中等職業學校規劃教材數學(基礎模塊)第一冊第五章三角函數一、教學目標二、知識結構圖§5.1角的概念的推廣任意角的概念按不同方向旋轉時所形成的角。如果一條射線沒有作任何旋轉，那么就說它形成了一個零角。正確理解正角、負角、零角概念的關鍵是抓住旋轉方向是逆時針、順時針還是沒有轉動。象限角和軸上角判斷象限角的前提是平面直角坐標系的建立方法——角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸正半軸重合。所有的角都可分為象限角和終邊在坐標軸上的角這兩類。終邊相同的角從“形”到“數”的研究

從“數”到“形”的研究終邊相同角的表示法，應當包括兩種基本情況：象限角和終邊落在x軸和y軸上的角。終邊相同的角注意與角終邊相同的角的集合的表示方法k是整數，是任意角；終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同；與某一個角終邊相同的角有無限多個，它們彼此相差360°的整數倍；角的集合表示形式不是惟一的。確定角所在的象限把所給的角化為+k?360°（0°≤<360°,

）的形式。由于角與角終邊相同，于是所在的象限就是角所在的象限。終邊落在第一象限的各角都可以轉化為銳角易混淆的幾個概念“銳角”指

的角；“小于90°的角”指

的角，包括

內的角、零角和所有負角；“0°到90°的角”指

的角；“第一象限角”指集合{| }中的角。“鈍角”指

的角；“第二象限角”指集合{| }中的角。“銳角”指

的角；“小于90°的角”指

的角，包括

內的角、零角和所有負角；“0°到90°的角”指

的角；“第一象限角”指集合{| }中的角。“鈍角”指

的角；“第二象限角”指集合{| }中的角。§5.2弧度制

弧度制產生的必要性及合理性“弧度制”是用弧的長度度量角的大小(角度制是用角度來度量角的大小)。1弧度的角是長度等于半徑的圓弧所對的圓心角，所以任一圓弧的長度與圓半徑之比就是該圓弧所對圓心角的弧度數。這個值不會因為圓的大小而改變，因此弧度數也是一個與圓的半徑無關的量。弧度制產生的必要性及合理性從“形”上分析：兩個半徑大小不同的圓，各取等于半徑之長的弧，它們所對的圓心角的大小相等，而且都是1弧度的角。從“數”上分析：弧長公式為

，設式中

為定數，則弧長公式為

，即

。而當

（圓周長）時，

（周角）與弧度定義相符。弧度制的優點有利于作三角函數的圖像；把圓弧長公式

化簡為角度與弧度的互化用“度”為單位表示角時，“°”（即“度”）不能省略不寫，但用弧度為單位表示角時，“弧度”或“rad”兩字可省略不寫。弧度數常常可以寫成多少

的形式，如無特殊需要，一般不必把

寫成小數。在書寫含有角的數學表達式時，采用單位必須一致。123§5.3任意角的三角函數任意角的正弦、余弦、正切函數任意角三角函數的定義任意角的三角函數值是比值，是一個實數明確sin

不是sin與的乘積，而是一個比值任意角的正弦、余弦、正切函數任意角三角函數的定義域如果點P不是原點，那么角的終邊OP落在坐標軸上的充要條件是點P的橫縱坐標中有且只有一個為0確定正弦、余弦、正切函數的定義域是使比值

，

，

有意義的角的范圍三角函數在各象限的符號正弦、余弦、正切函數值的符號是根據這三種函數的定義和各象限內的坐標符號確定的。判斷三角函數式的符號，需要先確定角所在的象限，再根據三角函數值在四個象限的符號決定函數式的符號。12求三角函數值軸上角的正弦、余弦、正切的三角函數值的求法利用計算器求三角函數值的方法§5.4三角函數的基本公式同角三角函數的基本關系同角三角函數的基本關系的引入只適用于“同角”只適用于使式中有意義的角三角函數的基本關系式：同角三角函數的基本關系同角三角函數的基本關系的變形同角三角函數的基本關系同角三角函數的基本關系的運用根據一個任意角的正弦、余弦、正切中的一個值求其余兩個值時，注意角所在的象限。若角所在的象限已指定，則只有一組結果。如果未指定角所在的象限，要分類討論，一般有兩組結果。只有平方關系變形需要開方時才要注意角的范圍對符號選取的影響，其它情況均可直接用公式進行變形運算。同角三角函數的基本關系利用同角三角函數基本關系式化簡三角函數式一是簡單三角函數式的要求：①三角函數的種類盡可能的少；②次數盡可能的低；③項數盡可能的少；④盡可能的不含分母；⑤盡可能的將根號中的因式移到根號外面來。二是求完全平方的三角函數式的算術平方根時，視其三角函數值的符號是否確定，要依據函數式的值的正負合理劃分自變量的取值區間，經過討論，確定所求的算術平方根。同角三角函數的基本關系證明恒等式的一般方法（1）從等式較繁的一邊出發，經恒等變形得到較簡單的一邊；（2）還可以利用已知恒等式，通過變換推出需要證明的恒等式；（3）若左、右兩邊繁簡程度相似，也可以根據作差比較法進行證明。誘導公式誘導公式一的推導借助終邊相同的角的定義推導出公式一誘導公式誘導公式二、三、四的推導研討問題:①觀察圖形，角與角的終邊有什么對稱關系？②角與角的終邊與單位圓交點的坐標P和P'之間有什么關系？③角與角的正弦函數值、余弦函數值及正切函數值的關系有什么樣的關系？④由特殊到一般。角與角

的終邊與單位圓交點的坐標還有上述的對稱關系嗎？點P與點P'是否具有對稱性，它們的坐標之間有什么關系？正弦函數、余弦函數及正切函數之間存在什么樣的關系？誘導公式求任意角三角函數值的步驟把求負角的三角函數值問題轉化為求正角的三角函數值問題；把求非負角的三角函數值問題轉化為求間的角的三角函數值問題；把求間的角的三角函數值問題轉化為求間的角的三角函數值問題；查表或用計算器求間的角的三角函數值。§5.5正弦函數、余弦函數的圖像和性質關于函數的周期性正弦函數的圖像和性質設

，則有三角函數是刻畫周期現象的一類重要模型一個函數如果是周期函數，那么它的周期有無窮多個并非任何一個周期函數都有最小正周期正弦函數的圖像——兩種方法正弦函數的圖像和性質描點法：所取各點的縱坐標都是利用計算器或查表得到的。缺點是不易描出對應點的準確位置，畫出的圖像不夠準確。“五點法”：列表→畫坐標系（注意單位長度）→描點→連線。幾何法：利用平移正弦函數線作正弦函數圖像。優點是畫圖比較準確，但學生不易掌握。本教材采用了易于學生接受的描點作圖法畫出正弦函數的圖像。12正弦函數的性質正弦函數的圖像和性質定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性、有界性等性質利用函數的單調性比較大小時，應該強調已知的自變量值是在增區間或減區間內再比較函數值的大小余弦函數的圖像和性質正弦、余弦函數圖像的不同點：

的圖像通過原點，且曲線關于原點對稱（奇函數）；

的圖像不通過原點，而是通過點（0，1），且曲線關于縱軸對稱（偶函數）。將函數

的圖像向左平移

個單位長度，也可以得到

的圖像已知三角函數值，求指定區間內角四個步驟①求出這個三函數值的絕對值所對應的一個銳角②根據知三角函數值確定所求角在第幾象限或終邊落在坐標軸上的位置③寫出0～2間的合條件的角，其中第二、三、四象限的角依次是④根據終邊相同的角的同一個三角函數值相等，寫出適合題目條件的所有角。三、補充資料用“度”表示的角的集合與實數集R之間的一一對應關系的對應法則是“1”的代換法三、補充資料誘導公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”、“奇余偶同，象限定號”（1）任意角總可以表示成

，

的形式，其中把看成銳角（實際上不一定是銳角）。（2）若k是奇數，結果中取原來函數的余函數（正弦函數與余弦函數互余，正切函數與余切函數互余）；若k是偶數，結果中取原來函數的同名函數；（3）把看成銳角，確定

，

所在的象限，結果中符號（或0）由

所在的象限及原來的函數的名稱共同確定。§補充試題&參考答案

三角函數與對數函數單元測試題三角函數與對數函數單元測試題三角函數與對數函數單元測試題三角函數單元測試題參考答案教材練習、習題參考答案教材練習、習題參考答案教材練習、習題參考答案教材練習、習題參考答案教材練習、習題參考答案教材練習、習題參考答案5.3.2三角函數在各象限的符號練一練1、橫，一或四，>，>，二或三，<，<；2、橫，縱，一或三，二或四；練一練1、二或四；2、二；3、一或三練一練(1)>,（2）<,（3）<,（4）<,（5）<,（6）>練一練-練習5.3.21、（1）<；(2)<；(3)<；(4)<；(5)>；(6)<；2、

和

有可能是負值；3、（1）第三或第四象限角；（2）第一或第三象限角；4、-教材練習、習題參考答案5.3.3求三角函數值練一練練一練1、2；2、1；練一練（1）0.7314；（2）0.1682；（3）-0.7002；（4）-0.7457；（5）-0.8090；練習5.3.31、-3；