2025年甘肅省高三月考試卷（4月）數學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數z=i（i+1）（i為虛數單位）的共軛復數是A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i2已知，，則（）A. B. C. D.3.對于數列，“”是“數列為等差數列”的（）A.充分非必要條件； B.必要非充分條件；C.充要條件； D.既非充分又非必要條件.4.已知，是兩個單位向量，與的夾角為，則（）A. B.1 C. D.5.若為坐標原點，，當繞點逆時針旋轉至時，的坐標為（）A B. C. D.6.在數列的項和之間插入個構成新數列，則（）A.13 B. C.14 D.7.若函數的圖象上存在兩個不同點，使得在這兩點的切線與直線垂直，則的取值范圍是（）A B.C. D.8.如圖，在三棱錐中，平面，且，若在內（包括邊界）有一動點，使得與平面所成角的正切值為，則點的軌跡長為（）A. B. C. D.6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.數據22，18，19，23，24，30，25，24，26，23第35百分位數為22B.數據組成一個樣本，其回歸直線方程為，其中，去除一個異常點后，得到新的回歸直線必過點C.若隨機變量，則函數為偶函數D.在列聯表中，若每一個數據均變為原來的3倍，則變為原來的3倍（，其中）10.函數，則（）A.函數最小正周期為B.是函數的一條對稱軸C.函數圖象有對稱中心D.若有四個解，則11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交的右支于，兩點，則下列命題錯誤的是（）A.在直線上取不同于的點，若，則的面積為1B.若直線的斜率存在，則斜率范圍為C.當直線的斜率為時，的面積為D.為雙曲線右支上任意一點，過作的兩條切線，，切點分別為H，K，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在遞增等比數列中，已知，，則________．13.已知實數，滿足，則的最小值為________．14.《九章算術》是我國古代的數學名著，書中描述了一種五面體——芻甍（chúméng），其底面為矩形，頂棱和底面矩形的一組對邊平行．現有如圖所示一芻甍，，側面和為等邊三角形，且與底面所成角相等，則該幾何體中異面直線共有________對；若，到底面的距離為，則該芻甍的體積為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中，，．（1）角，所對的邊為，，若，，求的長；（2）若，當的面積最大時，求．16.如圖，在四棱錐中，是一個等邊三角形，底面是平行四邊形，且平面平面，，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的正切值．17.2022年，商湯科技（SenseTime）軟件公司研制的第一款AI下棋機器人——象棋專業版“元蘿卜SenseRobot”問世．2024年，商湯將大模型植入機器人推出行業首款家用四合一下棋機器人，為推介這款機器人，該公司與某市青少年活動中心聯合舉辦了“挑戰AI下棋機器人”的象棋對弈活動，由于活動中心機器人的數量有限，每人每天最多獲得一次對弈資格，活動中心每天只抽簽6次，每人在第次被抽中的概率為（取1，2，…，6）．（1）求張明同學在第3次抽簽時獲得對弈資格概率；（2）在活動中心參與測試的有A-1型和A-2型兩款機器人，活動規定：每位參賽者與機器人對弈三局，每局均可從這兩款中任選一款，假設選手選擇A-1型與A-2型的可能性相同，且每局比賽結果相互獨立．若選擇A-1型進行對弈，選手獲勝概率為，獲勝后可得1分，若選擇A-2型進行對弈，選手獲勝概率為，獲勝后得2分，平局或失敗均不得分，記參賽者得分為隨機變量X，求X的分布列及數學期望．18.已知圓心在軸上移動的圓經過點，且與軸、軸分別交于，兩個動點．（1）求點的軌跡的方程；（2）過作直線與曲線相交于，兩點．（i），直線，與曲線的另一個交點分別為，，證明直線過定點，并求出該定點；（ii）為點列，直線，與曲線的另一個交點分別為，，若數列的前項和為，證明．19.對于任意兩個正數，記區間上曲線下的曲邊梯形面積為，并規定，，記，其中．（1）若時，求證：；（2）若時，求證：；（3）若，直線與曲線交于，兩點，求證：（其中為自然常數）．

答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.A8.C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.BCD10.AB11.BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.9#14.①.12②.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）因為，，所以，．因為，根據正弦定理，可知，由二倍角公式得：，所以，或，即，或，①時，因為，所以，在中，根據余弦定理可得：，故；②時，因為，所以是邊長為6的等邊三角形，因為，故，解得．所以，或；（2）因為，所以的軌跡是以為圓心，2為半徑的且除去及中點的圓，顯然當時，的面積最大．此時，，，所以．16.（1）取的中點，連接，，因為是一個邊長為2的等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，，解得，中，根據余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，得到；（2）如圖，以，所在直線為軸，軸，過作的平行線為軸建立平面直角坐標系．，，，，，，．設平面的法向量為，則，令得，，所以平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，令得，所以平面的一個法向量，設平面與平面所成角為，為銳角．則，，．17.（1）設“張明同學在第3次抽簽時獲得對弈資格”為事件，第（取次被抽中為事件，則，又因為每個報名者在第次被抽中的概率為（取）．所以；（2）設：表示選手在某一局得到了分，則，，，因為每局比賽結果相互獨立，則可以取0，1，2，3，4，5，6，且：“三局比賽均得0分”，：“三局比賽中1局得1分，2局各得0分”，：“三局中1局得0分，2局各得1分”或“三局中1局得2分，2局各得0分”，：“三局中1局得0分，1局得1分，1局得2分”或“三局均得得1分”，：“三局中1局得0分，2局各得2分”或“三局中1局得2分，2局各得1分”，：“三局中1局得1分，2局各得2分”，：“三局比賽均得2分”．所以，，，，，，．所以參賽者得分分布列為0123456所以．18.（1）因為圓的圓心在軸上移動，所以與的中點為該圓的圓心，故圓心為．又因為在圓上，所以，即，化簡得：，所以點的軌跡的方程為；（2）因為弦的斜率必不為0，故設弦所在直線方程為，聯立方程，得，因為交于兩點，故，解得，或，設，，故，．（i）證明：因為，直線，與曲線的另一個交點分別為，，設直線．聯立方程，得，所以，，同理可得：．所以，解得．由上述解答可知：過軸上一定點的直線與拋物線交于兩點時，這兩點的橫坐標之積為定值，故猜想若為定值時，直線過的定點在軸上，下面進行證明．因為，可得直線的方程為：，令，解得，又因為，根據題目可知，，同號，故，所以，故直線恒過定點，定點；（ii）由（i）可知：若拋物線的弦與軸交于點，若，，則有，．由證明出的結論可知，，，因為為點列，直線，與曲線的另一個交點分別為，，故，，，．所以，解得．因為，可得直線的方程為：，由（i）同理可得：時，解得，又因為，根據題目可知，同號，故，所以，故直線過定點，所以，，于是．故，顯然，當時，，故，所以，得證．19.（1）因為，且，當時可知，所以，，所以成立；（2）解法一：要證，即證，如圖可知，為與，以及軸所圍成的曲邊梯形的面積．若直線與曲線交于點，過做切線，分別交，于，，過做軸的平行線分別交，于，，則，易知曲面梯形的面積大于，所以，所以，，得證．解法二：因為時，，所以要