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文檔簡介
2025屆河南省許汝平九校聯(lián)盟學業(yè)水平模擬考試數(shù)學試題仿真模擬試題C卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知純虛數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則實數(shù)等于()A. B.1 C. D.22.過點的直線與曲線交于兩點,若,則直線的斜率為()A. B.C.或 D.或3.2020年是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年,某市為早日實現(xiàn)目標,現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個貧困縣扶貧,要求每個貧困縣至少分到一人,則甲被派遣到縣的分法有()A.6種 B.12種 C.24種 D.36種4.的展開式中的系數(shù)是-10,則實數(shù)()A.2 B.1 C.-1 D.-25.從5名學生中選出4名分別參加數(shù)學,物理,化學,生物四科競賽,其中甲不能參加生物競賽,則不同的參賽方案種數(shù)為A.48 B.72 C.90 D.966.一個盒子里有4個分別標有號碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個,記下它的標號后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標號最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種7.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設胡夫金字塔的高為,假如對胡夫金字塔進行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設單條燈帶,則需要燈帶的總長度約為A. B.C. D.8.已知表示兩條不同的直線,表示兩個不同的平面,且則“”是“”的()條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要9.在鈍角中,角所對的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.10.已知函數(shù),若對任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知拋物線的焦點為,是拋物線上兩個不同的點,若,則線段的中點到軸的距離為()A.5 B.3 C. D.212.為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_________.14.已知非零向量的夾角為,且,則______.15.在的展開式中,的系數(shù)為________.16.若正實數(shù)x,y,滿足x+2y=5,則x2三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點,點在橢圓上,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點.(1)求,的值:(2)過點作不與軸重合的直線,設與圓相交于A,B兩點,且與橢圓相交于C,D兩點,當時,求△的面積.18.(12分)已知函數(shù).(1)設,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明函數(shù)有唯一零點.(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),證明:.19.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.20.(12分)設數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.21.(12分)已知直線過橢圓的右焦點,且交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點是,(1)求橢圓的方程;(2)過原點的直線l與線段AB相交(不含端點)且交橢圓于C,D兩點,求四邊形面積的最大值.22.(10分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點,△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
先根據(jù)復數(shù)的除法表示出,然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應的的值即可.【詳解】因為,所以,又因為是純虛數(shù),所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算以及根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值,難度較易.若復數(shù)為純虛數(shù),則有.2、A【解析】
利用切割線定理求得,利用勾股定理求得圓心到弦的距離,從而求得,結(jié)合,求得直線的傾斜角為,進而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分,圓心為,半徑為.設與曲線相切于點,則所以到弦的距離為,,所以,由于,所以直線的傾斜角為,斜率為.故選:A【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.3、B【解析】
分成甲單獨到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進行分類討論,由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨到縣,則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣,則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選:B【點睛】本小題主要考查簡答排列組合的計算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
利用通項公式找到的系數(shù),令其等于-10即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,則,所以,解得.故選:C【點睛】本題考查求二項展開式中特定項的系數(shù),考查學生的運算求解能力,是一道容易題.5、D【解析】因甲不參加生物競賽,則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時,共有?=72種選擇方案;②當甲學生不參加任何比賽時,共有=24種選擇方案.綜上所述,所有參賽方案有72+24=96種故答案為:96點睛:本題以選擇學生參加比賽為載體,考查了分類計數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標號最大值是4的取法有種,故選:C【點睛】本題考查古典概型,考查補集思想的應用,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
設胡夫金字塔的底面邊長為,由題可得,所以,該金字塔的側(cè)棱長為,所以需要燈帶的總長度約為,故選D.8、B【解析】
根據(jù)充分必要條件的概念進行判斷.【詳解】對于充分性:若,則可以平行,相交,異面,故充分性不成立;若,則可得,必要性成立.故選:B【點睛】本題主要考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系,以及充要條件的判斷,考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題,關(guān)鍵是要弄清楚誰是條件,誰是結(jié)論.9、B【解析】
首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因為,所以因為所以,即,,時故選:【點睛】本題考查正弦定理的應用,余弦函數(shù)的性質(zhì)的應用,屬于中檔題.10、D【解析】
先將所求問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點作函數(shù)的切線,設切點為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點睛】本題考查導數(shù)在不等式恒成立中的應用,考查了學生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.11、D【解析】
由拋物線方程可得焦點坐標及準線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點的橫坐標,即為中點到軸的距離.【詳解】解:由拋物線方程可知,,即,.設則,即,所以.所以線段的中點到軸的距離為.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義,考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點橫坐標的和.12、C【解析】
利用復數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】,故虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的運算以及復數(shù)的概念,注意復數(shù)的虛部為,不是,本題為基礎(chǔ)題,也是易錯題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當時,,符合;當時,,不滿足.故答案為:【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計算,考查了分類討論的思想.14、1【解析】
由已知條件得出,可得,解之可得答案.【詳解】向量的夾角為,且,,可得:,
可得,
解得,
故答案為:1.【點睛】本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運算求向量的模,關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方,利用向量的數(shù)量積化簡求解即可,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)二項展開式定理,求出含的系數(shù)和含的系數(shù),相乘即可.【詳解】的展開式中,所求項為:,的系數(shù)為.
故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式定理的應用,屬于基礎(chǔ)題.16、8【解析】
分析:將題中的式子進行整理,將x+1當做一個整體,之后應用已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題的求解方法,即可求得結(jié)果.詳解:x2-3x+1+2點睛:該題屬于應用基本不等式求最值的問題,解決該題的關(guān)鍵是需要對式子進行化簡,轉(zhuǎn)化,利用整體思維,最后注意此類問題的求解方法-------相乘,即可得結(jié)果.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì),可求出,;(2)設直線方程為,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出,再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡,由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論,繼而求出面積.【詳解】(1)焦點為F(1,0),則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可設直線方程為,,聯(lián)立得,易知△>0,則===因為,所以=1,解得聯(lián)立,得,△=8>0設,則【點睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應用,同時考查利用根與系數(shù)的關(guān)系,解決直線與圓,直線與橢圓的位置關(guān)系問題.意在考查學生的數(shù)學運算能力.18、(1)為增區(qū)間;為減區(qū)間.見解析(2)見解析【解析】
(1)先求得的定義域,然后利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點存在性定理判斷出有唯一零點.(2)求得的導函數(shù),結(jié)合在區(qū)間上不單調(diào),證得,通過證明,證得成立.【詳解】(1)∵函數(shù)的定義域為,由,解得為增區(qū)間;由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個零點:∵,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,∵,函數(shù)在區(qū)間上沒有零點,故函數(shù)只有一個零點.(2)證明:函數(shù),則當時,,不符合題意;當時,令,則,所以在上單調(diào)增函數(shù),而,又∵區(qū)間上不單調(diào),所以存在,使得在上有一個零點,即,所以,且,即兩邊取自然對數(shù),得即,要證,即證,先證明:,令,則∴在上單調(diào)遞增,即,∴①在①中令,∴令∴,即即,∴.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點,考查利用導數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于難題.19、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)利用平行四邊形的方法,證明平面.(2)通過證明平面,由此證得.【詳解】(1)設是中點,連接,由于是中點,所以且,而且,所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)連接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四邊形是矩形且,所以四邊形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)令可求得的值,令時,由可得出,兩式相減可得的表達式,然后對是否滿足在時的表達式進行檢驗,由此可得出數(shù)列的通項公式;(2)求出數(shù)列的通項公式,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論,利用奇偶分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】(1),當時,;當時,由得,兩式相減得,.滿足.因此,數(shù)列的通項公式為;(2).①當為奇數(shù)時,;②當為偶數(shù)時,.綜上所述,.【點睛】本題考查數(shù)列通項的求解,同時也考查了奇偶分組求和法,考查計算能力,屬于中等題.21、(1)(2)【解析】
(1)由直線可得橢圓右焦點的坐標為,由中點可得,且由斜率公式可得,由點在橢圓上,則,二者作差,進而代入整理可得,即可求解;(2)設直線,點到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB(不含端點)相交,可得,即,進而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】(1)直線與x軸交于點,所以橢圓右焦點的坐標為,故,因為線段AB的中點是,設,則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.(2)由(1)聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設直線,代入,得,解得或,設,
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