專題6.3實數【十大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實數的概念理解】 2【題型2實數的運算】 4【題型3估算無理數的大小】 6【題型4估算無理數的整數部分或小數部分】 9【題型5實數與數軸】 11【題型6實數的大小比較】 14【題型7程序設計中的實數運算】 16【題型8新定義中的實數運算】 19【題型9實數運算的實際應用】 21【題型10實數運算中的規律探究】 24知識點1：實數無限不循環小數叫做無理數.常見類型：①特定結構的無限不循環小數，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．②含有π的絕大部分數，如2π．【題型1實數的概念理解】【例1】（23-24七年級·陜西西安·期中）下列各數是無理數的是（

）A．0.101001 B．?2 C．π2 D．【答案】C【分析】根據無理數的定義判斷即可．【詳解】解：A、0.101001是有限小數，屬于有理數；B、?2是整數，屬于有理數；C、π2D、9=3故選：C．【點睛】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數．【變式1-1】（23-24七年級·河南安陽·期中）把下列各數的序號分別填入相應的集合內：①?1112，②32，③1?4，④0，⑤?0.4，⑥3?125，⑦?π(1)整數集合：（

）(2)分數集合：（

）(3)無理數集合：（

）【答案】(1)③④⑥(2)①⑨⑩(3)②⑤⑦⑧【分析】本題考查了有理數、實數和無理數的分類，熟練掌握無理數、有理數、實數的分類是解題的關鍵．（1）根據整數的定義作答即可；（2）根據分數的定義作答即可；（3）根據無理數的定義作答即可．【詳解】（1）解：③1?4=1?2=?1是整數，④0是整數，⑥整數集合：③④⑥故答案為：

③④⑥（2）①?1112是分數，⑨0.23是分數，⑩分數集合：①⑨⑩故答案為：①⑨⑩（3）②32是無理數，⑤?0.4是無理數，⑦?π故答案為：②⑤⑦⑧【變式1-2】（23-24七年級·湖南衡陽·期中）?13的絕對值是，5?26的相反數是【答案】13?5+【分析】本題是對絕對值和相反數知識的考查，熟練掌握實數知識是解決本題的關鍵．根據絕對值和相反數知識求解即可．【詳解】解：?13絕對值是135?26的相反數是：?故答案為：13；?5+【變式1-3】（23-24七年級·山東日照·期中）已知a，b都是有理數，且3?1a+2b=3+3，求A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查的是無理數的含義，二元一次方程組的解法，理解題意建立方程組解題是關鍵．由a，b都是有理數，且3?1【詳解】解：∵3?1∴3a+∵a，b都是有理數，∴a=1?a+2b=3解得a=1b=2則a+b=1+2=3．故選：C．【題型2實數的運算】【例2】（23-24七年級·四川瀘州·期中）計算：?1【答案】0【分析】此題考查了實數的運算，原式第一項利用乘方的意義計算，第二項利用乘方的意義及乘法法則計算，第三項利用立方根定義及絕對值的代數意義化簡，最后一項利用除法法則變形計算即可得到結果，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【詳解】?=?1?=?1+1?1+1=0．【變式2-1】（23-24七年級·新疆烏魯木齊·期中）計算：(1)9+(2)1?2【答案】(1)7(2)?1【分析】本題考查了實數的運算，主要涉及算術平方根、立方根、絕對值等知識，熟練掌握這些知識是關鍵；（1）分別計算算術平方根、立方根及乘方，再相加減即可；（2）計算絕對值后，再化簡即可．【詳解】（1）解：9=3+1?3+6=7；（2）解：1?==?1．【變式2-2】（23-24七年級·云南昭通·期中）計算：?1【答案】3【分析】本題考查了實數的運算，熟練掌握實數的運算法則是解題的關鍵．利用實數的運算法則計算即可．【詳解】解：?=?1+5?4×=?1+5?2?1+=3【變式2-3】（23-24七年級·甘肅平涼·期中）計算：(1)364(2)3?【答案】(1)0(2)1【分析】本題考查了實數的混合運算，結合算術平方根、立方根、乘方的知識，熟練掌握知識、正確計算是解題的關鍵．（1）先計算算術平方根，立方根，再加減計算即可；（2）先計算算術平方根，立方根，乘方，再加減計算即可．【詳解】（1）解：原式=4?6+2=0；（2）解：原式=?=?=1．知識點2：估算法（1）若，則；（2）若，則；根據這兩個重要的關系，我們通常可以找距離a最近的兩個平方數和立方數，來估算和的大小．例如：，則；，則．常見實數的估算值：，，．【題型3估算無理數的大小】【例3】（23-24七年級·北京·期中）如圖，用邊長為4的兩個小正方形拼成一個大正方形，則與大正方形的邊長最接近的整數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題考查了無理數的估算、實數的大小比較法則，熟練掌握實數的大小比較法則是解題關鍵．先利用正方形的面積公式求出大正方形的邊長，再利用無理數的估算、實數的大小比較法則即可得．【詳解】解：大正方形的邊長為2×4×4=∵25<32<36，∴25<32又∵6?32=11?232=2×5.5?=2×30.25∴6?32∴與32最接近的整數是6，即大正方形的邊長最接近的整數是6，故選：D．【變式3-1】（23-24七年級·四川成都·期中）估算9+11的運算結果應在哪兩個整數之間(A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7【答案】D【分析】本題主要考查的是估算無理數的大小先利用夾逼法求得11的范圍，然后可求得9+【詳解】解：∵9<11<16，∴3<11<4，∵9=3∴6<9+11故選：D．【變式3-2】（23-24七年級·四川成都·期末）在學習《估算》一課時，李老師設計了一個抽卡比大小的游戲，數值大的為贏家．小麗抽到的卡上寫的是6?1，小穎抽到的卡上寫的是2，那么贏家是【答案】小穎【分析】估算出6的大小，繼而比較即可求解．【詳解】解：∵4<6<9，∴4∴2<6∴1<6∴贏家是小穎，故答案為：小穎．【點睛】本題考查了實數大小比較，無理數的估算，估算出6的大小是解題的關鍵．【變式3-3】（23-24七年級·江蘇鹽城·期中）下面是小明探索2的近似值的過程：我們知道面積是2的正方形的邊長是2，易知2>1．因此可設2由圖中面積計算，S另一方面由題意知S所以x略去x2，得方程2x+1=2解得x=0.5．即2≈1.5(1)仿照上述方法，探究5的近似值．（畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程）(2)結合上述具體實例，已知非負整數a、b、m，若a<m<a+1，且m=a2+b，請估算m【答案】(1)2.25，見解析(2)a+【分析】（1）參照題目的過程解題即可．（2）把條件的過程中的數字換成對應的字母解題即可．【詳解】（1）解：面積是5的正方形的邊長是5，設5=2+x∵S正方形而S正方形∴x2略去x2，得方程4x+4=5，解得x=0.25即5≈2.25（2）解：設m=a+x∴m=a∵m=a∴a2解得x=b∴m=a+故答案為：a+b【點睛】本題主要考查用幾何方法求無理數的近似值，能夠讀懂題意是解題關鍵．【題型4估算無理數的整數部分或小數部分】【例4】（23-24七年級·陜西西安·階段練習）若a是90的整數部分，b是3的小數部分．則a+b?3+1的平方根是【答案】±3/3和?3/?3和3【分析】根據92<90<102可得9<90【詳解】解：∵92<90<∴9<90<10，∴90的整數部分是9，則a=9，3的小數部分是3?1，則b=∴a+b?3∴9的平方根為±3．故答案為：±3．【點睛】本題考查實數的估算、實數的運算、平方根的定義，掌握實數估算的方法是解題的關鍵．【變式4-1】（23-24七年級·河南新鄉·期中）已知m是6的整數部分，n是6的小數部分，則m?n的值為（

）A．?6 B．4?6 C．4+【答案】B【分析】本題主要考查了無理數的估算，實數的運算，先估算出2<6<3，進而得到【詳解】解：∵4<6<9，∴2<6∵m是6的整數部分，n是6的小數部分，∴m=2，∴m?n=2?6故選：B．【變式4-2】（23-24七年級·江蘇·期中）若【x】表示實數x的整數部分，<x>表示實數x的小數部分，如【1】=1，【2】=1，<2>=2?1，則A．4?3 B．1?13 C．6?3【答案】A【分析】估算出3?3的小數部分和7【詳解】解：∵1<3∴?2<?3∴3?2<3?3<3?1，即∴<3?3∵4<7<9，∴2<7∴【7】=2，∴<3?3>+【7】故選：A【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，無理數的估算，熟練掌握無理數的估算方法是解題的關鍵．【變式4-3】（23-24七年級·河南新鄉·期中）下面是小明在學習“無理數的估算”時做的學習筆記．無理數的估算大家知道3是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此3的小數部分我們不可能全部寫出來，于是我用3?1來表示3事實上，我的表示方法是有道理的，因為3的整數部分是1，所以將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．例如：∵4<7∴7的整數部分為2，小數部分為7根據以上筆記內容，請完成如下任務．(1)任務一：19的小數部分為______．(2)任務二：a為5的小數部分，b為15的整數部分，請計算a+b?5(3)任務三：x+y=10+3，其中x是整數，且0<y<1，求2x?y【答案】(1)19(2)a+b?(3)2x?y的相反數是?23+【分析】本題考查估算無理數的大小，相反數的定義，代數式求值，熟練掌握無理數的估算方法是解題關鍵．（1）估算無理數19的大小即可確定整數部分和小數部分；（2）估算無理數5，13的大小，確定a、b的值，再代入計算即可；（3）估算無理數3的大小，求出x、y的值，再代入計算，求出相反數即可．【詳解】（1）解：∵16<即4<19∴19的整數部分為4，小數部分為19故答案為：19?4（2）∵4<5<∴5的小數部分a=∵9<即3<1313的整數部分b=3，∴a+b?5（3）∵1即1<3∴3的整數部分為1，小數部分為3∴10+3又∵x+y=10+3∴11+3∵x是整數，且0<y<1，∴x=11，∴2x?y=11×2?3∴2x?y的相反數?23+3【題型5實數與數軸】【例5】（23-24七年級·山東臨沂·期中）如圖，面積為7的正方形ABCD的頂點A在數軸上，且點A表示的數為1，若點E在數軸上，（點E在點A的右側）且AB=AE，則點E所表示的數為（

）

A．7 B．1+7 C．2+7 【答案】B【分析】本題考查了數軸與實數、算術平方根的應用，關鍵是結合題意求出AB=AE=7由題意可知，面積為7的正方形ABCD邊長為7，所以AB=7，而AB=AE，得AE=7，A點的坐標為1，故E點的坐標為【詳解】∵面積為7的正方形ABCD為7，∴AB=7∵AB=AE，∴AE=7∵A點表示的數為1，∴E點表示的數為1+7故選：B．【變式5-1】（23-24七年級·北京·期中）實數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，且滿足a+b<0,ab<0，則原點所在的位置有可能是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】C【分析】本題考查實數與數軸，能夠根據題意分析出a與b的符號是解題的關鍵．根據ab<0可以得出a與b異號，再根據a+b<0可以得出負數的絕對值大于正數的絕對值，然后根據數軸的特點進行解題即可．【詳解】解：∵ab<0，∴a與b異號，由數軸上觀察可知：a<b,∴a<0，又∵a+b<0，∴負數的絕對值大于正數的絕對值，∴C點由可能是原點．故選：C．【變式5-2】（23-24七年級·遼寧大連·期中）如圖，數軸上A、B兩點表示的數分別為?1和3，AB=AC，則點C所表示的數為（

）A．?2?3 B．?1?3 C．?2+3【答案】A【分析】本題主要考查了求數軸上兩點之間的距離．由于A，B兩點表示的數分別為?1和3，先根據對稱點可以求出OC的長度，根據C在原點的左側，進而可求出C的坐標．【詳解】解：∵對稱的兩點到對稱中心的距離相等，∴CA=AB，?1+∴OC=2+3，而C∴C表示的數為：?2?3故選：A．【變式5-3】（23-24七年級·湖北恩施·期中）已知實數a，b在數軸上的位置如圖所示：

(1)化簡：a+b?b(2)若1+2a的平方根是±7，2a+b?4的立方根是?2，求【答案】(1)3a(2)a+2b算術平方根為1【分析】本題考查了通過數軸判斷實數的大小，平方根，立方根，算術平方根的定義，熟練掌握平方根，立方根，算術平方根的定義是解題關鍵．（1）根據數軸判斷出a<0<b，再根據算術平方根，立方根的定義進行化簡即可；（2）根據題意可以求出a，b的值，再代入求出最后結果．【詳解】（1）解：由數軸可知：a<0<b，∴a+b?b=a+b?b+2a，=3a；（2）∵若1+2a的平方根是±∴1+2a解得：a=±3．因為，a<0，所以，a=?3，又∵2a+b?4的立方根是?2，∴2a+b?4=?8，即?6+b?4=?8，解得：b=2，∴a+2b=即，a+2b算術平方根為1．【題型6實數的大小比較】【例6】（23-24七年級·河南鄭州·階段練習）實數?π3，?3和?A．?π3<?C．?3<?3【答案】C【分析】本題考查了比較實數的大小，無理數的估算等知識．先估算出π3≈1.05，3≈1.732，即可得到3【詳解】解：∵π≈3.14，∴π3∵3≈1.732∴3>∴?3故選：C【變式6-1】（23-24七年級·安徽·專題練習）1，?2，0，5這四個數中，絕對值最大的數是（

）A．1 B．?2 C．0 D．5【答案】D【分析】本題考查了實數大小比較、絕對值、算術平方根等知識點，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．先求出各數的絕對值，然后再進行比較即可解答．【詳解】解：|1|=1，|?2|=2，|0|=0，|5∵2.236>2>1>0，∴1，?2，0，5這四個數中，絕對值最大的數是5，故選：D．【變式6-2】（23-24七年級·河南平頂山·期中）通過估算3，11，326，的大小為：【答案】326＜3＜11【分析】先估算出11和326【詳解】∵32∴3＜11＜4，2＜326∴326＜3＜11故答案為：326＜3＜11【點睛】本題主要考查實數的大小比較，估算一個數的算術平方根和立方根，是解題的關鍵.【變式6-3】（23-24七年級·貴州黔南·期中）數學課上，老師提出一個問題，比較無理數的時，由于老師無法解決，你能幫老師解決這個問題21?34與小明的方法：因為21>4，所以21?33，所以21?3434小英的方法：21?34?34=21?64，因為21<62=36(1)將上述材料補充完成；(2)請從小明和小英的方法中選擇一種比較17?12與【答案】(1)<,<,<,<(2)見解析【分析】本題考查實數比大小，熟練掌握無理數之間比大小是解題的關鍵，根據題意把無理數變成有理數再比大小，即可得到答案．【詳解】（1）解：小明的方法：∵21>4∴21?3<3∴21?3小英的方法：21?3∵21<6∴21?6<0∴21?3故答案為：<,<,<,<．（2）解：選小明的方法：∵17>4∴17?1>1∴17?1選小英的方法：17?1∵17>4，∴17>2∴17?2>0∴17?2∴17?1【題型7程序設計中的實數運算】【例7】（23-24七年級·廣東陽江·期中）如圖是一個數值轉換器，請根據其原理解決問題：當x為12時，求y的值，并寫出詳細過程．【答案】y=11【分析】本題主要考查了有理數和無理數的分類、實數的運算以及流程圖，掌握有理數和無理數的分類以及讀懂流程圖是解答本題的關鍵．【詳解】解：把x=12代入數值轉換器，第一次計算可得12×2+1=把x=5代入數值轉換器，第二次計算可得5×2+1=則輸出y=11【變式7-1】（23-24七年級·山西太原·階段練習）根據如圖所示的計算程序，若開始輸入x的值為?2，則輸出yA．?2?5 B．1 C．?1【答案】D【分析】本題主要考查了實數的運算，先求出?2【詳解】解：∵1<2<4，∴1<2∴?2∴y=?故選：D．【變式7-2】（23-24七年級·上海黃浦·期中）根據下圖中的程序，當輸入x為36時，輸出的值是．【答案】3【分析】此題主要考查了立方根、算術平方根的性質和應用．根據立方根、算術平方根的含義和求法，以及有理數、無理數的含義和求法，求出當輸入的x為36時，輸出的值是多少即可．【詳解】解：當輸入x為36時，y=?36?6是有理數，y=?3∴當輸入的x為36時，輸出的值是36故答案為：36【變式7-3】（23-24七年級·河北張家口·期末）如圖是一個數值轉換器x<10

(1)當輸入的x值為?2時，求輸出的y值；(2)若輸入有意義的x值后，始終輸不出y值，請寫出所有滿足要求的x的值，并說明你的理由；(3)若輸出的y值是3，直接寫出x的負整數值．【答案】(1)2(2)1或2或3，理由見解析(3)x=?1【分析】（1）根據絕對值和算術平方根的定義進行計算即可；（2）根據0或1的算術平方根的特殊性得出答案；（3）可以考慮1次運算輸出結果，2次運算輸出結果，進而得出答案．【詳解】（1）解：當x=?2時，?2?2=44的算術平方根為4=2而2是有理數，2的算術平方根為2，故答案為：2；（2）解：1或2或3，理由如下：∵0的算術平方根是0，1的算術平方根是1，∴當x?2=1解得x=1或2或3，∴當x=1或2或3時，無論進行多少次運算都不可能是無理數；（3）解：若1次運算就是3，∴x?2∴x?2∴解得x=5或?1，∴x為負整數，則輸入的數為?1；若2次運算輸出的數是3，∴x?2∴x?2∴解得x=27或?23∵x∴不符合題意，綜上所述，x=?1．【點睛】本題考查算術平方根、有理數和無理數，理解算術平方根的定義是解題的關鍵．【題型8新定義中的實數運算】【例8】（23-24七年級·山東濟寧·期中）任何實數a，可用a表示不超過a的最大整數，如4=4，3=1，現對72進行如下操作，這樣對72只需進行3次操作后變為1，只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是【答案】255【分析】本題主要考查了新定義下的實數運算，根據算術平方根的意義得到255=15，256=16，進而得到對255只需進行3次操作后變成1，對【詳解】解：∵22=4，4∴256=16，16=4，4∵255=15，15=3∴對255只需進行3次操作后變成1．∵256=16，16=4，4∴對256只需進行4次操作后變成1．∴只需進行3次操作后變成1的所有正整數中，最大的正整數是255．故答案為：255．【變式8-1】（23-24七年級·四川達州·階段練習）用“@”表示一種新運算；對于任意正實數a，b，都有a@b=b+1，如8@9=9+1，則【答案】3【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【詳解】解：根據題中的新定義得：m@m@9故答案為：3．【變式8-2】（23-24七年級·福建福州·期中）若實數a，b滿足a+b=6，我們就說a與b是關于6的“如意數”，則與3?2是關于6的“如意數”是（

A．3+2 B．3?2 C．9?2【答案】A【分析】本題考查了新定義下的實數運算，準確理解新定義是解題的關鍵．直接根據“如意數”的概念進行求解即可．【詳解】∵3?∴3?2與3+故選：A．【變式8-3】（23-24七年級·山西呂梁·期中）用“?”表示一種新運算：對于任意正實數a?b=a2+b，例如10?21=102+A．13 B．7 C．4 D．5【答案】C【分析】根據新運算的定義計算即可．【詳解】解：∵a?b=a∴13=13=13=13=13=16=4，故選：C．【點睛】本題考查新定義，算術平方根，理解運用新運算是解題的關鍵．【題型9實數運算的實際應用】【例9】（23-24七年級·福建莆田·期中）虹勝廣場要建一個占地面積4000平方米的花園，現有兩種方案：一種是建正方形花園，一種是建圓形花園，如果你是設計者，你能估算出兩種花園的圍墻有多長嗎（誤差小于1米）？如果你是投資者，你會選擇哪種方案，為什么？【答案】圓形廣場圍墻224.2米，正方形廣場圍墻253.0米，選擇圓形廣場的建設方案，理由見詳解【分析】分別計算出圓形花園和正方形花園所需圍墻的長度，比較即可作答．【詳解】當為圓形時，設圓的半徑為r，則有：πr即：r=4000則此時花園的圍墻為：2π當廣場為正方形時，設正方形邊長為a，則有：a2即：a=4000則此時花園的圍墻為：4a=4×4000∵253.0＞∴建造成圓形時，廣場的圍墻會更短，則建造成本更低，∴作為投資商，會選擇建圓形花園．【點睛】此題主要考查實數的大小的比較在實際生活中的應用，所以學生在學這一部分時一定要聯系實際，不能死學．【變式9-1】（23-24七年級·廣西玉林·期中）某高速公路規定汽車的行駛速度不得超過100千米/時，當發生交通事故時，交通警察通常根據剎車后車輪滑過的距離估計車輛的行駛速度，所用的經驗公式是v＝16df，其中v表示車速（單位：千米/時，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數．在一次交通事故中，經測量d＝32米，f＝2，請你判斷一下，肇事汽車當時是否超速了．【答案】肇事汽車當時的速度超出了規定的速度．【分析】先把d=32米，f=2分別代入v=16df，求出當時汽車的速度再和100千米/時比較即可解答．【詳解】解：把d=32，f=2代入v=16df，v=1632×2=128（km/h），∵128＞100，∴肇事汽車當時的速度超出了規定的速度．【點睛】本題考查了實數運算的應用，讀懂題意是解題的關鍵，另外要熟悉實數的相關運算．【變式9-2】（23-24·湖南長沙·一模）五一返校上課后，為了表揚在假期依舊認真完成數學作業的小函和小韜同學，數學老師決定在某外賣平臺上點2杯單價都是16元的奶茶獎勵他們．從奶茶店到學校的每份訂單配送費都為1.6元，由于數學老師是該平臺的會員，因此每單都可以使用一個平臺贈送的5元平臺紅包對每份訂單的總價減免5元（訂單總價不含配送費，同一訂單只允許使用一個紅包）．但根據該奶茶店的優惠活動，當訂單總價（不含配送費）滿30元時，5元的平臺紅包可兌換為一個7元的店家紅包，即可以給訂單總價（不含配送費）減免7元當數學老師同時點了2杯奶茶準備下單付款時，小函同學說：“老師，我們可以換一種下單方式，優惠更多！”請同學們分析小函同學的下單方式，并計算出本次外賣總費用（包含配送費）最低可為元．【答案】25.2【分析】分別計算兩種下單的方式，比較哪一種總費用更低即可．【詳解】第一種下單方式為直接購買兩杯奶茶合計費用為：16+16+1.6?7=26.6元第二種下單方式為下兩個訂單，每個訂單買一杯奶茶合計費用為：16+1.6?5×2=25.2故選擇第二種更劃算，最低費用為25.2元故答案為：25.2．【點睛】本題考查了實數運算的實際應用，分類討論是解題的關鍵．【變式9-3】（23-24七年級·安徽蚌埠·期中）如圖，長方形ABCD的長為2cm，寬為1（1）將長方形ABCD進行適當的分割（畫出分割線），使分割后的圖形能拼成一個正方形，并畫出所拼的正方形；（標出關鍵點和數據）（2）求所拼正方形的邊長．【答案】（1）分割方法不唯一，如圖，見解析；（2）拼成的正方形邊長為2cm【分析】（1）根據AB=2AD，可找到CD的中點，即可分成兩個正方形，再沿對角線分割一次，即可補全成一個新的正方形；（2）設拼成的正方形邊長為xcm【