專題03三角函數實際應用（四大類型）

觀型捏的

【題型1解直角三角形的應用】

【題型2解直角三角形的應用一坡度坡角】

【題型3解直角三角形的應用一仰角俯角問題】

【題型4解直角三角形應用一方向角問題】

【題型1解直角三角形的應用】

1.如圖，某小區的一塊草坪旁邊有一條直角小路，社區為了方便群眾進行核酸采集，沿/C

修了一條近路，已知N3=80米，新修小路與48的夾角/C4B為40。，則走這條近路/C的

長可以表示為（）米.

QQ80

A.80sin40°B.80cos40°C.----------D.---------

sin40°cos40°

2.2022年12月4日晚，神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，標志著我國空間站運營常

態化，也意味著我國是當今世界上唯一擁有獨立建設空間站能力的國家，也預示著中國載人

航天再上新的臺階，如圖是神舟十四號載人飛船返回艙在降落過程中某時刻的畫面，若傘繩

OA=OB=50^,ZABO=a,則點。到A8的距離OC為。

50、“

C.50tana米D.--米

sma

3.如圖，在天定山滑雪場滑雪，需從山腳下A處乘纜車上山頂3處，纜車索道與水平線所

成的若山的高度5C=800米，則纜車索道45的長為（）

米米"米800米

A.800sinaB.800cosaC.3D.

smacosa

4.如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的卡鉗，ZArOBr=56Q,

44'=85'=20厘米,則內槽寬48的長為（）

一2020

A.2即28。厘米B.百厘米C2。網28。厘米D.百厘米

5.一個住宅區的配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，則配電房房頂離地面的高

度為（）

1O1o

A.(1.8tana+2.5)mB.(—:—+2.5)mC.(1.8sina+2.5)mD.(—+2.5)m

tanasina

6.如圖，。為“3C邊AS上一點，且8D=2,AD=\,AA=45°,ZCDB=60°,CE1AB

于點￡,則線段BE的長為（）

A.46B.82C.3D.V3+1

22

7.如圖，大樹48垂直于地面，為測樹高，小明在。處測得乙4。3=30。，他沿3C方向走

了16米，到達C處，測得NACB=15°,則大樹的高度為（）

C.10米D.20米

8.如圖，某超市電梯的截面圖中，48的長為15米，48與4c的夾角為a,則高3。是（）

B.15cos。米

C.旦米15、，,

D.-------米

smacosa

9.在山坡上植樹，要求兩棵樹間的坡面距離是3,測得斜坡的傾斜角為27。，則斜坡上相鄰

兩棵樹的水平距離是（)

3

A.3sin27°B.3cos27°C.-------rD.3tan27°

sin27

10.如圖，一棵大樹被臺風攔腰刮斷，樹根/到刮斷點尸的長度是4m,折斷部分尸8與地

面成40。的夾角，那么原來樹的長度是（）.

44

A.4H----------r米B.4H---------r米C.4+4sin40。米D.4+4c。心0°米

cos40sm40

【題型2解直角三角形的應用一坡度坡角】

11.如圖，一名滑雪運動員沿著傾斜角為30。的斜坡，從/滑行至2,已知NB=100m,則

這名滑雪運動員的高度下降了米.

12.如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡48的水平寬度為12米，斜面坡度為1:2,則斜坡的

長為米.

13.如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2,AC=3石米，坡頂有一旗桿BC,

旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連，若AB=10米，則旗桿BC的高度為.

14.如圖，長500米的水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m,壩高4gm，斜坡48的坡比

4=1:2,斜坡的坡比z；=1:3,

(1)求壩底寬/。的長

(2)修筑這個堤壩需要土方多少立方米？

15.為增強體質，小明和小強相約周末去登山，小明同學從北坡山腳C處出發，小強同學

同時從南坡山腳B處出發，如圖所示.已知小山北坡長為240米，坡度z=l：G，南坡的坡

腳是45。.(出發點8和C在同一水平高度，將山路43、4C看成線段)

(1)求小山南坡48的長;

⑵如果小明以每分鐘24米的速度攀登，小強若要和小明同時到達山頂4求小強攀登的速

度.(結果保留根號)

16.如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖.為了提高傳送過程的安全性.工人師傅欲減少傳

送帶與地面的夾角，使其由31。改為22。，已知原傳送帶長為5米.（參考數據：

⑴求新傳送帶NC的長度;

（2）如果需要在貨物著地點C的正前方留出1米的通道，試判斷距離B點3米的貨物0P

是否需要挪走.并說明理由.

17.周末爬大蜀山，是合肥市民周末娛樂休閑、鍛煉身體的方式之一.如圖，某個周末小張

同學從大蜀山西坡沿坡角為37。的山坡爬了280米，到達點￡處，緊接著沿坡角為45。的山

坡又爬了160米，到達山頂A處；請你計算大蜀山的高度.（結果精確到個位，參考數據：

V2?1.414,V3?1.732,sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan37°?0.75.）

18.速滑運動受到許多年輕人的喜愛，如圖，四邊形3CDG是某速滑場館建造的滑臺，已

知CD〃EG,滑臺的高DG為6米，且坡面的坡度為1:1,為了提高安全性，決定降低

343

坡度，改造后的新坡面的坡度NC/G=37。.（參考數據：sin37°?-,cos37°?-,tan37°?-）

554

G

(1)求新坡面/c的長;

(2)原坡面底部3G的正前方10米處(￡8=10米)是護墻E尸，為保證安全，體育管理部門

規定，坡面底部至少距護墻7米，請問新的設計方案是否符合規定，試說明理由.

(2023?興安盟模擬)

19.圖1、圖2別是一名滑雪運動員在滑雪過程中某一時刻的實物圖與示意圖，已知運動員

的小腿與斜坡43垂直，大腿E尸與斜坡平行，G為頭部，假設G、E、D三點共線

且頭部到斜坡的距離GD為1.04m,上身與大腿夾角/GEE=53。，膝蓋與滑雪板后端的距離

EN長為0.8m,NEMD=30°.

(1)求此滑雪運動員的小腿助的長度;

434

(2)求此運動員的身高.(參考數據：sin53°?y,cos53°?-,tan53°?j

(2023春?金華月考)

20.如圖，在河流兩邊有甲、乙兩座山，現在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線.已知甲

山上A點到河邊C的距離/C=130米，點A到CD的垂直高度為120米；乙山8。的坡比為

4:3,乙山上3點到河邊。的距離助=450米，從B處看A處的俯角為25。(參考值：

sin25°a0.423，cos25°?0.906，tan25°?0.466)

(1)求乙山3處到河邊CD的垂直距離;

（2）求河CD的寬度.（結果保留整數）

【題型3解直角三角形的應用一仰角俯角問題】

（2023?杏花嶺區校級模擬）

21.如圖，從熱氣球。上測得兩建筑物/、8底部的俯角分別為29.5。和45。，如果這時氣球

的高度CA為100米，則建筑物48之間的距離為（結果精確到1米）.[參考數據：

sin29.5°~0.49,cos29.5°~0.87,tan29.5°~0.57]

（2023?岱岳區二模）

22.如圖，山頂上有一個信號塔NC,已知山高8=75米，在山腳下點3處測得塔底C的

仰角/C8O=36.9。，塔頂/的仰角人乙48。=42.0。，則山信號塔ZC=（點C,

。在同一條豎直線上）.（參考數據：tan36.9°?0.75,sin36.9°?0.60,tan42.0°?0.90.）

（2023?荊州）

23.如圖，無人機在空中A處測得某校旗桿頂部3的仰角為30。，底部C的俯角為60。，無人

機與旗桿的水平距離為6m,則該校的旗桿高約為m.（V3?1.73,結果精

確到0.1）

（2023?黃石港區校級模擬）

24.如圖，一幢居民樓MN臨近斜坡/尸，斜坡/P的坡度為i=l:若，小生在距斜坡坡腳/

處測得樓頂M的仰角為60。，當從/處沿坡面行走16米到達P處時，測得樓頂”的仰角剛

好為45。，點N、/、8在同一直線上，則該居民樓的高度為（結果保留根號）.

（2023?團風縣模擬）

25.如圖，一枚巡航導彈發射一段時間后，平行于地面飛行.當導彈到達A點時，從位于地

面C的雷達站測得ZC是400vlm，仰角是45。，Is后導彈到達3點，此時測得仰角是30。，

則這枚導彈從A到B的平均速度是m/s.

C

（2023?寶安區校級一模）

26.全球最大的關公塑像矗立在荊州古城東門外.如圖，張三同學在東門城墻上C處測得

塑像底部3處的俯角為11°48',測得塑像頂部/處的仰角為45。，點。在觀測點C正下方

城墻底的地面上，若CD=10米，則此塑像的高約為一米（參考數據：tan78012%4.8）.

A

___45：X

-Cr

BD

（2023?河西區校級三模）

27.如圖所示，用測角儀測量遠處建筑物的高度已知測角儀的高度為1.6米，在水平

線九0＞上點M處測得建筑物最高點”的仰角為22。，沿MD方向前進24米，達到點N處,

測得點/的仰角為45。，求建筑物的高度（結果精確到0.1米，參考數據：sin22°?0.37,

cos22°?0.93,tan22°?0.40,&a；1.41)

A

-o'

（2023?芙蓉區校級三模）

28.長沙電視塔位于岳麓山頂峰，其功能集廣播電視信號發射與旅游觀光于一身.某校數學

社團的同學對長沙電視塔的高度進行了測量，如圖，他們在/處仰望塔頂，測得仰角為30。，

再往塔的方向前進104nl至2處，測得仰角為60。.（參考數據：百~1,7）

D

B

(1)求證：AB=DB；

（2）若學生的身高忽略不計，求該塔CD的高度？（結果精確到1m）

（2023?本溪二模）

29.某中學數學實踐小組準備測量山頂信號塔N8的高度，如圖，坡角/BCE的度數為45。，

山坡的海拔高度BE為200米，斜坡CP的坡度為1:2（即tana='）,沿斜從點C向上走100

2

米到P點處，在點P處測得塔尖/的仰角為37。，點/、B、E、C、尸在同一平面內，求塔

高4B（結果保留整數，參考數據：sin37°=0.60，cos37°=0.80,tan37°=0.75,6=2.236）.

【題型4解直角三角形應用一方向角問題】

（2023?寧南縣校級模擬）

30.一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔45海里的A處，它沿北偏東30。方向

航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東67。方向上的3處，此時與燈塔P的距離約為（）

343

（參考數據：sin37°?—,cos37°?—,tan37°?—）

554

北

A.27海里B.50海里C.75海里D.156海里

（2023春?大冶市期中）

31.如圖是某區域的平面示意圖，碼頭/在觀測站3的正東方向，碼頭/的北偏西60。方向

上有一小島C,小島C在觀測站8的北偏西15。方向上，碼頭/到小島C的距離/C為（G+1）

海里.觀測站8到NC的距離3P是（）

V3+1

C.2D.

2

（2023?柳南區二模）

32.如圖，某海防哨所。發現在它的西北方向距離哨所400e米的A處有一艘船向正東方

向航行，航行一段時間后到達哨所北偏東60°方向的B處，則此時OB為米.

（2023?龍鳳區校級模擬）

33.如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60。方向，與燈塔尸的距離為30海里的/處，輪

船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30。方向上的B處，則此時輪船所

在位置B處與燈塔P之間的距離為.

（2022秋?叢臺區校級期末）

34.在一次海上救援中，兩艘專業救助船A、8同時收到某事故漁船P的求救訊息，已知此

時救助船3在A的正北方向，事故漁船尸在救助船A的北偏西30。方向上，在救助船B的西

南方向上，且事故漁船尸與救助船A相距60海里.

（1）求收到求救訊息時事故漁船尸與救助船B之間的距離（結果保留根號）；

（2）求救助船A、B分別以20海里/小時，15海里/小時的速度同時出發，勻速直線前往事故

漁船尸處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達.

（2023?邵陽模擬）

35.如圖，某湖心島上有一亭子A,在亭子A的正東方向上的湖邊有一棵樹8,在這個湖心

島的湖邊C處測得亭子A在北偏西45。方向上，測得樹3在北偏東36。方向上，又測得3、C

之間的距離等于200米，求樹到亭子的距離（結果精確到1米）.（參考數據：0‘1.414,

sin36°?0.588,cos36°?0.809,tan36°?0.727,cot36°?1.376）

（2023?東明縣三模）

36.某海域有一小島尸，在以P為圓心，半徑r為1。（3+6）海里的圓形海域內有暗礁.一

海監船自西向東航行，它在/處測得小島尸位于北偏東60。的方向上，當海監船行駛20店海

里后到達3處，此時觀測小島P位于B處北偏東45。方向上.

北小島

北

海監曹//乙——東

(1)求4、尸之間的距離4P；

(2)若海監船由B處繼續向東航行是否有觸礁危險？請說明理由.

(2023?鶴峰縣一模)

37.某段筆直的限速公路上，規定汽車的最高行駛速度不能超過60的即三m/s),交通管

理部門在離該公路100加處設置了一速度檢測點4在如圖所示的坐標系中，/位于y軸上,

測速路段3C在x軸上，點8在/的北偏西60。方向上，點C在點/的北偏東45。方向上.

(1)在圖中直接標出表示60。和45。的角；

⑵寫出點8、點C坐標；

(3)一輛汽車從點8勻速行駛到點C所用時間為15s.請你通過計算，判斷該汽車在這段限

速路上是否超速？(本小問中行取1.7)

Mv/m

B_________Cr

■^7、O/7~x/m

、、、z

4(0,-100)

(2022?烏蘭浩特市模擬)

38.如圖，正在執行巡航任務的海監船以每小時40海里的速度向正東方航行，在/處測得

燈塔P在北偏東60。方向上，繼續航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東30。方向

上.

⑴求的度數；

(2)己知在燈塔尸的周圍20海里內有暗礁，問海監船繼續向正東方向航行是否安全?

參考答案:

1.D

【分析】根據銳角三角函數的定義求解即可.

【詳解】解：由題意，在必“3C中，45=80米，ACAB=40°,AABC=90°,

：.cos40。=——,

AC

：./C=80米,

cos40°

故選：D.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，理解銳角三角函數的定義是解答的關鍵.

2.A

【分析】此題考查的是解直角三角形的應用、等腰三角形的性質，掌握正弦函數公式是解決

此題的關鍵.直接利用正弦函數進行解答即可.

【詳解】解：：GM=OB=50米，ZABO=a,OCLAB,

oc

sma=----,

OB

OC=OB-sincr=50sina（米），

即點O到AB的距離。。為50sina米.

故選：A.

3.C

【分析】利用直角三角形的邊角關系定理列出關系式即可得出結論.

【詳解】解：在Rt“BC中，

vZACB=90°fABAC=a,

sinasina

故選：c.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，利用直角三角形的邊角關系列出關系式是解

題的關鍵.

4.A

【分析】根據等腰三角形的性質得到=20=10（厘米），ZAOB=ZA'OB'=56°,過

點。作于。，解直角三角形即可得到結論.

【詳解】解：?.?44'=B9=20厘米，點。是兩根鋼條的中點，

.-.0^=05=1x20=10（厘米），

ZA'OB'=56°,

ZAOB=NA'OB'=56°,

過點。作于。，

AB=2AD,ZAOD=-ZAOB=28°,

2

AD=OA-sin28°=10sin280,

內槽寬48的長為20sin28。厘米,

故選：A.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等腰三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的

關鍵.

5.A

【分析】過點C作CD，48于點。，根據軸對稱可知，/C=BC,根據等腰三角形的性質

得出AD=8D=gN8=1.8(m),利用三角函數求出CD=1.8tana,最后表示出配電房房頂

離地面的高度即可.

【詳解】解：過點C作CDLZ3于點D,如圖所示:

根據圖形可知,45=3+2x0.3=3.6,

根據軸對稱可知，AC=BC,

AD=BD=^AB=l.8(m),

???/CAD=a,

CDCD

tana

~ADTF

CD=1.8tana,

，配電房房頂離地面的高度為(L8tana+2.5)m,故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義，求出

CD=1.8tana.

6.C

【分析】設=則DE=2-x,AE=AD+DE=\+?.-x=3-x,根據等腰三角形的判定

I-3—x

得出CE=/E=3-x,根據三角函數得出6=:三，求出x的值即可.

2-x

【詳解】解：沒BE=x,則。E=2—x,AE=AD+DE=1+2-x=3-x,

丁CE1AB,

：.ZAEC=90°,

???N4=45°,

???乙4。￡=90。—45。=45。，

/.NACE=ZA,

：.CE=AE=3—x,

CE

*.*tan/CDE=,

DE

3—x

???tan60°=——,

2-x

即回m，

2—x

解得：尤=三8,故c正確.

2

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形內角和定理，三角函數的應用，解題的

關鍵是根據三角函數列出方程，準確解方程.

7.B

【分析】根據403=30。，4c8=15°即可得到/白。=//。。=15。，再根據直角三角形

中30。角所對直角邊等于斜邊一半即可得到答案；

【詳解】解：■:ZADB=30。,4cB=15。，

/CAD=ZACD=15°,

DC=16米,

ZD=16米,

'：ZADB=30°,/B垂直于地面，

/8=1AD=8米，

2

故選B.

【點睛】本題考查等腰三角形性質，三角形內外角關系及直角三角形中30。角所對直角邊等

于斜邊一半，解題的關鍵是得到等腰三角形.

8.A

【分析】直接根據//的正弦即可得到結論.

【詳解】解：在Rt?48c中，sina=,

AB

AB的長為15米，

BC=15sin?米，

故選：A.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握正弦的定義是解本題的關鍵.

9.B

【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握坡角的概念、熟記銳角三角函數的定義是

解題的關鍵；

根據坡角的定義、余弦的概念列式計算即可；

【詳解】解：如圖，過點A作4818c于B,

：.NABC=90°,cosNBAC=—,

AC

?.,4C=3,/A4C=27。，

AB=ACcosABAC=3cos27°；

故選：B.

10.B

【分析】原來樹的長度是CPB+PA）的長.已知了我的值，可在放△處臺中，根據NPA4

的度數，通過解直角三角形求出網的長.

【詳解】解：中,NPB4=40°,X4=4；

4

PB=7^4^-sin40°=------r;

sin40

4

???P4+尸5=4+1——7.

sin40

故選：B.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，能夠熟練運用三角形的邊角關系進行求

解是解題的關鍵.

11.50

【分析】過點/作于點。，根據直角三角形的性質，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點4作4OLAD于點

A

根據題意得：N8=30。，

'：AD±BD,43=100m,

AD=g/8=50米，

即這名滑雪運動員的高度下降了50米.

故答案為：50.

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形中，30。角所對的直角邊

等于斜邊的一半是解題的關鍵.

12.675

【分析】先根據坡度的定義得出8E的長，進而利用勾股定理得出的長.

1

【詳解】在RtZUBC中，,；，=——=一，/C=12米，

AC2

：.BC=6米，

根據勾股定理得：ABZACLBCZ=6亞米,

故答案為：6A/5

【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題，勾股定理，難度適中.根據坡度

的定義求出BC的長是解題的關鍵.

13.5米

【分析】試題分析：設CD=x,則AD=2x,根據勾股定理求出AC的長，從而求出CD、AC

的長，然后根據勾股定理求出BD的長，即可求出BC的長.

【詳解】設CD=x,貝!|AD=2x,

由勾股定理可得，AC=J/+（2X）2=后,

：AC=3右米，

:.V5X=3y/5，

x=3（米），

.*.CD=3米，

；.AD=2x3=6米，

在RtZ\ABD中，BD=7102-62=8（米），

ABC=8-3=5（米）.

故答案為5米.

14.（1）^0=3+2073

（2）600073+60000（立方米）

【分析】（1）根據題意可得：BE1AD,CFLAD,BE=CF=46m，BC=EF=3m,

然后根據已知易得/E=86m,。尸=12晶從而利用線段的和差關系，進行計算即可解答;

（2）先求出梯形/BCD的面積，然后再求出修筑這個堤壩需要的土方，即可解答.

【詳解】（1）解：由題意可得：BE±AD,CFLAD,BE=CF=4也,mBC=EF=3m,

?斜坡48的坡比4=1：2,斜坡CD的坡比=1：3.

,BE_1CF_1

-2'DF-3"

AE=2BE=^[3m,DF=3CF=V2@m,

:.AD=AE+EF+DF=873+3+1273[20>/3+3)m,

；?壩底寬AD的長為(2073+3)m；

(2)vSC=3m,AD=(2(x/J+3)m,BE=4#)m,

：.梯形ABCD的面積=+BC).BE=1x(20V3+3+3)x=(120+12V3)m2,

...修筑這個堤壩需要土方=500x(120+126)=(60000+6000/3)小，

...修筑這個堤壩需要土方(60000+60006)m3立方米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用：坡度坡角問題，準確熟練地進行計算是解題的關

鍵.

15.(1)1200米

(2)12&米

【分析】(1)過/作4D/BC,垂足為。，在朋A/CD中，先求出/C的度數，然后利用

含30。角的直角三角形的性質可得/。=120米，在中，利用銳角三角函數的定義求

出的長，即可解答；

(2)利用(1)的結論，根據路程，速度，時間之間的關系，列方程計算即可.

【詳解】(1)解：如下圖，過/作/D/8C,垂足為D,

在比中,

i=tanC=1:6，

/.ZC=30°,

.「AD

?「sinC=-----,

AC

AD=ACxsinC=240x-=120（米），

2

在比皿中，

,nAD

smB=---,

AB

An

AB=---------=120夜（米）

sin45°

「?小山南坡45的長為120Vl米；

（2）設小強登山的速度為x米/分，根據題意，得：2"=電1,

24x

解得：x=12后，

小強登山的速度為12亞米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用一坡度坡角問題，分式方程，根據題目的已知條件

并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

16.⑴黑米;

（2）距離B點3米的貨物"N0尸需要挪走，理由見解析.

【分析】(1)過/作于〃點，先求出,進而在RtA/S,求出/C即可;

(2)先求出8H,然后求出CH,然后判斷。尸與1的關系即可.

【詳解】(1)解：過/作NHLCS于〃點，如圖所示，

在Rtz\48//,AH=^SxsinSl0?5x一=一米,

255

在RtA/CH,NC=/〃+sin22aUx?=吧米;

5315

(2)解：需要挪走，理由如下：

,13313,

在RtA4BH，BH=AH+tan31°?——=—米，

553

13213513

在Rt^ACH，CH=AH+tan22°?—；—=—x—=—米，

55522

13135

貝UCP=P3+8〃-C〃=3+--------=y1米，

326

所以距離B點3米的貨物"N0尸需要挪走.

【點睛】本題考查了坡度坡角問題，盡管題型千變萬化，但關鍵是設法化歸為解直角三角形

問題，必要時應添加輔助線，構造出直角三角形.在兩個直角三角形有公共直角邊時，先求

出公共邊的長是解答此類題的基本思路.

17.281米

【分析】過點A作4D13C于。，過點E作E尸1/。于尸，EG_L3C于G,根據正弦的定

義可以分別求出AF和EG的長，然后結合矩形的對邊相等即可得到答案.

【詳解】解：過點A作/D/8C于。，過點E作所工4。于尸，￡6,8。于6,則四邊形

EG。月為矩形,

/.EG=FD,

AF

在RM/E5中，sinZAEF=——，

AE

則4F=4E-sin/AE^=160x80/1113.12（米），

2

EG

在Rt^EBG中，sinJ?=----,

BE

則EG=5E-sin5-280x0.6=168（米），

:.AD=AF+EG^U3.12+168^281.12?281（米），

答：大蜀山的高度約為281米.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用中的坡度坡角問題，將坡度坡角與三角函數的定

義結合并熟練掌握銳角三角函數的計算是解題的關鍵.

18.（1）新坡面/C的長10米

（2）此次改造符合規定，理由見詳解

【分析】（1）過C點作S,3G于〃點，證明四邊形CDG"是矩形，即有CH=OG=6,

CH

根據/C=—=10,即可作答;

sinZCAGsin37°

（2）根據坡面8c的坡度為1:1,可得CH=BH=6,利用勾股定理/?=/石二杯=8，

即有/5=///-58=8-6=2,即可得/￡=EB—A8=10-2=8,問題隨之得解.

【詳解】（1）過C點作CHLBG于〃點，如圖,

根據題意有：DGLBG,DG=6,

'：CD//EG,CH1BG,

.??四邊形czx汨是矩形，

...CH=DG=6,

CH

?.?新坡面的坡度/C/G=37。，sinZG4G=—

/iC/

：.AC=———=^^=10（米），

sinZCAGsin37°

答：新坡面4C的長10米；

（2）此次改造符合規定，理由如下：

???坡面8C的坡度為1:1,

CH=BH=6,

,：AC=10fCH=6,

?*-AH=4AC1-CH1=8，

：.AB=AH-BH=S-6=2,

9：EB=10,

：.AE=EB-AB=10-2=S（米），

?「AE=8>7,

???此次改造符合規定.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，明確題意，理解坡度的含義是解答本題的關鍵.

19.(l)0.4m

(2)1.68m

DEDE1

【分析】（1）在中，EM=0.8,AEMD=30°,sin30°=——=—=一，即可得

EM0.82

出DE；

GE0644

（2）由（1）得，ED=0.4m,則GE=0.64m,在RbGE尸中，tan53°=—=^~-,

EFEF3

GE0644

sin53°=—=^~解得G尸=0.8m,EF=0.48m,根據運動員的身高為GF+EF+DE

FGFG5

可得出答案.

【詳解】（1）解：在RtZsEDM中，NEDM=90°,EM=0.8,AEMD=30°,

s3=需DE]_

0.82

：.ED=0A.

故滑雪運動員的小腿ED的長度為0.4m；

（2）由（1）得，ED=0.4m,工GE=GO—EQ=1.04—0.4=0.64m.

EF//AB,：./GEF=NEDB=90°.

在RMGEb中，/G￡尸=90。，ZGFE=53°,GE=0.64m.

AsmZGFE=—f即：sin53°=^?-,

GFGF5

tan/GFE=處,即：tan53°=^?-,

EFEF3

解得G月=0.8m,EF=0.48m,

.?.運動員的身高為GF+M+ED70.8+0.48+0.4=1.68(m)

【點睛】本題考查解直角三角形的應用一坡度坡角問題，掌握銳角三角函數的定義是解答

本題的關鍵.

20.(1)360米

(2)195米

【分析】(1)過8作8尸，CD于點尸，由坡度的概念和勾股定理即可得出結論；

(2)過/作/￡_LCD于點E,過/作尸于點H則四邊形/瓦7H為矩形，得

/7F=/E=120米，AH=EF,由銳角三角函數定義求出4H■的長，再由勾股定理求出CE的

長，即可解決問題.

【詳解】(1)解：如圖，過3作3尸，CD于點尸，

;乙山5。的坡比為4:3,

.BF4

??——9

DF3

設5尸二小米，貝方=3,米,

?*-BD=y/BF2+DF2=5t(米)，

又助=450米,

5t=450,

???%=90,

3尸=360米,

答：乙山8處到河邊的垂直距離為360米；

(2)解：過/作/E_LCD于點￡,過/作尸于點氏則四邊形4EFH為矩形,

“尸=4E=120米，AH=EF,

BE=B尸-HF=360-120=240（米）,

,/從2處看/處的俯角為25。，

ABAH=25°,

BH

在RtAABH中，tanNBAH=——

AH

?"=^35（米）,

AEF=AH?515（米）,

在Rt^/CE中，由勾股定理得：CE=y/AC2-AE2=V1302-1202=50（米），

由(1)可知，。尸=270米,

CD=EF-CE-DF=515-50-270=195（:米）,

答：河的寬度約為195米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用一坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數定義和勾

股定理，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

21.275米

【分析】根據平行線性質得出/C45=NEG4=29.5。，NB=/FCB=45°,根據CDLAB,CD=100

米，利用三角函數tam4=g=粵》0.57,等腰直角三角形性質得出BD=CD=100米，然

ADAD

后利用線段和差求即即可.

【詳解】解：；EF〃曲

：.ZCAB=ZECA=29.5°,ZB=ZFCB=45°,

\'CD±AB,CD=100米，

.CD100…-…田

..taib4=-------------?0.57,5Z)=CZ)=100米，

ADAD

?,八100^25

0.5757

AB=AD+BD-175+100=275米.

故答案為275米.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，俯角，平行線性質，銳角三角函數，等腰直角三角

形性質，線段和差，掌握解直角三角形的應用，俯角，平行線性質，銳角三角函數，等腰直

角三角形性質，線段和差是解題關鍵.

22.15米

DC一

【分析】在RbBCZ)中，利用tan/CAD=-----,求出5。的長，再在Rt△皮14中，利用

BD

AJJ

tanAABD=——,求出4D的長，利用即可得解.

BD

【詳解】解：由圖可知：AD1BD,

DC75

在Rtz^CZ）中，tan/CBD=—,即：——?0.75,

BDBD

：.ADb100米；

在中，tanZ.ABD=,即：20.90,

BD100

J4。a90米,

AC=AD-CD=\5^z,

故答案為：15米.

【點睛】本題考查解直角三角形.熟練掌握銳角三角函數的定義，是解題的關鍵.

469

23.13.8##13-##—

513

【分析】解直角三角形，求得5。和CD的長，即可解答.

【詳解】解：根據題意可得，

在RGADB中，—=tan30°=—,

AD3

:.BD=—AD,

3

在Rtz\4DC中，......-tan60°—,

AD

CDAD，

BC=BD+CD=—AD+y/3AD=巫N。213.8m,

33

故答案為：13.8.

【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的邊長

特征，熟練解直角三角形是解題的關鍵.

24.（16用24）米##僅4+166）米

【分析】過點尸作尸于點E,PFLMN于點、F.由斜坡4P的坡度為i=1:。，可得

出NP4￡=30。，結合題意即可得出尸E=8米，AE=AP-cosZPAE=8TH：.由所作輔助線

結合題意可知四邊形E/WN為矩形，得出NF=EP,NE=PF.又易證是等腰直角

三角形，即可設尸尸=敏=加米，則MV=（加+8）米，乂4=（〃-8石）米.最后在Rt-4跖V中，

根據正切的定義可列出關于，〃的等式，解出機的值，即可求出MV的長.

【詳解】解：如圖，過點尸作尸于點PF1MN于點、F,

???山坡4尸的坡度為，=1：百=@,4P=16米，

3

NPAE=30°.

?：PE1BN,

1C

???尸￡=54尸=8米，AE=AP.cosZPAE=16x三=8百米.

*：PFLMN,ZMPF=45°,

???4PMF是等腰直角三角形，

???PF=MF.

由所作輔助線結合題意可知四邊形瓦小N為矩形，

：.NF=EP,NE=PF,

設尸尸二〃/7=加米，則MN=O+8)米，NA=(m-8C)米.

???在RQ/MV中，ZNAM=60°,

MNrr/Tm+8

AtanZA^M=tan60°=——，即J3=--------尸,

ANm-8V3

解得：m=16(\/3+1),

.-.ACV=16(V3+1)+8=(1675+米.

即該居民樓的高度為（16百+24）米,

故答案為：（16百+24）米.

【點睛】本題主要考查解直角三角形的實際應用.正確連接輔助線構造直角三角形是解題的

關鍵.

25.（40073-400）

【分析】過點C作。，N8于點D,根據題意可得/。。4=45。，ZDCB=60。,在RtA4CD

中，根據銳角三角函數求出的長，在RMBCD中，根據銳角三角函數求出。B的長,

從而得到NB=5。-，代入計算即可

【詳解】過點C作CD，AB于點D,

由題意得：

48=90。—45。=45。，ZSCZ)=90°-30°=60°,

/y

???在中，AD=ACsinZACD=40072xsin45°=40072x—=400(m)

2

CD=AC?cosZACD=400亞xcos45°=40072x—=400(m