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文檔簡介
專題6.3實數【十大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實數的概念理解】 2【題型2實數的運算】 4【題型3估算無理數的大小】 6【題型4估算無理數的整數部分或小數部分】 9【題型5實數與數軸】 11【題型6實數的大小比較】 14【題型7程序設計中的實數運算】 16【題型8新定義中的實數運算】 19【題型9實數運算的實際應用】 21【題型10實數運算中的規律探究】 24知識點1:實數無限不循環小數叫做無理數.常見類型:①特定結構的無限不循環小數,如0.303003000300003…(兩個3之間依次多一個0).②含有π的絕大部分數,如2π.【題型1實數的概念理解】【例1】(23-24七年級·陜西西安·期中)下列各數是無理數的是(
)A.0.101001 B.?2 C.π2 D.【答案】C【分析】根據無理數的定義判斷即可.【詳解】解:A、0.101001是有限小數,屬于有理數;B、?2是整數,屬于有理數;C、π2D、9=3故選:C.【點睛】此題主要考查了無理數的定義,其中初中范圍內學習的無理數有:π,2π等;開方開不盡的數;以及像0.1010010001…,等有這樣規律的數.【變式1-1】(23-24七年級·河南安陽·期中)把下列各數的序號分別填入相應的集合內:①?1112,②32,③1?4,④0,⑤?0.4,⑥3?125,⑦?π(1)整數集合:(
)(2)分數集合:(
)(3)無理數集合:(
)【答案】(1)③④⑥(2)①⑨⑩(3)②⑤⑦⑧【分析】本題考查了有理數、實數和無理數的分類,熟練掌握無理數、有理數、實數的分類是解題的關鍵.(1)根據整數的定義作答即可;(2)根據分數的定義作答即可;(3)根據無理數的定義作答即可.【詳解】(1)解:③1?4=1?2=?1是整數,④0是整數,⑥整數集合:③④⑥故答案為:
③④⑥(2)①?1112是分數,⑨0.23是分數,⑩分數集合:①⑨⑩故答案為:①⑨⑩(3)②32是無理數,⑤?0.4是無理數,⑦?π故答案為:②⑤⑦⑧【變式1-2】(23-24七年級·湖南衡陽·期中)?13的絕對值是,5?26的相反數是【答案】13?5+【分析】本題是對絕對值和相反數知識的考查,熟練掌握實數知識是解決本題的關鍵.根據絕對值和相反數知識求解即可.【詳解】解:?13絕對值是135?26的相反數是:?故答案為:13;?5+【變式1-3】(23-24七年級·山東日照·期中)已知a,b都是有理數,且3?1a+2b=3+3,求A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】本題考查的是無理數的含義,二元一次方程組的解法,理解題意建立方程組解題是關鍵.由a,b都是有理數,且3?1【詳解】解:∵3?1∴3a+∵a,b都是有理數,∴a=1?a+2b=3解得a=1b=2則a+b=1+2=3.故選:C.【題型2實數的運算】【例2】(23-24七年級·四川瀘州·期中)計算:?1【答案】0【分析】此題考查了實數的運算,原式第一項利用乘方的意義計算,第二項利用乘方的意義及乘法法則計算,第三項利用立方根定義及絕對值的代數意義化簡,最后一項利用除法法則變形計算即可得到結果,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.【詳解】?=?1?=?1+1?1+1=0.【變式2-1】(23-24七年級·新疆烏魯木齊·期中)計算:(1)9+(2)1?2【答案】(1)7(2)?1【分析】本題考查了實數的運算,主要涉及算術平方根、立方根、絕對值等知識,熟練掌握這些知識是關鍵;(1)分別計算算術平方根、立方根及乘方,再相加減即可;(2)計算絕對值后,再化簡即可.【詳解】(1)解:9=3+1?3+6=7;(2)解:1?==?1.【變式2-2】(23-24七年級·云南昭通·期中)計算:?1【答案】3【分析】本題考查了實數的運算,熟練掌握實數的運算法則是解題的關鍵.利用實數的運算法則計算即可.【詳解】解:?=?1+5?4×=?1+5?2?1+=3【變式2-3】(23-24七年級·甘肅平涼·期中)計算:(1)364(2)3?【答案】(1)0(2)1【分析】本題考查了實數的混合運算,結合算術平方根、立方根、乘方的知識,熟練掌握知識、正確計算是解題的關鍵.(1)先計算算術平方根,立方根,再加減計算即可;(2)先計算算術平方根,立方根,乘方,再加減計算即可.【詳解】(1)解:原式=4?6+2=0;(2)解:原式=?=?=1.知識點2:估算法(1)若,則;(2)若,則;根據這兩個重要的關系,我們通常可以找距離a最近的兩個平方數和立方數,來估算和的大?。纾?,則;,則.常見實數的估算值:,,.【題型3估算無理數的大小】【例3】(23-24七年級·北京·期中)如圖,用邊長為4的兩個小正方形拼成一個大正方形,則與大正方形的邊長最接近的整數是(
)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【分析】本題考查了無理數的估算、實數的大小比較法則,熟練掌握實數的大小比較法則是解題關鍵.先利用正方形的面積公式求出大正方形的邊長,再利用無理數的估算、實數的大小比較法則即可得.【詳解】解:大正方形的邊長為2×4×4=∵25<32<36,∴25<32又∵6?32=11?232=2×5.5?=2×30.25∴6?32∴與32最接近的整數是6,即大正方形的邊長最接近的整數是6,故選:D.【變式3-1】(23-24七年級·四川成都·期中)估算9+11的運算結果應在哪兩個整數之間(A.3和4 B.4和5 C.5和6 D.6和7【答案】D【分析】本題主要考查的是估算無理數的大小先利用夾逼法求得11的范圍,然后可求得9+【詳解】解:∵9<11<16,∴3<11<4,∵9=3∴6<9+11故選:D.【變式3-2】(23-24七年級·四川成都·期末)在學習《估算》一課時,李老師設計了一個抽卡比大小的游戲,數值大的為贏家.小麗抽到的卡上寫的是6?1,小穎抽到的卡上寫的是2,那么贏家是【答案】小穎【分析】估算出6的大小,繼而比較即可求解.【詳解】解:∵4<6<9,∴4∴2<6∴1<6∴贏家是小穎,故答案為:小穎.【點睛】本題考查了實數大小比較,無理數的估算,估算出6的大小是解題的關鍵.【變式3-3】(23-24七年級·江蘇鹽城·期中)下面是小明探索2的近似值的過程:我們知道面積是2的正方形的邊長是2,易知2>1.因此可設2由圖中面積計算,S另一方面由題意知S所以x略去x2,得方程2x+1=2解得x=0.5.即2≈1.5(1)仿照上述方法,探究5的近似值.(畫出示意圖,標明數據,并寫出求解過程)(2)結合上述具體實例,已知非負整數a、b、m,若a<m<a+1,且m=a2+b,請估算m【答案】(1)2.25,見解析(2)a+【分析】(1)參照題目的過程解題即可.(2)把條件的過程中的數字換成對應的字母解題即可.【詳解】(1)解:面積是5的正方形的邊長是5,設5=2+x∵S正方形而S正方形∴x2略去x2,得方程4x+4=5,解得x=0.25即5≈2.25(2)解:設m=a+x∴m=a∵m=a∴a2解得x=b∴m=a+故答案為:a+b【點睛】本題主要考查用幾何方法求無理數的近似值,能夠讀懂題意是解題關鍵.【題型4估算無理數的整數部分或小數部分】【例4】(23-24七年級·陜西西安·階段練習)若a是90的整數部分,b是3的小數部分.則a+b?3+1的平方根是【答案】±3/3和?3/?3和3【分析】根據92<90<102可得9<90【詳解】解:∵92<90<∴9<90<10,∴90的整數部分是9,則a=9,3的小數部分是3?1,則b=∴a+b?3∴9的平方根為±3.故答案為:±3.【點睛】本題考查實數的估算、實數的運算、平方根的定義,掌握實數估算的方法是解題的關鍵.【變式4-1】(23-24七年級·河南新鄉·期中)已知m是6的整數部分,n是6的小數部分,則m?n的值為(
)A.?6 B.4?6 C.4+【答案】B【分析】本題主要考查了無理數的估算,實數的運算,先估算出2<6<3,進而得到【詳解】解:∵4<6<9,∴2<6∵m是6的整數部分,n是6的小數部分,∴m=2,∴m?n=2?6故選:B.【變式4-2】(23-24七年級·江蘇·期中)若【x】表示實數x的整數部分,<x>表示實數x的小數部分,如【1】=1,【2】=1,<2>=2?1,則A.4?3 B.1?13 C.6?3【答案】A【分析】估算出3?3的小數部分和7【詳解】解:∵1<3∴?2<?3∴3?2<3?3<3?1,即∴<3?3∵4<7<9,∴2<7∴【7】=2,∴<3?3>+【7】故選:A【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算,無理數的估算,熟練掌握無理數的估算方法是解題的關鍵.【變式4-3】(23-24七年級·河南新鄉·期中)下面是小明在學習“無理數的估算”時做的學習筆記.無理數的估算大家知道3是無理數,而無理數是無限不循環小數,因此3的小數部分我們不可能全部寫出來,于是我用3?1來表示3事實上,我的表示方法是有道理的,因為3的整數部分是1,所以將這個數減去其整數部分,差就是小數部分.例如:∵4<7∴7的整數部分為2,小數部分為7根據以上筆記內容,請完成如下任務.(1)任務一:19的小數部分為______.(2)任務二:a為5的小數部分,b為15的整數部分,請計算a+b?5(3)任務三:x+y=10+3,其中x是整數,且0<y<1,求2x?y【答案】(1)19(2)a+b?(3)2x?y的相反數是?23+【分析】本題考查估算無理數的大小,相反數的定義,代數式求值,熟練掌握無理數的估算方法是解題關鍵.(1)估算無理數19的大小即可確定整數部分和小數部分;(2)估算無理數5,13的大小,確定a、b的值,再代入計算即可;(3)估算無理數3的大小,求出x、y的值,再代入計算,求出相反數即可.【詳解】(1)解:∵16<即4<19∴19的整數部分為4,小數部分為19故答案為:19?4(2)∵4<5<∴5的小數部分a=∵9<即3<1313的整數部分b=3,∴a+b?5(3)∵1即1<3∴3的整數部分為1,小數部分為3∴10+3又∵x+y=10+3∴11+3∵x是整數,且0<y<1,∴x=11,∴2x?y=11×2?3∴2x?y的相反數?23+3【題型5實數與數軸】【例5】(23-24七年級·山東臨沂·期中)如圖,面積為7的正方形ABCD的頂點A在數軸上,且點A表示的數為1,若點E在數軸上,(點E在點A的右側)且AB=AE,則點E所表示的數為(
)
A.7 B.1+7 C.2+7 【答案】B【分析】本題考查了數軸與實數、算術平方根的應用,關鍵是結合題意求出AB=AE=7由題意可知,面積為7的正方形ABCD邊長為7,所以AB=7,而AB=AE,得AE=7,A點的坐標為1,故E點的坐標為【詳解】∵面積為7的正方形ABCD為7,∴AB=7∵AB=AE,∴AE=7∵A點表示的數為1,∴E點表示的數為1+7故選:B.【變式5-1】(23-24七年級·北京·期中)實數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示,且滿足a+b<0,ab<0,則原點所在的位置有可能是(
)A.點A B.點B C.點C D.點D【答案】C【分析】本題考查實數與數軸,能夠根據題意分析出a與b的符號是解題的關鍵.根據ab<0可以得出a與b異號,再根據a+b<0可以得出負數的絕對值大于正數的絕對值,然后根據數軸的特點進行解題即可.【詳解】解:∵ab<0,∴a與b異號,由數軸上觀察可知:a<b,∴a<0,又∵a+b<0,∴負數的絕對值大于正數的絕對值,∴C點由可能是原點.故選:C.【變式5-2】(23-24七年級·遼寧大連·期中)如圖,數軸上A、B兩點表示的數分別為?1和3,AB=AC,則點C所表示的數為(
)A.?2?3 B.?1?3 C.?2+3【答案】A【分析】本題主要考查了求數軸上兩點之間的距離.由于A,B兩點表示的數分別為?1和3,先根據對稱點可以求出OC的長度,根據C在原點的左側,進而可求出C的坐標.【詳解】解:∵對稱的兩點到對稱中心的距離相等,∴CA=AB,?1+∴OC=2+3,而C∴C表示的數為:?2?3故選:A.【變式5-3】(23-24七年級·湖北恩施·期中)已知實數a,b在數軸上的位置如圖所示:
(1)化簡:a+b?b(2)若1+2a的平方根是±7,2a+b?4的立方根是?2,求【答案】(1)3a(2)a+2b算術平方根為1【分析】本題考查了通過數軸判斷實數的大小,平方根,立方根,算術平方根的定義,熟練掌握平方根,立方根,算術平方根的定義是解題關鍵.(1)根據數軸判斷出a<0<b,再根據算術平方根,立方根的定義進行化簡即可;(2)根據題意可以求出a,b的值,再代入求出最后結果.【詳解】(1)解:由數軸可知:a<0<b,∴a+b?b=a+b?b+2a,=3a;(2)∵若1+2a的平方根是±∴1+2a解得:a=±3.因為,a<0,所以,a=?3,又∵2a+b?4的立方根是?2,∴2a+b?4=?8,即?6+b?4=?8,解得:b=2,∴a+2b=即,a+2b算術平方根為1.【題型6實數的大小比較】【例6】(23-24七年級·河南鄭州·階段練習)實數?π3,?3和?A.?π3<?C.?3<?3【答案】C【分析】本題考查了比較實數的大小,無理數的估算等知識.先估算出π3≈1.05,3≈1.732,即可得到3【詳解】解:∵π≈3.14,∴π3∵3≈1.732∴3>∴?3故選:C【變式6-1】(23-24七年級·安徽·專題練習)1,?2,0,5這四個數中,絕對值最大的數是(
)A.1 B.?2 C.0 D.5【答案】D【分析】本題考查了實數大小比較、絕對值、算術平方根等知識點,準確熟練地進行計算是解題的關鍵.先求出各數的絕對值,然后再進行比較即可解答.【詳解】解:|1|=1,|?2|=2,|0|=0,|5∵2.236>2>1>0,∴1,?2,0,5這四個數中,絕對值最大的數是5,故選:D.【變式6-2】(23-24七年級·河南平頂山·期中)通過估算3,11,326,的大小為:【答案】326<3<11【分析】先估算出11和326【詳解】∵32∴3<11<4,2<326∴326<3<11故答案為:326<3<11【點睛】本題主要考查實數的大小比較,估算一個數的算術平方根和立方根,是解題的關鍵.【變式6-3】(23-24七年級·貴州黔南·期中)數學課上,老師提出一個問題,比較無理數的時,由于老師無法解決,你能幫老師解決這個問題21?34與小明的方法:因為21>4,所以21?33,所以21?3434小英的方法:21?34?34=21?64,因為21<62=36(1)將上述材料補充完成;(2)請從小明和小英的方法中選擇一種比較17?12與【答案】(1)<,<,<,<(2)見解析【分析】本題考查實數比大小,熟練掌握無理數之間比大小是解題的關鍵,根據題意把無理數變成有理數再比大小,即可得到答案.【詳解】(1)解:小明的方法:∵21>4∴21?3<3∴21?3小英的方法:21?3∵21<6∴21?6<0∴21?3故答案為:<,<,<,<.(2)解:選小明的方法:∵17>4∴17?1>1∴17?1選小英的方法:17?1∵17>4,∴17>2∴17?2>0∴17?2∴17?1【題型7程序設計中的實數運算】【例7】(23-24七年級·廣東陽江·期中)如圖是一個數值轉換器,請根據其原理解決問題:當x為12時,求y的值,并寫出詳細過程.【答案】y=11【分析】本題主要考查了有理數和無理數的分類、實數的運算以及流程圖,掌握有理數和無理數的分類以及讀懂流程圖是解答本題的關鍵.【詳解】解:把x=12代入數值轉換器,第一次計算可得12×2+1=把x=5代入數值轉換器,第二次計算可得5×2+1=則輸出y=11【變式7-1】(23-24七年級·山西太原·階段練習)根據如圖所示的計算程序,若開始輸入x的值為?2,則輸出yA.?2?5 B.1 C.?1【答案】D【分析】本題主要考查了實數的運算,先求出?2【詳解】解:∵1<2<4,∴1<2∴?2∴y=?故選:D.【變式7-2】(23-24七年級·上海黃浦·期中)根據下圖中的程序,當輸入x為36時,輸出的值是.【答案】3【分析】此題主要考查了立方根、算術平方根的性質和應用.根據立方根、算術平方根的含義和求法,以及有理數、無理數的含義和求法,求出當輸入的x為36時,輸出的值是多少即可.【詳解】解:當輸入x為36時,y=?36?6是有理數,y=?3∴當輸入的x為36時,輸出的值是36故答案為:36【變式7-3】(23-24七年級·河北張家口·期末)如圖是一個數值轉換器x<10
(1)當輸入的x值為?2時,求輸出的y值;(2)若輸入有意義的x值后,始終輸不出y值,請寫出所有滿足要求的x的值,并說明你的理由;(3)若輸出的y值是3,直接寫出x的負整數值.【答案】(1)2(2)1或2或3,理由見解析(3)x=?1【分析】(1)根據絕對值和算術平方根的定義進行計算即可;(2)根據0或1的算術平方根的特殊性得出答案;(3)可以考慮1次運算輸出結果,2次運算輸出結果,進而得出答案.【詳解】(1)解:當x=?2時,?2?2=44的算術平方根為4=2而2是有理數,2的算術平方根為2,故答案為:2;(2)解:1或2或3,理由如下:∵0的算術平方根是0,1的算術平方根是1,∴當x?2=1解得x=1或2或3,∴當x=1或2或3時,無論進行多少次運算都不可能是無理數;(3)解:若1次運算就是3,∴x?2∴x?2∴解得x=5或?1,∴x為負整數,則輸入的數為?1;若2次運算輸出的數是3,∴x?2∴x?2∴解得x=27或?23∵x∴不符合題意,綜上所述,x=?1.【點睛】本題考查算術平方根、有理數和無理數,理解算術平方根的定義是解題的關鍵.【題型8新定義中的實數運算】【例8】(23-24七年級·山東濟寧·期中)任何實數a,可用a表示不超過a的最大整數,如4=4,3=1,現對72進行如下操作,這樣對72只需進行3次操作后變為1,只需進行3次操作后變為1的所有正整數中,最大的是【答案】255【分析】本題主要考查了新定義下的實數運算,根據算術平方根的意義得到255=15,256=16,進而得到對255只需進行3次操作后變成1,對【詳解】解:∵22=4,4∴256=16,16=4,4∵255=15,15=3∴對255只需進行3次操作后變成1.∵256=16,16=4,4∴對256只需進行4次操作后變成1.∴只需進行3次操作后變成1的所有正整數中,最大的正整數是255.故答案為:255.【變式8-1】(23-24七年級·四川達州·階段練習)用“@”表示一種新運算;對于任意正實數a,b,都有a@b=b+1,如8@9=9+1,則【答案】3【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值.此題考查了實數的運算,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.【詳解】解:根據題中的新定義得:m@m@9故答案為:3.【變式8-2】(23-24七年級·福建福州·期中)若實數a,b滿足a+b=6,我們就說a與b是關于6的“如意數”,則與3?2是關于6的“如意數”是(
A.3+2 B.3?2 C.9?2【答案】A【分析】本題考查了新定義下的實數運算,準確理解新定義是解題的關鍵.直接根據“如意數”的概念進行求解即可.【詳解】∵3?∴3?2與3+故選:A.【變式8-3】(23-24七年級·山西呂梁·期中)用“?”表示一種新運算:對于任意正實數a?b=a2+b,例如10?21=102+A.13 B.7 C.4 D.5【答案】C【分析】根據新運算的定義計算即可.【詳解】解:∵a?b=a∴13=13=13=13=13=16=4,故選:C.【點睛】本題考查新定義,算術平方根,理解運用新運算是解題的關鍵.【題型9實數運算的實際應用】【例9】(23-24七年級·福建莆田·期中)虹勝廣場要建一個占地面積4000平方米的花園,現有兩種方案:一種是建正方形花園,一種是建圓形花園,如果你是設計者,你能估算出兩種花園的圍墻有多長嗎(誤差小于1米)?如果你是投資者,你會選擇哪種方案,為什么?【答案】圓形廣場圍墻224.2米,正方形廣場圍墻253.0米,選擇圓形廣場的建設方案,理由見詳解【分析】分別計算出圓形花園和正方形花園所需圍墻的長度,比較即可作答.【詳解】當為圓形時,設圓的半徑為r,則有:πr即:r=4000則此時花園的圍墻為:2π當廣場為正方形時,設正方形邊長為a,則有:a2即:a=4000則此時花園的圍墻為:4a=4×4000∵253.0>∴建造成圓形時,廣場的圍墻會更短,則建造成本更低,∴作為投資商,會選擇建圓形花園.【點睛】此題主要考查實數的大小的比較在實際生活中的應用,所以學生在學這一部分時一定要聯系實際,不能死學.【變式9-1】(23-24七年級·廣西玉林·期中)某高速公路規定汽車的行駛速度不得超過100千米/時,當發生交通事故時,交通警察通常根據剎車后車輪滑過的距離估計車輛的行駛速度,所用的經驗公式是v=16df,其中v表示車速(單位:千米/時,d表示剎車后車輪滑過的距離(單位:米),f表示摩擦系數.在一次交通事故中,經測量d=32米,f=2,請你判斷一下,肇事汽車當時是否超速了.【答案】肇事汽車當時的速度超出了規定的速度.【分析】先把d=32米,f=2分別代入v=16df,求出當時汽車的速度再和100千米/時比較即可解答.【詳解】解:把d=32,f=2代入v=16df,v=1632×2=128(km/h),∵128>100,∴肇事汽車當時的速度超出了規定的速度.【點睛】本題考查了實數運算的應用,讀懂題意是解題的關鍵,另外要熟悉實數的相關運算.【變式9-2】(23-24·湖南長沙·一模)五一返校上課后,為了表揚在假期依舊認真完成數學作業的小函和小韜同學,數學老師決定在某外賣平臺上點2杯單價都是16元的奶茶獎勵他們.從奶茶店到學校的每份訂單配送費都為1.6元,由于數學老師是該平臺的會員,因此每單都可以使用一個平臺贈送的5元平臺紅包對每份訂單的總價減免5元(訂單總價不含配送費,同一訂單只允許使用一個紅包).但根據該奶茶店的優惠活動,當訂單總價(不含配送費)滿30元時,5元的平臺紅包可兌換為一個7元的店家紅包,即可以給訂單總價(不含配送費)減免7元當數學老師同時點了2杯奶茶準備下單付款時,小函同學說:“老師,我們可以換一種下單方式,優惠更多!”請同學們分析小函同學的下單方式,并計算出本次外賣總費用(包含配送費)最低可為元.【答案】25.2【分析】分別計算兩種下單的方式,比較哪一種總費用更低即可.【詳解】第一種下單方式為直接購買兩杯奶茶合計費用為:16+16+1.6?7=26.6元第二種下單方式為下兩個訂單,每個訂單買一杯奶茶合計費用為:16+1.6?5×2=25.2故選擇第二種更劃算,最低費用為25.2元故答案為:25.2.【點睛】本題考查了實數運算的實際應用,分類討論是解題的關鍵.【變式9-3】(23-24七年級·安徽蚌埠·期中)如圖,長方形ABCD的長為2cm,寬為1(1)將長方形ABCD進行適當的分割(畫出分割線),使分割后的圖形能拼成一個正方形,并畫出所拼的正方形;(標出關鍵點和數據)(2)求所拼正方形的邊長.【答案】(1)分割方法不唯一,如圖,見解析;(2)拼成的正方形邊長為2cm【分析】(1)根據AB=2AD,可找到CD的中點,即可分成兩個正方形,再沿對角線分割一次,即可補全成一個新的正方形;(2)設拼成的正方形邊長為xcm【
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