2025年四川省邛珠市第一中學校高2022級高三二模考試

數學

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規定的位置上。

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.考試結束后，只將答題卡交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4={-1,01}‘8={0』,4},則AB=（）

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1,4}

2.函數/(尤)=cos1+的最小正周期是（)

,兀

A.—C.兀D.2兀

4

3.若圓C:爐+產=4恰有3個點到直線x-y+冊=0的距離為1,則加二（）

A.4B.16C.2D.8

7+y2V4

則目標函數z=x-/

4.若變量羽〉滿足限制條件■x-2y+2>0,的最大值為（）

y>0

A.2B.-1.36C.1.36D.-2

2

5.已知點尸為橢圓。:]+看「=l（a>6>0）上一點，K，尸2分別為C的左，右焦點，若半徑。的圓M同時

4

與可尸的延長線、與工的延長線以及線段P&相切，若tan/P4舄=§,則橢圓。的離心率為（)

A一4D.正

B.一L.---

5522

6.已知函數〃x）=2sin（0x+9）（o>O,|9|<。將/（無）的圖象向右平移器個單位后，關于V軸對稱，此時

與y軸最接近的一個極大值坐標為2）,下列說法錯誤的是（）

A.“X）的一條對稱軸為x=B.〃x）=l在（0,兀）有2個根

C./(X)與直線y=x有3個交點D.“X)關于[石■,())中心對稱

7.在銳角三角形ABC中，若A=%貝山一L—+1]+1」一+「的最小值為()

4(tan3)(tanC)

A.4B.5C.6D.8

8.己知函數〃x)=g無2-ox+lnx,aeR.若/(x)有兩個極值點再,馬，且/(占)+〃%)<2(占+當)恒成

立，則實數2的取值范圍為()

A.—1,+^^B.C[-①+句D.["+(?)

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知產(2,0)是拋物線C:/=2px的焦點，M是C上的點，。為坐標原點.則()

A.p=4

B.\MF\>\OF\

C.以〃為圓心且過尸的圓與。的準線相切

D.當/由1=120。時，△0E似的面積為2道

10.cos[20+]]=-*,夕(0，3,下列說法正確的是()

A.。有1解

B.。有2解

C.sin^26>+^=:y

D./(x)=cos^2x+^,將向右平移、萬個單位得到g(x),g(x)為奇函數

11.已知函數y=f(x)是定義在區間[a,b]上的連續函數，若弘e(O,+e),使得四,

s[a,b],都有|〃%)-/(工2)歸左國-司，則稱函數y=/(x)是區間[名句上的“人類函

數下列說法正確的有()

A.函數f(x)=x2-x是區間上的“3類函數”

B.函數/(x)=sinx-xco&r是區間l,g上的“2類函數”

C.若函數y=f(x)是區間[a,6]上的“k類函數”，則方程/(x)=(^+l)x在區間[a,6]上至

多只有一個解

D.若函數/(%)是區間［0,1］上的“2類函數”，且/(O)=f(l),則存在滿足條件的函數

/(X),肛，x,e［0,1］,使得|〃西)-〃%)|=2

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在二項式］苫?+2：的展開式中，/項的二項式系數為.

13.在三棱錐S-ABC中，底面AABC是正三角形且S4=SB=SC,〃是SC的中點，且底面

邊長A3=2及，則三棱錐S-ASC外接球的表面積為.

22

14.雙曲線E：三-斗=1(。>6>0),焦距為20，左、右焦點分別為耳，F2,動點尸在雙曲線右支上，過

尸作兩條漸近線垂線分別交于M,N兩點.若1PMi+歸凰最小值為3,則|PM|+|PN|的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

nC

15.(本題13分)記AABC的內角AB,C的對邊分別為a,b,c.已知一+-=l+2cosB,O為邊AC的中點，

ca

且BDsinZABC—asinC.

(1)求證：BD=b；

(2)若匕=4,求aABC的面積.

16.(本題15分)記數列｛4｝的前〃項和為S”.

(1)設q=1,若S.=2a,「l,求｛%｝的通項公式；

(2)記"x)=l+x+x2+丁+...+x",設4=/42),求S“.

17.(本題15分)恰逢盛世，風調雨順.某稻米產地今秋獲得大豐收，為促進當地某品牌大米銷售，甲、乙

兩位駐村干部通過直播宣傳銷售所駐村生產的該品牌大米.通過在某時段100名顧客在觀看直播后選擇在

甲、乙兩位駐村干部的直播間(下簡稱甲直播間、乙直播間)購買的情況進行調查(假定每人只在一個直

播間購買大米)，得到以下數據：

在直播間購買大米的情況

網民類型合計

在甲直播間購買在乙直播間購買

本地區網民

外地區網民3045

合計20100

(1)補全2x2列聯表，并判斷依據小概率值以=0.005的獨立性檢驗，能否認為網民選擇在甲、乙直播間購買

大米與網民所處地區有關；

(2)用樣本分布的頻率分布估計總體分布的概率，若共有100000名網民在甲、乙直播間購買大米，且網民選

擇在甲、乙兩個直播間購買大米互不影響，記其中在甲直播間購買大米的網民數為X,求使事件“X=K'

的概率取最大值時k的值.

2n^ad-bcy

附:,(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

a0.10.050.010.005

Xn2.7063.8416.6357.879

18.(本題17分)如圖，在三棱柱A2C-A4G中，側面ACCH為

菱形，N&4c=60。，底面ABC為等邊三角形，平面ACGA，平面

ABC,點￡＞,E滿足==點F為棱C。上的動

點(含端點).

(1)當尸與C重合時，證明：平面平面ABC；

(2)是否存在點尸，使得直線AC與平面ZJEF所成角的正弦值為四？若存在，求出票的值；若不存在,

4cic

請說明理由.

19.(本題17分)已知函數〃x)=〃花工一彳2-2%(切/0),尸(%,%)與。值，為)在函數/(x)的圖象上，回答

下列問題：

(1)當機＜0時，證明曰三］＞心°;

⑵“X)上有人(不,另),35,%),。(電,％)三點(占,馬,￡均不為0且互不相等),滿足占,超產3成等差數列且

①若不存在A,3,c三點，使%,%，%成等差數列，求機的取值范圍;

②若，〃<0,g(x)=—，證明：g(m)+g(-m)>2.

參考答案

題號12345678910

答案CDCAAAAAABCAD

題號11

答案ABC

12.20

13.12%

14.逑

25

ac

15.(1)證明：由一+—=l+2cos8,^a2+c2=ac+2accosB

ca

即a2+c2-2〃ccosB=ac=b29

因為BDsinZABC=asinC,

由正弦定理得，BDb=ac,

則=gpBD=b.

(2)在AABC中，由余弦定理得廿=片+。2-2〃ccos3=a2+。2-2/COSZABC,①

因為。為AC的中點，所以25D=5C+84，

則4BD2=BC+BA+2BC-BA，

即41M2=阿1+網2+2IBC|-|BA|-cosZABC,

即4b2=片+。2+2〃ccosZABC=a2+c2+2b2cosAABC,②

3

聯立①②，得3"=*。sZABC,解得COSNABCR,

所以sinNA3C="一cos?NA5C=立,

4

所以AABC的面積為L〃csinZABC=-b2sinZABC=-x42x—=2A/7.

2224

16.(1)當〃上2時，=S〃一=2%-2%T,整理得j-=2,當〃=1時，有q=l=S].

an-\

數列｛%｝是以q=2為公比，以4=1為首項的等比數列，所以。"=2"一.

(2)當xwO時,

xn+l-l

f(X)—1+X+%2+/+...+x'1

x-1

所以rG)=

所以4=/'⑵=("+1)2"_(2"+1_1)=〃2"_2"+1,

令2=小2",其前〃項和為1，

A7；,=lx21+2x22+3x23+4x24+...+(w-l)-2n-1+w2,'?

27；,=lx22+2x23+3x24+4x25+(n-l)-2,,+w2,,+1(2)

①-②得：-7；=2+1x2?+1x2、…+1x2-2+1

=(1-?)-2"+1-2.

1=(1)-22+2.

令%=2",其前〃項和易知為:2*+1-2,

所以5"=(〃-1).2同+2-(26-2)+"=(〃-2*2向+"+4

17.(1)因為網民人數合計為100,外地區網民人數為45,所以本地區網民人數為55,

在甲直播間購買的外地區網民人數為30,外地區網民人數為45,

所以在乙直播間購買的外地區網民人數為45-30=15,

又在乙直播間購買的網民總人數為20,

所以在甲直播間購買的外地區網民人數為5,

所以在甲直播間購買的本地區網民人數為50,

所以列聯表如下：

在直播間購買大米的情況

合

網民類型

在甲直播間購在乙直播間購

計

買買

本地區網50555

民

外地區網

301545

民

合計8020100

提出零假設“。：網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區沒有關聯,

2

100x(50xl5-30x5)100

經計算得/=9.091>7.879=%^

80x20x55x45IT

依據小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷Ho不成立,

即認為網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區有關聯.

(2)利用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，

可知網民選擇在甲直播間購買大米的概率為尸=瑞=，，

則X~2(100000,。］,記“=100000,P=g，

則p(x=k)=C\pkp)n~k(k=0,1,2,???,100000),

則問題等價于求當k取何值時P(X=k)=取最大值,

P(X=k)Ckpk(l-r(〃一女+1)P(〃+1)p-k

因為。<”1,--------4=—D―PT-r=1+

尸X="lCr"i(l_p廣日

4

X(w+l)p=100001x-=80000.8,

所以當k<(〃+l)p=80000.8時，尸(X=k)>P(X=々—l)；

當左=(〃+l)p=80000.8時，P(X=k)=P(X=k—l)；

當%>(〃+l)p=80000.8時，P(X=k)<P(X=k—1)；

所以p(X=80000)>尸(X=79999)>>P(X=1),

P(X=100000)<-<P(X=80001)<P(X=80000),

所以當X=80000時，P(X=外取最大值，

即使事件"X=《'的概率取最大值的k的值為80000.

18.(1)如圖，取AC中點。，連接A。,

因為側面ACGA為菱形，ZAAC=60°,

所以AQLAC,

又因為平面ACC]A，平面ABC,平面ACC】A一平面ABC=AC,

AOu平面ACGA，所以A。！.平面ABC,

又因為E為AG的中點，所以四邊形4。包為平行四邊形，所以40〃口,

所以￡F_L平面ABC,又EFu平面DEF,所以平面DEF_L平面ABC；

B

(2)連接03,因為AABC為等邊三角形，則OBLOC,

所以08,OC,04兩兩垂直，則以。為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示:

令三棱柱的棱長為2,所以03=04,=若，

故O（O,O,O）,A（O,T,O）,B（6O,O）,

A（0,0,招）,C（O,1,O）,￡（0,1,百）,G（0,2,由），

又AC=gAB,所以

設C[P=XC]C,2e[0,l],

則OF=XOC+（1-X）OC\=（0,z0）+（0,2-2%退-&）=（0,2-46-6l）,

即F（0,2-Z百-屈I）；

又r）E=j-g,I，o],EF=（0,l-4-g/l）,

設平面DEF的法向量為m=(無,y,Z),

則產一2y=0

m-DE=0則>=*=*-%),

則取x=A/3A

m-EF=0|^(l-2)y-732z=0

故平面DEF的法向量可為機=[⑨,京,母(1-㈤

又AC=(0,2,0),設直線AC與平面DE尸所成角為6,

仁|w-AC|__________|3￡|_________y/6_

由題可得sin"卜os，即\m\\AC\'L2+9A2+32-丁,

1\44

整理得：62-3=0,解得2」，

2

故當弁=；時，直線AC與平面D砂所成角的正弦值為好.

CjC24

19.(1)由/(x)=me"-x2—2x(mw0),

則/(%)=me-2x-2,又？(%,%)與。(%,%)在〃%)上.

.xi+x2

則/d2%)=me2一(七+々)-2；

R二、(兀2)/a)二加八一〃9(以一%;)2(%2―石)

/、c

=m--------(玉+X2)—2；

x2—xi一

要證/(五產]一既硬e號-蘭二B＞。,

I2J2Ix2-x1J

國+巧e當_3無1

因為相＜0,即證e2------------＜0,

不妨設玉＜%2，令馬-玉=兀，＞°,貝|元2=工1+，，

則e退一次士＜0oe久老匚。"一1+1＜0,

tt

故只需證言-8+1＜0?

令g(f)=te?-e'+1，t＞0,

則g，(t)=e2+：e2-d

x

再令"(x)=e-x-l,x>0f

則”(x)=e'-1>0,則(p(x)在(0,+8)上單調遞增,

故0(%)>。(0)=0,故當％>0時，l+x<e*恒成立，

由，>0,—>0,得l+人一e，<0,

22

則g'⑺=e[l+；-e[<0,所以g⑺在(0,+8)上單調遞減，

故g⑺<g(0)=0,得證.

(2)①由士,馬,尤3等差數列且％3=3尤1,則2工2=占+%=%+3玉=4為,

解得無2=2占，

下面先研究若存在AB,C三點，使％成等差數列的充要條件.

3%12

故X+%=機e*一片一2%i+me-(SxJ-6x1=機(e國+。用)一10%；—8石；

又2%=2(me2x*_4,_4xj,

X，%%成等差數列0X+%=2%om(e3^+e^-2e2x')=23

m

由e3%1+9一2e2A1=e"(e2x*+1-2e、')=T>0

m

存在A民C三點，使%,上，為成等差數列=〒有解.

m

當石>。時，e再一1>0,故~2a

e2

m一須