i重難題型?解題技巧攻略

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專題08數(shù)列中含絕對(duì)值與奇偶項(xiàng)的問題

?>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01含絕對(duì)值求和問題.......................................................................1

題型02等差、等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)..........................................................4

題型03含奇偶項(xiàng)的數(shù)列求和問題................................................................7

?>-----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

題型01含絕對(duì)值求和問題

【解題規(guī)律?提分快招】

I、對(duì)于首項(xiàng)小于0而公差大于0的等差數(shù)列｛4｝加絕對(duì)值后得到的數(shù)列｛I。」｝求和，設(shè)｛4｝的前幾項(xiàng)和為

Sn,｛|a?|）的前〃項(xiàng)和為7；，數(shù)列｛an｝的第k項(xiàng)小于0而從第k+1項(xiàng)開始大于或等于0,于是有

幾,k.

"飛一21,n>k,

2、對(duì)于首項(xiàng)大于0而公差小于0的等差數(shù)列｛4｝加絕對(duì)值后得到的數(shù)列｛,」｝求和，設(shè)｛。“｝的前幾項(xiàng)和為

S",｛|%|｝的前幾項(xiàng)和為7；,數(shù)列｛4｝的第k項(xiàng)大于0而從第k+1項(xiàng)開始小于或等于0,于是有

T=K，風(fēng),k

"一n>k°

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.（2024?四川成都?二模）已知數(shù)列｛叫的前w項(xiàng)和'=《"+阿%eN*）,且S”的最大值為g.

⑴確定常數(shù)左，并求。“；

⑵求數(shù)列｛|%|｝的前15項(xiàng)和幾.

7

【答案】⑴左=3；4

【分析】（1）根據(jù)題意，求得S“=-；/+3〃，結(jié)合4=S“-S“T，即可求得數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

（2）由（1）求得S“=-；/+3",結(jié)合幾=-幾+28，即可求解.

【詳解】⑴解：由數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S“=-g/+如H?N*）,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)〃=%時(shí)，S“=-；/+初取得最大值，

11O1

即1=一//+公=5公=_|,解得左=3,所以S“=-5”2+3W,

117

當(dāng)〃22時(shí)，4=S“-Si=-'I+3〃———（n-1）2+3（n-l）=--n,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=51=：（符合上式），

所以數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式為an=^-n.

57

（2）解：由（1）知見=：一"，可得s+1島3”，

"22

且當(dāng)〃工3且〃eN*時(shí)，可得%>。；當(dāng)〃24且〃eN*時(shí)，可得%<。，

22

所以數(shù)列｛㈤｝的前15項(xiàng)和：7]5=-S15+2S3=-^-1X15+3X15^+2^-1X3+3X3^=^.

2.（24-25高三上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為3,且2%+%=20,品,=110.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)bn=]9-a,\,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T,.

【答案】⑴）"=2”；

[―n2+Sn,1<7?<4

（2）"~[n2-8n+32,n>5'

【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求基本量，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)勿=|9-4的符號(hào)，討論1W〃W4、n>5,結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求加

【詳解】⑴設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,又2%+%=20,%=110,

2a3+%=2（q+2d）+q+3d=20

所以196/解得4=2,d=2,

Slo=lOa1+°^=HO

所以為=4+=2+2（"_1）=2〃.

（2）由（1）知〃=|9一4|二|9—2〃|,

當(dāng)時(shí)，bn=\^-2ri\=9-2n9貝!|a=7；

當(dāng)心5時(shí)，bn=|9-2n|=2n-9,則與=1,

當(dāng)14H4時(shí)，T,/（7+9二2〃）」（169）=_“2+8〃,

22

當(dāng)心5時(shí)，7；=/+々+…+2=]6+（"4）（￡2"9）=/_8〃+32.

.,e=2+8n,l<n<4

"z上'"[n-8n+32,n>5,

3.（24-25高三上?湖北?開學(xué)考試）已知數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為％且4=2,0用=S“+2.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)勿=1嗎片-11，求數(shù)列｛間｝的前〃項(xiàng)和T".

【答案】⑴4=2",weN*

10n-n2,n<5.

⑵（=<cf〃，〃￡N?

H92-10H+50,H>6

【分析】（1）利用見=篦-$,1（〃22）得出數(shù)列伍“｝是等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式;

（2）由已知求得切，得出｛"｝是等差數(shù)列，求出其前〃項(xiàng)和，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出數(shù)列｛|2|｝與他"

的前〃項(xiàng)和的關(guān)系，從而求得結(jié)論.

【詳解】（1）由。e=5“+2,則當(dāng)“22時(shí)a“=Si+2

兩式相減得4+1-%%,所以%=2%（〃22）.

將q=2代入an+l=S”+2得，a2=4=2al,

所以對(duì)于〃eN*,%=2a“，故｛%｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以4=2”.

（2）Z7?=log2^-ll=2/7-ll.

Bn=l\+b2++bn=〃（“-10）="-10/1,

因?yàn)楫?dāng)〃<5時(shí)a<。，當(dāng)〃*時(shí)或>。，

2

所以當(dāng)“V5時(shí)，Tn=-b1-b2---bn=-Bn=lQn-n,

當(dāng)"26時(shí)，Tn=—Z?j—b2——Z>5+Z?6+Z>7++=Bn—2B5=n~-10/z+50.

故7>仲一心"45

In2-10n+50,n>6

題型02等差、等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)

【解題規(guī)律?提分快招】

1、等差數(shù)列中

①若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃，則S2”=）=〃（。”+）；S偶一S奇=nd；—=——.

S偶。〃+1

②若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃-1,則J1=（2〃-1）?；S奇一S偶二％；———.

-S偶n-1

2、等比數(shù)列｛%｝中，若項(xiàng)數(shù)為2〃，則2=”若項(xiàng)數(shù)為2〃+1,則反二氣,.

S奇S偶

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí)）設(shè)S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.若公差1=；,且?guī)護(hù)=145,則

“1+“3+。5++”97+”99的值為（）

A.60B.70C.75D.85

【答案】A

【分析】設(shè)等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的和為P,偶數(shù)項(xiàng)之和為Q,由等差數(shù)列的性質(zhì)列方程組，可求出P、Q的

值，從而可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)2=4+%+%++。97+“99，

Q=〃2+〃4+〃6++“98+”100

因?yàn)閿?shù)列仇｝是等差數(shù)列，且公差d=g,5100=145,

fe+P=S=145

所以；pX1004解得。=6。，2=85

[Q-P=50d=25

所以4+。3+%++。97+%9=60?

故選：A.

2.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列｛0｝所有項(xiàng)之和為所有奇數(shù)項(xiàng)之和的3

倍，前2項(xiàng)之積為8,則％=（）

A.2B.-2C.-1D.2或-2

【答案】D

【分析】設(shè)數(shù)列共有2〃項(xiàng)，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)之和為7“，由題意表求出和T,,利用*=3求出公比4,再結(jié)

'n

合q?%=8求出q即可.

【詳解】設(shè)首項(xiàng)為q,公比為4,數(shù)列共有2“項(xiàng)，貝!）｛%“_｝滿足首項(xiàng)為4，公比為d，項(xiàng)數(shù)為〃項(xiàng)，設(shè)所

有奇數(shù)項(xiàng)之和為4，

因?yàn)樗许?xiàng)之和是奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，所以gwl,

所以丁“1-⑺)$

所以1=%+%+*=\_q2—，$2"一-m-，

%(I-42")

S21—qo

故滿n足(/，v\=3,解得q=2,

(“1-⑺)

1-“2

又6?出=〃；?q=8,

所以4=±2.

故選：D

3.(23-24高三上?重慶?期中)已知等比數(shù)列｛4｝有2”+1項(xiàng)，％=1,所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85,所有偶數(shù)項(xiàng)的

和為42,貝1]"=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到奇數(shù)項(xiàng)為1+d+/+…+=1+4(q+/+/+…+^-')=85,偶數(shù)項(xiàng)為

q+q3+q5+...+q2n-'=^,得到等比數(shù)列的公比q的值，然后用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出n即可.

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列有2”+1項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有〃+1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有〃項(xiàng)，設(shè)公比為4,

得到奇數(shù)項(xiàng)為1+才+/+…+廣=1+g(q+/+++/“T)=85,

偶數(shù)項(xiàng)為4+q3+4+...+/"T=42,整體代入得4=2,

所以前2九+1項(xiàng)的和為:——=85+42=127,解得“=3.

1-2

故選：B

4.(2024.重慶.二模)已知等差數(shù)列｛%｝的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為A,偶數(shù)項(xiàng)的和為8,且3-&=45，

2A=3+615,貝1]%=()

A.3n—2B.3n—1C.3n+1D.3〃+2

【答案】B

【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,首項(xiàng)為％,

則B-A=15d=45,所以d=3,

因?yàn)?A=3+615,即24=4+45+615,則7=660,

等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以6為首項(xiàng)，2d為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列｛4｝的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)有15項(xiàng)，所以

15x14

A=15%H--------x6=660,得〃i=2,

所以4=4^+（n-l）6?=2+3（n-l）=3n-l.

故選：B

5.（23-24高三上?陜西榆林?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝的項(xiàng)數(shù)為2m+eN*）,其中奇數(shù)項(xiàng)之和為140,偶

數(shù)項(xiàng)之和為120,則加=（）

A.6B.7C.12D.13

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，故奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的和直

接代入等差數(shù)列的前”項(xiàng)和公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】項(xiàng)數(shù)為2加+1的何｝中奇數(shù)項(xiàng)共有（加+1）項(xiàng),

其和為("+D(1+%，"+J=+⑺)角

向=+16=140,

項(xiàng)數(shù)為2機(jī)+1的｛%｝中偶數(shù)項(xiàng)共有機(jī)項(xiàng)，其和為〃」%；%"）=*24=〃叼m=120,

所以3皿1407?口

西有,解得利=6.

叫+]

故選:A.

6.（24-25高三上.河北保定.期末）已知正項(xiàng)等差數(shù)列間滿足：：：：；：：：：=占（4*），則,=（）

A.2B.1012C.2024D.4048

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)得到％J=V\（〃eN*）,從而得到冬=4g,即可得解.

nan+2n+2n〃+2

【詳解】因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，

所以…++*=y”，

〃（〃3+。2“+1）

〃3+%+…+a2n+\=-----------------=nan+29

nan.,*.

所以臺(tái)工———n=------(neNT),

na?+2n+2

所以%=%+2,所以“2024=%)22==e_

以nn+2以202420222

2024

所以詈==1012

2

故選：B

題型03含奇偶項(xiàng)的數(shù)列求和問題

【解題規(guī)律?提分快招】

1、項(xiàng)數(shù)問題

①數(shù)列項(xiàng)數(shù)是2n項(xiàng)，那么奇數(shù)和偶數(shù)分別是n項(xiàng)；

②數(shù)列項(xiàng)數(shù)是2n+l項(xiàng)，那么奇數(shù)為n+1項(xiàng)，偶數(shù)為n項(xiàng)；

③當(dāng)項(xiàng)數(shù)是n項(xiàng)時(shí)，要分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)；

2、常見類型

①1，求心的值；則《“=(《+%++。2.-1)+(匕2+"++處)

為奇數(shù)

②1求，的值

年,"為偶數(shù)

(l)n為奇數(shù)時(shí)，有一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，有一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，則［=(%+%++見)+僅2+%++〃-)

(2)n為偶數(shù)時(shí)，有"I個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，有3個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，則(=(%+/++an-\)+(^2+^4++b.)

3、其他類型

①數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問題：4+4+1=/(〃)或4,a,+i=/(?)

②含有(-1)"類型

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(24-25高三上?山東?階段練習(xí))已知數(shù)列｛g｝為正項(xiàng)數(shù)列，月％=1,a3-q；=2"+l(〃eN)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵令bn=(-1)"an+3%,求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和S2a.

【答案】⑴4="

o2n+l_Q

⑵$2"=”+^^

【分析】(D解法一：構(gòu)造數(shù)列｛片-1｝是恒為。的常數(shù)列，結(jié)合。“>0可得出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

解法二：利用累加法結(jié)合%>。可求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用并項(xiàng)求和法結(jié)合分組求和法可求得邑

【詳解】⑴解法一(構(gòu)造常數(shù)列)：由d「d=2"+l=("+l)2-〃2("eN*),且％=1,

可得a；+i-(〃+1)2=a1-n2==a^-I2=0,

故數(shù)列｛W-n2｝是恒為0的常數(shù)列,所以d="2,

又因?yàn)閿?shù)列｛4｝為正項(xiàng)數(shù)列，所以凡=〃(〃eN*).

解法二(累加法)：由題意得：V〃22且〃EN*,

有"a；-a：=3,a；-a；=5,L,4—a；7=2(〃—1)+1=2〃—1,

將以上各式相加，得4-。；=3+5++(2“_])=("1)(；2〃T)=/_],

將q=l代入上式即得寸="2,且當(dāng)”=1時(shí)也成立，所以d=/,

又因?yàn)閿?shù)列｛%｝為正項(xiàng)數(shù)列，所以a“=〃(”eN*).

(2)由⑴可得勿=(-1)"?〃+3”,令%=(-1)"?〃，其前2"項(xiàng)和為耳，

對(duì)任意的女EN*,。2左一1+。2攵=一(2左一1)+2左=1,則&=lx〃="，

又因?yàn)?^2++3*f=f==，

1-322

中+1-O

所以S2n=n-\---------

2.(24-25高三上?江蘇常州?期末)已知數(shù)列｛。“｝滿足4%+〃洶++。“。用=則"詈土eN*).

⑴設(shè)a=a?an+l,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且&=145,求q的值.

【答案】⑴4=4"("+1)；

24

(2)%=1或歹.

【分析】(1)根據(jù)已知可得"=見。用=4〃(〃+1),驗(yàn)證4是否滿足要求，即可得結(jié)果；

(2)根據(jù)已知可得的=旦，且餐="，討論〃的奇偶性得凡,《關(guān)系，應(yīng)用分組求和及已知列方程求4.

4〃+2n

■、*.4n(n+l)(n+2)

+Cla

【詳解】(1)由4%+%%+nn+1=-------------------①，

當(dāng)〃N2時(shí)，％%+,??+%—1%=-----十----@f

①一②則a=anan+l=4n(n+l),又4=%%=8滿足上式，

所以a=4"(〃+1).

⑵由⑴，知的向=4小+1),則熱力=牝故^^K=4,

所以。2=2，且4+2=為

n+2n

黑吟一條則％若?"常

若〃為偶數(shù),

若〃為奇數(shù)，/=%=...=?貝！1a=叼；

n+2n1n

41?0

故％=(1+3+5+7+9)%+(2+4+6+8+10)?—=25%+—=145,

解得4=1或.

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列電｝中，伉=1也+%=27weN*,求數(shù)列｛&｝的前"和.

1.4"----

【答案】

9~~3~9

【分析】根據(jù)題意，由遞推關(guān)系可得打“+2-仇”=22"'再由累加法以及等比數(shù)列的求和公式可得

12

酊再由分組求和法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果?

63

【詳解】因?yàn)?+T=2"T,則bM+bn+2=2",

兩式相減作差可得%2-2=2"-2"-1=2"T,

所以處+2-&=22"T,

23

即b4-b2=2,b6-b4=23也一々=25,,b2n-k=2-,

累加可得％也=2+2"++”=婦工-1」，4,-2,

2"21-4363

又仇=1,勿+b“M=2"T,weN*,當(dāng)”=1時(shí)，4+4=0,所以4=0,

12

即包“=94"-3設(shè)數(shù)列也“｝的前n和為。，

63

則"4+"+4++b2n

34mx卉訃肘一丁+卜力

=1(4+42+43++4")一

一"(1一4")

2.4〃—

61-4939

冊(cè)-8,"為奇數(shù)

4.（2024高三上?山東濟(jì)南?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S〃,4=13,a

n+13%,及為偶數(shù)

⑴證明：數(shù)列｛%.「12｝為等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛4｝的前2n+l項(xiàng)和S2n+l?

【答案】⑴證明見解析

(2)邑”+1=2X3"+16〃+11

【分析】(1)根據(jù)條件，得到當(dāng)心2,〃eN*時(shí),^-1112=3^.^-36,且有q-12=1,由等比數(shù)列的

定義即可證明結(jié)果；

(2)由(1)及條件可得%E=3I+12,%"_2=3"-2+4,〃22,〃eN*,再利用等比等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式分

組求和，即可求解邑用.

a-8,"為奇數(shù)

【詳解】(1)證明：因?yàn)榘桶黱

3%,“為偶數(shù)'

a_

所以當(dāng)“22,〃eN*時(shí)，2n-i12=—12=3a2”_2—12=3<7(2n_3)+1—12=3(tz2n_3—8)—12=3(a2n_3—12),

%1—12

即/=3

又〃=1時(shí)，％—12=13—12=1,

所以數(shù)列｛%“7-12｝為首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列.

(2)由(1)知的IT2=3"\所以%1T=3^+12,

■數(shù)，可得-3"-2+4,心2,”eN*,

又由%+i

所以邑用=4+°2+“3++%.+。2用=(6+%++為“+1)+(。2+。4++02?)

=[(3°+12)+(3'+12)+...+(3n+12)]+[(3°+4)+(3+4)+...+(37+4)]

1_7"+11-3"

=[3°+3+—+3"+12(〃+1)]+(3°+3+.+3"—+4〃)=++16a+12=2x3"+16〃+11

a+2,”為奇數(shù)

5.(23-24高三上.江蘇無錫?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足q=La“+i=n

2a“+1,〃為偶數(shù)-

(1)設(shè)內(nèi)=。2"，寫出偽也也；

⑵證明數(shù)列也+3｝為等比數(shù)列;

(3)求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和邑“.

【答案】(1)4=3,仇=9,4=21

(2)證明見解析

(3)邑“=12X2"-8”-12

【分析】(1)根據(jù)已知的數(shù)列遞推關(guān)系，分別代入計(jì)算2=4”的前三項(xiàng).

(2)通過分析久的遞推關(guān)系，利用等比數(shù)列的定義來證明他,+3｝為等比數(shù)列.

(3)先求出a的通項(xiàng)公式，再根據(jù)。”與或的關(guān)系求出S?”.

【詳解】(1)已知%=1,因?yàn)?=%“，所以4=%.

當(dāng)〃=1時(shí),％=6+2=1+2=3,即4=3.

當(dāng)〃=2時(shí)，b2=a4.

先求生，因?yàn)椤?2為偶數(shù)，%=2%+1=2X3+1=7.

再求〃4，因?yàn)榭?3為奇數(shù)，〃4=〃3+2=7+2=9,即仇=9.

當(dāng)〃=3時(shí)，&=&-

先求〃5，因?yàn)椤?4為偶數(shù)，tz5=2?4+1=2x9+1=19.

再求〃6,因?yàn)椤?5為奇數(shù)，4=%+2=19+2=21,即4=21.

(2)由2=%〃可得勿+i二%(“+1)=。2n+2?

所以bn+l=a2n+l+2=2a2rt+1+2=26.+3.

則%+3=2(2+3).又4+3=3+3=6.

所以數(shù)列｛2+3｝是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(3)由(2)可知仇+3=6X2"T=3X2",貝他=3X2"-3.

$2"=(41+%)+(43+。4)++(%"-1+。2”)?

因?yàn)?=%.，a2n-l=a2n-2+?

所以邑〃=(%+%)+(%+%)++(%"-+%場(chǎng))=(%—2+%)+(。4-2+%)++(%〃—2+%〃).

即S?n=2(*+旬++bn)-2n.

由等比數(shù)列求和公式可得4+%++4=3X2"2")一3〃=6X(2"-1)-3”.

1—2

所以S?”=2x[6x（2”—1）—3川—2〃=12x2〃一12—6〃-2〃=12x2”—8〃一12.

6.（24-25高三上?陜西咸陽?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛”“｝的前幾項(xiàng)和為S〃，且勾=1,SZ=4%+1（〃￡N*）.

⑴證明：｛%+1-24｝是等比數(shù)列，并求出｛風(fēng)｝的通項(xiàng)公式；

=2%-1,%￡N*

(2)設(shè)％="，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，.

log2—,n=2k,kGN*

、n

【答案】（1）證明見解析，4=〃-2〃T

2n+l-l1(n-1)L=2I,ZeN*

3

(2)7；=4

2n-l

+—,?=2k,kGN*

34

【分析】（1）根據(jù)凡與S”之間的關(guān)系可知｛為.-24｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列

通項(xiàng)公式可得需-梟=g,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式分析求解;

（2）根據(jù)題意可知：但｝的奇數(shù)項(xiàng)為以4=1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以％=1為首項(xiàng)，2

為公差的等差數(shù)列，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，S]=〃1+%=4〃i+1,且〃1=1,所以4=4；

當(dāng)"W2時(shí),由3+i=4%+l,得S==4%+1,則

S0+i-S”=4an+l-（4a）i_1+1）,可得??+1=-4fln_,,

即q,+「2%=2（%-2%_）,且出一2°戶2,可得

可知數(shù)列｛。用-2%｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則.一2%=2.2向=2",可得猾一袋=g,

且多=：,可知俗!是以g為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

所以3=g+|（〃T）g即…”

工〃=2I,%eN*

,,1t

(2)由(1)可知"="2-,n=2k-l,ke-N

n-\,n=2k,kGN’

log,—,n=2k,keN*

,n

可知抄“｝的奇數(shù)項(xiàng)為以仿=1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以4=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

n及J\

*?_L(n1AiA2—(l+〃—1)

當(dāng)〃匕ZeN時(shí)，r2"-l

=2T=1+4+L+4+(l+3+L+n-\\=^—+^----------------+一,

,v71-4234

2"+1-1(a+l)22"+,-1(M-1)2

當(dāng)〃=2"1,於N*時(shí),T=T-b=---------+---------n=---------+------—

nn+ln+i3434

2n+1-l1(n-1)

=2%-1,左￡N

34

綜上所述：Tn=\

2〃一1n2

+「=：2KZ：￡N*

3

7.（24-25高三上?安徽阜陽?階段練習(xí)）已知在數(shù)列｛4｝中，q=g,且滿足〃“+】=3%

4+「

，一;｝是等比數(shù)列.

（1）求證：數(shù)歹M

工-上〃為奇數(shù)

a..2

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足么=<求最小實(shí)數(shù)機(jī)，使得4+a+…+砥〈相對(duì)一切正整數(shù)k均

"1+"1一2,“為偶數(shù)

、〃一1n+1

成立.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，取倒數(shù)變形，結(jié)合等比數(shù)列定義推理得證.

（2）由（1）求出通項(xiàng)公式，再利用分組求和及裂項(xiàng)相消法求和，并借助單調(diào)性求出機(jī)范圍即可得解.

3a111111111

【詳解】（1）依題意，％片。，由氏+1=—77，得——=7,一+1，則----5=公（----5），

。,+1%+]3an3an+l23an2

所以數(shù)歹！是以g為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）知，數(shù)列^--

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，2=5，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，2=二二2+*2-2=2（工--匚），

3n-1n+1n-1n+1

++

因此Z?l+Z?2++4左=31+4+^-1）（^2+^4+,+%）

111?11111、

——I——+H—..+2（1---1------H----------------）

3333o213352k-l2k+l

二1）_3__^+2一，工（^—+上）

k29

「J2k+l88了12k+l88-3^2k+1

~9

i912

而數(shù)列｛4=+廣｝是遞減數(shù)列，則數(shù)列｛-（丁點(diǎn)zr+J）｝是遞增數(shù)列，

o,J2K+1o,D2K+1

19121919

因此彳-（《*r+kW）（彳恒成立，又4+N+…+&?〈”恒成立，貝!1〃72不，

OO,JZK+1OO

所以m的最小值為k.

O

8.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝滿足：%=3公差dwO.且％,恰為等比數(shù)列也｝

的前三項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛〃“｝與｛2｝的通項(xiàng)公式：

⑵若數(shù)列｛g｝滿足：c“=%+如求數(shù)列｛%｝前幾項(xiàng)和I；

⑶求｛（T）%“｝的前〃項(xiàng)和

【答案】⑴%=2"+1；勿=3"

QH+1Q

⑵C+2〃+：^2

-九-2,〃為奇數(shù)

⑶s,=

小幾為偶數(shù)

【分析】（1）根據(jù)題意，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得d=2,即可得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可得等比數(shù)列

的公比，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式代入計(jì)算，由分組求和法，即可得到結(jié)果；

（3）根據(jù)題意，分〃為奇數(shù)與〃為偶數(shù)討論，結(jié)合并項(xiàng)求和法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）由％,為等比數(shù)列可得，即（%+3d『=%?（6+12d）,

即（3+3d）2=3（3+12d）,解得d=2或4=0（舍），

所以%=%=2〃+1,

又也｝的前三項(xiàng)為《，“4，”13，即3,9,27,即4=3也=9也=27,

公比q=*=g=3,所以2=3X3"T=3".

（2）因?yàn)閏〃=〃〃+%=2幾+1+3〃,

則（=。+。2+。3+?+g=（3+3）+（5+32）+（7+33）++（2〃+1+3〃）

/、/23、〃（3+2〃+1）3（1-3〃）

=（3+5+7++2n+l）+（3+32+33++3〃）=-^~~-——:/

=*+2〃+

（3）因?yàn)閍“=2〃+l,gp｛（-I）"（2n+l）｝,

設(shè)數(shù)列｛（-1）"（2〃+1））的前"項(xiàng)和為Sn,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Sn=-ai+a2-a3+.-an

=-3+5-7++（2n-l）-（2w+l）

=（-3+5）+（-7+9）+-（2/7+1）

=2xn,o1-（2〃+1）=一〃-2；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Sn=-ai+a2-a3++an

=-3+5-7+-（2"-1）+（2"+1）

=（-3+5）+（-7+9）++[-（2/i-l）+（2n+l）]

=2義一=n；

2

為奇數(shù)

綜上所述,卜,“為偶數(shù)

9.（24-25高三上?天津南開?期末）己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，滿足％=伉，

6?2=5,+。4=19,S]]=11（^4+1）?

⑴求數(shù)列｛??｝和｛"｝的通項(xiàng)公式;

9a，"為奇數(shù)

2n

,(。+

（2）對(duì)任意的正整數(shù)〃設(shè)c“=<1)(*2+D求立;

nZ=1

(-1)2(〃-1)么，〃為偶數(shù)

（3）若對(duì)于數(shù)列｛。.｝,在應(yīng)和之間插入4個(gè)1伏eN*）,組成一個(gè)新的數(shù)列｛4｝,記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為

T〃，求-^2025?

n

【答案】(1)4=3〃—1,bn=2.

g61〃+210〃-3

(2)?廣行一K?（—4嚴(yán)；

25

（3）2170.

【分析】（D根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，再借助等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求出公比，進(jìn)而

求出通項(xiàng)公式.

（2）由（1）的結(jié)論，分奇偶求出％的通項(xiàng)，并結(jié)合裂項(xiàng)相消法及錯(cuò)位相減求出對(duì)應(yīng)前“項(xiàng)和，再利用分

組求和法求解.

（3）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列｛4J的前2025項(xiàng)中數(shù)列｛%｝的項(xiàng)及1的個(gè)數(shù)，再分組求和即得.

【詳解】（1）在等差數(shù)列｛““｝中，%+。5=“3+”4=19,而=5,解得出=14,

公差一黑=3,則-2）d=3〃-1；

J-2

設(shè)等比數(shù)列電｝的公比為4,4=%=2,由品=11電+1）,得11（4；%）=11（如3+1）,

即2/+1=4=17,解得q=2,2=如j=2",

所以數(shù)列｛%｝和g“｝的通項(xiàng)公式分別為an=3n-l,bn=2".

（2）由（1）得當(dāng)，為有和時(shí),（3”-2>2<2〃〃+2

由得'當(dāng)為奇數(shù)時(shí)'"S"+l）Sa+2+l）（2"+1）（2/2+1）2"+12"+2+1

11-33+33-55+nn+2_1n+2

人!l?2T-2+12+12+12+1-\--------

2"r2+i~3~2n+2+\

,2；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),c*=(-1)5(〃-l)a=(-1)5(〃-1)2，C2,=(-l)(2/-l)-2=(2z-l).(-4y,

3

￡c2i=1-(-4)+3.(-4)?+5,(-4)++(2n-l).(-4)",

4=1

,,+1

則-4之c2i=1?(-4)2+3?(-4)3+5?(-4)4++(2n-3).(-4)"+(2n-l)-(-4),

i=l

兩式相減得5*c2i=1.(-4)+2.(一4>+2.(-4)3++2-(-4)--(2n-l).(-4嚴(yán)

i=i

=一4+當(dāng)4冊(cè)-⑵I)-嚴(yán)4-竿―因此/當(dāng)嚴(yán),

1—(—4)35日2323

xr、iX7SS61n+210H-3

所以=＞。2口+\。2,=~~^n+2.(—4嚴(yán).

z=lz=lz=l/DZ十］25

2k個(gè)1

⑶依題意，數(shù)列｛""｝：。1』,1,出,1,1』,1,%,1』,1,1,1,1,1,1,%,,ak,l,l,~l,ak+l,

項(xiàng)為一前的總項(xiàng)數(shù)為4+2+2?++2*=%+型二為=左-2+2號(hào)

1-2

數(shù)列伙-2+21｝是遞增的，當(dāng)后=9時(shí)，k-2+2k+l=7+210=1031<2025,

當(dāng)上=10時(shí)，k-2+2k+,=8+2"=2056>2025,

因此數(shù)列｛4』的前2025項(xiàng)中，有數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)，有2015個(gè)1,

所以與025=豆（）+2015=2xl0+^—x3+2015=2170.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：

①對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

②對(duì)于｛。也｝結(jié)構(gòu)，其中也｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；

③對(duì)于｛%+2｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；

④對(duì)于｛—^｝結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，公差為d（dwO）,貝!）一^=；（2一一匚），利用裂項(xiàng)相消法求

和.

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、填空題

1.（23-24高三下?江西?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝共有2”-1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之和為60,偶數(shù)項(xiàng)之和為54,

貝".

【答案】10

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】奇數(shù)項(xiàng)有“項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有”-1項(xiàng)，所以奇數(shù)項(xiàng)和為“（'+%-）=偶數(shù)項(xiàng)和為

2

（f+

故」7=震，解得〃=10.

n-154

故答案為：10

2.（2024高三.全國.專題練習(xí)）等比數(shù)列｛%｝共有2”項(xiàng)，其和為240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,

則公比4=.

【答案】1/0.5

【分析】結(jié)合題意列方程組分別求出S奇，S偶，再由等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)的和、偶數(shù)項(xiàng)的和分別為S奇，S偶.

S奇+S偶=240,

由題意可得

S奇一偶=80,

S奇=160,

解得＜

S偶—80,

S俾1

所以4=于=3

3奇2

故答案為：

3.（24-25高三上?全國?課堂例題）若等比數(shù)列｛4｝共有奇數(shù)項(xiàng)，其首項(xiàng)為1,其偶數(shù)項(xiàng)和為170,奇數(shù)項(xiàng)和

為341,則這個(gè)數(shù)列的公比為,項(xiàng)數(shù)為.

【答案】29

【分析】利用等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系，及前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算即可得解.

【詳解】在等比數(shù)列｛%｝中，由5奇=%+4$倜，得341=l+170q,解得q=2,

設(shè)這個(gè)數(shù)列共有2”+1項(xiàng)，貝lJS2“M=上-=341+170=5n,解得"=4,所以這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為9.

故答案為：2；9

4.（24-25高三上?全國?課后作業(yè)）已知等比數(shù)列｛%｝共有2〃項(xiàng)，其和為-240,且

（1+4+—（%+。4++%”）=80,貝。公比0=.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)一6。,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算求能

【詳解】設(shè)S奇=%+9++。2〃一1，3偶=%+。4++%〃，

fS4+S傭=—240fS4=—80

由題意可知：J「Q八，解得:

5

I奇-S偶=80[S偶=-160

所以4=3=2.

故答案為：2.

5.（2024高三上.全國.專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為44,偶數(shù)項(xiàng)和為33,則

數(shù)列的中間項(xiàng)為;項(xiàng)數(shù)為.

【答案】117

【分析】根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，可作比得到“，由此可得項(xiàng)數(shù)和中間項(xiàng).

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的項(xiàng)數(shù)為2〃+1(〃CN),

貝!]S奇=a｝+a3+a5+---+a2n_1+a2n+l=(〃+1"+—)=+=44,