PAGEPAGE4【課時(shí)訓(xùn)練】平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算一、選擇題1．(2024湖北孝感統(tǒng)考)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb【答案】D【解析】因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則a與b共線同向，故D正確．2．(2024嘉興一模)已知向量a，b，c中隨意兩個(gè)都不共線，但a＋b與c共線，且b＋c與a共線，則向量a＋b＋c＝()A．a(chǎn) B．bC．c D．0【答案】D【解析】依題意，設(shè)a＋b＝mc，b＋c＝na，則有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a與c不共線，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，故選D.3．(2024山東煙臺(tái)期中)已知eq\o(AB,\s\up15(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up15(→))＝7a－2b，則下列肯定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，D【答案】B【解析】因?yàn)閑q\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up15(→))，又eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AD,\s\up15(→))有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線．4．(2024鄭州檢測(cè))已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))，則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段BC上C．點(diǎn)P在線段AC上 D．點(diǎn)P在△ABC外部【答案】C【解析】由eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))，得eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(AP,\s\up15(→))，即eq\o(PC,\s\up15(→))＝eq\o(AP,\s\up15(→))－eq\o(PA,\s\up15(→))＝2eq\o(AP,\s\up15(→))，所以點(diǎn)P在線段AC上．5．(2024遼寧沈陽(yáng)模擬)在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up15(→))＝2eq\o(DB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋λeq\o(CB,\s\up15(→))，則λ＝()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義，畫(huà)圖如圖所示．其中D、E分別是AB和AC的三等分點(diǎn)，以EC和ED為鄰邊作平行四邊形，得eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up15(→))，故λ＝eq\f(2,3)，故選D.6．(2024寧德質(zhì)檢)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝meq\o(AM,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))＝neq\o(AN,\s\up15(→))，則m＋n的值為()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】∵O為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(meq\o(AM,\s\up15(→))＋neq\o(AN,\s\up15(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up15(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up15(→)).∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1.∴m＋n＝2.7．(2024日照期末)在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(AN,\s\up15(→))＝3eq\o(NC,\s\up15(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up15(→))＝()A．－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b B．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b【答案】A【解析】由eq\o(AN,\s\up15(→))＝3eq\o(NC,\s\up15(→))，得4eq\o(AN,\s\up15(→))＝3eq\o(AC,\s\up15(→))＝3(a＋b)，又eq\o(AM,\s\up15(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(AN,\s\up15(→))－eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.二、填空題8．(2024濱州一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，c滿意c＝xa＋yb(x，y∈R)，則x＋y＝________.【答案】eq\f(13,5)【解析】如圖，取單位向量i，j，則a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j，∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3，,2x－y＝4.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,5)，,y＝\f(2,5).))∴x＋y＝eq\f(13,5).9．(2024銀川二檢)已知點(diǎn)D為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿意eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(4,5)eq\o(CA,\s\up15(→))，△ACD的面積為1，則△ABD的面積為_(kāi)_______．【答案】4【解析】由eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(4,5)eq\o(CA,\s\up15(→))，得5eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋4eq\o(AC,\s\up15(→))，即eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝4(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→)))，即eq\o(BD,\s\up15(→))＝4eq\o(DC,\s\up15(→))，∴點(diǎn)D在邊BC上，且|eq\o(BD,\s\up15(→))|＝4|eq\o(DC,\s\up15(→))|.故△ABD的面積是△ACD的面積的4倍，故△ABD的面積為4.10．(2024包頭模擬)如圖，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M為AH的中點(diǎn)，若eq\o(AM,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))＋μeq\o(AC,\s\up15(→))，則λ＋μ＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】因?yàn)閑q\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BH,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(AB,\s\up15(→))＋x(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→)))]＝eq\f(1,2)[(1＋x)eq\o(AB,\s\up15(→))－xeq\o(AC,\s\up15(→))]，又因?yàn)閑q\o(AM,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))＋μeq\o(AC,\s\up15(→))，所以1＋x＝2λ，2μ＝－x，所以λ＋μ＝eq\f(1,2).11．(2024浙江，15)已知向量a，b滿意|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．【答案】42eq\r(5)【解析】設(shè)a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2,0)，則a＋b＝(cosθ＋2，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ)，所以|a＋b|＝eq\r(5＋4cosθ)，|a－b|＝eq\r(5－4cosθ).則(|a＋b|＋|a－b|)2＝10＋2eq\r(25－16cos2θ)∈[16,20]，所以4≤|a＋b|＋|a－b|≤2eq\r(5).12．(2024濟(jì)南一模)設(shè)G為△ABC的重心，且sinA·eq\o(GA,\s\up15(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up15(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up15(→))＝0，則角B的大小為_(kāi)_______．【答案】60°【解析】∵G是△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up15(→))＋eq\o(GB,\s\up15(→))＋eq\o(GC,\s\up15(→))＝0，eq\o(GA,\s\up15(→))＝－(eq\o(GB,\s\up15(→))＋eq\o(GC,\s\up15(→)))，將其代入sinA·eq\o(GA,\s\up15(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up15(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up15(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up15(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up15(→))＝0.又eq\o(GB,\s\up15(→))，eq\o(GC,\s\up15(→))不共線，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，則sinB＝sinA＝sinC．依據(jù)正弦定理，知b＝a＝c，∴△ABC是等邊三角形，則角B＝60°.三、解答題13．(2024安徽合肥一中期末)設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若eq\o(OA,\s\up15(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up15(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若eq\o(AB,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝2a－3b，eq\o(CD,\s\up15(→))＝2a－kb，且A，C，D三點(diǎn)共線，求k的值．(1)【證明】由已知，得eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，故eq\o(BC,\s\up15(→))＝－2eq\o(AB,\s\up15(→))，又eq\o(BC,\s\up15(→))與eq\o(AB,\s\up15(→))有公共點(diǎn)B，所以A，B，C三點(diǎn)共線．(2)【解】eq\o(AC,\s\up15(