新情景、新定義下的數列問題

目錄

01方法技巧與總結..............................................................2

02題型歸納與總結..............................................................3

題型一：牛頓數列問題...........................................................3

題型二：高考真題下的數列新定義.................................................4

題型三：數列定義新概念..........................................................6

題型四：數列定義新運算..........................................................7

題型五：數列定義新情景..........................................................9

題型六：差分數列、對稱數列.....................................................10

題型七：非典型新定義數列.......................................................11

03過關測試....................................................................13

方法技巧與總經

1、“新定義型”數列題考查了學生閱讀和理解能力，同時考查了學生對新知識、新事物接受能力和加以

簡單運用的能力，考查了學生探究精神.要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進行遷移，即讀懂和理

解新定義，獲取有用的新信息，然后運用這些有效的信息進一步推理，綜合運用數學知識解決問題的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此，“新定義型”數列在高考中常有體現，是一種用知識歸類、套路總

結、強化訓練等傳統教學方法卻難以解決高考中不斷出現的新穎試題.

2、解答與數列有關的新定義問題的策略：

(1)通過給定的與數列有關的新定義，或約定的一種新運算，或給出的由幾個新模型來創設的新問

題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題設所提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移,

達到靈活解題的目的.

(2)遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點，搞清新定義的本質，按新定義的

要求“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以順利解決.

(3)類比“熟悉數列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數列，向“熟悉數列”的性質靠攏.

㈤2

臬幣日納與年

//ayu2

題型一：牛頓數列問題

【典例1-11(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)牛頓選代法又稱牛頓——拉夫遜方法，它是牛頓在17世

紀提出的一種在實數集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設r是函數了=/(力的一個零點,

任意選取％作為r的初始近似值，在點(%,/(%))作曲線了=/(x)的切線4,設與4軸x交點的橫坐標為占,

并稱多為廠的1次近似值；在點(西,〃w))作曲線y=/(x)的切線4,設與4軸X交點的橫坐標為4，稱

%為廠的2次近似值.一般地，在點(%,〃%))(〃€2作曲線了=〃”的切線4用，記加與x軸交點的橫坐

標為x“+i，并稱x“+i為廠的"+1次近似直設+x-3(x")的零點為心取%=0,貝Ijr的1次近似

值為;若相為r的〃次近似值，設?！?芋若，〃eN*,數列｛。“｝的前〃項積為北.若任意力eN*,

…恒成立，則整數A的最大值為.

【典例1-2】記R上的可導函數/(X)的導函數為1(x),滿足五+1eN*)的數列｛x,｝稱為函

數/(無)的“牛頓數列”.已知數列打,｝為函數/(x)=Y一》的牛頓數列,且數列｛對｝滿足

%=2嗎,>1.

x“T

(1)證明數列｛%｝是等比數列并求巴；

(2)設數列｛??)的前n項和為耳，若不等式(-1)"?電-144S；對任意的?eN*恒成立，求t的取值范圍.

【變式1-1]英國物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數的零點時，給出的“牛頓數列”在航空航天中應用廣

泛，若數列｛%｝滿足則稱數列｛%｝為牛頓數列，如果〃x)=/-x-2,數列｛%｝為牛

f,^Y

X+]

頓數列，設且4=1,x?>2,數列｛與｝的前〃項和為S,,,則$2必=()

X〃一2

A.22022-1B.22022-2C.

2

【變式1-21科學家牛頓用“作切線”的方法求函數的零點時，給出了“牛頓數列”，其定義是：對于函數

/(X),若數列｛%｝滿足X向則稱數列｛七｝為牛頓數列，若函數/(x)=/,數列｛七｝為牛頓

f'g'

數列且3=2,an=log2x?,則as的值是()

A.8B.2C.-6D.-4

題型二：高考真題下的數列新定義

【典例2-1](2024?北京?高考真題)已知集合

M=｛?,/,左,回卜€｛1,2｝,/€｛3,4｝,左€｛5,6｝,師｛7,8｝,且，+/+左+可為偶數｝.給定數列N:…9，和序

列。:7]Z，-Z，其中對數列A進行如下變換：將A的第川西,叫項

均加1,其余項不變，得到的數列記作刀⑷；將看(⑷的第作人，修，嗎項均加1，其余項不變,得到數列記

作31(4);……；以此類推，得到北…心工(/)，簡記為。(⑷.

⑴給定數列41，3,2,4,6,3,1,9和序列。:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出0(4)；

(2)是否存在序列。，使得。(4)為％+2,g+6,%+4,%+2,%+8,必+2,%+4%+4,若存在，寫出一個符

合條件的。；若不存在，請說明理由；

(3)若數列A的各項均為正整數，且％+%+%+%為偶數，求證：“存在序列。，使得。(⑷的各項都相等”

的充要條件為“%+。2=%+%=%+&=%+4''.

【典例2-2】(2024?全國?高考真題)設”為正整數，數列為,電，…,Q,”+2是公差不為0的等差數列，若從中

刪去兩項a,和4(i<j)后剩余的4m項可被平均分為機組，且每組的4個數都能構成等差數列,則稱數列

%,%???,。4m+2是I,/)-可分數列.

⑴寫出所有的億力，1口<八6,使數列為，電，…，。6是(，，/)-可分數列；

⑵當加23時，證明：數列％,電，…,。4,“+2是(2,13)-可分數列；

⑶從1,2,...,4加+2中一次任取兩個數i和加</),記數列4,出，…,。4,“+2是億/)-可分數列的概率為￡“，證

明：己

O

【變式2-1](2023?北京?高考真題)已知數列{%},也}的項數均為加(加>2),且a“也e{1,2,…,刈,

{%},{4}的前〃項和分別為4,紇，并規定4=穌=°.對于上e{0』,2,…,叫，定義

〃=max{il4.V4，ie{01,2,一、M},其中，maxM表示數集M中最大的數.

(1)若％=2,g=1，%=3,々=1也=3也=3,求外,4,4的值;

(2)若％且2。4*1+5_],/=1,2,…，刃一1,,求小

(3)證明：存在0,4,5,/€{0,1,2「-,加},滿足0>4,s>t,使得4+瓦=4+4.

【變式2-2]（2022?北京?高考真題）已知。嗎,電，…，巳為有窮整數數列?給定正整數小，若對任意的

a

"e｛l,2,…,加｝,在0中存在%4+1，i+2，…，4?+j（72°）,使得%+aM+ai+2+??-+ai+J=n,則稱0為加-連續

可表數列.

⑴判斷0：2,1,4是否為5-連續可表數列？是否為6-連續可表數列？說明理由；

⑵若。:％,出,…，應為8-連續可表數列，求證：左的最小值為4；

（3）若。:%,電，…，應為20-連續可表數列，且％+出+…+的<20,求證：k>7.

【變式2-3]（2021?北京?高考真題）設〃為實數.若無窮數列｛%｝滿足如下三個性質，則稱｛0“｝為%.

數列：

①q+p》0,>a2+p=0；

②%<%”,（"=1,2,…）；

③%+”e｛a.+a”+P，a.+a“+P+l｝，（加，"=1,2,…）.

（1）如果數列｛%｝的前4項為2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能為況2數列？說明理由；

（2）若數列｛““｝是況。數列，求為;

（3）設數列｛%｝的前〃項和為是否存在況。數列｛?！埃?使得S2凡恒成立？如果存在，求出所有的p；

如果不存在，說明理由.

題型三：數列定義新概念

【典例3-1](2024?廣東?模擬預測)定義：任取數列｛與｝中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為1,

則稱數列｛2｝具有“性質1”.已知項數為〃的數列｛%｝的所有項的和為河"，且數列｛七｝具有“性質1”.

(1)若〃=4,且q=0,%=T,寫出所有可能的的值；

(2)若%=2024,n=2023,證明：=2"是“欲＞%(左=L2,…,2022)”的充要條件；

⑶若％=0,"22,%=0，證明：〃=4加或"=4m+1(加eN*).

【典例3-2】對任意正整數〃，定義〃的豐度指數/(〃)=亞，其中S(〃)為〃的所有正因數的和.

n

(1)求/⑻的值:

(2)若?！?/(2”)，求數列｛加，的前〃項和「

⑶對互不相等的質數。，私"，證明：/(p加〃)=/(/)“m”⑺，并求1(2024)的值.

【變式3-1](2024?重慶?模擬預測)對于數列｛%｝,定義eN*),滿足

ax^a2=l,A(Aa?)=m(meR),記/(九”)=q加+電/+…+%”'，稱/(肛〃)為由數列｛%｝生成的“加-函

數”.

⑴試寫出“2-函數”f(2,n),并求"2,3)的值;

(2)若“1-函數”/(1,?)<15,求〃的最大值：

(3)記函數S(x)=x+2f+…其導函數為S'(x),證明：“m-函數”

加23717，

=——S\m）----S（加）+（加+1）￡m.

22；=i

【變式3-2](2024?甘肅張掖?模擬預測)定義：在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形

成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“和擴充”，例如：數列1,2,3經過第一次“和擴充，，后得到

數歹收,3,2,5,3；第二次“和擴充”后得到數列1,43,5,2,7,5,8,3.設數列Ac經過〃次“和擴充”后得到的數列

的項數為匕，所有項的和為色.

(1)若4=2,6=3,0=4,求心,S2;

(2)求不等式勺22024的解集；

(3)是否存在數列。，瓦c(a,瓦ceR),使得數列｛S“｝為等比數列？請說明理由.

題型四：數列定義新運算

【典例4-1】（2024?吉林長春?模擬預測）記集合S=｛｛a,｝|無窮數列｛七｝中存在有限項不為零，〃eN*

對任意｛%｝eS,設9（｛%｝）=%+呼+…+%x"T+…,xeR.定義運算◎若｛%｝,｛，｝eS,則

｛%｝?也｝eS，且0（｛%｝*也｝）=0（｛。"｝）3（也｝）.

⑴設｛%｝到4｝=｛?“｝,用％,%，。3力也，4表示4；

（2）若｛%｝,但｝,｛cJeS,證明：（｛4｝*也｝）到qj=｛*?（也髭匕｝）：

l〃+i『+i<<[m203-n<<

⑶若數列｛%,｝滿足%=*〃（〃+1）」-"一10°,數列｛，｝滿足6.=,⑴」-"-500,設

0,〃>100[0,n>500

｛4｝⑤也｝=｛4｝，證明：&（?<；?

【典例4-2】（2024?浙江杭州?三模）卷積運算在圖象處理、人工智能、通信系統等領域有廣泛的應

用.一般地，對無窮數列｛%｝,但｝,定義無窮數列c“=￡＞也+_（〃eN+）,記作｛叫*也｝=｛%｝,稱為

k=\

｛%｝與也,｝的卷積.卷積運算有如圖所示的直觀含義，即｛%｝中的項依次為所列數陣從左上角開始各條對

角線上元素的和，易知有交換律｛叫*也｝=也｝*｛叫.

⑵對ieN+，定義［｛%｝如下：①當i=l時，北｛%｝=｛%｝；②當此2時，北｛叫為滿足通項

0,H<Z

dn=的數列｛Z｝,即將｛%｝的每一項向后平移-1項，前項都取為0.試找到數列收）｝

2i

使得{4>{%}=1{叫;

(3)若雙=〃,{4}*{4}={&},證明：當"23時,"=c"-2%+*.

【變式4-1］（2024?山東青島?一模）記集合S=｛｛%｝|無窮數列｛七｝中存在有限項不為零，〃eN*｝,對

任意｛七｝eS,設變換/（｛%｝）=%+研+…+%無"~+…，xeR.定義運算&若｛%｝,也｝eS,貝|

｛%應也｝eS,/（｛叫兇也｝）=/（｛叫）./（｛2｝）.

⑴若{。"}?{4}={叫}，用(，%，。3，。4,61也也也表示加4；

(2)證明:({%}⑥也})到。,}={凡}旗也}到。,})；

(?+1)2+1『1丫眸"

...---...-,1<n<100—,1<??<500(7)())r口71

⑶右％=jH(?+1)，，{4}={%}叫a},證明:d2M<~.

0,?>100[o,77>500-

【變式4-2］任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2.反復進行上

述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈1-4-2-1.這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱

“角谷猜想”）.如取正整數％=6,根據上述運算法則得出6-3->10-?5-16->8-4->2-1,共需經過

8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數列｛?！埃凉M足：ax=m（m

2當a為偶數時

為正整數），。用=2'"'當〃?=3時，a1+a2+a3+---+a60=（）

3%+1,當丁為奇數時

A.170B.168C.130D.172

題型五：數列定義新情景

【典例5-1]（多選題）（2024?山東青島?三模）若有窮整數數列4：%,電，-%（力23）滿足：

a/+1-a,.e｛-l,2｝（i=l,2,且％=%=0,則稱4具有性質乙則（）

A.存在具有性質7的4

B.存在具有性質7的4

C.若4o具有性質T,則4,電，…,。9中至少有兩項相同

D.存在正整數左，使得對任意具有性質T的4,有色，出，…,中任意兩項均不相同

【典例5-2]（2024?河南?二模）已知無窮數列｛6｝是首項為1,各項均為正整數的遞增數列，集合

^=｛^eN*|t??<^<a?+1,weN*）,若對于集合A中的元素左，數列｛%｝中存在不相同的項4,%…，氣，使

得??+?,+■??+q=k,則稱數列｛a,｝具有性質N㈤，記集合8=｛用數列｛叫具有性質N㈤｝.

（1）若數列｛七｝的通項公式為?！?〃+6；>4，判斷數列｛%｝是否具有性質N優），若具有，寫出集合A與

集合8；

（2）已知數列｛2｝具有性質N伍）且集合A中的最小元素為人集合3中的最小元素為5,當時，證明：

t=s.

【變式5-1](2024?北京東城?二模)已知4:%,%，…，氏(〃？3)為有窮整數數列，若4滿足：

aM-ai&{P,q\{i=1,2,-,n-\),其中P,9是兩個給定的不同非零整數,且%=。“=0,則稱4具有性質

T.

(1)若。=-1,q=2,那么是否存在具有性質T的人?若存在，寫出一個這樣的4；若不存在，請說明理

由；

⑵若尸=T,4=2,且4。具有性質7,求證：％,出，…,。9中必有兩項相同；

(3)若p+q=l,求證：存在正整數左，使得對任意具有性質T的4,都有％,電，…,中任意兩項均不相

同.

【變式5-2](2024?北京朝陽?一模)若有窮自然數數列A：q,的,一,。"("上2)滿足如下兩個性質，則稱

A為紇數列:

(1)>max{a,+a2+ak_2ak_x+a[}(k,其中，11^*{再624一，4}表示玉,尤2「，，，怎，這5個

數中最大的數；

@ak<mm{al+ak_l,a2+ak_2,---,ak_1+al}+\(k=2,3,---,n),其中，minR,%,表示再汽,,這s

個數中最小的數.

(1)判斷A：2,4,6,7,10是否為員數列，說明理由；

(2)右A：,。2,…，“6是線數列，且“1,。2，。3成等比數列，求必；

(3)證明：對任意紇數列A：%,%，…，%("22),存在實數小，使得/=[以"=1,2,…，〃).(國表示不超

過x的最大整數)

題型六：差分數列、對稱數列

【典例6-1］（多選題）如果項數有限的數列｛叫滿足%=%+皿=1,2…則稱其為“對稱數列”，設也｝

是項數為2左-1卜?2）的“對稱數列”，其中與，bk+l,是首項為50,公差為-4的等差數列，貝IJ

（）

A.若左=12,則々=10B.若左=14,則也｝所有項的和為622

C.當k=13時，也｝所有項的和最大D.｛4｝所有項的和不可能為0

【典例6-2］若項數為"的數列｛%｝滿足：1=1,2,3,…，可我們稱其為"項的“對稱數列”.例如：

數列1,2,2,1為4項的“對稱數列”；數列123,2,1為5項的“對稱數列”.設數列憶｝為2無+1項的“對稱數列”，

其中G。2“心華是公差為2的等差數列，數列｛%｝的最大項等于8,記數列｛%｝的前2左+1項和為若

$2）1+1=32,則尢=.

【變式6-1］（2024?四川南充?三模）對于數列｛%｝,規定為數列｛與｝的一階差分，其中

M=%+「a"（"eN*）,規定A%“為數列｛%｝的左階差分，其中公包=屋％「A"%（〃eN*）.若

.”"（ly則公&=（）

6

A.7B.9C.11D.13

【變式6-2］（2024?四川南充?三模）對于數列｛0“｝,規定為數列｛%｝的一階差分，其中

M=an+l-an(neN*),規定Na“為數列{an}的階上差分，其中A%=優eN)若

%」(〃一1)(21),則△4=()

6

A.7B.9C.11D.13

題型七：非典型新定義數列

/、

4142…ain

Qa???ci

【典例7-1】（2024?黑龍江?模擬預測）已知〃行幾列（〃>2）的數表4=；?2.;中，滿足:

“1an2…a〃n.

%e{0,l},(z,)=1,2,….若數表A滿足當ast=0時，總有X冊+￡與2〃,則稱此數表A為典型數表,

Z=1j=l

此時記s.旬.

i=lj=\

0011

⑴若數表M=。01,N=[100,請直接寫出M,N是否是典型數表；

,011J

'710oj

(2)當〃=8時，是否存在典型數表/使得晨=31,若存在，請寫出一個數表/；若不存在，請說明理由;

(3)若數表/為典型數表，求S.的最小值(直接寫出結果，不需要證明).

國1X12

【典例7-2](2024?遼寧葫蘆島?二模)設數陣X。=其中Xu,X]?,X]],X22e{1,2,3,4,5,6}.設^

'21'22

8={〃|,{L2,3,4,5,6},其中/<%<-<nk,左eN*且發46.定義變換為“對于數陣的每一列,

若其中有/或T,則將這一列中所有數均保持不變；若其中沒有1且沒有T,則這一列中每個數都乘以T”

“8(工())表示“將萬。經過旃|變換得到吊，再將X1經過V”變換得到*2,…，以此

類推，最后將X-經過〃改變換得到%.記數陣X*中四個數的和為々(X。).

⑴若8={2,5},寫出X。經過河2變換后得到的數陣X，并求〃(X0)的值；

⑵若X°=(：T，B={ni,n2,n3},求。(X。)的所有可能取值的和；

(3)對任意確定的一個數陣X。，證明：心(4)的所有可能取值的和不大于-8.

【變式7-1】已知無窮數列｛%｝,給出以下定義：對于任意的〃eN*,都有a,+a“+222a”“，則稱數列｛%｝

為“T數列”；特別地，對于任意的〃eN*,都有。"+七+2>2%,則稱數列｛%｝為“嚴格T數列”.

(1)已知數列｛6｝,也｝的前〃項和分別為4，Bn,且%=2"-1,b“=-『,試判斷數列｛/“｝,數列

｛4｝是否為“T數列”，并說明理由；

(2)證明：數列｛%｝為“T數歹廣的充要條件是“對于任意的左，機，〃eN*,當左<加<〃時，有

(n-m)ak+[m-k^an>(n-k^am"；

(3)已知數列也｝為“嚴格T數列”,且對任意的〃eN*,"eZ,(=-8,%=-8.求數列｛4｝的最小項的

最大值.

【變式7-2](2024?山東泰安?模擬預測)已知數列｛2｝是斐波那契數列，其數值為：1,1,2,3,5,8,13,

21,34…….這一數列以如下遞推的方法定義：%=1，%=1，。,+2=。用+。，(〃eN*).數列也｝對于確定的正

整數左，若存在正整數〃使得4+“=4+"成立，則稱數列｛“｝為“左階可分拆數列”.

(1)已知數列｛c」滿足C"=%a,(“eN*,機eR).判斷是否對V/neR,總存在確定的正整數左，使得數列上“｝

為“左階可分拆數列”，并說明理由.

(2)設數列｛4｝的前〃項和為S“=y-a(fl>0),

(i)若數列｛4,｝為“1階可分拆數列”，求出符合條件的實數。的值；

(ii)在⑴問的前提下，若數列｛<｝滿足/=白，?eN\其前〃項和為證明：當〃eN*且“23時，

Tn<of+aI+a；+...+a~—a?a?+i+1成立.

過猛試

1.（2024?浙江紹興?三模）設OWq<g<…<須<%oo<1，已知%+i2W99）,若

max｛%+i-a,｝2加恒成立，則機的取值范圍為（）

A.m<—B.m<—

93

,2/

C.m<—D.m<—

39

2.（2024?上海?模擬預測）已知數列｛0“｝不是常數列，前〃項和為S”，且4>0.若對任意正整數“，存

在正整數機，使得|%-黑區4,則稱｛七｝是“可控數列”.現給出兩個命題：①存在等差數列｛七｝是“可控

數列”；②存在等比數列｛4｝是“可控數列”.則下列判斷正確的是（）

A.①與②均為真命題B.①與②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

3.數列｛《｝的前〃項和為S“，若數列｛%｝與函數/（x）滿足：①/'（x）的定義域為R；②數列｛%｝與函數

/（X）均單調增；③存在正整數"，使邑=〃與）成立，則稱數列｛叫與函數具有“單調偶遇關系”.給

出下列兩個命題：（）

①與數列伽+1｝具有“單調偶遇關系，，的函數有有限個；

②與數列｛2"｝具有"單調偶遇關系”的函數有無數個.

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

4.（多選題）（2024?湖南衡陽?模擬預測）在股票市場中，股票的價格是有界的，投資者通常會通過價

格的變化來確保自己的風險，這種變化的價格類似于我們數學中的數列，定義如果存在正數〃，使得對一

切正整數，，都有則稱｛%｝為有界數列，數列收斂指數列有極限，我們把極限存在（不含無窮

大）的數列稱為收斂數列，如數列g=工，顯然對一切正整數〃都有而工的極限為0,即數列

nn

｛%｝既有界也收斂.如數列4=（-1）”,顯然對一切正整數〃都有聞41,但不存在極限，即數列｛2｝有界但

不收斂.下列數列是有界數列但不收斂的數列有（）

A.an=sinl+—IB.an=coslHK+—I

.(兀)

4=2,a=3,%=&±sin幾兀+——

c.2D.I2J

an-2an=------

n

a—a

5.（多選題）（2024?江蘇南通?模擬預測）在數列｛《｝中，若對V〃eN*,都有2_向=。為常數）,

an+\~an

則稱數列｛與｝為“等差比數列"，4為公差比，設數列｛。“｝的前〃項和是S,,,則下列說法一定正確的是（）

A.等差數列｛%｝是等差比數列

B.若等比數列｛七｝是等差比數列，則該數列的公比與公差比相同

C.若數列｛SJ是等差比數列，則數列用｝是等比數列

D.若數列｛%｝是等比數列，則數列｛5｝等差比數列

6.（多選題）（2024?山東煙臺?一模）給定數列｛%｝,定義差分運算：

公。"=。,+1-%，&&=公。,+1-公%,〃€1<\若數列｛?！埃凉M足4="2+",數列｛2｝的首項為1,且

M“=（〃+2）.2"T,〃eN*,則（）

A.存在M>0,使得恒成立

B.存在M>0,使得"。"〈河恒成立

C.對任意M>0,總存在〃eN*,使得，>〃

D.對任意M>0,總存在〃eN*,使得芋

7.（多選題）（2024?浙江?模擬預測）“角谷猜想”是指一個正整數，如果是奇數就乘以3再加1,如果是

偶數就除以2,這樣經過若干次這兩種運算，最終必進入循環圖If4-2-1.對任意正整數旬，按照上述

規則實施第〃次運算的結果為%（〃eN）,（）

A.當％=7時，則%]=5

B,當%=16時，數列｛。“｝單調遞減

C.若%=1,且q=3,4）均不為1,則％=5

D.當g=10時，從％[=1,2,3,4,5,6）中任取兩個數至少一個為奇數的概率為不

8.（2024?高三?河北保定?期中）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點時，給出的“牛頓

〃x“)

數歹『'在航空航天中應用廣泛，若數列｛%｝滿足則稱數列｛%｝為牛頓數列?如果函數

x+2

2

f(x)=x-4,數列｛2｝為牛頓數列，設a〃=ln七p且4=1,x“>2.則。2必

Xn-Z

9.(2024?江西九江?模擬預測)著名科學家牛頓用“作切線”的方法求函數的零點時，給出了“牛頓數列”,

它在航空航天中應用廣泛.其定義是：對于函數/(X),若數列｛%｝滿足兌+1，則稱數列｛%｝為牛

f,M

頓數列，若函數/(x)=/,an=log2xn,且q=l,則。8=.

10.給定函數/(x),若數列伉｝滿足”-務則稱數列｛%｝為函數/(X)的牛頓數歹！J.已知｛Z｝

為〃%)=/-4的牛頓數列，且為=ln￡1,q=l,x“>2("eN*),數列｛?！埃那啊椇蜑榫艅t

Xn~Z

11.將正整數"分解為兩個正整數占、質的積，即〃=勺?右，當左、質兩數差的絕對值最小時，我們稱其

為最優分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即為20的最優分解，當左、融是〃的最優分解時，定

義/(?)=。-可，則數列｛/(5")｝的前2024項的和為.

'a\2

ai3…

。21。22a23…a2n

?高三?甘肅蘭州?開學考試)已知數表(〃)aa

12.(2024N",=。31。3233'..3n

n2…ann,

"11。121…如、C12C13,,%、

b??b23…b2nC21C22C23?,C2n

CC其中囹,4,%(

B（n,n）=Al，32。33…b3n，C（n,n）=3132033.?分別

Cn2Cn3,?Cnn）

也ibn2bn3…bnn,

表示/(〃,〃)，中第i行第/列的數.若5j+%2b2j+…+。也,則稱是

/(〃〃)，8(",〃)的生成數表.若數表/(2,2)=。3(2,2)==JO,且c(2,2)是

142o

J5,

4(2,2),8(2,2)的生成數表，則C(2,2)=.

13.%,?,…%o是一個1,2,3,…，10的排列，要求和%+i一定有一個大于%(，=2,3,…,9),則

滿足的排列的總數為.

14.(2024?北京通州?三模)若數列也,｝、匕“｝均為嚴格增數列，且對任意正整數小都存在正整數%,

使得'e[%,C"+J,則稱數列也｝為數列｛%｝的““數列”.已知數列｛%｝的前〃項和為S“，則下列結論中正

確的是.

①存在等差數列｛%｝,使得｛%｝是｛SJ的數列”

②存在等比數列也｝,使得缶"｝是岱“｝的數列”

③存在等差數列｛%｝,使得“,｝是｛%｝的數列”

④存在等比數列也｝,使得",｝是｛%｝的數列”

15.（2024?江蘇揚州?模擬預測）對于有窮數列｛4｝,從數列｛%｝中選取第1項、第3項、…、第。項

（2<???<"），順次排列構成數列出｝,其中乙=%”左W機，則稱新數列他｝為｛%｝的一個子列，稱

抄*｝各項之和為｛七｝的一個子列和.規定：數列｛%｝的任意一項都是｛心｝的子列.則數列1,2,4,8,16,32的

所有子列和的和為.

16.（2024?高三?山東日照?期中）任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就

將該數除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈這就是數學史上著

名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數6,根據上述運算法則得出

6—3—10—5—16—8—4—2—1,共需要8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示為數列

—,a?=2k(keN.)

,2"+；.問：當機時，試確定使得?！?需

｛為｝滿足：％=機（"？為正整數），an+1I=171

3an+1,an=2左+1(斤eN)

要步“雹程”；若。6=1，則機所有可能的取值所構成的集合為.

17.（2024?高三?北京朝陽?期末）中國傳統數學中開方運算暗含著迭代法，清代數學家夏鸞翔在其著

作《少廣繾鑿》中用迭代法給出一個“開平方捷術”，用符號表示為：己知正實數N,取一正數％作為亞