PAGE1-課后限時集訓(二十七)數系的擴充與復數的引入(建議用時：40分鐘)A組基礎達標一、選擇題1．(2024·浙江高考)復數eq\f(2,1－i)(i為虛數單位)的共軛復數是()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－iB[eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i2)＝1＋i，∴共軛復數為1－i，故選B．]2．(2024·全國卷Ⅰ)下列各式的運算結果為純虛數的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)C[A項，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是純虛數．B項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數．C項，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數．D項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數．故選C.]3．(2024·湘東五校聯考)已知i為虛數單位，若復數z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數，則a＝()A．－5 B．－1C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(5,3)D[z＝eq\f(a,1－2i)＋i＝eq\f(a1＋2i,1－2i1＋2i)＋i＝eq\f(a,5)＋eq\f(2a＋5,5)i，∵復數z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數，∴－eq\f(a,5)＝eq\f(2a＋5,5)，解得a＝－eq\f(5,3).故選D．]4．若eq\f(z,1＋i)＝2－i(i為虛數單位)，則復數z在復平面內對應的點在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限A[由題意知z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，其在復平面內對應的點的坐標為(3,1)，在第一象限．故選A.]5．記復數z的共軛復數為eq\x\to(z)，已知復數z滿意(2－i)z＝5，則|eq\x\to(z)|＝()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C.eq\r(7) D．5B[因為(2－i)z＝5，所以z＝eq\f(5,2－i)＝2＋i，eq\x\to(z)＝2－i，所以|eq\x\to(z)|＝|z|＝eq\r(5).故選 B．]6．(2024·太原一模)若復數z＝eq\f(1＋mi,1＋i)在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是()A．(－1,1) B．(－1,0)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)A[由題可知z＝eq\f(1＋mi,1＋i)·eq\f(1－i,1－i)＝eq\f(1－mi2＋m－1i,1－i2)＝eq\f(1＋m,2)＋eq\f(m－1,2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)＞0，,\f(m－1,2)＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞－1，,m＜1，))所以－1＜m＜1，故選A.]7．(2024·陜西二模)若(1－mi)(m＋i)＜0，其中i為虛數單位，則m的值為()A．－1 B．－2C．－3 D．－4A[因為(1－mi)(m＋i)＝2m＋(1－m2)i＜0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＜0，,1－m2＝0，))解得m＝－1，故選A.假如一個復數能與實數比較大小，則其虛部為零．]二、填空題8．(2024·江蘇高考)若復數z滿意i·z＝1＋2i，其中i是虛數單位，則z的實部為________．2[由i·z＝1＋2i得z＝eq\f(1＋2i,i)＝2－i，∴z的實部為2.]9．(2024·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________.52[∵(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2＋2abi－b2＝3＋4i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,2ab＝4.))解得ab＝2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,a2b2＝4.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,b2＝1，))∴a2＋b2＝5.]10．已知復數z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值為________．eq\r(3)[∵|z－2|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由圖可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).]B組實力提升1．設z，z1，z2，z3是復數，下列四個命題：①復數z＝(a－b)＋(a＋b)i(a，b∈R)，當a＝b時，z為純虛數；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3；③假如z1－z2＜0，則z1＜z2；④z＋eq\x\to(z)為實數，且|z|＝|eq\x\to(z)|.以上命題中，正確命題的個數為()A．0個 B．1個C．2個 D．3個B[①當a－b＝0且a＋b≠0時z為純虛數，故①不正確；②只要保證(z1－z2)2與(z2－z3)2互為相反數即可，故②不正確；③取z1＝－1＋i，z2＝i，則z1－z2＝－1＜0，但無法比較z1與z2的大小，故③不正確；④明顯正確．故選B．]2．(2024·湘潭模擬)已知命題p：若復數z滿意(z－i)(－i)＝5，則z＝6i，命題q：復數eq\f(1＋i,1＋2i)的虛部為－eq\f(1,5)i，則下面為真命題的是()A．(綈p)且(綈q) B．(綈p)且qC．p且(綈q) D．p且qC[由已知可得，復數z滿意(z－i)(－i)＝5，所以z＝eq\f(5,－i)＋i＝6i，所以命題p為真命題；復數eq\f(1＋i,1＋2i)＝eq\f(1＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(3－i,5)，其虛部為－eq\f(1,5)，故命題q為假命題，命題綈q為真命題．所以p且(綈q)為真命題，故選C.]3．已知i為虛數單位，m∈R，若關于x的方程x2＋(1－2i)x＋m－i＝0有實數根，則m的取值為()A．m≤eq\f(5,4) B．m≤－eq\f(3,4)C．m＝eq\f(1,4) D．m＝－eq\f(1,2)C[設t為方程x2＋(1－2i)x＋m－i＝0的實數根，則t2＋(1－2i)t＋m－i＝0，即t2＋t＋m－(1＋2t)i＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋t＋m＝0，,1＋2t＝0，))解得t＝－eq\f(1,2)，m＝eq\f(1,4)，故選C.]4．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數單位)是由瑞士聞名數學家歐拉獨創的，它將復數、指數函數與三角函數聯系起來，將指數函數的定義域擴充到復數，它在復變函數論里占有特別重要的地位，被譽為“數學中的天橋”．依據歐拉公式可知，e－2i的共軛復數在復平面內所對應的點位于()A．第一象限