熱點(diǎn)01數(shù)與式

明考情.知方向

中考數(shù)學(xué)中數(shù)與式部分主要考向分為四類：

一、實(shí)數(shù)與特殊角的三角函數(shù)值（每年2~4道，9~16分）

二、整式與因式分解（每年2~4道，7~10分）

三、分式（每年1~3題，3~13分）

四、二次根式（每年1~3題，3~12分）

在數(shù)學(xué)中考中，數(shù)與式部分主要考察實(shí)數(shù)及其運(yùn)算、數(shù)的開方與二次根式、整式與因式分解、分式及

其運(yùn)算；而這些考點(diǎn)中，對實(shí)數(shù)包含的各種概念的運(yùn)用的考察占了大多數(shù)，但是試題難度設(shè)置的并不大，

屬于中考中的基礎(chǔ)“送分題”，題目多以選擇題、填空題以及個(gè)別計(jì)算類簡單解答題的形式出現(xiàn)；但是，由于

數(shù)學(xué)題目出題的多變性，雖然考點(diǎn)相同，并不表示出題方向也相同，所以在復(fù)習(xí)時(shí)，需要考生對這部分的

知識點(diǎn)的原理及變形都達(dá)到熟悉掌握，才能在眾多的變形中，快速識別問題考點(diǎn)，拿下這部分基礎(chǔ)分。

熱點(diǎn)題型解讀

【題型1】實(shí)數(shù)內(nèi)的基本概念

考向一：實(shí)數(shù)及其運(yùn)算

【題型1實(shí)數(shù)內(nèi)的基本概念】

實(shí)數(shù)內(nèi)的基本概念包括：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、科學(xué)記數(shù)法；

做這種概念類題目時(shí)記牢以下4點(diǎn)：①熟悉各概念的基本定義，特別注意各概念中0的特殊存在；②必

須讀對題意，問的是什么就想對應(yīng)的考點(diǎn)；③如果是選擇題，確保4個(gè)選項(xiàng)都要全看完，再說選哪個(gè)選

項(xiàng)；④做到數(shù)軸、絕對值相關(guān)的問題，注意需不需要分類討論。

1.（2024.青海?中考真題）-2024的相反數(shù)是（）

11

A.-2024B.2024C.---D.—

20242024

【答案】B

【分析】本題考查相反數(shù)定義.根據(jù)題意利用相反數(shù)定義即可得到本題答案.

【詳解】解：；一2024的相反數(shù)是2024,

故選：B.

2.（2024.寧夏.中考真題）下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.一1B.|C.V4D.n

【答案】D

【分析】本題考查無理數(shù)的識別.熟練掌握無理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，分?jǐn)?shù),

整數(shù)屬于有理數(shù).

利用無理數(shù)的定義逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】A、-1是有理數(shù)，不合題意；

B、:是有理數(shù)，不合題意；

C、V4=2,是有理數(shù)，不合題意；

D、兀是無理數(shù)，符合題意.

故選：D.

3.（2024?甘肅蘭州?中考真題）-2024的絕對值是（）

A./B,C,2024D.-2024

【答案】C

【分析】本題考查了絕對值的定義，直接根據(jù)定義即可求解，解題的關(guān)鍵是正確理解表示一個(gè)數(shù)a的點(diǎn)

到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值，一個(gè)正數(shù)的絕對值等于它的本身，零的絕對值還是零，一個(gè)負(fù)數(shù)的

絕對值等于它的相反數(shù).

【詳解】解：根據(jù)絕對值的定義可得：-2024的絕對值是2024.

故選：C.

4.（2024.天津.中考真題）估計(jì)VIU的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【答案】c

【分析】本題主要查了無理數(shù)的估算.根據(jù)無理數(shù)的估算方法解答即可.

【詳解】解：：9<10<16,

.*.3<V10<4,

...VTU的值在3和4之間.

故選:C

5.（2024?山西?中考真題）中國空間站位于距離地面約400km的太空環(huán)境中.由于沒有大氣層保護(hù)，在太陽

光線直射下，空間站表面溫度可高于零上150?？谄浔酬柮鏈囟瓤傻陀诹阆?00冤.若零上150冤記作

+150℃,則零下100冤記作（）

A.+100℃B.-100℃C.+50℃D.-50℃

【答案】B

【分析】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相

反意義的量.在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示.

【詳解】解：“正”和“負(fù)”相對,所以，若零上150冤記作+150汽,則零下100久記作-100。匚

故選：B.

6.（2024.江蘇無錫?中考真題）4的倒數(shù)是（）

A.1B,-4C.2D.±2

【答案】A

【分析】本題主要了考查倒數(shù)的意義，根據(jù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)求解即可.

【詳解】解：4的倒數(shù)跌

故選:A.

【題型2實(shí)數(shù)的比較大小】

實(shí)數(shù)比較大小的常見方法：①法則法：正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；②數(shù)軸法：數(shù)軸上的數(shù)，右邊的總比左邊的大；

③絕對值法：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而??；④平方法：兩個(gè)正數(shù)比較大小，誰的平方大，誰

本身就大，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，誰的平方大，誰本身反而小；

注意：個(gè)別實(shí)數(shù)的比較大小會結(jié)合其他基本概念或計(jì)算，這類問題要同時(shí)兼顧結(jié)合考點(diǎn)的性質(zhì)再做比較

1.（2024?西藏?中考真題）下列實(shí)數(shù)中最小的是（）

1

A.-2B.0C.-D.1

【答案】A

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)

數(shù)進(jìn)行比較，絕對值大的反而小，即可得出答案，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較法則是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：一2<0<（<1,

，下列實(shí)數(shù)中最小的是-2,

故選：A.

2.（2024.山東德州.中考真題）實(shí)數(shù)”，人在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所，下列結(jié)論正確的是（）

___?a?b?A

-1012

A.\a\>|b|B.a+b<0

C.a+2>6+2D.|ci—11>|b—11

【答案】D

【分析】本題主要考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸的基本知識是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點(diǎn)在

數(shù)軸上的位置，判斷數(shù)的大小關(guān)系，不等式的性質(zhì)及絕對值的意義判斷出式子的大小即可.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得a<0<1<b,

|a|<\b\,a+b>0,a+2<b+2,\a-1\>\b-1\,

故選：D.

3.（2024.四川資陽?中考真題）若逐<zn<VTU,則整數(shù)相的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】此題考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的估算方法.首先確定愿和VIU的

范圍，然后求出整數(shù)m的值的值即可.

【詳解】解：VV4<V5<V9,BP2<V5<3,V9<V10<VT6,BP3<V10<4,

又m<VIU,

整數(shù)m的值為:3,

故選：B.

4.（2024?內(nèi)蒙古包頭.中考真題）若2m-1,m,4-爪這三個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)從左到右依次排列，

則小的取值范圍是（）

A-m<2B-m<1C.1<機(jī)<2D.l<m<|

【答案】B

【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，求不等式組的解集，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊的比左邊的大，列出不等式

組，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：2m-l<m<4-m,

解得：m<1；

故選B.

5.（2024.山西.中考真題）比較大?。篤62（填“〈”或

【答案】＞

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)〃即可推出逐＞2.

【詳解】解：：乃＞〃，

:.網(wǎng)＞2,

故答案為：＞,

【題型3實(shí)數(shù)的運(yùn)算】

0電@@

實(shí)數(shù)的運(yùn)算是實(shí)數(shù)內(nèi)各種概念法則運(yùn)算的結(jié)合，一般以簡答題為主，個(gè)別會出填空題，這也就決定了實(shí)

數(shù)的運(yùn)算需要我們注意的三個(gè)方面：

①實(shí)數(shù)的運(yùn)算必須熟悉的幾個(gè)法則：零指數(shù)哥運(yùn)算、負(fù)指數(shù)易運(yùn)算、絕對值的化簡、根式的化簡計(jì)算、

特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算等；

②實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的；

③實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先確定化簡的正負(fù)，再進(jìn)行合并計(jì)算。

1.（2024?山東淄博?中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

【答案】A

【分析】題考查了正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算，絕對值的化簡，乘方，算術(shù)平方根的意義，熟

練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算，絕對值的化簡，乘方，算術(shù)平方根的意義計(jì)算選擇即可.

【詳解】解：A、3T=》是正數(shù)，符合題意；

B、-32=一9是負(fù)數(shù)，不符合題意；

C、一|一3|=-3是負(fù)數(shù)，不符合題意；

D、-g是負(fù)數(shù)，不符合題意；

故選：A.

2.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A,M,8分別表示數(shù)a,a+b,b,那么下列運(yùn)算結(jié)果一

定是正數(shù)的是（）

AMB

-------1----------------------1----------1-------

A.a+bB.a—bC.abD.\a\—b

【答案】A

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，整式的運(yùn)算等，由數(shù)軸是上A、8的位置可得出a<0,6>0,

a+b>0,|a|<\b\,再根據(jù)整式的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】解：由數(shù)軸知：a<a+b,a+b<b,AM=a+b—a=b

.,.b>0,a<0,

原點(diǎn)在A、M之間，|a|<\b\,

.,.a+b>0,a—b<0,ab<0,|a|—/><0

.??運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是a+b,

故選：A.

3.(2024?山東青島?中考真題)計(jì)算：V18+(I)-1-2sin45°=.

【答案】2V2+3/3+2V2

【分析】本題主要考查了二次根式的加減計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和求特殊角三角函數(shù)值，先計(jì)算特殊角

三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉和化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可.

【詳解】解：同+(|)-1-2sin45°

lV2

=3v2+3-2X—^―

=3V2+3-V2

=2V2+3,

故答案為：2/+3.

4.(2024?寧夏?中考真題)先化簡，再求值：。―右>寧，其中a=l—魚.

【答案】a—1,-V2

【分析】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

先將先括號內(nèi)通分，去括號，除式分子分解因式，再約分化簡，繼而將a的值代入計(jì)算可得.

【詳解】解：(1—-—=—?^-1,

\a+1/aa+laa

當(dāng)a=1一/時(shí)，

腹式=1-V2—1=一V2.

5.(2024?西藏?中考真題)計(jì)算：(-1)3+2tan60°-V12+(n:-2)0.

【答案】0

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算乘方、零指數(shù)累、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式，再

計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減即可得出答案，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(-1)3+2tan60°-V12+(TT-2)°

--1+2xV3-2,^3+1

=-1+2\f3—2-\/^+1

=0.

考向二：整式與因式分解

【題型4代數(shù)式求值】

代數(shù)式求值類問題解題步驟：①根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化含字母的整體部分的值；②轉(zhuǎn)化待求式，得上一步整

體表達(dá)式的倍數(shù)的表達(dá)式；③將整體部分的值代入計(jì)算。

1.(2024?西藏?中考真題)若x與y互為相反數(shù)，z的倒數(shù)是一3,貝|2x+2y-3z的值為()

A.-9B.-1C.9D.1

【答案】D

【分析】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、求代數(shù)式的值，根據(jù)相反數(shù)和倒數(shù)的定義得出x+y=0,z=

將式子變形為2(x+y)-3z,整體代入計(jì)算即可得解，熟練掌握相反數(shù)、倒數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：與y互為相反數(shù)，z的倒數(shù)是-3,

??1

??%+y=。n，z=-

2,x+2y-3z——2(x+y)-3z=2x0-3x(-§)=0+1=1,

故選：D.

2.(2024.山東德州?中考真題)已知a和。是方程/+2024%—4=0的兩個(gè)解，則a?+2023a—6的值

為.

【答案】2028

【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿足方程以及根

與系數(shù)關(guān)系求得a?+2024a=4,a+b=-2024,再代值求解即可.

【詳解】解：：。和6是方程久2+2024尤-4=0的兩個(gè)解，

***CL^+2024a—4=0,a+b=-2024,

/.a2+2024a=4,

a2+2023a-b

=a2+2024a—(a+b)

=4-(-2024)

=4+2024

=2028,

故答案為：2028.

3.(2024?江蘇徐州?中考真題)若nm=2,m—n=1,則代數(shù)式TH2rl一7rm2的值是.

【答案】2

【分析】本題考查代數(shù)式求值.先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值.

【詳解】解：,?,小幾=2,m—n=1,

■■■m2n—mn2—mn（jn—n）=2x1=2,

故答案為：2.

4.（2024.廣東廣州.中考真題）Ba2-2a-5=0,M02a2-4a+1=.

【答案】11

【分析】本題考查了已知字母的值求代數(shù)式的值，得出條件的等價(jià)形式是解題關(guān)鍵.

由a2-2a-5=0,得a?-2a=5,根據(jù)對求值式子進(jìn)行變形，再代入可得答案.

【詳解】解：：a2-2a-5=0,

a2—2a=5,

2a2-4a+1=2（a2-2a）+1=2x5+1=11,

故答案為：11.

【題型5整式的計(jì)算與化簡求值】

完全拿下這部分分?jǐn)?shù)，首先需要我們完全熟悉整式中的所有計(jì)算公式，特別是完全平方公式與平方差公

式，變形也得掌握；其次要掌握整式的混合運(yùn)算的順序；最后，整式的化簡求值，必須先化簡，再帶入

數(shù)據(jù)求值。

nmn

1、常見必會計(jì)算公式：①心也』〃，"〃（如〃是正整數(shù)）②（/）=a（im9〃是正整數(shù)）

（3）（而）（〃是正整數(shù)）④m+a%=f（a#0,m,〃是正整數(shù)，m>n）⑤（a±））2=a2±2ab+b2

⑥（。+（）（a-b）=a2-b2

2、完全平方公式的常見變形：

〃+/1_2abab="+的（。+為2=（。一球+4ab

2

=3+2"=宜0回近

（CL+Z2）+（［-/2）2

2_（<2+/?）2-{a-Op

一4

3、其他技巧：整式的化簡計(jì)算，其實(shí)就是去括號法則與合并同類項(xiàng)法則的聯(lián)合應(yīng)用，所以兩個(gè)法則的注

意事項(xiàng)也是整式化簡的注意事項(xiàng)。

1.（2024.山東德州.中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a2+a2=a4B.a(a+1)=a2+1

C.a2-a4=a6D.(a-1)2=a?—1

【答案】c

【分析】此題考查了合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、同底數(shù)暴乘法、完全平方公式等知識，根據(jù)運(yùn)

算法則進(jìn)行計(jì)算即可作出判斷即可.

【詳解】A.a2+a2=2a2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.a(a+1)=a2+a,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.a2-a4=a6,故選項(xiàng)正確，符合題意；

D.(a-I)2=a2—2a+1,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

2.(2024?江蘇常州?中考真題)先化簡，再求值：0+1)2-以尤+1),其中％=遮一1.

【答案】x+1,V3

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的

計(jì)算法則去括號，然后合并同類項(xiàng)化簡，最后代值計(jì)算即可.

【詳解】解：(X+-久(X+1)

=%2+2%+1—%2—%

=X+1,

當(dāng)x=V3—1時(shí)，原式=V3—1+1=V3.

3.(2024?江蘇南通?中考真題)“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是由

四個(gè)全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為

n(m>n).若小正方形面積為5,(m+n)2=21,則大正方形面積為()

【答案】B

【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基

礎(chǔ)題型.由題意可知，中間小正方形的邊長為m-n,根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出

大正方形的面積為m2+層.

【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為機(jī)-九，

/.(m—n)2=5,BPm2+n2-2mn=5?,

(m+n)2=21,

.,.m2+n2+2mn=21②，

①+②得20n2+聲)=26,

...大正方形的面積+/=13,

故選：B.

4.(2024?四川德陽?中考真題)若一個(gè)多項(xiàng)式加上V+3xy-4,結(jié)果是3孫+2y2-5,則這個(gè)多項(xiàng)式為.

【答案】y2|l

【分析】本題考查整式的加減運(yùn)算，根據(jù)題意“一個(gè)多項(xiàng)式加上必+3久y-4,結(jié)果是3比y+2y2—5”,

進(jìn)行列出式子：(3久y+2y2_5)-(y2+3久y-4),再去括號合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】解：依題意這個(gè)多項(xiàng)式為

(3xy+2y2—5)—(y2+3xy-4)

=3xy+2y2—5—y2—3xy+4

—y2—1.

故答案為:y2-l

5.(2024?江蘇常州?中考真題)先化簡，再求值：(x+l)2-x(x+l),其中久=百一1.

【答案】x+1,V3

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的

計(jì)算法則去括號，然后合并同類項(xiàng)化簡，最后代值計(jì)算即可.

【詳解】解：(％+1尸-X(X+1)

=x2+2%+1—%2—%

—X+1,

當(dāng)x—V3—1時(shí)，原式=V3—1+1=V3.

【題型6因式分解】

—

完全拿下這部分分?jǐn)?shù)，首先需要我們完全熟悉掌握常見的因式分解公式，如平方差、完全平方、立方和

差等；其次要掌握因式分解的順序，優(yōu)先提取多項(xiàng)式中的最大公因式；最后，檢查是否完全分解。

1、常見必會計(jì)算公式：

①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2—2ab+b2=(a-b)

③十字相乘法：x2pqxpq(x+p)(x+q)

1.(2024.四川自貢.中考真題)分解因式：x2-3%=.

【答案】x(x-3)

【分析】本題考查了因式分解，提取公因式久，即可求解；掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=x(x—3)；

故答案為：x(x-3).

2.(2024?四川眉山?中考真題)分解因式：3a3—12a=.

【答案13a(a+2)(a—2)

【分析】本題主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的綜合運(yùn)用.先提取公因式3a,然后利

用平方差公式繼續(xù)分解因式即可.

【詳解】解：3a3—12a

=3a(a2-4)

=3a(a+2)(a—2),

故答案為：3a(a+2)(a—2).

3.(2024?山東淄博?中考真題)若多項(xiàng)式4/一mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,則根的值是.

【答案】±12

【分析】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.利用完全平方公

式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值.

【詳解】解：,??多項(xiàng)式4/-nuy+9y2能用完全平方公式因式分解，

4x2—mxy+9y2=(2x)2—mxy+(3y)2=(2x±3y)2,

m—±2x(2x3)—+12,

故答案為：±12.

考向三：二次根式

【題型7二次根式有意義的條件】

在中考中二次根式有意義的條件主要在選擇題或填空題考查，是“送分題”。

對于形如小的二次根式，要求吟0。如果二次根式在分母中，如［，則要求a>0(因?yàn)榉帜覆荒転榱?。

1.(2024.江蘇徐州.中考真題)若V74I有意義，則x的取值范圍是(~~.............................

A.x2-1B.x4-1C.x>—1D.x<-1

【答案】A

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).根據(jù)二次根式有

意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可.

【詳解】解：???二次根式GI有意義，

x+1>0,解得久>-1.

故選：A.

2.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）在函數(shù)y=寄中，自變量尤的取值范圍是.

【答案】%>3/3<%

【分析】本題主要考查函數(shù)自變量取值范圍，分別根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列

出不等式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，%-3>0,且％+2力0,

解得，x>3,

故答案為：x>3.

【題型8二次根式的運(yùn)算】

二次根式的運(yùn)算主要在選擇題，填空題或計(jì)算題考查，屬于基礎(chǔ)題，要完全拿下這分?jǐn)?shù)，需要我們熟悉

掌握以下做題步驟：

①化簡根式:將根式化為最簡形式，如返=2拒?

②合并同類項(xiàng):只有同類二次根式才能直接相加減，如26+36=56。

③有理化分母:若分母有根式，乘以共軌根式有理化，如-1^=—

412

④運(yùn)用公式:熟練運(yùn)用平方差、完全平方等公式簡化運(yùn)算。

⑤檢查結(jié)果:運(yùn)算后檢查是否為最簡形式避免遺漏。

1.（2024.江蘇南通?中考真題）計(jì)算何XJ5的結(jié)果是（）

A.9B.3C.3V3D.V3

【答案】B

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：V27xJj=j27x|=V9=3,

故選B.

2.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題）實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則J（a—卜尸_（6-a—2）的

化簡結(jié)果是（）

I[II??1A

-3-2-1012

A.2B.2a—2C.2-2bD.-2

【答案】A

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，根據(jù)數(shù)軸可得-3<a<

-2,0<b<l,,再利用二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，化簡計(jì)算即可.

【詳解】解：由數(shù)軸知：一3<a<-2,0<b<l,

ci-b<0,

「?J(a—b)2-(b-a-2)

=\a-b\—(b—a—T)

=—(a—h)—(/7—a—2)

=-CL+b—b+a+2

=2,

故選：A.

3.(2024?四川樂山?中考真題)已知l<x<2,化簡-1尸+|x—21的結(jié)果為()

A.-1B.1C.2%-3D.3—2久

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對值，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)后=㈤化簡二次根式，然后再根據(jù)1<久<2去絕對值即可.

【詳解】解：d(x-1)2+I久-2|=-1|+|x—2|,

VI<x<2,

**.x-1>0,%—2<0,

\x-1|+1%—21—x—1+2-x—11

?二J(%—1)2+|x—2|=1,

故選：B.

4.(2024?甘肅?中考真題)計(jì)算：V18-V12XJ|.

【答案】0

【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】內(nèi)一房*I=：V18-112xj=718-718=0.

考向四：分式及其運(yùn)算

【題型9分式有意義及分式值為0】

這個(gè)考點(diǎn)主要在選擇題和填空題中考查，做這種提醒需要牢記下面幾個(gè)注意事項(xiàng)：

分式有意義：分母不為零:解分式時(shí)，先確定分母不為零，排除使分母為零的值；

分式值為0：①分子為零:令分子等于零，求出可能的解；②驗(yàn)證解:將求得的解代入分母，確保分母不為

零；③分式化簡:復(fù)雜分式先化簡，再求解。④注意隱藏條件:分母中含根式或絕對值時(shí)，需額外考慮定

義域

1.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）使分式」-有意義的x的取值范圍是

x-2

【答案】%*2

【分析】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

分式有意義，則分母X-2大0,由此易求x的取值范圍.

【詳解】解：當(dāng)分母％—2大0,即英力2時(shí)，分式會有意義.

X-2

故答案為：X豐2.

【題型10分式的計(jì)算與化簡求值】

—?

這中題型在考試中主要以解答題為主，個(gè)別也會出現(xiàn)在選擇題或填空題，要把這部分的分完全拿下，需

要我們做到一下幾點(diǎn)：①熟記公式（平方差，完全平方等）；②先化簡后求值；③注意定義域；④檢查結(jié)

果。

1.（2024?四川雅安?中考真題）已知三+工=l（a+6K0）.則以竺=（）

aba+b

1

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】c

【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得26+a=ab,再整體代入求值即可;

【詳解】解：?.2+<=l（a+bK0）,

ab

?\2b+a=ab,

.a+ab

??a+b

a+a+2b

a+b

2（。+b）

a+b

=2；

故選C

2.（2024?黑龍江大慶?中考真題）先化簡，再求值：（1+3）-%2-9箕中=_2

X2-6%+9八十支G

【答案】M，-2

【分析】本題考查了分式的化簡求值.原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)

利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值.

【詳解】解：（1++）.X2-9

X2-6X+9

X—33(x+3)(%—3)

.x—3x—3(%—3--

xx—3

x—3%+3

-_X,

x+3

當(dāng)％=—2時(shí)，原式=——=—2.

—2+3

3.（2024.四川達(dá)州.中考真題）先化簡：（￡-芝，再從-2,-1，0,1，2之中選擇一個(gè)合適的數(shù)

作為x的值代入求值.

【答案］.‘當(dāng)“=1時(shí),原式=2?

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡,

接著根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，最后代值計(jì)算即可.

【詳解】解：(叁-*)+分

%(%+2)—%(%—2)%(%+1)

(%-2)(%+2)(%—2)(%+2)

%2+2%—%2+2x(%—2)(%+2)

(x—2)(%+2)?x(x+1)

4%(?%—2)(%+2)

(%—2)(%+2)%(%+1)

—一4,

x+1

??,分式要有意義，

.t(x+2)(%—2)W0

,?(敘％+1)00'

.'.%W±2且XW0且XW—1,

「?當(dāng)久=1時(shí)，原式=-^=2.

1+1

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：15分鐘）

1.（2024?四川達(dá)州?中考真題）有理數(shù)2024的相反數(shù)是（）

A.2024B.-2024D?一默

【答案】B

【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0,據(jù)

此求解即可.

【詳解】解：有理數(shù)2024的相反數(shù)是-2024,

故選：B.

2.（2024.重慶?中考真題）估計(jì)房（四+舊）的值應(yīng)在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即可.

【詳解】解：：屬（魚+舊）=2痣+6,

而4<V24=2V6<5,

/.10<2V6+6<11,

故答案為：C

3.（2024?寧夏.中考真題）已知|3—a|=a—3,則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，解一元一次不等式.根據(jù)絕對值的性質(zhì)，可得3-aWO,從而

得到a23,即可求解.

【詳解】解：?.|3-a|=a-3,

:?3—a40,

解得：a23,

則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是：

---1--------------?

03

故選：A.

4.（2024?四川廣元?中考真題）將-1在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，則此時(shí)該點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是（）

-----1----1------------>

0

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】B

【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，正確理解有理數(shù)所表示的點(diǎn)左右移動后得到的點(diǎn)所表示的數(shù)

是解題的關(guān)鍵.將-1在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，在數(shù)軸上找到這個(gè)點(diǎn)，即得這個(gè)點(diǎn)所表示

的數(shù).

【詳解】根據(jù)題意：數(shù)軸上-1所對應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，則此時(shí)該點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是1.

故選B.

5.（2024?北京?中考真題）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

ba

-4-3-2-101234

A.b>—1B.\b\>2C.a+b>0D.ab>0

【答案】C

【分析】本題考查了是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，絕對值的意義，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

由數(shù)軸可得-2<匕<-1,2<a<3,根據(jù)絕對值的意義，實(shí)數(shù)的加法和乘法法則分別對選項(xiàng)進(jìn)行判

斷即可.

【詳解】解：A、由數(shù)軸可知-2<6<-1,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、由數(shù)軸可知-2<6<-1,由絕對值的意義知1<仍|<2,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、由數(shù)軸可知2<a<3,ffi]—2<b<—1,則|a|>g|,故a+b>0,故本選項(xiàng)符合題意；

D、由數(shù)軸可知2<a<3,而一2〈匕<一1,因此ab<0,故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

6.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的

“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將

這四個(gè)直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理，設(shè)直角三角形的兩直角邊為a,6,斜邊為c,根據(jù)圖1,結(jié)合已知條件

得到a?+爐=02=24,（a—b）2=a2+b2—2ab=4,進(jìn)而求出ab的值，再進(jìn)一步求解即可.

【詳解】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為a,6,斜邊為c,

b

ra

圖1圖2???圖1中大正方形的面積是24,

???a2+b2=c2=24,

??,小正方形的面積是4,

（a-b}2=a2+b2-2ab=4,

ab=10,

???圖2中最大的正方形的面積=c2+4x}ab=24+2X10=44：

故選：D.

7.（2024?云南?中考真題）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2%,3久2,4久3,5%4,6%5,第？1個(gè)代數(shù)式是（）

A.2xnB.（n—l）xnC.nxn+1D.（n+l）xn

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)列的規(guī)律變化，根據(jù)數(shù)列找到變化規(guī)律即可求解，仔細(xì)觀察和總結(jié)規(guī)律是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：：按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2久，3%2,4%3,5久36%5,???,

.?.第n個(gè)代數(shù)式是（n+1）K％

故選：D.

8.（2024?重慶?中考真題）已知根=何—百，則實(shí)數(shù)小的范圍是（）

A.2<m<3B.3<m<4C.4<m<5D.5<m<6

【答案】B

【分析】此題考查的是求無理數(shù)的取值范圍，二次根式的加減運(yùn)算，掌握求算術(shù)平方根的取值范圍的

方法是解決此題的關(guān)鍵.先求出瓶=內(nèi)-遮=反，即可求出機(jī)的范圍.

【詳解】解：ni=V27—V3——3V5—V3=2V3=V12,

V3<V12<4,

3<m<4,

故選:B.

9.（2024.重慶?中考真題）烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的

分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖

②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中

氫原子的個(gè)數(shù)是（）

y/內(nèi)內(nèi)J

①②③④

A.20B.22C.24D.26

【答案】B

【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)圖形，可歸納出規(guī)律表達(dá)式的特點(diǎn)，再解答即可.

【詳解】解：由圖可得，

第1種如圖①有4個(gè)氫原子，即2+2XI=4

第2種如圖②有6個(gè)氫原子，即2+2x2=6

第3種如圖③有8個(gè)氫原子，即2+2x3=8

…,

??.第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：2+2x10=22；

故選：B.

10.(2024.寧夏.中考真題)地球上水(包括大氣水，地表水和地下水)的總體積約為14.2億kn?.請將數(shù)據(jù)

1420000000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】1.42x109

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的定義：將一個(gè)數(shù)表示成aX1(F的形式，

其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定幾的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與

小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于或等于10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時(shí)，n是負(fù)

整數(shù).據(jù)此解答即可.

【詳解】解：1420000000=1.42x109,

故答案為：1.42X109.

11.(2024.山東淄博?中考真題)計(jì)算：V27-2V3=.

【答案】V3

【分析】本題主要考查了二次根式的減法計(jì)算，先化簡二次根式，再計(jì)算二次根式減法即可.

【詳解】解：V27-2V3=3V3-2V3=V3,

故答案為：V3.

12.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)因式分解：3am2_3a=.

【答案】3a(m+l)(m-1)

【分析】先提取公因式3a,再利用平方差公式分解因式.

【詳解】解：3am2-3a=3a(m2—1)=3a(m+l)(m—1),

故答案為：3a+1)(機(jī)—1).

【點(diǎn)睛】此題考查了綜合利用提公因式法和公式法分解因式，正確掌握因式分解的方法：提公因式法和

公式法(平方差公式和完全平方公式)是解題的關(guān)鍵.

13.(2024?四川資陽?中考真題)若(a—l)2+|b—2|=0,則ab=.

【答案】2

【分析】本題考查了絕對值和平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)和為0,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分

別為0.根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性，得出a-1=0,6-2=0,求出。和6的值，即可解答.

【詳解】解：：(a—l)2+|b—2|=0,

a-1=0,—2=0,

解得：a=1,6=2,

.,.ab=1x2=2,

故答案為：2.

14.(2024?廣東廣州?中考真題)如圖，把％,R2,也三個(gè)電阻串聯(lián)起來，線路4B上的電流為/，電壓為U，

則〃=/%+/夫2+/夫3-當(dāng)七=20.3,R2=31.9,R3=47.8,/=2.2時(shí)，U的值為.

A1/B