浙教版中考數學第一輪專題復習講義

第四單元三角形

《第16講線段'角、相交線與平行線》

【知識梳理】

1.三種基本圖形一直線、射線、線段

(1)有關概念：

線段向一方無限延伸就成為射線.線段向兩方無限延伸就成為直線.線段是直線上

兩點間的部分，射線是直線上某一點及一旁的部分.連結兩點的線段的長度叫做這兩點

間的距離.

(2)有關基本事實：

①直線有下面的基本事實:經過兩點有一條而且只有一條直線.可以簡單地說成確定一

條直線.

②線段有以下的基本事實:在所有連結兩點的線中，線段最短.簡單地說，兩點之間線段最短.

(3)常見幾何計數：

①當一條直線上有〃個點時，在這條直線上存在口尸_條以這〃個點中的兩點為端點的線段.

②平面內有n個點，過這n個點中的兩點可作一條直線，在這個平面內最多可作；聯一條直線.

③如果平面內有〃條直線，它們最多有J啜一個交點.

2.角

(1)角的定義：

①由兩條有公共端點的所組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點.

②由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形叫做角.

(2)角的分類:角按照大小可以分為銳角、直角、鈍角、平角、周角.

(3)角的比較方法:①疊合法;②度量法.

(4)角的度量及單位換算:1。=601'=60

(5)角平分線:從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做

這個角的平分線.

3.互為余角、互為補角

(1)互為余角:如果N1和N2互為余角，那么Nl+N2=90

(2)互為補角:如果N1和N2互為補角，那么Nl+N2=180。.

(3)余角與補角的性質:同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等.

4.對頂角

(1)定義:一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.

(2)對頂角的性質:對頂角相等.

5.垂直

(1)垂直的性質:在同一平面內，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線.

(2)點到直線的距離:從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.

(3)垂線段最短:連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

6.同位角'內錯角'同旁內角

如圖，兩條直線/2被第三條直線/3所截.

(1)同位角:兩個角都在第三條直線/3的同旁，并且分別位于直線3/2的同一側，這樣的一對角

叫做同位角.如N1和N5,Z7和N3.

(2)內錯角:兩個角分別位于第三條直線/3的異側，并且都在直線/1,/2之間，這樣的一對角叫做

內錯角汝口N3和N5,Z6和N4.

(3)同旁內角:兩個角都在第三條直線/3的同旁，并且在直線/1,/2之間，這樣的一對角叫做同旁

內角.如N3和N6,N5和N4.

7.平行線

(1)平行線的定義:在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.

(2)平行公理:經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

(3)平行公理的推論:如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

8.平行線的判定

(1)同位角相等，兩直線平行.

⑵內錯角相等，兩直線平行.

(3)同旁內角互補，兩直線平行.

9.平行線的性質

(1)兩直線平行，同住角相等.

(2)兩直線平行，內錯角相等.

(3)兩直線平行，同委內角互補.

10.七巧板

七巧板是中國古老的智力游戲，它由七塊板組成，完整圖案為一個正方形，由這七塊板可以變

幻出各種不同的圖案.解七巧板問題的技巧之一是活用等腰直角三角形的性質.

【考題探究】

類型一直線、線段和射線

【例1】［2024?浙江模擬］高速公路是指專供汽車高速行駛的公路.高速公路在建設過程中，通

常要從大山中開挖隧道穿過，把道路取直以縮短路程.其中的數學原理是(A)

A.兩點之間線段最短

B.兩點確定一條直線

C.平行線之間的距離最短

D.平面內經過一點有無數條直線

變式1如圖，設P是直線/外一點，PQM,垂足為。，T是直線/上的一個動點，連結PT,則

(C)

變式1圖

A.PTN2PQ

B.PTW2PQ

C.PT^PQ

D.PTWPQ

類型二相交線與垂線

【例2][2024?北京]如圖，直線AB和CD相交于點O,OELOC若NAOC=58。，則NE03

的大小為（B）

C/E

例2圖

A.290B.320

C.450D.580

類型三余角與補角

【例3][2024?甘肅改編]若NA=55。，則NA的補角為125。,余角為35。

變式3如果一個角的余角是它的補角的%那么這個角的度數為（B）

A.3O0B.450

C.6O0D.750

【解析】設這個角的度數為a,則它的余角的度數為（90°—a）,補角的度數為（180°—a）.

1

由題意，得90。一々=]（180。一a）,

將得a=45°,即這個角的度數為45。.

類型四平行線的性質

【例4][2024?福建]在同一平面內，將直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CraDE）按如圖方

式擺放，若A3〃CD,則N1的大小為（A）

A.30°B.450

C.60°D.750

例4圖例4答圖

【解析】如答圖標注字母.

,JAB//CD,：.ZCDB=ZABF=60°.

'JCDLDE,：.ZCDE=90°,，Nl=180°—60°—90°=30°.故選A.

變式4—1[2024?南充]如圖，兩個平面鏡平行放置，光線經過平面鏡反射時，Zl=Z2=40°,

則N3的度數為(C)

A.80°B.9O0

C.1OO0D.12O0

變式4—2[2023?臺州]用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若/1=20。，則N2的度數為

140°.

【解析】如答圖標注N3.

;圖嗓是由一張等寬的紙條折成的，

/.紙條的長邊平行，

.?.Z2=Z3=180°-2Zl=140°.

類型五平行線的判定與性質的綜合運用

【例5][2024?臺州模擬]如圖,若N1=N2=75。，Z3=108°,則N4的度數是(D)

5

,2

b

4

例5圖

A.750B.1O20

C.1O50D.1O80

變式5［2023?金華］如圖，已知Nl=N2=N3=50。，則N4的度數是（C）

A.12O0B.1250

C.13O0D.1350

變式5圖變式5答圖

【解析】如答圖所示標注N5.

?.*Zl=Z3=50o,

：.a//b,.,.Z2+Z5=180°.

又,.,N2=50°,

，N4=Z5=180°-Z2=130°.

類型六七巧板

【例6】［2023?溫州］圖1是4X4方格繪成的七巧板圖案，每個小方格的邊長為魚，現將它剪

拼成一個“房子”造型（如圖2）,過左側的三個端點作圓，并在圓內右側部分留出矩形CDER作

為題字區域（點A,E,D,3在圓上，點C,R在A5上），形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為5.

若點A,N,航在同一直線上，AB//PN,DE=^6EF,則題字區域的面積為一三點

例6圖

【解析】如答圖所示標注字母，連結。G,觀察圖形，結合七巧板的性質易得L/=2,GI=IJ

=4,點G,I,J在同一條直線上，LK垂直平分GJ,是。。的一條直徑.

設。。的半徑為r,在RSG/O中，GI2+IO2=O（?,即42+（廠-2）2=/，斛得r=5.

例6答圖

如答圖，連結AO,AM,則AM過點N.

'：LK//JP,：.ZANK=ZAMP,

.\—NQ=tanZANK=tanZAMPM=P—=2.

'：OI=OL-LI=3,

：.ON=IN-OI^4-3=1.

設NQ=a,則AQ=2a,OQ=a+l.

ARtAAOQ中，AO2~OQ2=AQ2,即52-(?+l)2=(2a)2,

解得的=2,“2=一苓(舍去),

：.OQ=ON+NQ=3.

\'AB//PN,PNLKL,四邊形CDE尸是矩形，

易知ED±KL,：.ER=DR.

由題意，:殳EF=b,則QR=b,ED=y]~Gb9

：

.ER=-2b.

在RtaOKE中，OR2+ER2=OE2,

2

即(3+b)2+(苧b)=52,

o

解得歷=點岳=一4(舍去)，

2

則題字區域的面積為M?助=正義電=|1V6.

變式6—1小麗在“紅色研學”活動中深受革命先烈事跡的鼓舞，用正方形紙片制作成圖1的七

巧板，設計拼成圖2的“奔跑者”形象來激勵自己已知圖1正方形紙片的邊長為4,圖2中

=2EM,則“奔跑者”兩腳之間的跨度，即AB,CD之間的距離為號.

奔

跑

者

變式6—1圖

【解析】如答圖，過點E作E/L尸K于點/,過點M作MJLWK于點J.

變灰6—1答圖

由題意得，△ABM,4EFK都是等腰直角三角形，AB—BM=2,EK=EF—2y[2,FK=4,FK

與CD之間的距離為1.

'：EI±FK,：.KI=IF,：.EI=-FK=2.

2

1\4jMF?4

易知AMFJsAEFI,EF=EM+FM=3EM,

EIEF33

力,：AB〃CD,

A.1Q

：.AB與CD之間的距離=2+-+l=—.

變式6—2[2024?江西]將圖1所示的七巧板拼成圖2所示的四邊形A8CD,連結AC,則tan/

1

CAB=-

-2-

圖1圖2

變式6—2圖

【解析】設AC與5。相交于點。

■:ZABD=ZCDB=90°,:.CD//AB.

^'：AB=CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AC與BD互相平分,

1

:.OB=-BD.

2

1

D-1

在Rt^AOB中,tanZCAB=tanZOAB=-=-.

【課后作業】

1.如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的

磚在一條直線上.這樣做應用的數學知識是（B）

A.兩點之間，線段最短

B.兩點確定一條直線

C.垂線段最短

D.三角形兩邊之和大于第三邊

2.[2024?河南]如圖，乙地在甲地的北偏東50。方向上，則N1的度數為（B）

第2題圖

A.6O0B.5O0

C.4O0D.3O0

3.[2024?雅安]如圖，直線A3,CD相交于點O,OELAB于點。，若Nl=35。，則N2的度數

是（A）

4.[2024?廣西]如圖，2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角為（C）

A.20°B.4O0

C.60°D.8O0

5.[2024?鹽城]如圖，小明將一塊直角三角尺擺放在直尺上，如圖，若Nl=55。，則N2的度數

為（B）

第5題圖

A.250B.350

C.450D.550

6.[2024?深圳]如圖，一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角Nl=50。，則

反射光線與平面鏡夾角N4的度數為（B）

第6題圖

A.40°B,50°

C.60°D,70°

【解析】?.,人射光線是平行光線，：.Zl=Z3,由反射定律得N3=N4,，N4=N1=5O。.故

選B.

7.角度互化:(1)57.18。=57°10'48"

⑵12，=。.2。或720”

8.[2023-煙臺]如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分

別相交于點A,B,C,D,其中點A,B,C,。所在刻度分別為25。，50°,130°,155。.若連結

AB,則NA4D的度數為52.52

第8題圖

9.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZB=80°.

(1)求NB4D的度數.

⑵若AE平分NA4D交3c于點E,N3CD=50。.求證:AE〃DC

第9題圖

^;(iy：AD//BC,

：.ZB+ZBAD=180°.

又「NS=80°,

：.ZBAD=100°.

(2)..NE平分N5AD,

:.ZDAE=50°.

'：AD//BC,:.ZAEB=ZDAE=50°.

又TZBCD=50°,:.ZBCD=ZAEB,

：.AE//DC.

10.[2024?達州]當光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向發生了改變，這就是光的折射現象.

如圖，Zl=80°,Z2=40°,則N3的度數為（B）

A.3O0B.40°

C.5O0D.7O0

11.[2024?德陽]如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中ZABC

=70°,則NEDC等于（B）

第11題圖

A.1O0B.2O0

C.3O0D.4O0

12.[2024.蓮都區模擬]課堂上同學們獨立完成了這樣一道問題：”如圖，已知A3〃CD,

求證:N1=N2.”

小蓮同學解答如下：

證明:?.?AB"CD,

：.Z1+ZBCD=18O°.

'JAD//BC,

/.Z2+ZBCD=180°,

/.Z1=Z2.

小蓮的證法是否正確?若正確，請在框內打“7”；若錯誤，請寫出你的證明過程.

解:小英的證法是錯誤的.

證明:A3〃CD,

：.Zl+ZBAD=18d°.

'：AD//BC,

.,.Z2+ZBAZ>=180°,

.\Z1=Z2.

13.如圖是一種躺椅及其簡化結構示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF,前支架0E與

后支架OF分別與CD相交于點G和點D,AB與DM相交于點N,ZAOE=ZBNM.

(1)求證:0E〃。跖

(2)若0E平分NAOFZODC=30°,求扶手A3與靠背DM的夾角NA7VM的度數.