數為:可見，傳遞函數是由系統微分方程經拉氏變換而引出的。系統輸入、輸出及傳遞函數之間的相互關系可用下圖表示，輸出是由輸入經過G(s)的傳遞而得到的，因此稱G(s)為傳遞函數。G(s)R(s)C(s)傳遞函數的優點之一：將微積分關系轉變為代數關系。RLC電路如圖所示，ur(t)為輸入電壓，uc(t)為輸出電壓，輸出端開路，求系統傳遞函數。解：例2-6系統輸入輸出微分方程為：零初始條件下取拉氏變換：二、關于定義的說明①只適用于線性定常系統②零初始條件的物理意義輸入信號是在t=0以后才作用于系統，故輸入量及各階導在t=0時均為零；b)系統在輸入信號作用前是相對靜止的，故輸出量及各階導在t=0時均為零；試問：線性定常系統初始條件不為零，有沒有傳遞函數？全響應＝零輸入響應＋零狀態響應三、傳遞函數的性質1、G(s)與微分方程在零初始條件下等價；2、G(s)是用系統參數表示輸入與輸出之間的關系，即系統傳遞輸入信號的能力，反映系統自身固有的特性，它只與系統的結構和參數有關，與輸入信號和初始條件無關；3、同一個系統中，可以有不同的傳遞函數；同一個傳遞函數可以對應不同的物理系統；4、實際系統中，G(s)是復變量s的有理分式函數，其分母多項式的次數n大于或等于分子多項式的次數m，即n≥m,且系數均為實數,稱為物理現實性條件；5、G(s)的物理意義是系統單位脈沖響應的拉氏變換，因此可以表征系統的動態性能；6、G(s)的局限性：①適用范圍窄，只適用于SISO線性定常系統；②零初始條件：不包含初始條件的信息，只是零狀態響應；③是一種外部描述，稱為“黑箱模型”；四、傳遞函數的表示形式1、通式2、零極點形式（首一形式）3、典型環節形式（尾一形式）傳遞函數的增益零點根軌跡增益極點分子多項式分母多項式分母多項式的階次決定系統的階次。運動模態：在數學上，非齊次線性微分方程的通解由非齊次線性微分方程的特解和齊次微分方程的通解組成；齊次微分方程對應系統的特征方程，通解由微分方程的特征根決定，如果n階微分方程的特征根是λ1，λ2…λn，且無重根，則齊次微分方程的通解為：

其中稱為該微分方程所描述的自由運動模態，也叫振型。每一種模態代表一種類型的運動形態，齊次微分方程的通解則是它們的線性組合。五、傳遞函數的零點和極點對輸出的影響

單位脈沖響應：c(t)=Ae-at零極點分布圖：Φ(s)=傳遞函數：AS+a0-aj0運動模態1單位脈沖響應：c(t)=Ae-atsin(bt+α)零極點分布圖：tΦ(s)=傳遞函數：A1s+B1(S+a)2+b2運動模態20-ajb0單位脈沖響應：c(t)=Asin(bt+α)零極點分布圖：tΦ(s)=傳遞函數：A1s+B1S2+b2運動模態30jb0單位脈沖響應：c(t)=Aeatsin(bt+α)零極點分布圖：tΦ(s)=傳遞函數：A1s+B1(S-a)2+b20ajb0運動模態4單位脈沖響應：c(t)=Aeat零極點分布圖：tΦ(s)=傳遞函數：AS-a0aj0運動模態5

式中前兩項具有與輸入函數r(t)相同的模態，后兩項中包含由極點－1和－2所形成的自由運動模態，這是系統“固有”的成分，但其系數卻與輸入函數有關，因此可以認為這兩項是受輸入函數激發而形成的。這意味著傳遞函數的極點可以受輸入函數的激發，在輸出響應中形成自由運動的模態。傳遞函數的零點并不形成自由運動的模態，但它們卻影響各模態在響應中所占的比重，因而也影響響應曲線的形狀。五、傳遞函數的零點和極點對輸出的影響

例2-7:例2－8具有相同極點不同零點的兩個系統

,它們零初始條件下的單位階躍響應分別為：

極點決定系統響應形式（模態），零點影響各模態在響應中所占比重。

五、傳遞函數的零點和極點對輸出的影響

六、典型環節的傳遞函數

一個物理系統是由許多元件組合而成的，雖然元件的結構和作用原理多種多樣，但若考察其數學模型，卻可以劃分成為數不多的幾種基本類型，稱之為典型環節。比例環節慣性環節積分環節振蕩環節微分環節-延滯環節1.比例環節微分方程：傳遞函數：若：r(t)=1(t)，K=2，則：c(t)=2*1(t)，如下圖所示。試問：反饋控制系統中，比例環節能否為負？特點：輸出與輸入成正比，不失真也不滯后。實例：理想的杠桿、放大器、測速發電機，電位器。2.慣性環節T－慣性時間常數若在零初始條件下對慣性環節輸入單位階躍信號，則有:可見，在單位階躍輸入時慣性環節的輸出量是按指數函數變化的。當t=3T或4T時，輸出才能接近其穩態值。2.慣性環節T－慣性時間常數T越大，表示系統慣性大，系統響應越慢慣性環節的實例:RC復位電路

RCuruc直接用復阻抗方法列寫系統傳遞函數：特點：慣性環節通常含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出不能立即復現，輸出無振蕩。3.積分環節特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能。實例：電動機角速度與角度間的傳遞函數，模擬計算機中的積分器等。積分電路當輸入為單位階躍函數時，輸出響應如右圖所示：4.振蕩環節（欠阻尼二階系統）T－時間常數－阻尼比對振蕩環節有：

0<<1

振蕩環節的實例

(a)輸出電壓uc和輸入電壓ur之間的微分方程為

(b)輸出位移y(t)與輸入作用力F(t)之間的微分方程為可見它們都是典型的振蕩環節。RLCuruc(a)F(t)Kmfy(t)(b)特點：該環節存在兩個獨立儲能元件，且所儲兩種能量可以互相轉換，故動態過程表現出振蕩特性。

理想微分環節在瞬態過程中其輸出量是輸入量的微分，理想微分環節的單位階躍響應為：這是一個強度為1的理想脈沖。在實際物理系統中得不到這種理想微分環節。5.理想微分環節特點：輸出量正比輸入量的變化率，能預示輸入信號的變化趨勢。可用于超前控制算法中。5.理想微分環節理想微分環節的單位階躍響應曲線：R(t)=1(t)C(t)

當輸入信號作用到環節以后，其輸出量要等待一段時間后，才能復現輸入信號，在時間0到的時間內，輸出量為零，這種具有延時效應的環節稱為延滯環節。式中為延滯時間。當輸入信號為下圖(a)所示的單位階躍函數時，其響應曲線如下圖(b)所示。r(t)1t0tc(t)10

(a)(b)6.延滯環節時域位移定理

上述各典型環節，是從數學模型的角度來劃分的。它們是系統傳遞函數的最基本的構成因子。在和實際元件相聯系時，應注意以下幾點：⑴典型環節是按數學模型的共性來劃分的，與實際系統中使用的元件并非是一一對應，一個元件的數學模型可能是若干個典型環節的組合，而若干個元件的數學模型的組合也可能就是一個典型環節。⑵同一裝置（元件），如果選取的輸入、輸出量不同，它可以成為不同的典型環節。關于典型環節的幾點說明⑶在分析和設計系統時，將被控對象（或系統）的數學模型進行分解，就可以了解它是由哪些典型環節所組成的。因而，掌握典型環節的動態特性將有助于對系統動態特性的分析研究。既然可以把組成控制系統的元件劃分為若干典型環節，那么控制系統的傳遞函數也可以寫成典型環節形式：式中都是微分環節和比例環節的組合，稱為一階微分環節和二階微分環節。由于它們在控制系統中較常用，所以也可以把他們當作典型環節對待。（4）

采用傳遞函數模型后，在設計和校正系統時，可以只

考慮調節器環節（或叫控制器），將被控對象環節視

為不變環節。R(s)C(s)E(s)U(s)N(s)B(s)調節器被控對象檢測元件六、系統傳遞函數的求法方法1：方法2：方法3：復阻抗法TroublesomeWork!EasyWork!適用于簡單的電氣系統。P42:習題2－7設RC電路如圖所示，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試寫出該電路的傳遞函數。urR1R2ucC2i1i2C1例2－9解：1、輸入：輸出：

2、簡化方法一urR1R2ucC2i1i2C14、消去中間變量，且標準化得：3、設回路電流i1、i2如圖中所示，從輸入端開始，按信號傳遞順序寫出各變量間的微分方程式如下：5、零初始條件下求拉氏變換：方法二解：1、輸入：輸出：

2、簡化3、設回路電流i1、i2如圖中所示，從輸入端開始，按信號傳遞順序寫出各變量間的微分方程式如下：4、零初始條件下，對方程組求拉氏變換：5、消去中間變量得傳遞函數：解：根據電路的基本定理可以得到如下的關系式：uru0C1i2R1i1iR2C2例2－10設下圖所示電路中，輸入電壓為ur，輸出電壓為u0，試寫出其傳遞函數。在零初始條件下，對方程組進行拉氏變換，得：消去中間變量得：傳遞函數為：§2-4控制系統的方塊圖方塊圖：描述系統各組成元件之間信號傳遞關系的圖形模型，表示系統中各變量之間的因果關系。采用方塊圖，不僅能形象直觀地表明信號在系統各元件間的傳遞過程，而且能方便地求取復雜系統的傳遞函數。

方塊圖的組成方塊圖的建立方塊圖的等效變換方塊圖的化簡閉環控制系統的傳遞函數本節內容：一、方塊圖的組成：信號線、方塊、綜合點、引出點G(s)xr(s)xc(s)2.方塊：方塊代表元件的功能，通常將元件的傳遞函數寫在方塊中，表示輸入信號經過該方塊的傳遞變成輸出信號。1.信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，且信號只能單向傳輸。信號線上標記著信號的函數。X(s)3.綜合點：表示對兩個或多個信號進行代數運算。其中

“＋”號表示相加，“－”表示相減。“+”號可以省略，“－”號必須標明。注意：只有具有相同量綱的量才能進行加減運算。X2(s)+-X3(s)X1(s)Xc(s)綜合點的運算關系為：x(s)x(s)4、引出點：表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數值和性質上完全相同。繪制系統方塊圖的步驟如下：

1.列寫出系統各元件的微分方程。在建立方程時應分清各元件的輸入量、輸出量。

2.在零初始條件下，對微分方程組進行拉氏變換，并將變換式寫成標準形式。

3.由標準變換式利用方塊圖的四個基本單元，分別畫出各元部件的方塊圖。

4.按照系統中信號的傳遞順序，依次將各元部件的方塊圖連接起來，便可得到系統的方塊圖。

二、方塊圖的建立例2-11

下圖中，輸入電壓為ur，輸出電壓為uc，試畫出系統的方塊圖。urR1R2ucC2C1i1i22.對上述方程組進行拉氏變換，并整理成標準式。輸入量輸出量C(s)=G(s)R(s)3.按標準變換式畫出各元件的結構圖：1/R1Ur(s)Uc1(s)I1(s)_1/c1s_I2(s)I1(s)Uc1(s)1/c2sI2(s)Uc(s)1/R2Uc1(s)Uc(s)I2(s)_1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)---4.按照信號傳遞順序，依次將各元部件的結構圖連接起來。1/R1Ur(s)Uc1(s)I1(s)_1/c1s_I2(s)I1(s)Uc1(s)1/R2Uc1(s)Uc(s)I2(s)_1/c2sI2(s)Uc(s)例2-12：試繪制圖中無源網絡的方塊圖urucCR1R2ii1i2課堂練習！CurucR1R2ii1i2[4]將所有部分結構圖在相同信號處疊加起來[3]對每個方程繪制相應的部分結構圖Uc(s)I(s)R2I1(s)R1CsI2(s)I1(s)I(s)I2(s)?Uc(s)??????)(1)(1r1sIsURI1(s)R1CsI2(s)R21/R1I(s)Uc(s)Ur(s)??-

方塊圖變換應按等效原理進行，所謂等效，就是對方塊圖的任一部分進行變換時，變換前、后其輸入、輸出總的數學關系應保持不變。三、方塊圖的等效變換1、串聯方塊的等效變換2、并聯方塊的等效變換3、反饋連接方塊的等效變換4、引出點的移動5、綜合點的移動6、相鄰綜合點和引出點的移動1、串聯方塊的等效變換C(s)G2(s)G1(s)V(s)R(s)(a)C(s)G2(s)G1(s)R(s)(b)(a)變換前R(s)C1(s)C3(s)

C2(s)

-G1(s)G2(s)G3(s)C(s)G1(s)+G2(s)-G3(s)(b)變換后R(s)C(s)2、并聯方塊的等效變換3、反饋連接方塊的等效變換C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)

H(s)C(s)C(s)=G(s)[R(s)

H(s)C(s)]

R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)

(a)變換前(b)變換后R(s)C(s)注意：負反饋對應＋，正反饋對應－。

例2-13G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)①并聯等效＋串聯等效②并聯等效③反饋等效＋串聯等效G(s)C(s)R(s)R(s)G(s)C(s)C(s)R(s)？4、引出點的移動等效原則：移動前后引出的信號不變。a)引出點前移G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)R(s)C(s)R(s)b)引出點后移？5、綜合點的移動a)綜合點前移G(s)-B(s)C(s)R(s)G(s)B(s)C(s)R(s)-C(s)=G(s)R(s)-B(s)等效原則：移動前后局部總輸出不變。？C(s)G(s)R(s)B(s)-5、綜合點的移動b)綜合點后移等效原則：移動前后局部總輸出不變。？C(s)R(s)G(s)-B(s)G(s)C(s)=[R(s)-B(s)]G(s)

=R(s)G(s)-B(s)G(s)C(s)=R(s)G(s)-B(s)X(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)-V2(s)V1(s)-C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)-6、相鄰綜合點和引出點的移動a)相鄰綜合點:可以互換位置或合并。b)相鄰引出點：可以互換位置或合并。A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)6、相鄰綜合點和引出點的移動c)相鄰的綜合點和引出點如何互換位置？V(s)C(s)R(s)-C(s)V(s)C(s)R(s)-C(s)V(s)-

四、方塊圖的簡化簡化規則：1、首先確定輸入輸出；2、先去交叉，先內后外，化零為整；綜合點、引出點移動反饋等效變換串、并聯等效變換例2-14、引出點移動G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1G1G2G3G4H3H2H1G1H1G2H1G1G3例2-15、綜合點移動向同類移動G1G2G3H1G1G2H1G1G3G1G2H1G1G1G1G4H3G2G3H1例2-11、作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1G4H1H3G1G2G3H3H1G4G4G4例2－16

方塊圖化簡RH2+G3H1G1G2G3H2G4(-)Y(a)G4G3H2YR(b)G4YR(c)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY①引出點A前移＋并聯等效A②反饋等效＋串聯等效③反饋等效＋串聯等效④并聯等效YR(c)例2－17

雙RC網絡的結構圖簡化（判斷變換準則）Ui(s)R1(-)(-)(-)Uo(s)(b)Ui(s)(-)(-)Uo(s)R1(c)

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(e)(d)Ui(s)R1C2s(-)Uo(s)(-)Ui(s)(-)(-)(-)Uo(s)(a)綜合點前移＋綜合點互換位置負反饋等效引出點后移串聯等效＋負反饋等效(f)Ui(s)Uo(s)

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(e)串聯等效＋負反饋等效

五、閉環控制系統的傳遞函數R(s)C(s)E(s)U(s)N(s)B(s)給定輸入擾動輸入

一般，反饋通路傳函＝1的控制系統稱為單位反饋系統;

反饋通路傳函≠1的控制系統稱為非單位反饋系統;被控對象控制器檢測元件1、前向通道傳遞函數前向通道：指信號從輸入端傳遞到輸出端的傳輸通道；前向通道傳遞函數:前向通道上各環節傳遞函數的乘積；R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)2、反饋通道傳遞函數反饋通道：指信號從輸出端反送到輸入端的傳輸通道；反饋通道傳遞函數:反饋通道上各環節傳遞函數的乘積；R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)3、閉環系統的開環傳遞函數開環傳遞函數:閉環系統前向通道傳遞函數與反饋通道傳遞函數的乘積；4、閉環系統的閉環傳遞函數R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)根據線性系統的疊加原理，系統的總輸出應為各輸入引起的輸出的疊加，因而得到系統總輸出為：這表明，采用反饋控制系統，適當地配置控制器和測量元件的參數，有可能獲得較高的精度和較強的抑制干擾的能力，這是反饋控制優于開環控制之處。若：5、閉環系統的誤差傳遞函數閉環系統的誤差為：誤差傳遞函數：R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)輸入為給定R(s)或擾動N(s)，輸出為誤差E(s)。被控量的測量值（1）給定輸入作用下的誤差傳遞函數令N(s)=0，方塊圖變成如下形式：R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)（2）擾動輸入作用下的誤差傳遞函數令R(s)=0，方塊圖變成如下形式：R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)（3）系統的總誤差R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)5、閉環系統的特征方程試問：已知閉環系統的穩定性僅與系統閉環傳遞函數的分母多項式有關，由于同一個系統選取不同輸入輸出，可以有不同的傳遞函數，請問系統的穩定性會因輸入輸出的不同而變化嗎？

上面導出閉環傳遞函數及誤差傳遞函數雖然各不相同，但是分母卻是一樣的，均為：閉環系統的特征多項式＝1＋開環傳遞函數

可以是實數或共軛復數，稱為特征方程的根，或稱為閉環系統的極點。

特征方程：閉環系統的特征方程對給定的系統而言，特征多項式是唯一的，即閉環極點的分布是唯一的。閉環系統的極點與控制系統的瞬態響應和系統的穩定性密切相關。特征多項式與開環傳函相關，因此其動態特性可用開環傳函分析。課堂練習：試求下圖所示系統的輸出答案：返回古典控制理論和現代控制理論區別古典控制理論輸入、輸出、誤差關系頻域單輸入－單輸出線性系統定常系統系統設計基于圖解或手工的方法通過經驗和試探法測試適于簡單系統的設計現代控制理論狀態空間表達式時域多輸入多輸出線性系統定常系統時變系統可以根據性能指標設計最優控制系統可用計算機輔助設計可用于設計復雜系統§2-5線性系統的狀態空間描述法

1．控制系統的兩種基本描述方法：

輸入-輸出描述法——經典控制理論狀態空間描述法——現代控制理論

2．經典控制理論的特點：優點：對單輸入-單輸出系統的分析和綜合特別有效。缺點：內部信息無法描述，僅適于單輸入-單輸出系統。

3.現代控制理論

(1)適應控制工程的高性能發展需要，可用計算機輔助設計。

(2)

可處理時變、非線性、多輸入-多輸出問題。

(3)應用方面的理論分支：最優控制、系統辯識，自適應控制……一、引言R(s)C(s)外部描述：微分方程、傳遞函數內部描述：狀態空間表達式{數學模型uyx輸入引起內部狀態的變化，用一階微分方程組表示----狀態方程內部狀態和輸入引起輸出的變化，用代數方程表示----輸出方程§2-5線性系統的狀態空間描述法狀態空間分析法在狀態空間中以狀態變量或狀態向量描述系統狀態的方法稱為狀態空間分析法。基本概念狀態狀態變量狀態向量狀態空間狀態空間表達式

1、

先看一個例子：

例2-18

試建立圖示電路的數學模型。二.基本概念RLCuruci(t)

由微分方程的知識可知，如果已知初始條件i(0)、uc(0)以及t≥0時的ur(t),那么上述方程組在t>0后的任一時刻的解就完全被確定了。同時該系統其余的變量在t＞0時的值，也均能用這兩個變量i(t)和uc(t)的線性組合來表示.

上面的例子說明，系統的變量往往有好多個，但它們并不一定都是互相線性獨立的。若從中選擇一組線性獨立的變量xi(t)，i＝1，2，…，n，當這組變量的初始值xi(0)以及系統的輸入u(t)被確定以后，則這組變量在t＞0時的值也就被完全確定了。同時該系統的其余變量在t＞0時的值，也均能用這組獨立的變量的線性組合來表示,那么通常把這組獨立的變量xi(t)，i＝1，2，…，n，叫做系統的狀態變量。①狀態：所謂狀態，是指系統過去、現在和將來的狀況。例如電路中的電流、電壓，平移系統的位移、速度、加速度等；②狀態變量：狀態變量是指能夠確定系統運動狀態的一組線性獨立、數目最少的變量。

a)線性獨立：變量之間線性無關；b)數目最少：n階系統有n個獨立狀態變量；c)系統其余狀態能夠用狀態變量的線性組合表示；d)狀態變量的選取：一般選擇容易測量的物理量為狀態變量，如電容電壓、電感電流；2.定義狀態變量的選取

1.狀態變量的選取是非唯一的；

2.選取方法

（1）可選取初始條件對應的變量或與其相關的變量作為系統的狀態變量。

（2）可選取獨立儲能元件的特征變量或與其相關的變量作為控制系統的狀態變量。（如電感電流i、電容電壓uc

、質量m

的速度v

等。

變量的線性無關試確定系統中獨立變量的個數。③狀態向量：以n個狀態變量作為分量的向量x(t)稱為狀態向量。④狀態空間：以n個狀態變量為坐標構成的n維空間，稱為狀態空間。系統在任意時刻的狀態對應狀態空間中的一個點。由原點指向該點的矢量就是對應的狀態向量，隨時間變化，狀態向量的端點軌跡形成一條狀態軌跡；⑤狀態空間表達式：狀態方程＋輸出方程狀態方程——由系統n階微分方程轉換成一階微分方程組的形式，表示系統輸入向量u和狀態向量x的關系；輸出方程——將系統的輸出向量y表示為輸入向量u和狀態向量x的線性組合，表示系統輸出向量y與輸入向量u及狀態向量x之間的關系；其中：輸入向量：u(t)

輸出向量：y(t)

狀態向量：x(t)線性定常系統線性時變系統非線性系統狀態空間表達式的形式對于p個輸入，q個輸出的n階線性定常系統：狀態方程輸出方程狀態矩陣輸入矩陣輸出矩陣直接作用矩陣維數分析通常用{A、B、C、D}表示一個系統。將狀態空間表達式畫成方塊圖形式：直接作用矩陣狀態矩陣輸入矩陣輸出矩陣狀態空間描述的優越性：能揭示系統內部的狀態信息并加以利用；一階微分方程組比高階微分方程宜于在計算機上求解；采用向量－矩陣形式，當變量數目增加時，不增加數學表達的復雜性；適用于各種系統；

例2-19

圖示彈簧-質量-阻尼器系統，外作用力u(t)為該系統的輸入量，質量的位移y(t)為輸出量，試列寫該系統的狀態方程和輸出方程。

k

mu(t)y(t)f2.列寫狀態方程3.列寫輸出方程4、寫成狀態空間表達式例2-20

由質量塊、彈簧、阻尼器組成的機械位移系統如圖示系統輸入量為：外力F和阻尼器汽缸速度V，輸出量為：質量塊位移、速度和加速度。試寫出該雙輸入－三輸出機械位移系統的狀態空間表達式。圖中m、k、f分別為質量、彈簧的彈性系數、阻尼系數，x為位移。解：根據牛頓第二定律得到該系統的微分方