專題12向量數量積及其計算綜合

題型?解讀

模塊一數量積重點題型梳理..........................................................1

【題型1】向量數量積的相關概念.................................................2

【題型2】向量數量積計算........................................................3

【題型3】向量的垂直問題........................................................5

【題型4】向量的模長............................................................6

【題型5】求向量的夾角.........................................................6

【題型6】求向量的投影向量......................................................7

【題型7】利用向量求線段長，夾角...............................................8

模塊二向量數量積中檔題...........................................................10

【題型8】極化恒等式求數量積..................................................10

【題型9】拆分向量求數量積.....................................................13

【題型10］投影法求數量積......................................................15

【題型11】與幾何圖形結合的向量問題...........................................18

【題型12］隱圓中的數量積問題.................................................18

【題型13］三角形四心的識別及歐拉線問題......................................20

【題型14］三角形四心的相關計算...............................................24

【課后訓練】.......................................................................25

題型匯編知識梳理與常考題型

模塊一數量積重點題型梳理

基礎知識」

知識點01向量的夾角

⑴定義：已知兩個非零向量a,b,0是平面上的任意一點，作OA=a,oB='則ZAOB=，叫做向

量〃與/7的夾角.

⑵向量的夾角范圍

⑶特殊情況：

①e=。，a與〃同向；

TC

②e=U，a與人垂直，記作a_LZ;;

2

@0=7i,a與b反向.

知識點02平面向量數量積的概念

(1)平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量a與0,它們的夾角為仇我們把數量|a\\b\cosd叫做向量a與人的數量積(或內

積).

記作：a-b,即a?=|a||5|cosd.

規定：零向量與任一向量的數量積為0

_a-ba-(a+b]

。與b夾角公式：cos'=廠而。與(7+6夾角公式：cos^^-pii-----A

\a\\b\而+N

模長公式：a-a=\ci\或a7a=,\a+b\=Al(a-i-b)

特別提醒：

(1)“?”是數量積的運算符號，既不能省略不寫，也不能寫成“X”；

(2)數量積的結果為數量，不再是向量；

(3)向量數量積的正負由兩個向量的夾角。決定：當夕是銳角時，數量積為正；當9是鈍角時，數量積

為負；當夕是直角時，數量積等于零.

知識點03平面向量數量積的運算律

(1)a-b=b-a；⑵==a?(砌(人為實數);(3)[a+b^-c=a-c+b-c-

(4)兩個向量°,〃的夾角為銳角Qq.》〉0且°,〃不共線；

兩個向量a,6的夾角為鈍角=a?/?<0且a,不共線.

(5)平面向量數量積運算的常用公式

^a+b^-^a-b^=a-b(a+Z?)=a+2a-b+b^^一方)=a-2a-b+b2

易錯注釋：a-b-c^a-(b-cj^a-c-b,即三個向量相乘時不能交換順序

【題型1】向量數量積的相關概念

典型例題

【例題1】以下關于兩個非零向量的數量積的敘述中，錯誤的是()

A.兩個向量同向共線，則他們的數量積是正的

B.兩個向量反向共線，則他們的數量積是負的

C.兩個向量的數量積是負的，則他們夾角為鈍角

D.兩個向量的數量積是0,則他們互相垂直

【例題2】（多選）設a,b都是非零向量，則下列命題中正確的是（）

A.若a,b的夾角為鈍角，則。為<0

B.若3-1=1+耳,則2工）

C.若a2>0，則a,6的夾角為銳角

D.若a=2b,則o+b與a—36同向

鞏固練習

【鞏固練習11下列說法正確的是（）.

A.單位向量均相等

B.向量。，8滿足.g=o,則。，。中至少有一個為零向量

c.零向量與任意向量平行

D.若向量4，6滿足同=卜|,貝!Ia=±6

【鞏固練習2】設。，人是兩個非零向量，則"°4<0"是"a與6的夾角為鈍角"的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【鞏固練習3］（多選）下列結論正確的是（）

A.對于任意向量“，都有0〃“

B.a//B且同=忖是4=6的充要條件

C.若〃％=（）,則a與8中至少有一個為0

D.兩個非零向量a與B夾角的范圍是［0,可

【題型2】向量數量積計算

典型例題

【例題1】已知等邊三角形ABC的邊長為1,則A98C=（）

—.12

【例題2】已知AABC是邊長為1的正三角形，AN=]NC,P是B/V上一點且AP=冽A3+§AC,則

APAB=（）

212

A.-B.—C.-D.1

993

【例題3】如圖，在ABC中，ZBAC=60°,AB=4,AC=2fAB-CA的值為;D是BC

A.2B.8C.-2D.-8

鞏固練習

【鞏固練習11已知向量。力在正方形網格中的位置如圖所示.若網格中每個小正方形的邊長均為1,

貝U|。|;ab=?

jrI

【鞏固練習2】如圖，在VABC中，4AC=w，AD=2D5,尸為上一點，且滿足+

若|AC|=2,|AQ=3,則AP.CD的值為.

【鞏固練習3】（2021新高考2卷）已知向量a+0+c=0,|a|=l,|0|=|c|=2,a2+0?c+c-a=

【題型3】向量的垂直問題

基礎知識

若向量Z?是非零向量，則

典型例題

【例題1】已知ei，62為單位向量，a=ei-2e2，b=2ei+ei,若Q_LZ?,則ei與該的夾角為()

A.90B.60°C.45D.30°

【例題2】(2324高一下?江蘇連云港?期中)在VABC中，若BC=a,C4=6,AB=c,且(a-Z?)_Lc,

則VABC的形狀是()

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【例題3］已知同=1,忖=3,(“+6>6=8.

(1)求的值；

⑵當上為何值時，-—萬與a+2b垂直？

【答案】⑴-1

(2)-17

【知識點】數量積的運算律、垂直關系的向量表示

【分析】(1)結合條件，按照數量積的運算律計算可得結果；

(2)利用第(1)問的結論，根據向量垂直的數量積關系計算可求出々的值.

【詳解】(1)因為同=1,忖=3,(a+b\b=?),

所以(a+6)?b=a-6+62=a-6+32=8,貝!］。力=_1.

(2)若后°-6與a+26垂直，貝U(履一6)卜+26)=0,

從而％a+2ka-b-a-b—2.b2=k—2,k+l—iS=0>解得：k=-Yl.

鞏固練習

【鞏固練習1】已知卜卜石,W=1.若(a+2b)_La,則cos(a,b)=()

A.一走B.-走C.蟲D.在

2332

【鞏固練習2】已知向量a,b滿足Wcos(a,?=-3,且6_L(2a+36),則忖=()

A.1B.2C.3D.4

【鞏固練習3］已知忖=忖=1,若儂詢，b,則向量.與/，的夾角的余弦值為.

【題型4】向量的模長

典型例題

【例題1】已知向量a，b的夾角為?，忖=1,欠=0,則愀-。卜（）

A.2B.y/5C.713D.5

【例題2】（2223高一下?貴州黔西?階段練習）若。是VA3C所在平面內一點，且滿足

OB-OC\=\OB+OC-20A|,則7ABe的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【例題3】已知向量滿足向=2,忖=1,a_L（a+X6）,a-b=-1，則,-必=（）

A.2A/2B.4C.8D.2s

鞏固練習

【鞏固練習1】已知向量a，b的夾角為|兀，且何=2g,忖=5,則|；+2力卜.

【鞏固練習2】已知向量a，6的模分別為2,1,且貝山+*.

【鞏固練習3】已知同=3,忖=5,,+,=7.

⑴求向量a與b的夾角0；

⑵當向量履+〃與a-b的模相等時，求實數左的值.

【題型5】求向量的夾角

典型例題

【例題1】若向量a,b滿足（a+6>6=7,且同=#,忖=2,則向量a與b夾角為.

【例題2】若刊a+司=6k-+2悶，則向量"b與a的夾角為（）

71712兀5兀

A.-B.-C.——D.——

6336

【例題3】

鞏固練習

【鞏固練習11已知卜卜后忖=1.若（a+2Z?）_LQ,則cos(a,b)=()

A._立B,一也C.

旦D.且

2332

【鞏固練習2）向量a,Z?滿足a=6,川=1,〃一2。=1,則向量a,Z?的夾角是

71712兀5兀

A.-B.-C.——D.——

6336

【鞏固練習3]已知a，6為單位向量，且3a-56=7,則￡與的夾角為（）

712兀兀5兀

A.-B.—C.-D.—

3366

【題型6】求向量的投影向量

基礎知識

投影向量

a-b,|-|abb

（1）向量a在匕上的投影向量：修功="「c°s",W，其中W是與匕同方向的單位向量

（2）如圖（1），在平面內任取一點0作。M=a,0N=6過點M作直線ON的垂線，垂足為M],則

OM\就是向量a在向量Z?上的投影向量.

（3）如圖（2）,設a,6是兩個非零向量，AB=a,CD=6,作如下的變換：過A6的起點A和終

點、B，分別作co所在直線的垂線，垂足分別為4,用得到A4,則稱上述變換為向量■在向量人投

影，44叫做向量°在向量b上的投影向量.

⑷向量a在Z7上的投影向量模長：可

\b\

典型例題

【例題1】已知問=1,忖=8,a與6的夾角為120,則向量6在a方向上的投影向量為（）

B.-4C.4aD.—Act

【例題2】（2324高一下?江蘇常州?期末）已知向量。和。滿足時=4,忖=2,向量々一匕在向量a上

的投影向量為則卜-同=（）

B.26

鞏固練習

【鞏固練習1】已知。是兩個非零平面向量，a±（3Z;-2?）,貝同在。方向上的投影向量為（）

D.—CL

3

【鞏固練習2】在VH3C中，。是BC邊上的一點，且滿足比＞=2CD,AD1BC則氏4在8c方

向上的投影向量是（用BC表示）

【鞏固練習3】已知向量［與的夾角為充，同=礎，設…在a上的投影向量為而，則2=（）

1133

A.-B.--C.--D.一

2222

【鞏固練習4】若令,4是兩個相互垂直的單位向量，a=2ei+e2,b=3ei+^e2,則4在》上的投影向

量為（）

,6834

2512525152

68,-八

C.g,十^弓D.6,+8/

【題型7】利用向量求線段長，夾角

典型例題

【例題1】（2324高一下?廣東深圳?階段練習）正方形A3CD的邊長為。，E是AB的中點，尸是BC

邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M,則ZDMF的余弦值為.

【例題2】（高一下?江蘇南京?期中）在平行四邊形ABCD中，已知E,尸分別是8C,CD上的點,

且滿足BE=2EC，CF=3FD,AC=2AE+//AF(2,//e7?),則力+〃的值為；若AE=2,

AF=3,ZE4F=60。，則AC的長為

【鞏固練習1】已知VABC中，ZA=—,AB=4,若點。在邊BC上，且姐=2。。，2互

33

則AC的長為.

【鞏固練習2】（2425高一上?甘肅定西）如圖，VA3C中，ZC=60°,AC>3C>6,點。，E分別

在邊AC,BC上，S.BE=AD=6,連接。E,點M是AB的中點，點N是。E的中點，則線段

的長為.

【鞏固練習3】（2324高一下?廣東茂名?期中）如圖，在平行四邊形48C。中,

BE+CE=0,DC=3DF,DE與BF相交于。.若AZ>=2,AO(3AD-2AB)=-7,則AB的長

為.

【鞏固練習4】（2324高一下?廣東韶關?期末）數學家波利亞說："為了得到一個方程，我們必須把同

一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系"這就是算兩次原理，又

稱為富比尼原理.例如：如圖甲，在VABC中，。為BC的中點，則在中，有A￡）=A3+RD，

在.ACD中，AD=AC+CD，兩式相加得，2Ao=48+①）+AC+CD因為D為BC的中點，所

以應）+CD=0，于是24￡>=AB+AC.如圖乙，在四邊形ABCD中，E,F分別為AD,BC的中點.

AD

E

D

甲乙

⑴如圖乙，請用“算兩次〃的方法證明：2EF=AB+DC;

UL1U

⑵如圖乙，若A5=1,DC=2,AB與。C的夾角為60。，求與筋的夾角的余弦值.

模塊二向量數量積中檔題

【題型8】極化恒等式求數量積

二級結論

極化恒等式求數量積

極化恒等式可以將共起點或共終點的兩個向量的數量積問題轉化為更易處理的形式

在三角形ABC中（M為BC的中點），則有：AB-AC^\AMf-\BMf

證明（基底法）：因為BC=2BM,所以AB.ACqAM+MBMAAf+McblAMfTBM?

【即學即用1】正方形ABC。的邊長是2,E是AB的中點，則EC.ED=（）

A.y/5B.3C.2A/5D.5

思路詳解：設CD中點為。點，由極化恒等式可得：EC-￡D=|￡C>|2-1|DC|2=3,故選：B.

【即學即用2】（北京?高考真題）在ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為3ABe所在平面內的動

點，且PC=1,則PA.尸3的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

思路詳解：記AB的中點為M,連接CM,則CM=3,由極化恒等式可得：

2

222

PAPB=|PM|-^|AB|=|PM|-y,|PM|max=\CM\+1=^,:.PA-PB=^PM^-^-=6

i3I|2

\PM\CM\-\=-,:.PAPB=\PM\

【例題1］如圖，AB是圓。的直徑，尸是圓弧A8上的點，M、N是直徑AB上關于。對稱的兩點,

且AB=6,MN=4,貝IJPM.PN()

AMONB

A.13B.7

【答案】C

【分析】根據向量的加法和減法法則表示PM、PN,再根據向量數量積運算公式計算，即可求出

結果.

AMONB

所以PM-PN=（PA+AM）.（PB-AM）

uuruuruuruuuruuuruuruuur

=PA-PB-PA-AM+AMPB-AM2

2

=-PAAM+AMPB-AM

=AMAB-AM2=1x6-1=5-

【例題2】（2223高一下?浙江杭州?期中）如圖，在等邊VABC中，3c=4,點P為邊BC上的一動

點，則尸4PC的最小值為（）

B.-1C.-2

【例題3】【例題4］如圖，在^ABC中，D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點用LCA=4,

BFCF=-\,則BE?CE的值是.

A

【例題5】（2324高一下?廣東佛山?期末）已知VABC是邊長為2的正三角形，點。在平面ABC內且

DADB^Q^則DTOC的最大值為，最小值為.

【例題6】如圖,邊長為2的菱形ABCD的對角線相交于點。，點P在線段3。上運動，若Ag.AO=i，

則PAPB的最小值為.

「飛鞏固練習/

【鞏固練習1】已知點C在以為直徑的圓上，點。為BC的中點，若AB=8,AC=4,則0408

的值為.

【鞏固練習2】已知平行四邊形ABCD中，A8-4O=3,點尸滿足尸4PC=4,則1

【鞏固練習3】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,若動點尸在以A3為直徑的半圓上（正方形ABCD

內部，含邊界），則尸。尸。的取值范圍為（）

C.（0,4）D.[0,4]

【鞏固練習4］已知，ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，貝。尸4（PB+PC）的最小

值是（）

34

A.—2B.—C.-D.—1

23

【鞏固練習5】在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AD=2AB=2BC=2,點尸為梯形

ABCD四條邊上的一個動點，則P4P8的取值范圍是（）

A.一；,4B.-1,2C.[-1,4]D.一：,4

【鞏固練習6】（2324高一下?廣東深圳?階段練習）已知向量°力均為單位向量，且向量2滿

足|c|=g,則（c-a〉（c-的最大值為.

【鞏固練習7】四邊形ABCD中，點E,廠分別是A8,。的中點，AB=2,CD=2^2,E尸=1,點尸滿

足PA"8=0，則尸CPD的最大值為.

【題型9】拆分向量求數量積

解題技巧

拆分向量求數量積

把夾角或模長未知的向量拆分成已知向量，若有動點則需要結合動點軌跡進行拆分，比如動點在圓

上動，則拆解相關向量時插入圓心對應的點

典型例題

JT

【例題1】（2324高一下?江蘇徐州?期中）如圖，在AABC中，ZBAC--,AD=2DB，P為CO上

4

一點，且滿足AP=mAC+；A2,若AC=3,AB=2也,則4PCD的值為（）.

【例題2】（2324高一下?江蘇徐州?期末）以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個

頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為“勒洛三角形在如圖所示的勒洛三角形中，

已知AB=2,點尸在AC上，且NP3C=45°,則（）

A

P

A.2V2-2B.2-2A/2C.4-2V2D.2V2-4

【例題3】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB!ICD,AB=4,ZDAB=60°,E為BC邊上一點，且滿

定BE=2CE,若A?AB=4，則（）

A.-4B.-8C.4D.8

【例題4】（2324高一下?廣東廣州?期末）已知。為VABC的外接圓圓心，OA=2,ZBAC=45°,則

AB0C的最大值為（）

A.2B.4C.亞D.2點

【例題5］如圖，ABC中，/C=（,AC=2,8C="+0.在，ABC所在的平面內，有一個邊

長為1的正方形史F繞點A按逆時針方向旋轉（不少于1周），則3D的取值范圍是（）

鞏固練習

【鞏固練習11已知菱形ABCD的邊長為2,/B4D=120。，點E,尸分別在邊BC、DC上,

BC=3BE,DC=WF.若=則；I的值為.

【鞏固練習2］在‘ABC中，AC=3,BC=4,C4-C8=8，則AB邊上中線CD的長為.

【鞏固練習3】如圖，在VABC中，。為43的中點，AB=4,CD=3,EP是圓心為C、半徑為1

的圓的動直徑，則BE.AF的取值范圍是（）

C.[0,8]D.[1,9]

【鞏固練習4】（2324高一下?廣東深圳?期末）已知圓。為VABC的外接圓，A=?BC=6,則

AO\AB+AC）的最大值為.

【鞏固練習5】騎自行車是一種環保又健康的運動，如圖是某一自行車的平面結構示意圖，已知圖

中的圓A（前輪），圓。（后輪）的半徑均為百，ABE,BEC,ECO均是邊長為4的等邊三角

形.設點尸為后輪上的一點，則在騎行該自行車的過程中，ACAP的最大值為.

【鞏固練習6】（2324高一下?江蘇宿遷?期末）記VABC的三個內角且AS=4,AC=6,若

。是VABC的外心，AD是角A的平分線，。在線段上，則.

【題型10］投影法求數量積

解題技巧

投影法求數量積

如圖，PAPB=PAPH

要點注釋：對于PAPBcos?,在RtAPRH中PBcos0=PH,故PA-PB=PAPH

考慮到cos。可能為鈍角，故寫成PA-PB=PA-PH

【即學即用】如圖，已知ABCD為矩形，AB^1,AD^2,AE±BD,則AB.AE=；BA-BE

-;若/W是BC中點則3".友）=;若F是0C上一動點，BCBF=

［答案］AB.AE=AB?，；BABE=BE1=-；BMBD^-BC2=2；BCBF=BC2=4

552',

歸納：在直南三角形中，斜邊所對的向量和任一直角邊所對的向量的數量積為直角邊的平方

典型例題

【例題1】已知邊長為2的正方形ABCD中，點E為AB的中點，口是2c上一動點，則AQAE=（）

A.1B.2C.3D.4

【例題2】在VABC中，已知48=4,點0是丫河（7的外心，則A（?.AB=（）

A.16B.8C.4D.-8

【例題3］如圖，已知等腰VABC中，|AB|=|AC|=3,忸。=4,點p是邊BC上的動點，則AP（A8+AC）

的值（）

A.為定值6B.不為定值，有最大值6

C.為定值10D.不為定值，有最小值10

【例題4】已知P為邊長為4的正六邊形4BC0EF內部及其邊界上的一點，則AP.AB的取值范圍

是.

【例題5】（2324高一下,江蘇連云港?期末）已知點A,B,C均位于單位圓（圓心為。，半徑為1）

上，且48=0,482（7的最大值為（）

A.-\l^2B.\/3C.+1D.>/3+1

【例題6】（2324高一下?廣東深圳?期中）如圖，在VA3C中，8。=243=4,2后分別為8。,4（7的

中點，尸為AD上一點，且滿足AF=3尸，則AF8E=.

c

鞏固練習

【鞏固練習1】已知AB兩點在圓c上運動，且A8=0,則AB.&C的值（）

A.。B.1C.72D.與點AB的具體位置有關

【鞏固練習2】（2324高一下?浙江寧波?期末）已知圓。的直徑AB把圓分成上下兩個半圓，點C,D

分別在上、下半圓上（都不與A,B點重合）若AC=2,AD=l,則ARDC=.

【鞏固練習3】已知圓O半徑為2,弦AB=2,點C為圓。上任意一點，則A8.AC的最大值是

【鞏固練習41RE分別是等邊VABC的邊A5,AC的中點，DE=1,點尸在線段DE上的移動（含端

點），則8PBe一定不可能是（）

842

A.—B.2C.-D.一

333

【鞏固練習5］如圖，ABCD是邊長2的正方形，P為半圓弧上的動點（含端點）則AbAP的取

值范圍為.

【鞏固練習6】（2324高一下?江蘇連云港?期末）在梯形A3CD中，為鈍角，且

AB=AD=2DC=2,若E為線段3。上一點，AE=BE,則8E-AC=（）

.132

A.-B.1C.—D.一

223

【鞏固練習7】已知。的半徑為1,直線以與：。相切于點A,直線尸3與。交于B,C兩點，D

為BC的中點，若|PO|=VL則PA/O的最大值為（）

A.9口1+20

22

C1+0D.2+6

【題型11］與幾何圖形結合的向量問題

典型例題

【例題11（2324高一下?廣東廣州?期末）在VABC中，已知+=則向量d

在向量CB上的投影向量為.

7T

【例題2】（2324高一下?四川?期末）設。為兩個非零向量口。的夾角，且6=自，已知對任意實數

6

小+回的最小值為2,則忖=.

【鞏固練習1】已知單位向量。，6滿足|。-萬|+2石°力=0,貝1」出+6|。€尺）的最小值為（）

A近R6c2及D及

3232

【鞏固練習2】已知”，是兩個夾角為g的單位向量，則|姑-4的最小值為（）

113G

A.-B.-C.-D.

4242

【鞏固練習3】已知向量q,b的夾角為?，叫=1,且對于任意的t?R,都,+勿以a-b|,

貝力。1=.

【題型12］隱圓中的數量積問題

解題技巧

向量中的隱圓問題

角度一、定值圓（由模長是構造圓）

記48,C為定點，若出現AP=X,AP+AC=2,AP-AB-AC=2,都可以得出隱圓

有時也會出現c-a—人=九這種形式，我們可以設q=O4，b=OB，c=OC?也能轉化成上面

第三種形式

角度二、直徑圓

圓的直徑所對的圓周角為直角，因此當兩個向量相互垂直時，可以選擇一個共同的起點，則該起點

在以兩個向量的終點構成的線段為直徑的圓上.在向量問題中，向量a,b的垂直條件體現為，

（a,b）=90a±b=O,a-b=O等.

角度三、外接圓（定邊定角）

a±Z?,<a,Z?>均為定值時，可以構造圓

在三角形中，若遇到一邊一對角問題，可以考慮構造此三角形的外接圓，從幾何的角度進行解題.同

樣的道理，在向量問題中，若兩個或三個向量可以構造出一個三角形（如a,b,ab）,且給出邊一對

角的條件，可以考慮構造外接圓模型進行解題.

角度四、四點共圓（對角互補）

圓內接四邊形的對角互補；反之，若某四邊形的對角和為180°,則該四邊形的四個頂點共圓.在向

量問題中，只需有三個向量，選取1個共同起點，加上3個終點，便可構成一個四邊形，若該四邊

形滿足上述條件，可以構造"隱圓”模型進行解題，四點共圓模型可以認為是外接圓模型的延伸.

典型例題

【例題1】平面內非零向量a,b,c,有同=3,網=4,溷=0且k一a—.=2,則同的最大值

為.

【例題2】（2223高一下?江蘇泰州?期末）已知VABC的外接圓的圓心為。，且A.,BC=2也,

則ORAC的最大值為（）

3

A.-B.y/3C.2D.3

【例題3］（2324高一下?江蘇常州?期中）在平面凸四邊形A5CD中，已知3c=2,AC=\,AB1AC,

ZADC=150°,則的最小值為（）

A.--V3B.--A/3C.—BD.

2222

【例題4】（廣州市五校（省實、執信、廣雅、二中、六中）期末聯考）已知平面向量a,b，e，且卜|=1,

W=2.已知向量與e所成的角為60。，且|6-回20對任意實數r恒成立，則卜+的最

小值為（）

A.73+1B.273C.73+75D.26

鞏固練習

TT

【鞏固練習1】（2324高一下?廣東汕尾?期末）已知在VABC中，AC=4^,〃=飛,則ARAC的

最大值為.

【鞏固練習2】已知是單位向量，〃.匕=0.若向量c滿足||=1,則Icl的最大值是.

【鞏固練習3】已知是單位向量，〃力=0.若向量c滿足,則Icl的最大值是.

【鞏固練習4】設向量a,b,c滿足同=忖=1,同似=—%,〈a—c,Z?—c）=6O°,則|c|的最大

值等于.

【鞏固練習5】已知平面內非零向量a也c,滿足卜|=2,欠=3,..3=3,若c?—28-c+8=0，

則\c-a\的取值范圍是.

【鞏固練習6】已知a,。,c都是平面中的單位向量，且°電=0,則|2c-4+；c-6的最小

值是.

【題型13］三角形四心的識別及歐拉線問題

基礎知識

三角形四心的的向量性質

1.若O為△ABC重心（三條中線的交點）

：：

（1）SABOCS^COASAAOB=1：1：1

（2）OA+OB+OC=0；

（3）動點P滿足OP=OA+X（AB+AC）,Xe（0,+8）,則p的軌跡一定通過ABC的重心

ABAC

⑷動點P滿足OP=OA+2?~?------+|~?-------,2e（O,+e）,則動點p的軌跡一定通過

|AB|sinB|AC|sinC^

ABC的重心

⑸重心坐標為］+；+%,力+「4

2.若0為^ABC垂心（三條高的交點）

A

(1)OAOB=OBOC=OCOA

(2)|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|oc|2+|AB|2

ABAC

⑶動點P滿足OP=OA+X?_?------+|~?--------,4?(0,+“)，則動點「的軌跡一定通過

jABjcosB|AC|cosC^

ABC的垂心

3.若O為AABC內心（三條角平分線的交點）

(1)SBOC-S.COA：SAOB=a'.b'.c

(^a-OA+bOB+c-OC=0

ABC的內心

(4)(9A-

4.若。為aABC外心（三條中垂線的交點）

WOA2=OB2=OC2；

ccOB+OC,ABACc小、

(2)動點P滿足。尸=——-——+2?-i-------+i——i----------,Xw(O,+。),則動點尸的軌

2|AB|cosB|AC|cosC

跡一定通過ABC的外心；

(3)若(0A+OB>AB=(OB+OC^BC=(OA+OC)?AC=0,則o是ABC的外心.

典型例題

【例題1】已知點P是AABC所在平面內點，有下列四個等式：

甲：PA+PB+PC=0；乙：PA（PA-PB）=PC（PA-PB）；

丙：|PA|=|PB|=pq；T：PAPB=PBPC=PCPA.

如果只有一個等式不成立，則該等式為（）

A.甲B.乙C.丙D.T

/、

ADAC

【例題2】點P為VABC所在平面內的動點，滿足”=/「——+,一,——,re（O,4w）,則點

|AB|cosB|AC|cosC^

P的軌跡通過VABC的（）

A.外心B.重心C.垂心D.內心

【例題3】已知。，N,P,/在-ASC所在的平面內，則下列說法不正確的是（）

A.若"4=|Oq=|OC|,則O是,ABC的外心

B.^CBIA=ACIB^BAIC=O,貝1J/是ABC的內心

C.若PA-PB=PB-