河南省新鄉、許昌、平頂山2025屆高三4月質量檢查數學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．據國家統計局發布的數據，2019年11月全國CPI（居民消費價格指數），同比上漲4.5%，CPI上漲的主要因素是豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個百分點．下圖是2019年11月CPI一籃子商品權重，根據該圖，下列結論錯誤的是（）A．CPI一籃子商品中所占權重最大的是居住B．CPI一籃子商品中吃穿住所占權重超過50%C．豬肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%D．豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為0.18%2．將函數的圖象向右平移個周期后，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．3．阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數學家和物理學家，他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發現“圓柱內切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內切球體積為()A． B． C． D．4．兩圓和相外切，且，則的最大值為（）A． B．9 C． D．15．已知函數，則（）A． B．1 C．-1 D．06．如圖，點E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點，點F，M分別在線段AC，BD1（不包含端點）上運動，則（）A．在點F的運動過程中，存在EF//BC1B．在點M的運動過程中，不存在B1M⊥AEC．四面體EMAC的體積為定值D．四面體FA1C1B的體積不為定值7．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則①處應填寫（）A． B． C． D．8．設是虛數單位，則（）A． B． C． D．9．如圖，圓是邊長為的等邊三角形的內切圓，其與邊相切于點，點為圓上任意一點，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．10．函數的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．11．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．12．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從正態分布，若，則_________.14．如圖，棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內作弧和，并將兩弧各五等分，分點依次為、、、、、以及、、、、、．一只螞蟻欲從點出發，沿正方體的表面爬行至，則其爬行的最短距離為________．參考數據：；；）15．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為______．16．已知實數a，b，c滿足，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設函數的極值點為，當變化時，點構成曲線，證明：過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.19．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的正整數存在，求的值；若不存在，說明理由.設正數等比數列的前項和為，是等差數列，__________，，，，是否存在正整數，使得成立？20．（12分）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．21．（12分）設函數，．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）時，若，，求證：．22．（10分）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，點Q為AE的中點.（1）求證：AC//平面DQF；（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC與平面DQF所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

A.從第一個圖觀察居住占23%，與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判斷.C.食品占19.9%，再看第二個圖，分清2.5%是在CPI一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%，所占權重最大的，故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，權重超過50%，故正確.C.食品占中19.9%，分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%，故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查統計圖的識別與應用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.2、D【解析】

由函數的圖象平移變換公式求出變換后的函數解析式，再利用誘導公式得到關于的方程，對賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數的最小正周期為,即,由函數的圖象平移變換公式可得，將函數的圖象向右平移個周期后的解析式為，因為函數的圖象關于軸對稱，所以，即，所以當時，有最小正值為.故選：D【點睛】本題考查函數的圖象平移變換公式和三角函數誘導公式及正余弦函數的性質；熟練掌握誘導公式和正余弦函數的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.3、D【解析】

設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結合題中的結論即可求出該圓柱的內切球體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為，所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.4、A【解析】

由兩圓相外切，得出，結合二次函數的性質，即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以，即當時，取最大值故選：A【點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關系求參數，屬于中檔題.5、A【解析】

由函數，求得，進而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數，則，所以，故選A.【點睛】本題主要考查了分段函數的求值問題，其中解答中根據分段函數的解析式，代入求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、C【解析】

采用逐一驗證法，根據線線、線面之間的關系以及四面體的體積公式，可得結果.【詳解】A錯誤由平面，//而與平面相交，故可知與平面相交，所以不存在EF//BC1B錯誤，如圖，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點到平面的距離，由//，平面，平面所以//平面，則點到平面的距離即點到平面的距離，所以為定值，故四面體EMAC的體積為定值錯誤由//，平面，平面所以//平面，則點到平面的距離即為點到平面的距離，所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選：C【點睛】本題考查線面、線線之間的關系，考驗分析能力以及邏輯推理能力，熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質定理，中檔題.7、B【解析】

模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】；；.所以①處應填寫“”故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8、A【解析】

利用復數的乘法運算可求得結果.【詳解】由復數的乘法法則得.故選：A.【點睛】本題考查復數的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎題.9、C【解析】

建立坐標系，寫出相應的點坐標，得到的表達式，進而得到最大值.【詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系，設內切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據三角形面積公式得到，可得到內切圓的半徑為可得到點的坐標為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用，以及參數方程的應用，以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉化為解不等式或求函數值域，是解決這類問題的一般方法.10、B【解析】

根據定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據函數圖象得定義域為，所以不合題意；選項，計算，不符合函數圖象；對于選項，與函數圖象不一致；選項符合函數圖象特征.故選：B【點睛】此題考查根據函數圖象選擇合適的解析式，主要利用函數性質分析，常見方法為排除法.11、A【解析】

畫圖取的中點M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.12、D【解析】

根據指數函數、對數函數、冪函數的單調性和正余弦函數的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于，，，錯誤；對于，在上單調遞減，，錯誤；對于，，，，錯誤；對于，在上單調遞增，，正確.故選：.【點睛】本題考查根據初等函數的單調性比較大小的問題；關鍵是熟練掌握正余弦函數圖象、指數函數、對數函數和冪函數的單調性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.4【解析】

因為隨機變量ζ服從正態分布,利用正態曲線的對稱性，即得解.【詳解】因為隨機變量ζ服從正態分布所以正態曲線關于對稱，所.【點睛】本題考查了正態分布曲線的對稱性在求概率中的應用，考查了學生概念理解，數形結合，數學運算的能力，屬于基礎題.14、【解析】

根據空間位置關系，將平面旋轉后使得各點在同一平面內，結合角的關系即可求得兩點間距離的三角函數表達式.根據所給參考數據即可得解.【詳解】棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內作弧和.將平面繞旋轉至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；將平面繞旋轉至與平面共面的位置，將繞旋轉至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；因為，且由誘導公式可得，所以最短距離為，故答案為：.【點睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內求解的方法，三角函數誘導公式的應用，綜合性強，屬于難題.15、【解析】

設圓柱的軸截面的邊長為x，可求得，代入圓柱的表面積公式，即得解【詳解】設圓柱的軸截面的邊長為x，則由，得，∴．故答案為：【點睛】本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學生空間想象，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于基礎題.16、【解析】

先分離出，應用基本不等式轉化為關于c的二次函數，進而求出最小值.【詳解】解：若取最小值，則異號，，根據題意得：，又由，即有，則，即的最小值為，故答案為：【點睛】本題考查了基本不等式以及二次函數配方求最值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，進而構造函數，求導可判斷出的單調性，進而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，則，，進而可得，即曲線的方程為，進而只需證明對任意，方程有唯一解，然后構造函數，分、和三種情況，分別證明函數在上有唯一的零點，即可證明結論成立.【詳解】（1）由題意，可知，由恒成立，可得恒成立.令，則.令，則，，，在上單調遞增，又，時，；時，，即時，；時，，時，單調遞減；時，單調遞增，時，取最小值，.（2）證明：由，令，由，結合二次函數性質可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的極值點，則，，，曲線的方程為.故只需證明對任意，方程有唯一解.令，則，①當時，恒成立，在上單調遞增.，，，存在滿足時，使得.又單調遞增，所以為唯一解.②當時，二次函數，滿足，則恒成立，在上單調遞增.，，存在使得，又在上單調遞增，為唯一解.③當時，二次函數，滿足，此時有兩個不同的解，不妨設，，，列表如下：00↗極大值↘極小值↗由表可知，當時，的極大值為.，，，，，..下面來證明，構造函數，則，當時，，此時單調遞增，，時，，，故成立.，存在，使得.又在單調遞增，為唯一解.所以，對任意，方程有唯一解，即過原點任意的直線與曲線有且僅有一個公共點.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性的應用，考查不等式恒成立問題，考查利用單調性研究圖象交點問題，考查學生的計算求解能力與推理論證能力，屬于難題.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據已知證明四邊形為矩形，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立坐標系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設二面角的平面角為，，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點，為軸，為軸，為軸，建立坐標系，如圖：則：，，，，：，設平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設二面角的平面角為即二面角的正弦值為：.【點睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.19、見解析【解析】

根據等差數列性質及、，可求得等差數列的通項公式，由即可求得的值；根據等式，變形可得，分別討論取①②③中的一個，結合等比數列通項公式代入化簡，檢驗是否存在正整數的值即可.【詳解】∵在等差數列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數，使得成立，即成立，設正數等比數列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當時，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無正整數解，∴不存在正整數使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當時，滿足成立.【點睛】本題考查了等差數列通項公式的求法，等比數列通項公式及前n項和公式的應用，遞推公式的簡單應用，補充條件后求參數的值，屬于中檔題.20、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）．（Ⅲ）﹣．【解析】

（Ⅰ）由題知，如圖以點為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，計算，證明，從而平面PAC，即可得證；（Ⅱ）求解平面PDE的一個法向量，計算，即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求解平面PBE的一個法向量，計算，即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值．【詳解】（Ⅰ）PC⊥底面ABCD，，如圖以點為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，又，平面PAC，平面PDE，平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）設為平面PDE的一個法向量，又，則，取，得，直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）設為平面PBE的一個法向量，又則，取，得，，二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.【點睛】本題主要考查了平面與