專題8.2整式的乘法【十大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由整式乘除法求代數式的值】 3【題型2由整式乘除法求字母的值】 4【題型3利用整式乘除法解決不含某項問題】 7【題型4利用整式乘除法解決與某個字母取值無關的問題】 10【題型5利用整式乘除法解決污染問題】 13【題型6利用整式乘除法解決誤看問題】 15【題型7整式乘除法的應用】 17【題型8整式乘除法中的規律問題】 20【題型9整式乘除法中的新定義問題】 24【題型10整式乘除法中的幾何圖形問題】 29知識點：整式的乘法、除法1．單項式與單項式相乘法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．（3）單項式乘單項式的結果仍然是單項式．【注意】（1）積的系數等于各項系數的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．（2）相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算．2．單項式與多項式相乘法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．【注意】（1）單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項．（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結果．3．多項式與多項式相乘（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．積．4．單項式除以單項式單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．式．【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．5．多項式除以單項式多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．【題型1由整式乘除法求代數式的值】【例1】（23-24九年級上·安徽銅陵·期中）已知a2+a?1=0，則代數式a+2a?2+aa+2【答案】?2【分析】由已知得a2【詳解】解：∵a2∴a2∴a+2a?2故答案為：?2．【點睛】本題考查了整式的混合運算，代數式求值，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．【變式1-1】（23-24八年級·福建泉州·期中）若a?b=3，ab=?4，則a?2b+2值為【答案】?2【分析】本題主要考查代數式的值及多項式乘以多項式，熟練掌握各個運算是解題的關鍵；因此此題先把所求整式進行展開，然后再代值求解即可．【詳解】解：∵a?b=3，ab=?4，∴a?2=ab+2=?4+6?4=?2；故答案為：?2．【變式1-2】（23-24八年級·山東聊城·期中）如果5?a6+a=12，那么?2a【答案】?28【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，代數式求值，先根據多項式乘以多項式的計算法則求出?a2?a=?18【詳解】解：∵5?a6+a∴30?6a+5a?a∴?a∴?2a故答案為：?28．【變式1-3】（23-24八年級·福建·期中）已知x2?3x?1=0，則代數式x3【答案】2022【分析】由x2?3x?1=0，變形x2=3x+1，利用此等式進行降次，化簡整體代入計算即可．【詳解】由x2?3x?1=0，變形x2=3x+1，x2-3x=1，x3?10x+2019，=x(3x+1)-10x+2019，=3x2-9x+2019，=3(x2-3x)+2019，=3+2019，=2022．故答案為：2022．【點睛】本題考查代數式的值，關鍵是把條件等式變形會降次，會整體代入求值．【題型2由整式乘除法求字母的值】【例2】（23-24八年級·安徽合肥·期中）已知(x+a)(x+b)=x2+mx+12，m、a、b都是整數，那么m的可能值的個數為(

A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根據多項式乘多項式的乘法法則，求得a+b=m，ab=12，再進行分類討論，從而解決此題．【詳解】解：(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+∵(x+a)(x+b)=x2+mx∴a+b=m，ab=12．∵m、a、b都是整數，∴當a=1時，則b=12，此時m=a+b=1+12=13；當a=-1時，則b=-12，此時m=a+b=-1-12=-13；當a=2時，則b=6，此時m=a+b=2+6=8；當a=-2時，則b=-6，此時m=a+b=-2-6=-8；當a=3時，則b=4，此時m=a+b=3+4=7；當a=-3時，則b=-4，此時m=a+b=-3-4=-7；當a=12時，則b=1，此時m=a+b=12+1=13；當a=-12時，則b=-1，此時m=a+b=-12-1=-13；當a=6時，則b=2，此時m=a+b=6+2=8；當a=-6時，則b=-2，此時m=a+b=-6-2=-8；當a=4時，則b=3，此時m=a+b=4+3=7；當a=-4時，則b=-3，此時m=a+b=-4-3=-7．綜上：m=±13或±8或±7，共6個．故選：C．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的乘法法則、分類討論的思想是解決本題的關鍵．【變式2-1】（23-24八年級·江蘇揚州·期中）若x+1x?3=x2+mx?3【答案】?2【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，正確計算出x2根據多項式乘以多項式的計算法則把等式左邊去括號得到m的值即可得到答案．【詳解】解：∵x+1x?3∴x2∴x2∴m=?2．故答案為：?2．【變式2-2】（23-24八年級·浙江杭州·期中）不論x為何值，(x+2)(x+a)=x2+ax+2x+2a=x2+(a+2)x+2a【答案】5【分析】根據多項式乘以多項式的法則展開，求出a的值以及a與k的關系，然后可得答案．本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【詳解】∵(x+2)(x+a)=x又∵(x+2)(x+a)=x∴x2∴a+2=k，2a=6，∴a=3，∴k=3+2=5．故答案為：5．【變式2-3】（23-24八年級·浙江溫州·期中）關于x的整式A=2x+1，它的各項系數之和為∶2+1=3(常數項系數為常數項本身)．已知B是關于x的整式，最高次項次數為2，系數為1．若B?(x+3)=C,C是一個只含兩項的多項式，則B各項系數之和的最大值為．【答案】7【分析】本題考查整式的定義，多項式乘多項式，解二元一次方程．根據題意對整式B的表述，可設B=x2+ax+b(a、b為待求的常數），計算B?(x+3)，整理后得到關于x的三次四項式．由于條件說乘積是只有兩項，故有兩項的系數為0，需分3種情況討論計算，列得關于a【詳解】解：∵B是關于x的整式，最高次項次數為2，二次項系數為1，∴設B=x2+ax+b，a∴B(x+3)=(==x∵乘積是一個只含有兩項的多項式，①a+3=03a+b=0解得：a=?3b=9∴B=x2?3x+9，②a+3=03b=0解得：a=?3b=0∴B=x2?3x，③3a+b=03b=0解得：a=0b=0∴B=x2．各項系數之和為∵7>1>?2；則B各項系數之和的最大值為7．故答案為：7．【題型3利用整式乘除法解決不含某項問題】【例3】（23-24八年級·山東聊城·期末）已知多項式M=x2?3ax+6，N=x+3，且MN=A，當多項式A中不含x的2次項時，aA．?1 B．?13 C．0【答案】D【分析】本題考查的是整式的乘法—多項式乘多項式，正確進行多項式的乘法是解答此題的關鍵．根據題意列出整式相乘的式子，再計算多項式乘多項式，最后進行合并同類項，令二次項的系數等于0即可．【詳解】解：∵MN==∴A=MN=∵多項式A中不含x的2次項時，∴3?3a=0∴a=1故選D．【變式3-1】（23-24八年級·河南商丘·期末）已知關于x的多項式ax?b與3x2+x+2的乘積的展開式中不含x的二次項，且一次項系數為?5，則aA．?13 B．13 【答案】C【分析】本題考查多項式乘以多項式，解二元一次方程組，解題的關鍵是明確不含x的二次項，則二次項的系數為0．根據多項式乘以多項式法則進行運算，再將計算結果中，利用二次項系數為零與一次項的系數為?5的要求建立方程組，即可求解．【詳解】解：ax?b3=3ax=3ax∵多項式ax?b與3x2+x+2∴a?3b=02a?b=?5解得：a=?3b=?1∴a=?3；故選：C．【變式3-2】（23-24八年級·全國·專題練習）小萬和小鹿正在做一道老師留下的關于多項式乘法的習題：(x(1)小萬在做題時不小心將x?a中的x寫成了x2，結果展開后的式子中不含x的二次項，求a(2)小鹿在做題時將x2+3x?2中的一個數字看錯成了k，結果展開后的式子中不含x的一次項，則【答案】(1)a=?2(2)k=1或?6【分析】本題主要考查多項式乘以多項式，熟練掌握多項式乘以多項式計算法則是解題的關鍵．（1）根據多項式乘以多項式計算法則將對應算式展開并合并同類項，令二次系數為0，即可求出答案，（2）根據多項式乘以多項式計算法則將對應算式展開并合并同類項，令一次系數為0，即可求出答案．【詳解】（1）解：(==∵展開后的式子中不含x的二次項，∴a+2=0，解得a=?2；（2）解：①若將x2+3x?2中的3看成(==x∵展開后的式子中不含x的一次項，∴2k?2=0，∴k=1．②若將x2+3x?2中的?2看成(==x∵展開后的式子中不含x的一次項，∴6+k=0，解得k=?6．③若指數2看作k，當k=0時，原式=(1+3x?2)(x+2)=3不符合題意；④若指數2看作k，當k=1時，原式=(x+3x?2)(x+2)=4x不符合題意；k=1或?6．【變式3-3】（16-17八年級·四川成都·期末）已知(x2+mx+1)(x2﹣2x+n)的展開式中不含x2和x3項．(1)分別求m、n的值；(2)化簡求值：(m+2n+1)（m+2n﹣1）+（2m2n﹣4mn2+m3）÷（﹣m）【答案】（1）m的值為2，n的值為3（2）2mn+8n2﹣1；83【分析】（1）先將題目中的式子化簡，然后根據x2+mx+1x2?2x+n的展開式中不含x2和（2）先化簡題目中的式子，然后將m、n的值代入化簡后的式子即可解答本題．【詳解】解：（1）x=x4﹣2x3+nx2+mx3﹣2mx2+mnx+=x4+（﹣2+m）x3+（n﹣2m+1）x2+（mn﹣2）∵x2+mx+1x2?2x+n∴﹣2+m=0n﹣即m的值為2，n的值為3；（2）（m+2n+1）（m+2n﹣1）+（2m2n﹣4mn2+m3=[（m+2n）+1][（m+2n）﹣1]﹣2mn+4n2﹣=（m+2n）2﹣1﹣2mn=m2+4mn+4n2﹣1﹣2mn+4n=2mn+8n2當m=2，n=3時，原式=2×2×3+8×32【點睛】本題考查整式的混合運算—化簡求值，熟練掌握整式混合運算法則是解題的關鍵．【題型4利用整式乘除法解決與某個字母取值無關的問題】【例4】（23-24八年級·湖南常德·期中）知識回顧：八年級學習代數式求值時，遇到過這樣一類題“代數式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數合并同類項，因為代數式的值與x的取值無關，所以含x項的系數為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，則理解應用：(1)若關于x的多項式2m2?3x?m3?5x的值與(2)已知A=2x+13x?1?x5+3y，B=2x2?3xy+4【答案】(1)m=(2)y=【分析】（1）先去括號，然后合并同類項，結合多項式的值與x的取值無關，即可求出答案；（2）先把A進行化簡，然后計算2A?6B，結合多項式的值與x的取值無關，即可求出答案．【詳解】（1）解：2=2=(5m?3)x+2m2∵其值與x的取值無關，∴5m?3=0，

解得：m=35即：當m=35時，多項式2m（2）解：∵A=(2x+1)(3x?1)?x(5+3y)，B=2x∴2A?6B=2[(2x+1)(3x?1)?x(5+3y)]?6(2x=2(6x=12x=12xy?8x?26=4x(3y?2)?26；

∵2A?6B的值與x無關，∴3y?2=0，即y=2【點睛】本題考查了整式的加減乘混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式4-1】（23-24八年級·陜西咸陽·階段練習）已知A=x2+3x?a，B=?x，C=x3+3x2+5，若A?B+CA．0 B．4 C．?4 D．2【答案】B【分析】此題主要考查了整式的混合運算無關型題目，代數式求值，首先根據多項式乘多項式的方法，求出A?B的值是多少，然后用它加上C，求出A?B+C的值是多少，最后根據A?B+C的值與x的取值無關，可得x的系數是0，據此求出a的值，最后代入求值即可．【詳解】解：∵A=x2+3x?a，B=?x∴A?B+C==?=ax+5，∵A?B+C的值與x的取值無關，∴a=0，∴A=x當x=?4時，A=?4故選：B．【變式4-2】（23-24八年級·四川成都·期中）若代數式2x+23x+m?2x3x+6的值與x的取值無關，則常數【答案】3【分析】此題考查整式的混合運算，先運算多項式乘以多項式和單項式乘以多項式，然后合并，進而根據與x的取值無關得到2m?6=0，解方程即可．【詳解】解：2x+23x+m∵代數式的值與x的取值無關，∴2m?6=0，解得m=3，故答案為：3．【變式4-3】（23-24八年級·浙江金華·期末）若代數式x5kx?3xy?k?33x2y?4A．2 B．?2 C．?4 D．4【答案】A【分析】本題考查整式的四則混合運算，先將題目中的式子化簡，然后根據此代數式的值與y的取值無關，可知關于y的項的系數為0，從而可以求得k的值．【詳解】解：x=5k=?3k=∵關于y的代數式：x5kx?3xy?k?3∴?3k+6=0，解得k=2，即當k=2時，代數式的值與y的取值無關．故選：A.【題型5利用整式乘除法解決污染問題】【例5】（23-24八年級·貴州遵義·期末）小明作業本發下來時，不小心被同學沾了墨水：24x4yA．?18x3y2 B．18x3【答案】B【分析】利用多項式乘單項式的運算法則計算即可求解．【詳解】解：(?4x2y2+3xy?y)?(?6x2y)=24x4y3?18x3y2+6x2y2，∴■=18x3y2．故選：B．【點睛】本題主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法則是解題的關鍵．【變式5-1】（23-24八年級·湖北十堰·期末）右側練習本上書寫的是一個正確的因式分解.但其中部分代數式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代數式；（2）若被污染的代數式的值不小于4，求x的取值范圍.【答案】（1）?2x?4；（2）x≤?4【分析】（1）根據題意，被墨水污染的代數式=2x+5(x－2)－(2（2）由（1）中結果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解題．【詳解】解：（1）由已知可得，2x+5=2x=?2x?4（2）由已知可得，?2x?4≥?2x≥解得x≤?4【點睛】本題考查整式的混合運算、解一元一次不等式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．【變式5-2】（23-24八年級·全國·課后作業）小明在做練習冊上的一道多項式除以單項式的習題時，一不小心，一滴墨水污染了這道習題，只看見了被除式中第一項是?8x3y3及中間的“÷”，污染后習題形式如下：(?8x3y3【答案】復原后的算式為?8【分析】先根據被除式的首項和商式的首項可求得除式，然后根據除式乘商式等于被除式求解即可．【詳解】解：∵?8x3y∴除式為：?8x根據題意得：4x∴復原后的算式為?8x【點睛】本題主要考查的是整式的除法和乘法，掌握運算法則是解題的關鍵．【變式5-3】（23-24八年級·上海奉賢·期中）小紅準備完成題目：計算（x2

x+2）（x2﹣x）．她發現第一個因式的一次項系數被墨水遮擋住了．（1）她把被遮住的一次項系數猜成3，請你完成計算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；（2）老師說：“你猜錯了，這個題目的正確答案是不含三次項的．”請通過計算說明原題中被遮住的一次項系數是多少？【答案】（1）x4【分析】（1）根據多項式的乘法進行計算即可；（2）設一次項系數為a，計算x2+ax+2x【詳解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）==（2）設一次項系數為a，x==∵答案是不含三次項的∴a?1=0∴a=1【點睛】本題考查了多項式的乘法運算，正確的計算是解題的關鍵．【題型6利用整式乘除法解決誤看問題】【例6】（23-24八年級·山東菏澤·期中）某同學在計算一個多項式乘4x2時，因抄錯運算符號，算成了加上4xA．?4x4+8C．?4x4+x【答案】A【分析】設這個多項式為M，根據題意可得M=?x【詳解】解：設這個多項式為M，∵計算一個多項式乘4x2時，因抄錯運算符號，算成了加上4x∴M+4x∴M=3x∴正確的結果為?x故選A．【變式6-1】（23-24八年級·江西萍鄉·期中）小穎在計算一個整式乘以3ac時，誤看成了減去3ac，得到的答案是13【答案】ab【分析】本題主要考查了整式乘法運算，根據一個整數減去3ac，得到的答案是13bc?3ac?23ab【詳解】解：根據題意得：3ac=3ac=abc故該題正確的計算結果應是abc【變式6-2】（23-24八年級·江西九江·階段練習）已知A、B均為整式，A=xy+1xy?2?2x2y2+2，小馬在計算(1)將整式A化為最簡形式．(2)求整式B．【答案】(1)?x(2)B=?xy．【分析】（1）根據整式混合運算的運算順序和運算法則進行化簡即可；（2）根據題意可得A?B=?x本題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握整式的混合運算順序和運算法則．【詳解】（1）A=xy+1=x=?x（2）由題意，得A?B=?由（1）知A=?x∴?x∴B=?xy．【變式6-3】（23-24八年級·河南南陽·階段練習）甲、乙二人共同計算一道整式乘法：2x+a3x+b，由于甲抄錯為2x?a3x+b，得到的結果為6x2+11x?10(1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？(2)請你計算出這道整式乘法的正確答案．【答案】(1)a=?5，b=?2(2)6【分析】（1）按照甲、乙兩人抄的錯誤的式子進行計算，得到2b?3a=11①，2b+a=?9②，解關于①②的方程組即可求出a、（2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正確結果．【詳解】（1）根據題意可知，甲抄錯為2x?a3x+b，得到的結果為6那么2x?a3x+b可得2b?3a=11乙抄錯為2x+ax+b，得到的結果為2可知2x+a可得2b+a=?9②解關于①②的方程組，可得a=?5，b=?2；（2）正確的式子：2x?【點睛】本題主要是考查多項式的乘法以及二元一次方程組，掌握多項式乘多項式運算法則是正確解決問題的關鍵．【題型7整式乘除法的應用】【例7】（23-24八年級·浙江杭州·階段練習）有總長為l的籬笆，利用它和一面墻圍成長方形園子，園子的寬度為a．(1)如圖1，①園子的面積為（用關于l，a的代數式表示）．②當l=100，(2)如圖2，若在園子的長邊上開了長度為1的門，則園子的面積相比圖一（填增大或減小），并求此時園子的面積（寫出解題過程，最終結果用關于l，a的代數式表示）．【答案】(1)①al?2a(2)增大；al?2【分析】本題考查了列代數式及代數式求值，正確列出代數式是解題的關鍵．（1）①先用l和a的代數式表示出園子的長，再表示出園子的面積；②把l=100，a=30代入①中的代數式進行計算即可；（2）由園子的寬不變，長增加了，即可判斷出園子的面積增大了，表示出園子的長，即可求出園子的面積．【詳解】（1）解：①∵總長為l，寬為a，∴園子的長為：l?2a，∴園子的面積為：al?2a故答案為：al?2a②當l=100，a=30時，a=30×100?2×=3000?2×900=3000?1800=1200；（2）解：∵園子的寬不變，長增加了，∴園子的面積增大了，∵在園子的長邊上開了1的門，∴園子的長為：l+1?2a=l+1?2a∴園子的面積為：al+1?2a∴園子增加的面積為：al+a?2a答：園子的面積增加了，此時園子的面積al+a?2a故答案為：增大．【變式7-1】（23-24八年級·重慶·期末）某農場種植了蔬菜和水果，現在還有兩片空地，農場計劃在這兩片空地上種植水果黃瓜、白黃瓜和青黃瓜．已知不同品種的黃瓜畝產量不同，其中白黃瓜的畝產量是青黃瓜的12，如果在空地種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為2：3：4，則水果黃瓜的產量是白黃瓜與青黃瓜產量之和的2倍；如果在空地上種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產量之比為【答案】5:8:12【分析】設青黃瓜的畝產量為x，則白黃瓜的畝產量為12x，白黃瓜的種植面積為2y，青黃瓜的種植面積為3y，水果黃瓜的種植面積為4y，據此求出水果黃瓜的產量是8xy，進而得到水果黃瓜的畝產量為【詳解】解：設青黃瓜的畝產量為x，則白黃瓜的畝產量為12x，白黃瓜的種植面積為2y，青黃瓜的種植面積為3y，水果黃瓜的種植面積為∴青黃瓜的產量為3xy，白黃瓜的產量為xy，∴水果黃瓜的產量是23xy+xy∴水果黃瓜的畝產量為8xy4y∴當種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產量之比為5×1故答案為：5:8:12．【點睛】本題主要考查了整式的加減計算，單項式除以單項式，正確根據題意求出水果黃瓜的畝產量為2x是解題的關鍵．【變式7-2】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期中）一家住房的結構如圖所示，房子的主人打算把臥室鋪上地板，臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果這種地磚的價格為a元/平方米，地板的價格(a?10)元/平方米，那么購買地板和地磚至少共需要多少元？

【答案】需要11xy平方米的地磚，購買地板和地磚至少共需要15axy?40xy元【分析】根據圖形表示出客廳，衛生間，以及廚房的面積，相加，在乘地磚的單價；算出臥室的面積，再乘地板的單價，算出總價格即可．【詳解】解：2x?4y+x?2y+xy=11xy平方米，4xy(a?10)+11xy?a=15axy?40xy則需要11xy平方米的地磚，購買地板和地磚至少共需要15axy?40xy元．【點睛】此題考查了整式的運算的應用，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式7-3】（23-24八年級·全國·專題練習）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個長方體構成的，大長方體的長、寬、高分別為：52a、2a、32a，小長方體的長、寬、高分別為：2a、a、a

(1)生產配件①與配件②分別需要多長體積的原材料（不計損耗）？(2)若兩個配件①與一個配件②可以用于加工一個玩具，每個玩具在市場銷售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？【答案】(1)生產配件①需要的原材料的體積是：172a3；生產配件②需要的原材料的體積是：a(2)6000019【分析】（1）先算出兩個長方體的體積，再相加，即可得出配件①的體積，求出棱長為a的正方體體積，即可得出配件②的體積；（2）先計算出生產玩具的個數，再計算獲利即可．【詳解】（1）生產配件①需要的原材料的體積是：52生產配件②需要的原材料的體積是：a?a?a=a（2）根據題意得：1000a答：1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利【點睛】本題主要考查了整式的運算的應用，掌握運算法則是解題的關鍵．【題型8整式乘除法中的規律問題】【例8】（23-24八年級·四川成都·期中）觀察：下列等式x?1x+1=x2?1，x?1x2+x+1=【答案】?1【分析】本題考查了多項式乘法中的規律探索、求代數式的值，由題意得出根據x?1xn+xn?1+…+1=【詳解】解：∵x?1x+1=x2?1∴x?1x∵x?1x∴x7∴x7∴x=1，當x=1時，x2024故答案為：?1．【變式8-1】（23-24八年級·廣東揭陽·期中）在日歷上，我們可以發現其中某些數滿足一定的規律，如圖是2020年11月份的日歷，我們任意用一個2×2的方框框出4個數，將其中4個位置上的數交叉相乘，再用較大的數減去較小的數，你發現了什么規律？(1)圖中方框框出的四個數，按照題目所說的計算規則，結果為．(2)換一個位置試一下，是否有同樣的規律？如果有，請你利用整式的運算對你發現的規律加以證明；如果沒有，請說明理由．【答案】(1)7(2)有同樣的規律，證明見解析【分析】（1）按照題目要求列式計算即可；（2）設方框框出的四個數分別為a，【詳解】（1）解：10×4?3×11=40?33=7，故答案為：7；（2）有同樣的規律，證明：設方框框出的四個數分別為a，則a+1==7．【點睛】此題考查了整式混合運算的應用，熟練掌握整式的四則混合運算法則是解題的關鍵．【變式8-2】（23-24八年級·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開展研究性學習，對兩位數乘法的速算技巧進行研究．小明發現“十位相同，個位互補”的兩個兩位數相乘有速算技巧．例如：24×26=100×2×342×48=100×4×5小紅發現“十位互補，個位為5”的兩個兩位數相乘也有速算技巧．例如：45×65=100×4×6+535×75=100×3×7+5(1)請你按照小明發現的技巧，寫出計算63×67的速算過程；(2)請你用含有字母的等式表示小明所發現的速算規律，并驗證其正確性；(3)小穎發現：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補，個位相同”的兩個兩位數相乘．請你直接用含有字母的等式表示該規律．友情提示：如果兩個正整數和為10，則稱這兩個數互補．【答案】(1)4221(2)10a+b10a+c(3)10x+y【分析】（1）根據小明發現的速算規律對63×67進行計算即可得出答案；（2）設其中一個兩位數的十位數為a，個位數為b，則另一個兩位數的十位數為a，個位數為c，其中b+c=10，那么這兩個兩位數分別為10a+b，10a+c，然后將常規計算得到的結果與小明速算方法得到的結果進行比較即可得出結論；（3）仔細閱讀小紅發現的速算規律，再進行推廣，并用字母表示出來即可．【詳解】（1）63×67=100×6×7（2）小明所發現的速算規律是：10a+b10a+c=100aa+1驗證小明的速算規律：設其中一個兩位數的十位數為a，個位數為b，則另一個兩位數的十位數為a，個位數為c，其中b+c=10，∴這兩個兩位數分別為：10a+b，10a+c，常規的計算方法是：10a+b10a+c∵b+c=10，∴10a+b10a+c小明的速算方法是：100a+b10a+c∴小明的速算方法是正確的．（3）小穎發現的速算規律是：10x+y10z+y=100xz+y證明如下：設其中一個兩位數的十位數為x，個位數為y，則另一個兩位數的十位數為z，個位數為y，其中x+z=10，∴這兩個兩位數分別為：10x+y，10z+y，常規的計算方法是：10x+y∵x+z=10，∴10x+y10z+y【點睛】此題主要考查了數字變化的規律，讀懂題目中的信息，理解“十位相同，個位互補”和“十位互補，個位相同”數字的變換規律的探索過程是解答此題的關鍵．【變式8-3】（23-24八年級·福建寧德·期中）下圖揭示了(a+b)n（n為非負整數）的展開式的項數及各項系數的有關規律．請觀察并解決問題：今天是星期五，再過7天也是星期五，那么再過514天是星期

……(a+b)……(a+b)……a+b……a+b【答案】天（日）【分析】本題考查了多項式乘法的展開式，能發現a+bn展開后，各項是按a的降冪排列的，系數依次是從左到右a+b根據514=49+2【詳解】解：∵(a+b)(a+b)a+b∴a+b∴51=∴514∴假如今天是星期五，那么再過514故答案為：天．【題型9整式乘除法中的新定義問題】【例9】（23-24八年級·陜西榆林·期末）【問題背景】現定義一種新運算“⊙”對任意有理數m，n，規定：m⊙n=mnm?n例如：1⊙2=1×2×1?2【問題推廣】（1）先化簡，再求值：a+b⊙a?b，其中a=1【拓展提升】（2）若x2y⊙x⊙y=x【答案】（1）2a2b?2b3，【分析】（1）先運用新運算法則化簡，然后將a=12、（2）先對括號內用新運算法則化簡，然后再對括號外運算，然后結合x2【詳解】解：（1）a+b=2ba當a=12，b=?1時，原式（2）x=x2y又∵x2∴xp∴xpyq∴p=5，q=4．【點睛】本題主要考查了新定義運算、整式的四則混合運算、同類項等知識點，理解新運算法則是解答本題的關鍵．【變式9-1】（23-24八年級·浙江寧波·期中）定義abcd=ad?bc，如1324(1)若B=4，求x的值；(2)若A中的n滿足2×2n+1=22【答案】(1)x=1；(2)4．【分析】(1)根據題目中的新定義，先化簡B，然后根據B=4，即可得到x的值；(2)根據，可以得到n的值，再根據A=B+2，可得4x2=2x+1本題考查了整式的混合運算、新定義，理解新定義運算是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意得，B=x+1∵B=4，∴4x=4，∴x=1；（2）解：由題意得，A=(2x+1)?2x?(nx?1)=4x∵2×2∴2n+2∴n+2=2，∴n=0，∴A=4x由（1）知，B=4x，∵A=B+2，4x∴4x∴8=2x?(2x+1)?4x+3，=4x=2x+1+2x?4x+3，=4．【變式9-2】（23-24八年級·湖南株洲·期末）定義：如果一個數的平方等于?1，記為i2=?1，這個數i叫做虛數單位，把形如a+bi(a、b為實數)的數叫做復數，其中a叫做這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似.例如：2?i根據以上信息，完成下列問題:(1)計算：i3，i(2)計算：1+i×(3)計算：i+【答案】(1)?i，1(2)7?i(3)?1【分析】(1)根據定義即可分別求得結果；(2)首先根據多項式乘多項式法則去括號，再根據定義及有理數的加減進行運算，即可求得結果；(3)首先根據復數的定義計算，找到規律，再根據規律進行運算，即可求得結果．【詳解】（1）解：i3i4（2）解：1+i=3?4i+3i?4=3?i+4=7?i；（3）解：∵i=i，i2=?1，i3=?i，i4=1，i5∴每4個為一循環，且i+i∵2023÷4=505???3，∴i+==0×505+i?1?i=?1．【點睛】本題考查了新定義，多項式乘多項式法則，數字類規律，解答本題的關鍵是明確題意，發現相鄰幾個數相加的和的規律．【變式9-3】（23-24八年級·內蒙古烏蘭察布·期末）定義：LA是多項式A化簡后的項數，例如多項式A=x2+2x?3，則LA=3，一個多項式A乘多項式B化簡得到多項式C（即C=A×B），如果LA≤LC≤LA(1)若A=x?2，B=x+3，則B是不是A的“郡園多項式”？請判斷并說明理由；(2)若A=x?2，B=x2+ax+4是關于x的多項式，且B是A(3)若A=x2?x+3m，B=x2+x+m是關于x的多項式，且【答案】(1)B是A的“郡園多項式”，理由見解析(2)2(3)m=0或m=【分析】本題主要考查了多項式乘法中的無關型問題，熟知多項式乘以多項式的計算法則是解題的關鍵．（1）先計算出C=A?B=x2+x?6，則LA=2（2）先計算出C=A?B=x3+a?2x2+（3）先求出C=A?B=x4+4m?1x2+2mx+3m2當m=0時，則LA=2，LC=2，此時B是A【詳解】（1）解：B是A的“郡園多項式”，理由如下：∵A=x?2，B=x+3，∴C=A?B===x∵LA=2，∴LC∴B是A的“郡園多項式”；（2）解：∵A=x?2，B=x∴C=A?B===x∵LA=2，B是∴LC∴a?2=04?2a=0∴a=2，故答案為：2；（3）解：∵A=x2?x+3m∴C=A?B===x當m=0時，則LA=2，LC=2，此時當m≠0時，LA∵B是A的“郡園志勤多項式”，∴LC∴4m?1=0，∴m=1綜上所述，m=0或m=1【題型10整式乘除法中的幾何圖形問題】【例10】（23-24八年級·遼寧遼陽·期中）現定義了一種新運算“?”，對于任意有理數a，b，c，d，規定a,b?c,d=ad?bc

請解答下列問題：(1)填空：?2,3?(2)若2x2+1,nx?1?5,x?2(3)求3x+1,x?2?x+2,x?3的值，其中(4)如圖1，小長方形長為a，寬為b，用5張圖1中的小長方形按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內，其中AB=5，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設左下角長方形的面積為S1，右上角長方形的面積為S2．當2S【答案】(1)?22(2)n=(3)?1(4)24【分析】本題主要考查了新定義，多項式乘以多項式：（1）根據新定義計算求解即可；（2）根據新定義求出2x2+1,nx?1?5,x?2（3）根據新定義求出3x+1,x?2?（4）根據所給圖形可得S1=a5?3b，S2=b【詳解】（1）解：由題意得，?2,3?（2）解：2==2=2∵代數式中不含x的一次項，∴1?5n=0，∴n=1（3）解：3x+1,x?2==3=3=2∵x2∴原式=2x（4）解：根據題意得：2a5?3b整理得：2a?3b=4，∴2a+b,?6b==6=3a=12a?18b=6=24．【變式10-1】（23-24八年級·浙江溫州·期中）小陳用五塊布料制作靠墊面子，其中四周的四塊由長方形布料裁成四塊得到，正中的一塊正方形布料從另一塊布料裁得，靠墊面子和布料尺寸簡圖，如圖所示∶(1)用含a，b的代數式表示圖中陰影部分小正方形的面積．(2)當a2+4b【答案】(1)a(2)784【分析】本題考查了整式運算的應用；能表示出陰影部分的面積是解題的關鍵．（1）由圖可求得小長方形的長為3a+b，小長方形的寬為2a?b，可求大正方形的邊長，由S陰影（2）將a2+4b【詳解】（1）解：由題