2025屆廣東省普寧第二中學高三練習題一（全國卷I）數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）2．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．3．命題“”的否定是（）A． B．C． D．4．為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關關系，根據圖形，以下結論最有可能成立的是()A．線性相關關系較強，b的值為1.25B．線性相關關系較強，b的值為0.83C．線性相關關系較強，b的值為－0.87D．線性相關關系太弱，無研究價值5．設復數滿足，在復平面內對應的點的坐標為則（）A． B．C． D．6．函數的部分圖象大致是（）A． B．C． D．7．在中，，，，點，分別在線段，上，且，，則（）．A． B． C．4 D．98．己知拋物線的焦點為，準線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．69．如圖所示的“數字塔”有以下規律：每一層最左與最右的數字均為2，除此之外每個數字均為其兩肩的數字之積，則該“數字塔”前10層的所有數字之積最接近（）A． B． C． D．10．設復數滿足，則（）A． B． C． D．11．已知復數，其中為虛數單位，則（）A． B． C．2 D．12．設是等差數列的前n項和，且，則()A． B． C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設滿足約束條件，則目標函數的最小值為_.14．已知集合，則____________.15．已知數列滿足,且,則______.16．已知曲線，點，在曲線上，且以為直徑的圓的方程是．則_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若在上為單調函數，求實數a的取值范圍：（2）若，記的兩個極值點為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.18．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，，直線過點，且與拋物線交于，兩點．（1）求拋物線的方程及點的坐標；（2）求的最大值．19．（12分）曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當斜率時，求的最小值.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點E，F是線段PC中點，G為線段EC中點．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．21．（12分）某工廠為提高生產效率，需引進一條新的生產線投入生產，現有兩條生產線可供選擇，生產線①：有A，B兩道獨立運行的生產工序，且兩道工序出現故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒有出現故障，則生產成本為15萬元；若A工序出現故障，則生產成本增加2萬元；若B工序出現故障，則生產成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現故障，則生產成本增加5萬元.生產線②：有a，b兩道獨立運行的生產工序，且兩道工序出現故障的概率依次是0.04，0.01.若兩道工序都沒有出現故障，則生產成本為14萬元；若a工序出現故障，則生產成本增加8萬元；若b工序出現故障，則生產成本增加5萬元；若a，b兩道工序都出現故障，則生產成本增加13萬元.（1）若選擇生產線①，求生產成本恰好為18萬元的概率；（2）為最大限度節約生產成本，你會給工廠建議選擇哪條生產線？請說明理由.22．（10分）如圖1，四邊形是邊長為2的菱形，，為的中點，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據并集的求法直接求出結果.【詳解】∵，∴，故選C.【點睛】考查并集的求法，屬于基礎題.2．A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.3．D【解析】

根據全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.4．B【解析】

根據散點圖呈現的特點可以看出，二者具有相關關系，且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關關系，且直線斜率小于1，故選B.【點睛】本題主要考查散點圖的理解，側重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養.5．B【解析】

根據共軛復數定義及復數模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內對應的點的坐標為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點睛】本題考查復數對應點坐標的幾何意義，復數模的求法及共軛復數的概念，屬于基礎題.6．C【解析】

判斷函數的性質，和特殊值的正負，以及值域，逐一排除選項.【詳解】，函數是奇函數，排除，時，，時，，排除，當時，，時，，排除，符合條件，故選C.【點睛】本題考查了根據函數解析式判斷函數圖象，屬于基礎題型，一般根據選項判斷函數的奇偶性，零點，特殊值的正負，以及單調性，極值點等排除選項.7．B【解析】

根據題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結果.【詳解】根據題意，，則在中，又,則則則則故選：B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數量積運算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.8．D【解析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設，則，結合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結合為線段的中點，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質及平面幾何的有關知識，屬于中檔題．9．A【解析】

結合所給數字特征，我們可將每層數字表示成2的指數的形式，觀察可知，每層指數的和成等比數列分布，結合等比數列前項和公式和對數恒等式即可求解【詳解】如圖，將數字塔中的數寫成指數形式，可發現其指數恰好構成“楊輝三角”，前10層的指數之和為，所以原數字塔中前10層所有數字之積為.故選：A【點睛】本題考查與“楊輝三角”有關的規律求解問題，邏輯推理，等比數列前項和公式應用，屬于中檔題10．D【解析】

根據復數運算，即可容易求得結果.【詳解】.故選：D.【點睛】本題考查復數的四則運算，屬基礎題.11．D【解析】

把已知等式變形，然后利用數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題.12．C【解析】

利用等差數列的性質化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數列滿足，所以，，.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數列的性質，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據滿足約束條件，畫出可行域，將目標函數，轉化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點，此時，目標函數取得最小值.【詳解】由滿足約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將目標函數，轉化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點此時，目標函數取得最小值，最小值為故答案為：-1【點睛】本題主要考查線性規劃求最值，還考查了數形結合的思想方法，屬于基礎題.14．【解析】

根據并集的定義計算即可.【詳解】由集合的并集，知.故答案為：【點睛】本題考查集合的并集運算，屬于容易題.15．【解析】

數列滿足知，數列以3為公比的等比數列，再由已知結合等比數列的性質求得的值即可.【詳解】，數列是以3為公比的等比數列，又，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等比數列定義，考查了對數的運算性質，考查了等比數列的通項公式，是中檔題．16．【解析】

設所在直線方程為設?點坐標分別為，，都在上，代入曲線方程，兩式作差可得，從而可得直線的斜率，聯立直線與的方程，由，利用弦長公式即可求解.【詳解】因為是圓的直徑，必過圓心點，設所在直線方程為設?點坐標分別為，，都在上，故兩式相減，可得(因為是的中點)，即聯立直線與的方程：又，即，即又因為，則有即∴.故答案為：【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系、弦長公式，考查了學生的計算能力，綜合性比較強，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）求導.根據單調，轉化為對恒成立求解（2）由（1）知，是的兩個根，不妨設，令.根據，確定，將轉化為.令，用導數法研究其單調性求最值.【詳解】（1）的定義域為，.因為單調，所以對恒成立，所以，恒成立，因為，當且僅當時取等號，所以；（2）由（1）知，是的兩個根.從而，，不妨設，則.因為，所以t為關于a的減函數，所以..令，則.因為當時，在上為減函數.所以當時，.從而，所以在上為減函數.所以當時，.【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.18．（1），；（2）1．【解析】

（1）根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；（2）設直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．【詳解】（1）∵點F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，P（2，y0）是拋物線上一點，|PF|＝3，∴23，解得：p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x，∵點P（2，n）（n＞0）在拋物線C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴設直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是y2+4my﹣4＝0的兩個不同實根，∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，（），（x2﹣2，），（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8＝﹣8m2+8m+5＝﹣8（m）2+1．∴當m時，取最大值1．【點睛】本題考查拋物線方程的求法，考查向量的數量積的最大值的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．19．（1）的極坐標方程為；曲線的直角坐標方程.（2）【解析】

(1)消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的互化，即可求解.(2)解法1：設直線的傾斜角為，把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程，求得，再把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設直線的極坐標方程為，分別代入曲線，的極坐標方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數方程為（為參數），消去參數，可得曲線的直角坐標方程為，即，則曲線的極坐標方程為，即，又因為曲線的極坐標方程為，即，根據，代入即可求解曲線的直角坐標方程.(2)解法1：設直線的傾斜角為，則直線的參數方程為（為參數，），把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，，，把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，，，，，即，，，，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.解法2：設直線的極坐標方程為），代入曲線的極坐標方程，得，，把直線的參數方程代入曲線的極坐標方程得：，，即，，曲線的參，即，，，，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.【點睛】本題主要考查了參數方程與普通方程，以及極坐標方程與直角坐標方程點互化，以及直線參數方程的應用和極坐標方程的應用，其中解答中熟記互化公式，合理應用直線的參數方程中參數的幾何意義是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.20．（1）見解析；（2）見解析．【解析】分析：（1）先證明，再證明FG//平面PBD.（2）先證明平面，再證明BD⊥FG．詳解：證明：（1）連結PE，因為G.、F為EC和PC的中點，，又平面，平面，所以平面（II）因為菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因為平面，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG.點睛：（1）本題主要考查空間位置關系的證明，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和空間想象轉化能力.(2)證明空間位置關系，一般有幾何法和向量法，本題利用幾何法比較方便.21．（1）0.0294.（2）應選生產線②.見解析【解析】

（1）由題意轉化條件得A工序不出現故障B工序出現故障，利用相互獨立事件的概率公式即可得解；（2）分別算出兩個生產線增加的生產成本的期望，進而求出兩個生產線的生產成本期望值，比較期望值即可得解.【詳解】（1）若選擇生產線①，生產成本恰好為18萬元，即A工序不出現故障B工序出現故障，故所求的概率為.（2）若選擇生產線①，設增加的生產成本為(