遼寧省大連市103中學(xué)2025年高三第二學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線和點(diǎn)，直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，直線與拋物線交于另一點(diǎn)．給出以下判斷：①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離；②直線與直線的斜率乘積為；③設(shè)過點(diǎn)，，的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則．其中，所有正確判斷的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．連接雙曲線及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為，連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知m為實(shí)數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．已知集合則（）A． B． C． D．5．是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．7．若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值等于（）A． B． C． D．8．在直三棱柱中，己知，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．9．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)等于（）A． B．1 C． D．210．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．11．雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=012．設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù))，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量與向量垂直，則______.14．函數(shù)的定義域?yàn)開_________．15．執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為.16．若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則______，含項(xiàng)的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于，恒成立；（3）若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，試求的取值范圍.18．（12分）設(shè)，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)函數(shù).①若，試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點(diǎn)；②求證：對(duì)任意的，直線都不是的切線；（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，試求曲線在點(diǎn)處的切線；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．20．（12分）已知，.（1）解；（2）若，證明：.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線：.過點(diǎn)的直線：（為參數(shù)）與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

對(duì)于①，利用拋物線的定義，利用可判斷；對(duì)于②，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積，即可判斷；對(duì)于③，將代入拋物線的方程可得，，從而，，利用韋達(dá)定理可得，再由，可用m表示，線段的中垂線與軸的交點(diǎn)（即圓心）橫坐標(biāo)為，可得a，即可判斷.【詳解】如圖，設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點(diǎn)．設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，的半徑為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，顯然，，三點(diǎn)不共線，則．所以①正確．由題意可設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則，．所以．則直線與直線的斜率乘積為．所以②正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以過點(diǎn)，，的圓的圓心在軸上．由上，有，，則．所以，線段的中垂線與軸的交點(diǎn)（即圓心）橫坐標(biāo)為，所以．于是，，代入，，得，所以．所以③正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.2、D【解析】

先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形，求出菱形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積，所以，當(dāng)取得最大值時(shí)有，，離心率，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.3、A【解析】

根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】當(dāng)m=1時(shí)，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時(shí)，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當(dāng)m≠0時(shí)，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.4、B【解析】

解對(duì)數(shù)不等式可得集合A，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運(yùn)算可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的簡單運(yùn)算，對(duì)數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以（逆否命題）必要性成立當(dāng)，不充分故是必要不充分條件，答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件，屬于簡單題.6、B【解析】

求出在的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，又，所以至少小于7，此時(shí)，令，得，解得或，結(jié)合圖象，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.7、A【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值．【詳解】解：作出實(shí)數(shù)，滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）由得，由得，平移，易知過點(diǎn)時(shí)直線在上截距最小，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題．8、C【解析】

由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線與所成的角．【詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因?yàn)榍胰庵鶠橹比庵唷嗝妫啵郑啵啵獾?故選C【點(diǎn)睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的的值即可.【詳解】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有.10、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中．某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效．11、A【解析】試題分析：漸近線方程是﹣y2=1，整理后就得到雙曲線的漸近線．解：雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程．屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù).所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋视校獾?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】

直接根據(jù)向量垂直計(jì)算得到答案.【詳解】向量與向量垂直，則，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、【解析】

根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域?yàn)?.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.15、【解析】初始條件成立方；運(yùn)行第一次：成立；運(yùn)行第二次：不成立；輸出的值：結(jié)束所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分.16、【解析】的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，，，項(xiàng)的系數(shù)是，故答案為（1），（2）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）詳見解析；（3）.【解析】

試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上遞減，且，則，故原不等式成立.（3）同（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，由此求得的取值范圍.試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，.解得．當(dāng)時(shí)，解得．所以單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立．，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減．又，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，即．∴對(duì)于，恒成立．（3）因?yàn)椋桑?）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即對(duì)于，，不存在滿足條件的；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，此時(shí)．∴，即恒成立，不存在滿足條件的；當(dāng)時(shí)，令，可知與符號(hào)相同，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減．∴當(dāng)時(shí)，，即恒成立．綜上，的取值范圍為．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)數(shù)與不等式的證明，導(dǎo)數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)問題的基本題型，也是基本功，先求定義域，然后求導(dǎo)，要注意通分和因式分解.二、三兩問一個(gè)是恒成立問題，一個(gè)是存在性問題，要注意取值是最大值還是最小值.18、（1）①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn)；②證明見解析；（2）且；【解析】

（1）①令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可；②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求出切線方程，得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（2）求出的解析式，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定的范圍即可．【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令，，則，，故，又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線，故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn)；②證明：假設(shè)存在，使得直線是曲線的切線，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且，則切線在點(diǎn)切線方程為，即，從而，且，消去，得，故滿足等式，令，所以，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，又函數(shù)在時(shí)，故方程有唯一解，又，故不存在，即證；（2）由得，，，令，則，，當(dāng)時(shí)，遞減，故當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，故在處取得極大值，不合題意；時(shí)，則在遞減，在，遞增，①當(dāng)時(shí)，，故在遞減，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，易證，令，，令，故，則，故在遞增，則，即時(shí)，，故在，內(nèi)存在，使得，故在，上遞減，在，遞增，故在處取得極小值．②由（1）知，，故在遞減，在遞增，故時(shí)，，遞增，不合題意；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，故在處取極小值，符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的范圍是且．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．19、（1）；（2）見解析【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以求出曲線在點(diǎn)處的切線，利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程；（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?所以切線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)定義域?yàn)椋衷趩握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋趩握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)根為且，由韋達(dá)定理易知兩根均為正根，且，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋謱?duì)稱軸，且，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增【點(diǎn)睛】本題考查了曲線切線方程的求法，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了分類思想.20、（1）；（2）見解析.【解析】

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