第04講

長方體和正方體的體積【知識梳理】1、長方體體積計算公式。長方體的體積=長*寬*高。長方體體積公式用字母表示為V=abh，a，b，h分別表示長方體的長、寬、高，V表示長方體的體積。2、正方體的體積公式。正方體的體積=棱長*棱長*棱長，用字母公式表示為V=a3。長方體（正方體）的體積=底面積*高，用字母表示為V=sh（s表示底面積，h表示高）。長方體和正方體提及的統一公示，不僅在長方體和正方體中可以運用，還在相應的規則立體圖形中也適用。3、運用體積公式解決實際問題。已知長方體（正方體）物體的長、寬、高（棱長）時，可直接利用公式計算物體的體積。4、體積和容積的區別與聯系。物體容積的計算方法與體積的計算方法相同，知道長、寬、高或棱長，即可求出物體的容積。【典型例題】例1把棱長2分米的正方體紙盒放在一個長8分米、寬5分米、高6分米的長方體箱內，最多可以放（

）個。A．30 B．24 C．15 D．12【分析】以長8分米為邊，最多可以放：8÷2＝4個；以寬5分米為邊，最多可以放5÷2＝2（個）……1（分米）；以高6分米為邊最多可以放6÷2＝3個，由此再利用長方體的體積公式即可計算最多可以放的總個數。【詳解】8÷2＝4（個）5÷2＝2（個）……1（分米）6÷2＝3（個）4×2×3＝8×3＝24（個）答案：B。【點睛】解答此題關鍵是先分別求出長方體箱子的長寬高處最多能放幾個小正方體，再利用長方體的體積公式求出小正方體的總個數。例2一個長方體紙盒長8分米，寬6分米，高5分米，它的占地面積是()平方分米；在它的四周貼上商標紙，商標紙的面積最少是()平方分米；這個長方體紙盒所占的空間是()立方分米。【分析】（1）占地面積就是用長乘寬即可；（2）四周貼上商標紙，商標紙的面積就是四個側面面積和；（3）求體積，利用體積＝長×寬×高解答即可。【詳解】（1）6×8＝48（平方分米）（2）（6×5＋5×8）×2＝70×2＝140（平方分米）（3）8×6×5＝48×5＝240（立方分米）【點睛】本題考查長方體的底面積，側面積及其體積的計算，掌握好公式是解題關鍵。例3紅星小學新建了一座游泳池。游泳池的長50米，寬16米，深1.3米。（1）在游泳池放水到離池口0.1米處，需要多少立方米水？（2）在游泳池的底面和四周貼瓷磚，貼瓷磚的面積是多少平方米？【分析】（1）求需要多少立方米水，就是求這個長方體游泳池的體積；根據長方體的體積公式：長×寬×高；長是50米，寬是16米，高是（1.3－0.1）米，代入數據，即可解答；（2）貼瓷磚面積，就是長方體5個面的面積和，根據長方體表面積公式：長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，代入數據，即可解答。【詳解】（1）50×16×（1.3－0.1）＝800×1.2＝960（立方米）答：需要960立方米水。（2）50×16＋（50×1.3＋16×1.3）×2＝800＋（65＋20.8）×2＝800＋85.8×2＝800＋171.6＝971.6（平方米）答：貼瓷磚的面積是971.6平方米。【點睛】本題考查長方體體積公式、長方體表面積公式的應用，關鍵是熟記公式。【過關檢測】一、選擇題1．一個長方體的長擴大到原來的2倍，寬和高都擴大到原來的3倍，體積擴大到原來的（

）倍。A．6 B．18 C．2 D．32．一個長方體的底面是一個周長為26cm的長方形，高為5cm，如果長和寬的厘米數都是合數，那么這個長方體的體積是（

）。A． B． C． D．3．一盒酸奶，外包裝是長方體形狀，包裝紙上標注“凈含量650mL”。實際量得外包裝長8cm，寬5cm，高15cm。根據以上數據，你認為標注的凈含量是（

）。A．無法確定真假 B．真實的 C．虛假的4．把一個正方體木塊切成兩個完全相同的長方體，表面積增加了32平方分米，原來正方體的體積是（

）立方分米。A．16 B．64 C．96 D．1285．在一個有一定厚度、棱長是1分米的正方體空盒子里裝入若干個體積是1立方厘米的小正方體，這個木盒子（

）。A．一定可以裝入1000塊這樣的小正方體B．一定不能裝入1000塊這樣的小正方體C．可能可以裝入1000塊這樣的小正方體D．無法確定二、填空題6．用三個棱長1分米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的棱長總和是()分米，表面積是()平方分米，體積是()立方分米。7．下圖是由若干個棱長1厘米的小正方體搭成的，如果想搭成一個大正方體，至少還需要()塊這樣的小正方體。這個大正方體的表面積是()平方厘米，體積是()立方厘米。我們發現面積的大小就是含有()的數量；體積的大小也就是含有()的數量。

8．樂樂用幾個棱長是1cm的正方體木塊擺成一個幾何體，擺好后，他從正面看到的圖形是，從右面看到的圖形是，從上面看到的圖形是，樂樂擺出的這個幾何體的體積是()cm3。9．用同一塊橡皮泥捏成棱長為4厘米的正方體，后捏成一個長為2厘米，寬4厘米的長方體，這個長方體的高為()厘米。10．一個長方體，長、寬、高分別是8cm、5cm和4cm，從中截去一個最大的正方體后，正方體的體積是()cm3，剩下部分的體積是()cm3。三、計算題11．求下面圖形的表面積和體積。（1）

（2）

四、解答題12．建筑工地用混凝土澆鑄一個長方體的柱子，柱子高30分米，底面是邊長為0.5米的正方形。澆鑄這根柱子至少需要混凝土多少立方米？如果在柱子的四周貼上瓷磚，貼瓷磚的面積是多少平方米？13．一個長方體容器裝有水，它的長是0.8米，水深0.5米。將一塊棱長4分米的正方體鐵塊放入這個容器中，鐵塊完全被淹沒，這時水面上升到7分米。這塊長方體容器的寬是多少分米？14．一個玻璃魚缸（無蓋）里裝滿水，一塊石頭扔進魚缸里，溢出來的水正好盛滿了棱長是2厘米的正方體。

（1）這個魚缸用了多少平方分米的玻璃？（2）這塊石頭的體積是多少立方分米？15．王叔叔有一張長60厘米、寬40厘米的長方形鐵皮，他想在它的四個角各剪去一個邊長為5厘米的小正方形（如圖），然后焊接成一個無蓋的鐵皮盒子。（1）你來幫王叔叔算一算。這個盒子的容積是多少立方分米？（鐵皮厚度忽略不計）（2）如果把這個盒子里裝滿水，再把棱長為4cm的正方體鐵塊沉入水中，則流出來的水的體積是多少立方厘米？參考答案1．B【分析】假設這個長方體的長是3，寬是2，高是1，根據長方體的體積公式：體積＝長×寬×高，把數代入公式即可求出去擴大前的長方體的體積，由于長方體的長擴大到原來的2倍，寬和高都擴大到原來的3倍，即此時的長是6，寬是6，高是3，求出擴大后的體積，再除以擴大前的體積即可。【詳解】假設這個長方體的長是3，寬是2，高是1，擴大前長方體的體積：3×2×1＝6擴大后的長為3×2＝6，寬為2×3＝6，高為1×3＝3擴大后長方體的體積：6×6×3＝108108÷6＝18即體積擴大到原來的18倍。故答案為：B【點睛】本題主要考查長方體的體積公式，熟練掌握長方體的體積公式并靈活運用。2．D【分析】底面周長÷2＝長寬和，除了1和它本身以外還有其他因數，這樣的數叫合數。據此確定長和寬，根據長方體體積＝長×寬×高，列式計算即可。【詳解】26÷2＝13＝9＋4長方體的長9cm、寬4cm、高5cm。9×4×5＝180（cm3）這個長方體的體積是。故答案為：D【點睛】關鍵是理解質數、合數的分類標準，掌握并靈活運用長方體體積公式。3．C【分析】物體所占空間的大小叫做物體的體積；容器所能容納物體的體積叫做它們的容積。根據體積、容積的意義可知，一個容器的體積一定大于它的容積。已知這盒酸奶外包裝的長、寬、高，根據長方體的體積公式V＝abh，求出這個包裝盒的體積，然后與所標注的“凈含量”進行比較，如果體積小于凈含量，那么這個標注的凈含量就是虛假的，反之，就是真實的。注意單位的換算：1mL＝1cm3。【詳解】650mL＝650cm38×5×15＝40×15＝600（cm3）600cm3＜650cm3我認為標注的凈含量是虛假的。故答案為：C【點睛】本題考查體積、容積的意義，長方體體積（容積）公式的運用以及體積、容積單位的換算。4．B【分析】根據題意可知，把一個正方體木塊切成兩個完全相同的長方體，表面積增加了32平方分米，表面積增加的是兩個切面的面積，據此可以求出原來正方體的一個面的面積，根據正方形的面積公式：S＝a2，求出正方體的棱長，再根據正方體的體積公式：V＝a3，把數據代入公式解答。【詳解】正方體一個面的面積：32÷2＝16（平方分米）正方體的棱長，因為4的平方是16，所以正方體的棱長是4分米。正方體的體積：4×4×4＝64（立方分米）即原來正方體的體積是64立方分米。故答案為：B【點睛】此題主要考查正方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。5．B【分析】根據正方體的體積公式：V＝a3，代入棱長的數據求出正方體盒子的體積，再除以小正方體的體積1立方厘米，求出可以裝入的小正方體的塊數。注意體積是從外面測量正方體的棱長，而容積是從里面測量。【詳解】1×1×1＝1（立方分米）1立方分米＝1000立方厘米1000÷1＝1000（塊）因為棱長是1分米的正方體空盒子的容積要比它的體積小，所以一定不能裝入1000塊這樣的小正方體。故答案為：B【點睛】此題考查了正方體的體積的計算方法，關鍵是理解體積與容積的意義及它們之間的區別。6．20143【分析】三個正方體拼成一個長方體，長方體的長是1×3＝3分米，寬是1分米，高是1分米；根據長方體棱長總和公式：棱長總和＝（長＋寬＋高）×4；長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2；長方體體積公式：體積＝長×寬×高，代入數據，即可解答。【詳解】長方體的長：2×3＝3（分米）；寬：1分米；高：1分米。棱長總和：（3＋1＋1）×4＝（4＋1）×4＝5×4＝20（分米）表面積：（3×1＋3×1＋1×1）×2＝（3＋3＋1）×2＝（6＋1）×2＝7×2＝14（平方分米）體積：3×1×1＝3×1×1＝3（立方分米）用三個棱長1分米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的棱長總和是20分米，表面積是14平方分米，體積是3立方分米。【點睛】本題考查立體圖形的切拼，關鍵是求出拼成長方體的長、寬、高的值。7．175427組合體表面小正方形小正方體【分析】由圖可知，大正方體的棱長為3厘米，計算出大正方體中小正方體的總數量，再減去原來小正方體的數量求出需要添加小正方體的數量；正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，把大正方體的棱長代入公式求出大正方體的表面積和體積；大正方體每個面有9個小正方形，一共6個面，6×9＝54，大正方體的表面積剛好等于大正方體表面露出的小正方形的數量，大正方體的體積剛好等于大正方體里面小正方體的數量，據此解答。【詳解】3×3×3－10＝27－10＝17（塊）3×3×6＝9×6＝54（平方厘米）3×3×3＝9×3＝27（立方厘米）小正方形的數量：6×9＝54小正方體的數量：3×3×3＝27所以，至少還需要17塊這樣的小正方體，這個大正方體的表面積是54平方厘米，體積是27立方厘米，面積的大小就是含有組合體表面小正方形的數量，體積的大小也就是含有小正方體的數量。【點睛】確定大正方體的棱長并掌握正方體的表面積和體積的計算公式是解答題目的關鍵。8．9【分析】根據從上面看到的圖形可知，這個幾何體的下層有5個正方體；根據從正面和右面看到的圖形可知，這個幾何體的上層有4個正方體；所以這個幾何體一共有5＋4＝9個正方體組成；然后根據正方體的體積公式V＝a3，求出一個正方體的體積，再乘9，即是這個幾何體的體積。【詳解】結合從正面、右面和上面看到的平面圖，可以得出下面的幾何體：1×1×1×9＝9（cm3）樂樂擺出的這個幾何體的體積是9cm3。【點睛】本題考查幾何體體積的計算方法，先根據三視圖還原出幾何體，然后根據正方體的體積公式解答。9．8【分析】根據題意，先把一塊橡皮泥捏成正方體，后又把這塊橡皮泥捏成長方體，形狀變了，但這塊橡皮泥的體積不變；先根據正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，求出這塊橡皮泥的體積；再根據長方體的體積＝長×寬×高可知，長方體的高＝體積÷（長×寬），代入數據計算即可求解。【詳解】橡皮泥的體積：4×4×4＝64（立方厘米）長方體的高：64÷（2×4）＝64÷8＝8（厘米）這個長方體的高為8厘米。【點睛】本題考查正方體的體積、長方體的體積公式的靈活運用，抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”是解題的關鍵。10．6496【分析】根據題意可知，從這個長方體中截去一個最大的正方體，這個正方體的棱長等于長方體的高，剩下部分的體積等于長方體與正方體的體積差，根據正方體的體積公式：V＝a3，長方體的體積公式：V＝abh，把數據代入公式解答。【詳解】4×4×4＝16×4＝64（cm3）8×5×4－64＝160－64＝96（cm3）則正方體的體積是64cm3，剩余部分的體積是96cm3。【點睛】此題主要考查正方體、長方體體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。11．（1）358dm2；420dm3（2）384cm2；512cm3【分析】（1）根據長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體的體積＝長×寬×高，代入數據計算即可；（2）根據正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，代入數據計算即可。【詳解】（1）（12×5＋12×7＋5×7）×2＝（60＋84＋35）×2＝179×2＝358（dm2）12×5×7＝60×7＝420（dm3）長方體的表面積是358dm2，體積是420dm3。（2）8×8×6＝64×6＝384（cm2）8×8×8＝64×8＝512（cm3）正方體的表面積是384cm2，體積是512cm3。12．0.75立方米；6平方米【分析】先根據1米＝10分米進行單位換算；要求澆筑這根柱子需要的混凝土就是要求這根柱子體積，長方體的體積＝底面積×高，即可解決問題；要求貼瓷磚的面積就是求出這根柱子的表面積（不包括上面和下面）由此可以解決問題。【詳解】30分米＝3米0.5×0.5×3＝0.25×3＝0.75（立方米）0.5×3×4＝1.5×4＝6（平方米）答：澆鑄這根柱子至少需要混凝土0.75立方米。貼瓷磚的面積是6平方米。【點睛】解答有關長方體計算的實際問題，一定要搞清所求的是什么，再進一步選擇合理的計算方法進行計算解答問題。13．4分米【分析】由題意可知，上升的水面的體積就是正方體鐵塊的體積，即鐵塊的體積＝容器的底面積×水面上升的高度，根據正方體的體積公式：V＝a3，據此求出鐵塊的體積，用鐵塊的體積除以水面上升的高度，再除以長方體的長即可得到長方體容器的寬。【詳解】4×4×4＝16×4＝64（立方分米）0.8米＝8分米0.5米＝5分米64÷（7－5）÷8＝64÷2÷8＝32÷8＝4（分米）答：這塊長方體容器的寬是4分米。【點睛】本題考查正方體和長方體的體積，明確上升的水的體積就是鐵塊的體積是解題的關鍵。14．（1）176平方分米（2）0.008立方分米【分析】（1）已知長方體玻璃魚缸無蓋，少上面，求這個魚缸用玻璃的面