再次總結(jié)ζ不同，決定特征根位置的不同，決定系統(tǒng)不同的動(dòng)態(tài)特性。

取適當(dāng)?shù)淖枘釙r(shí)ts最小。系統(tǒng)一般設(shè)計(jì)在欠阻尼狀態(tài)，ζ取0.4~0.8。實(shí)根：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)呈單調(diào)特性根具有負(fù)實(shí)部（左半平面）：過渡過程穩(wěn)定、收斂；復(fù)根：振蕩特性根具有正實(shí)部（右半平面）：發(fā)散，不穩(wěn)定，根在虛軸：臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.1.2

控制系統(tǒng)過渡過程的性能指標(biāo)評(píng)價(jià)和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的量化指標(biāo)－性能指標(biāo)。

系統(tǒng)希望的輸出與實(shí)際輸出之間誤差的某個(gè)函數(shù)的積分，如：平方誤差積分指標(biāo)（ISE）

設(shè)■常用在最優(yōu)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)當(dāng)中，求取使J達(dá)到最小的控制作用。●

誤差性能指標(biāo)—通常采用兩大類的性能指標(biāo)。●過渡過程的性能指標(biāo)－

直接評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖3-2單位階躍響應(yīng)曲線1.50.510t以階躍響應(yīng)曲線形式表示的質(zhì)量指標(biāo)(1)峰值時(shí)間tp階躍響應(yīng)曲線達(dá)到第一峰值所需要的時(shí)間。tptp愈小，表明控制系統(tǒng)反應(yīng)愈靈敏。A

最大偏差A(yù):被控輸出第一個(gè)波的峰值與輸出穩(wěn)態(tài)值的差，如圖中的A。超調(diào)量y(∞)為過渡過程的穩(wěn)態(tài)值。超調(diào)量σ％（百分?jǐn)?shù)表示的最大偏差）：1.50.510tptA注意與教材的的不同處(3)衰減比n在過渡過程曲線上，同方向上相鄰兩個(gè)波峰值之比。如圖，n=A:A’。n愈大，過渡過程衰減的越快，反之，n愈小，過渡過程的衰減程度也愈小;一般操作經(jīng)驗(yàn)希望過程有兩、三個(gè)周波結(jié)束，一般常取n=4:1~10:1。l

當(dāng)n＝1時(shí)，過渡過程則為等幅振蕩；0.150.050.10ttpA(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts階躍響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間。工程上常取在被控變量進(jìn)入新穩(wěn)態(tài)值的土5％或土2％的誤差范圍，并不再超出的時(shí)間。ts的大小一般與控制系統(tǒng)中的最大時(shí)間常數(shù)有關(guān)，ts越短，系統(tǒng)響應(yīng)越快。1.50.510tptAts1.50.510tptA(5)上升時(shí)間tr僅適用隨動(dòng)系統(tǒng)。第一次達(dá)到系統(tǒng)新穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，定義為上升時(shí)間。(6)余差或穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)過渡過程結(jié)束時(shí)穩(wěn)態(tài)值與給定值之差，是表示控制系統(tǒng)精度的重要質(zhì)量指標(biāo)。tr對(duì)于非振蕩的過渡過程曲線：從穩(wěn)態(tài)值的10％上升到90％所需的時(shí)間。tse(∞）總結(jié)：1、峰值時(shí)間tp和上升時(shí)間tr反映了系統(tǒng)的初始快速性。4、穩(wěn)態(tài)誤差反映了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。3、最大偏差、超調(diào)量和衰減比反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。2、調(diào)節(jié)時(shí)間ts反映了系統(tǒng)的整體快速性。1.50.510tptAtrts3.3.3二階欠阻尼系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)單位階躍響應(yīng)過程的質(zhì)量指標(biāo)和二階系統(tǒng)的兩個(gè)特征參數(shù)ζ和ωn值之間存在定量關(guān)系。單位階躍響應(yīng)輸出為：（3-22）其中，標(biāo)準(zhǔn)二階形式的單位階躍響應(yīng)過渡過程曲線如圖3-13。ty(t)1.00Atrtpts±0.02或±0.05圖3-13二階欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線1.50.510tAtp得峰值時(shí)間tp就是式(3-17)的一階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)所對(duì)應(yīng)的最小時(shí)間。3.3.3.1峰值時(shí)間tp=(3-17)方程的解為：（3-23）因?yàn)檫_(dá)到第一個(gè)峰值的時(shí)間為tp，m＝1，即（3-24）

將峰值時(shí)間代入式(3-22)中，便得到第一個(gè)峰值：因?yàn)橐虼俗畲笃睿?-22）（3-26）

ζ與超調(diào)量σ%的關(guān)系超調(diào)量σ%僅為衰減系數(shù)ζ的函數(shù)，與ωn無關(guān)。ζ越大，超調(diào)量越小。超調(diào)量：00204060801000.20.40.60.81ζ超調(diào)量：?jiǎn)栴}：ζ=0，1時(shí)，σ=？1.50.510tAtp3.3.3.3衰減比n由式(3-23)可知，第三個(gè)波峰值出現(xiàn)的時(shí)間是：則第三個(gè)峰值為：于是因而衰減比為：衰減比與阻尼系數(shù)ζ的關(guān)系如圖所示。ζ與超調(diào)量和衰減比的關(guān)系00204060801000.20.40.60.81ζ超調(diào)量：衰減比n(3-23)問題：ζ=0時(shí)，n=？2.521.50.510-0.50T2T3T4T3.3.3.4調(diào)節(jié)時(shí)間ts函數(shù)的曲線是二階系統(tǒng)過渡過程曲線的包絡(luò)線，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線總是包含在這一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)。圖3-13系統(tǒng)過渡過程的包絡(luò)線調(diào)節(jié)時(shí)間定義為階躍響應(yīng)曲線進(jìn)入最終穩(wěn)態(tài)值土5％或士2％誤差范圍內(nèi)所需時(shí)間，則：因此求出：當(dāng)0＜ζ＜0.9時(shí)，可取ts的近似值：（3-30）3.3.3.5上升時(shí)間tr由方程3-22，令y(tr)=1,有因此，（3-31）(3--22)=01.50.510tptstAtr3.3.3.6余差e（∞）余差是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過程的一個(gè)質(zhì)量指標(biāo)，由終值定理求出。歸納（1）峰值時(shí)間tp、上升時(shí)間tr、調(diào)節(jié)時(shí)間ts與ζ和ωn有關(guān)（2）超調(diào)量σ、最大偏差A(yù)、衰減比n僅與ζ有關(guān)。為什么要計(jì)算控制系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)？(1)分析、評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)：已知G(s)，即特征參數(shù)ζ、ωn，不必求系統(tǒng)的過渡過程，根據(jù)公式，就可知系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)，對(duì)控制系統(tǒng)做出評(píng)價(jià)和分析。(2)設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)：給定系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)后，根據(jù)以上公式，可求出ζ和ωn，即確定系統(tǒng)參數(shù)。一般的做法是：由超調(diào)量等確定ζ，而由ts等確定ωn

。例3-1

已知某反饋控制系統(tǒng)如圖所示。當(dāng)R(s)為單位階躍信號(hào)時(shí)，試決定結(jié)構(gòu)參數(shù)K和τ，使得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)滿足動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)σ=20%，tp=1s，并計(jì)算上升時(shí)間tr和調(diào)節(jié)時(shí)間ts。1+τsR(s)Y(s)﹣解：思路：1、求閉環(huán)傳遞函數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)形式）2、根據(jù)σ，求ζ3、根據(jù)tp，求ωn。4、根據(jù)ζ、ωn確定k和τ。5、計(jì)算其它指標(biāo)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：1、2、根據(jù)給定條件利用式（3-26）和（3-24），1+τsR(s)Y(s)﹣3、(180°=π弧度)4、根據(jù)二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式：1+τsR(s)Y(s)﹣5、在上述參數(shù)下，計(jì)算上升時(shí)間tr（式3-31）和調(diào)節(jié)時(shí)間ts（式3-30）：解畢。1+τsR(s)Y(s)﹣過渡過程曲線如圖3-13。ty(t)1.00Atrtpts±0.02或±0.05圖3-13二階欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線3.3.3.7非標(biāo)準(zhǔn)的二階欠阻尼系統(tǒng)過渡過程性能指標(biāo)的計(jì)算例3-2R(s)Y(s)﹣

閉環(huán)傳遞函數(shù)解：轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)形式：即：結(jié)論：任何分子不含零點(diǎn)的線性二階系統(tǒng)均可表示為系數(shù)K與二階標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)連乘的形式。閉環(huán)傳遞函數(shù)﹙﹚當(dāng)K≠1或階躍輸入的幅值不為1時(shí)，其階躍響應(yīng)輸出的質(zhì)量指標(biāo)如何計(jì)算？任何線性二階系統(tǒng)(分子不含零點(diǎn)）均可表示為以下傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入為階躍函數(shù)R(s)=C/s，即幅值為C的階躍信號(hào)時(shí)，輸出等于：對(duì)上式求拉氏反變換，得到輸出的時(shí)域表達(dá)式：當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：從上式可知，此時(shí)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的輸出被成比例放大CK倍，包括穩(wěn)態(tài)值，階躍信號(hào)的幅值C與系統(tǒng)增益K對(duì)系統(tǒng)輸出有相同的影響。因此，以下暫設(shè)C＝1，分析二階系統(tǒng)的過渡過程和相應(yīng)的性能指標(biāo)由圖可知：l

時(shí)間指標(biāo)不變被標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的特征參數(shù)唯一決定。l

反映絕對(duì)誤差的最大偏差A(yù)數(shù)值不同，成比例放大。●2.521.50.5100510152032530AAAK=2K=1K=0.5trtptsl

相對(duì)指標(biāo)σ和n不變說明什么？A’A’K≠1時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差不為零！<問題>對(duì)標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)，幅值不是1（非單位）的階躍信號(hào)的質(zhì)量指標(biāo)？結(jié)論：階躍信號(hào)幅值C對(duì)輸出的作用與增益K相同，使階躍響應(yīng)輸出成比例C放大。線性系統(tǒng)兩個(gè)重要性質(zhì)：可疊加性和均勻性因此：●最大偏差A(yù)數(shù)值不同，亦成比例C放大。●●質(zhì)量指標(biāo)中沒有變化，符合原公式。說明穩(wěn)態(tài)誤差不為0嗎？解：利用二階標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)質(zhì)量指標(biāo)的求解原理，求解質(zhì)量指標(biāo)。（第一個(gè)滿足要求的時(shí)間解）已知非二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)y(t)，如何求過渡過程的質(zhì)量指標(biāo)？？例題系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：(1)已知的單位階躍響應(yīng)為，求。(2)當(dāng)時(shí)，求：①

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出；②

系統(tǒng)的峰值時(shí)間tp,超調(diào)量σ%,調(diào)節(jié)時(shí)間ts，粗略繪出系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線；③

穩(wěn)態(tài)誤差。

解：2種解法：1、根據(jù)傳遞函數(shù)定義求得2、求單位脈沖響應(yīng)：(1)已知的單位階躍響應(yīng)為，求。（2）解：①系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)利用終值定理求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。②由求出由公式：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出粗略繪出系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖：解：例題ty(t)1.111.291.21③求穩(wěn)態(tài)誤差ess（2）2.09已知系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。當(dāng)時(shí)，在的初始條件下，試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的表達(dá)式；

在p＝4時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為非零條件下的拉氏變換：？

非零初始條件下過渡過程時(shí)域響應(yīng)3.4

高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)兩種處理方法：1、通過因式分解，把高階系統(tǒng)分解為若干個(gè)低階系統(tǒng)的組合，其過渡過程是各部分曲線的疊加（線性疊加原理）；2、通過降階，把高階系統(tǒng)近似表示為低階（一、二階加純滯后）系統(tǒng)。3.4.1高階系統(tǒng)的解析分析例3-3某三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：寫成零極點(diǎn)的形式：它包含一個(gè)閉環(huán)實(shí)數(shù)根s1=﹣3和一對(duì)共軛復(fù)根s2、3=﹣1±j，還有兩個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)

z1=﹣1,z2=﹣2

。(3-33)在單位階躍信號(hào)作用下，其輸出可表示為：寫成部分分式的形式：其中，a是輸出Y(s)在輸入函數(shù)極點(diǎn)處的留數(shù)，值等于傳遞函數(shù)（式（3-33））中分子與分母常數(shù)項(xiàng)的比值，有：(3-33)依上式可求出:bi

(i=1,2,3)是輸出Y(s)在各閉環(huán)極點(diǎn)處的留數(shù)，可根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理求出：代入Y(s)的表達(dá)式：把上式后兩項(xiàng)合并，即把復(fù)數(shù)極點(diǎn)用它的實(shí)部和虛部表示，得到：對(duì)上式取拉氏反變換，得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：觀察上式，我們注意到：(1)這個(gè)三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是由它的實(shí)數(shù)極點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn)以及輸入函數(shù)的極點(diǎn)構(gòu)成的響應(yīng)分量疊加而成，即包括一些一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。s1=﹣3,s2、3=﹣1±j(2)當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，其中的指數(shù)項(xiàng)均衰減為零，輸出的穩(wěn)態(tài)值等于輸入函數(shù)極點(diǎn)處的留數(shù)a，即閉環(huán)傳遞函數(shù)中分子與分母常數(shù)項(xiàng)的比值。(4)閉環(huán)零點(diǎn)決定輸出響應(yīng)的形狀。輸出函數(shù)各部分系數(shù)（各極點(diǎn)的留數(shù)）的符號(hào)和大小與閉環(huán)零點(diǎn)密切相關(guān)。(3)輸出響應(yīng)的形式由閉環(huán)極點(diǎn)的形式?jīng)Q定。實(shí)數(shù)極點(diǎn)產(chǎn)生單調(diào)變化的指數(shù)分量，復(fù)數(shù)極點(diǎn)產(chǎn)生阻尼正弦曲線的分量。控制系統(tǒng)的一般閉環(huán)傳遞函數(shù)為：n階系統(tǒng)，分母多項(xiàng)式的最高次數(shù)是n，分子多項(xiàng)式的最高次數(shù)是m，n≥m。因式分解：l

-zi(i=1..m)是使分子等于零的根，叫做系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)l

-pi(i=1..n)是使分母等于零的根，稱為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)l閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，也可以是共軛復(fù)數(shù)（1）Ai是極點(diǎn)上的留數(shù)，由復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理計(jì)算出。a是輸出Y(s)在輸入函數(shù)極點(diǎn)處的留數(shù)。對(duì)Y(s)取拉氏反變換，可得系統(tǒng)的過渡過程為：若所有閉環(huán)極點(diǎn)為不相同的實(shí)根，并且都分布在[S]平面的左半部（具有負(fù)實(shí)部），則系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的拉氏變換式是：（2）若既有實(shí)數(shù)極點(diǎn)又有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換式可寫成如下的一般形式：式中q+2r=n。如果閉環(huán)極點(diǎn)是互不相同的，則上述方程可以展開成下列部分分式：其中，系數(shù)可由復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理求出。Y(s)的拉氏反變換為：高階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線是由一些指數(shù)曲線和阻尼正弦曲線疊加而成。當(dāng)所有的閉環(huán)極點(diǎn)都位于s左半平面時(shí)，因此，當(dāng)t→∞時(shí)，上式中所有的指數(shù)項(xiàng)和阻尼指數(shù)項(xiàng)都趨于零，因此它們是系統(tǒng)的暫態(tài)分量，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為

y(∞)=a。3.4.2高階系統(tǒng)的降階近似分析例：設(shè)有一個(gè)高階系統(tǒng)（5階），其閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)零極點(diǎn)：對(duì)傳遞函數(shù)作拉氏反變換，得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)：高階系統(tǒng)零極點(diǎn)分布及過渡過程-4-30210-2-1-612300.005-0.015-0.0100.010.00545s1s2s3s4s5z1S1,2s3S4,5y(t)閉環(huán)零極點(diǎn)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)函數(shù)從高階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線可知：

閉環(huán)極點(diǎn)s1,2離虛軸最近，引起的響應(yīng)分量衰減最慢；閉環(huán)極點(diǎn)s3靠近閉環(huán)零點(diǎn)z1，構(gòu)成一對(duì)偶極子，s3上的留數(shù)小（0.005)，零極點(diǎn)的作用互相抵消；

s4,5極點(diǎn)的位置離虛軸很遠(yuǎn)，留數(shù)很小，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)比較小，持續(xù)時(shí)間很短,對(duì)系統(tǒng)的過渡過程影響不大;總的單位脈沖響應(yīng)曲線大部分時(shí)間與由s1,2引起的過渡過程曲線相同，僅在開始階段受其它極點(diǎn)的分量的影響。-4-30210-2-1-6s1s2s3s4s5z112300.005-0.015-0.0100.010.00545S1,2s3S4,5y(t)結(jié)論：②離虛軸較近的閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的過渡過程分量衰減的較慢，這些分量主要決定過渡過程形式；①從閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的水平距離（極點(diǎn)的實(shí)部）決定了由此極點(diǎn)引起的瞬態(tài)過程分量的過渡時(shí)間，兩者成反比；:根的實(shí)部如二階欠阻尼系統(tǒng)，③遠(yuǎn)離虛軸的閉環(huán)極點(diǎn)具有很大的負(fù)實(shí)部，它們對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)迅速地衰減到零值，對(duì)系統(tǒng)的過渡過程影響不大；④偶極子的影響可以忽略。回到本例在近似分析中，可以看出，這個(gè)高階系統(tǒng)可以用一個(gè)二階系統(tǒng)近似表示，s1、s2稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)：-4-30210-2-1-6s1s2s3s4s5z112300.005-0.015-0.0100.010.00545S1,2s3S4,5y(t)或根據(jù)穩(wěn)態(tài)不變性的原則：

閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)要滿足的兩個(gè)條件是：l

控制系統(tǒng)過渡過程的形式以及性能指標(biāo)主要取決于這對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。2、與其它閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸的距離在5倍以上。1、在S平面上，距離虛軸比較近，且周圍沒有其它的零極點(diǎn)。l

一般高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)都是振蕩的，主導(dǎo)極點(diǎn)往往是一對(duì)共軛復(fù)根。閉環(huán)零極點(diǎn)：偶極子：一對(duì)靠得非常近的零點(diǎn)和極點(diǎn)，附近沒有其它零極點(diǎn)。總結(jié)1、標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)性能指標(biāo)求法2、非標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)求法3、高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)分析3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的首要目的就是要確保被控系統(tǒng)的穩(wěn)定；線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的一種屬性。3.6.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念及條件二階系統(tǒng)：ζ>0時(shí)，系統(tǒng)的極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)階躍響應(yīng)過程按指數(shù)衰減趨勢(shì)變化，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；ζ＝0時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)是純虛數(shù)，階躍響應(yīng)過程等幅振蕩，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；ζ＜0時(shí)，系統(tǒng)特征根具有正實(shí)部，階躍響應(yīng)過程曲線發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)可定義為：在有界輸入的情況下，其輸出也是有界的。極點(diǎn)的實(shí)部出現(xiàn)在單位階躍響應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)中，決定輸出響應(yīng)的形式，負(fù)實(shí)部使指數(shù)項(xiàng)衰減，最終輸出恒定，正實(shí)部使指數(shù)項(xiàng)無限增加，最終輸出發(fā)散，實(shí)部為零，指數(shù)項(xiàng)為0，輸出等幅振蕩。問題：極點(diǎn)虛部決定單位階躍響應(yīng)的什么部分？問題：極點(diǎn)實(shí)部決定單位階躍響應(yīng)的什么部分？推廣結(jié)論：解析方法－求解系統(tǒng)的特征方程

roots(abc)→求(as2+bs+c)的根高階系統(tǒng)求解困難勞斯穩(wěn)定判據(jù)－不用求解系統(tǒng)的特征方程，就可以得知系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分布情況線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征根（極點(diǎn)）全部具有負(fù)實(shí)部。

3.6.2勞斯(E.J.Routh)穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)的特征方程式為：特征根全部具有負(fù)實(shí)部(3-52)(1)系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)必須皆為正—必要條件；(2)勞斯行列式第一列的系數(shù)全為正—充分條件；(3)第一列的系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)等于實(shí)部為正的根的個(gè)數(shù)。勞斯行列式：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要且充分條件是：在系統(tǒng)特征方程的系數(shù)全為正的基礎(chǔ)上，勞斯行列式中第一列的系數(shù)全為正號(hào)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)：例3-6利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：它的特征方程式是：特征方程式中系數(shù)皆為正，滿足穩(wěn)定性的必要條件，勞斯行列式：勞斯行列式第一列全為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。實(shí)際上該系統(tǒng)的4個(gè)根為：例3-7若一系統(tǒng)的特征方程為：利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：特征方程的系數(shù)均為正，列寫勞斯行列式：該系統(tǒng)的特征方程式有兩個(gè)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的4個(gè)根為：符號(hào)改變一次→符號(hào)改變一次→幾種特殊情況（1）第一列有零值出現(xiàn)用一很小的正數(shù)ε來代替這個(gè)零，并繼續(xù)勞斯行列式的計(jì)算；當(dāng)?shù)玫酵暾膭谒剐辛惺胶螅瞀拧?，檢驗(yàn)第一列的符號(hào)變化次數(shù)；若符號(hào)沒有發(fā)生變化，則說明系統(tǒng)具有一對(duì)純虛根,可利用輔助方程求出；若符號(hào)發(fā)生變化，符號(hào)變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。例3-8系統(tǒng)特征方程判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯行列式：ε上下符號(hào)相同，說明系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛根。通過解輔助方程可知，02ε0例3-9試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為：解：特征方程的系數(shù)均為正，計(jì)算勞斯行列式如下：ε→0首列整理為:系統(tǒng)有二個(gè)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。方程解為：05/2符號(hào)改變一次→符號(hào)改變一次→（2）某行的系數(shù)都為零l

表明系統(tǒng)具有成對(duì)的實(shí)根或共軛虛根，這些根大小相等，符號(hào)相反；l

利用全零行上面的一行系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式P（s），然后由的系數(shù)代替零行，繼續(xù)勞斯行列式的計(jì)算；l

輔助多項(xiàng)式為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的因子式，可以通過求解輔助方程求出那些對(duì)根。

若全零行上下符號(hào)沒有變化，則說明系統(tǒng)具有一對(duì)純虛根；若第一列符號(hào)發(fā)生變化，符號(hào)變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)；例3-10試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為：解：計(jì)算勞斯行列式輔助多項(xiàng)式：00求p(s)對(duì)s的導(dǎo)數(shù):導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代入s3行。896例3-11可利用輔助方程求出那些大小相等，符號(hào)相反的根：行列式第一列系數(shù)符號(hào)變化一次，說明系統(tǒng)有一個(gè)正實(shí)部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。輔助方程是系統(tǒng)特征方程的一個(gè)因子式。