4<20照列的通項公蟻及照列求和丈題除合

十年考情-探規律

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點1等差1.掌握數列的有關概念和表示

數列的通項2023?全國乙卷、2023?全國新I卷、2021?全方法，能利用與的關系以及遞

公式及前n國新n卷、2019?全國卷、2018?全國卷、推關系求數列的通項公式，理

項和2016?全國卷解數列是一種特殊的函數，能

（10年5考）利用數列的周期性、單調性解

考點2等比決簡單的問題

數列的通項該內容是新高考卷的必考內

2020.全國卷、2019?全國卷

公式及前n容，常考查利用與關系求通項

2018?全國卷、2017?全國卷

項和或項及通項公式構造的相關應

（10年4考）用，需綜合復習

2022?全國新n卷、2020?全國卷、2019?北

考點3等差

樂卷2.理解等差數列的概念，掌握

等比綜合

2017?北京卷、2017?全國卷、2016?北京卷等差數列的通項公式與前n項

（10年6考）

2015?天津卷和公式，能在具體的問題情境

2024?全國甲卷、2024?全國甲卷、2023?全中識別數列的等差關系并能用

國甲卷等差數列的有關知識解決相應

2022?全國甲卷、2022?全國新I卷、2021.天的問題，熟練掌握等差數列通

考點4數列

津卷項公式與前n項和的性質，該

通項公式的

2021?浙江卷、2021?全國乙卷、2021?全國內容是新高考卷的必考內容，

構造

卷一般給出數列為等差數列，或

（10年9考）

2020?全國卷、2019?全國卷、2018?全國卷通過構造為等差數列，求通項

2016?山東卷、2016?天津卷、2016?天津卷公式及前n項和，需綜合復習

2016?全國卷、2016?全國卷、2016?全國卷

2015?重慶卷、2015?全國卷3.掌握等比數列的通項公式與

前n項和公式，能在具體的問

2024.天津卷、2024.全國甲卷、2024.全國題情境中識別數列的等比關系

甲卷并能用等比數列的有關知識解

2023?全國甲卷、2023?全國新II卷、2022?天決相應的問題，熟練掌握等比

津卷

數列通項公式與前n項和的性

考點5數列

2020?天津卷、2020?全國卷、2020?全國卷質，該內容是新高考卷的必考

求和

2019?天津卷、2019?天津卷、2018?天津卷內容，一般給出數列為等比數

（10年10

2017?天津卷、2017?山東卷、2016?浙江卷

考）歹U,或通過構造為等比數列，

?山東卷、?天津卷、?北京卷

201620162016求通項公式及前n項和。需綜

2015?浙江卷、2015?全國卷、2015?天津卷合復習

2015?天津卷、2015?山東卷、2015?山東卷

2015?湖北卷、2015?安徽卷4.熟練掌握裂項相消求和和、

2023?全國新n卷、2022.全國新I卷、錯位相減求和、分組及并項求

考點6數列2021?浙江卷和，該內容是新高考卷的常考

中的不等式、2021?全國乙卷、2020?浙江卷、2019?浙江內容，常考結合不等式、最值

最值及范圍卷及范圍考查，需重點綜合復習

問題2017?北京卷、2016?浙江卷、2016?天津卷

（10年幾考）2015?重慶卷、2015?浙江卷、2015?四川卷

2015?上海卷、2015?安徽卷

考點7數列

2024.上海卷、2024.全國新H卷、2023?全

與其他知識

國新I卷、2019?全國卷、2017?浙江卷、

點的關聯問

2015?陜西卷

題

2015?湖南卷

（10年5考）

分考點二精準練上

考點01等差數列的通項公式及前n項和

1.（2023?全國乙卷?高考真題）記S“為等差數列｛見｝的前〃項和，已知出=11，%=40.

⑴求｛為｝的通項公式；

⑵求數列｛M|｝的前〃項和

2

2.（2023,全國新I卷,高考真題）設等差數列｛4｝的公差為d,且d>l.令勿=:，記S“Z分

別為數列｛%｝，也｝的前〃項和.

⑴若3%=31+4,S3+7；=21,求｛4｝的通項公式；

（2）若也｝為等差數列,且S99-金=99,求d.

3.（2021?全國新H卷?高考真題）記S,是公差不為0的等差數列｛%｝的前〃項和，若%=怎9%=邑.

（1）求數列｛%｝的通項公式％;

（2）求使5.>為成立的"的最小值.

4.（2019,全國?高考真題）記即為等差數列｛m｝的前〃項和，已知S9=—45.

（1）若<23=4,求｛□〃｝的通項公式;

（2）若ai>0,求使得Snkan的n的取值范圍.

5.（2018?全國?高考真題）記S“為等差數列｛%｝的前〃項和，已知％=-7,5=T5.

（1）求伍」的通項公式；

（2）求S",并求2的最小值.

6.（2016,全國局考真題）等差數列｛%｝中,%+&=4,%+%=6.

（回）求｛%｝的通項公式；

（回）設％=KJ,求數列仍“｝的前10項和,其中印表示不超過x的最大整數，如[0.9]=0,[2.6]=2.

考點02等比數列的通項公式及前n項和

1.（2020?全國?高考真題）設等比數列｛an｝滿足4+電=4,a3-at=8.

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）記S,,為數列｛Iog3an｝的前n項和.若黑+sm+1=sm+3,求m.

2.（2019,全國?高考真題）已知｛%｝是各項均為正數的等比數列，q=2,%=2a2+16.

（1）求｛?｝的通項公式；

（2）設優=log?%,求數列e」的前〃項和.

3.（2018,全國考真題）等比數列｛%｝中，at=l,a5=4a3.

（工）求｛%｝的通項公式；

（2）記S,為｛4｝的前"項和.若S“=63,求加.

4.（2017?全國?高考真題）記Sn為等比數列｛4｝的前n項和，已知52=2,53=6

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）求Sn,并判斷Sn+i,Sn,Sn+2是否成等差數列.

考點03等差等比綜合

1.（2022?全國新n卷,高考真題）已知｛%｝為等差數列，也｝是公比為2的等比數列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4,

⑴證明：％=4；

⑵求集合樹”=金+4，1<m<500｝中元素個數.

2.（2020?全國?高考真題）設｛%｝是公比不為1的等比數列，%為出，%的等差中項.

（1）求｛總的公比；

（2）若％=1,求數列｛〃%｝的前"項和.

3.（2019,北樂,身考真題）設｛a〃｝是等差數列,ai=-10）且02+10,<23+8,四+6成等比數列.

（回）求｛即｝的通項公式；

（回）記｛即｝的前幾項和為S〃，求S〃的最小值.

4.（2017?北京?高考真題）已知等差數列?｝和等比數列也｝滿足。1=d=1佗+。4=10力2b4=。5.

（回）求｛%｝的通項公式；

（回）求和：4+偽+&+…+&T.

5.（2017?全國?高考真題）已知等差數列｛%｝的前〃項和為S“，等比數列M｝的前〃項和為T.，

同.Q]—1—1ya?+b2=4.

（1）若。3+4=7,求也｝的通項公式；

（2）若2=13,求打.

6.（2016?北京?高考真題）已知｛an｝是等差數列,｛bn｝是等比數列,Hb2=3,b3=9,ai=bi,ai4=b4.

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）設Cn=an+bn,求數列｛品｝的通項公式.

7.（2015?天津?高考真題）已知｛%｝是各項均為正數的等比數列，也｝是等差數列，且4=4=1,

b2+b3=2a3,a5—3b?=7.

（回）求｛見｝和也｝的通項公式；

（回）設％=*，weN,,求數列匕｝的前”項和.

考點04數列通項公式的構造

1.（2024?全國甲卷?高考真題）記S”為數列｛%｝的前“項和，已知4s“=36+4.

⑴求｛%｝的通項公式；

（2）設6.=（-1尸”,求數列也｝的前?項和述.

2.（2024?全國甲卷?高考真題）已知等比數列｛4｝的前〃項和為S,,,且2s.=3%+「3.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵求數列｛5｝的前〃項和.

3.（2023?全國甲卷?高考真題）設S“為數列｛%｝的前〃項和，已知%=L2S“=〃a,.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵求數列，管,的前〃項和7“.

4.（2022?全國甲卷,高考真題）記S“為數列｛。,｝的前〃項和.已知3+"=2%+1.

n

⑴證明：｛見｝是等差數列；

（2）若%，%，。9成等比數列,求S”的最小值.

5.（2022?全國新I卷?高考真題）記5.為數列｛%｝的前〃項和，已知4=1，｝］是公差為（的等

差數列.

⑴求｛見｝的通項公式；

111c

（2）證明：一+—+…+—<2.

axa2an

6.（2021?天津?高考真題）已知｛4｝是公差為2的等差數列，其前8項和為64.也｝是公比大

于0的等比數列,乙=4也-偽=48.

（I）求｛4｝和也｝的通項公式；

（II）記J=8“+（，”eN",

（i）證明花-%｝是等比數列；

（ii）證明孚工<2右（〃N*）

k=l\Ck~C2k

7.（2021?浙江?高考真題）已知數列同｝的前〃項和為S“，且4s）=35“-9.

（1）求數列｛%｝的通項；

（2）設數列也｝滿足地+（"4）%=0（〃eN*）,記也｝的前〃項和為】，若2」曲對任意neN*恒

成立，求實數2的取值范圍.

8.（2021?全國乙卷?高考真題）記5.為數列加,｝的前〃項和，a為數列｛邑｝的前〃項積，已知

210

--1--=2

s“b"■

（1）證明：數列也｝是等差數列；

（2）求｛%｝的通項公式.

9.（2021?全國?高考真題）記S“為數列｛%｝的前〃項和，已知%>09=30，且數列｛后｝是等差

數列，證明：｛%｝是等差數列.

10.（2020?全國?高考真題）設數列｛加｝滿足幻=3,a?+i=3a?-4?.

（1）計算42,a3,猜想｛a〃｝的通項公式并加以證明;

（2）求數列｛2〃。〃｝的前九項和Sn.

11.（2019?全國?高考真題）已知數列｛m｝和｛加｝滿足a/=l,bi=0,4a?+1=3an-bn+4,

4%=3bn-an-4.

（1）證明：｛即+而｝是等比數列，｛加-加｝是等差數列；

（2）求｛即｝和｛加｝的通項公式.

12.（2018,全國,高考真題）已知數列｛程｝滿足q=1,nan+l=2（n+l）an,設勿吟.

（1）求瓦，％,瓦;

（2）判斷數列論,｝是否為等比數列，并說明理由；

（3）求｛%｝的通項公式.

13.（2016?山東?高考真題）已知數列｛%｝的前n項和S”=3九，8〃，圾｝是等差數列，且=2+%.

（回）求數列也｝的通項公式；

（回）令的=務4A求數列匕｝的前n項和心

（么+2）

14.（2016?天津?高考真題）已知｛4｝是各項均為正數的等差數列，公差為d,對任意的〃wN*,b〃

是。“和4+1的等比中項.

（回）設―N*,求證：｛%｝是等差數列;

2nnii

（回）設％="W=X（T）%J,〃eN*,求證：^―<—7.

k=lk=T1k

ii9

15.（2016?天津?高考真題）已知｛可｝是等比數列，前n項和為S/zeN*）,且----=一應=63.

Cly^^2^^3

（回）求｛。“｝的通項公式；

（回）若對任意的〃eN*,么是log.”和log2%M的等差中項，求數列的前2n項和.

16.（2016?全國?高考真題）已知數列｛“的前n項和S產1+陽,其中CHO.

（回）證明｛對｝是等比數列，并求其通項公式；

31

（回）若$5=至，求幾.

17.（2016?全國?高考真題）已知各項都為正數的數列｛4｝滿足4=1,^-（2a?+1-lH-2a?+1=0.

（回）求生,4;

（回）求｛%｝的通項公式.

18.（2016?全國?高考真題）已知｛4｝是公差為3的等差數列，數列也｝滿足

4=1，%=；,anbn+｝+bn+l=nbn.

（I）求｛%｝的通項公式；（E）求也｝的前〃項和.

19.（2015?重慶?高考真題）在數列｛%｝中，o1=3,%+q+X%+|+〃％2=0（〃eN+）

（1）若幾=0,〃=-2,求數列｛%｝的通項公式；

（2）若九=：（扁€乂,322）,〃=-1,證明：2+1<<2^^<2+1

/VQD/CQI1ZK。十1

20.（2015?全國?高考真題）S“為數列｛%｝的前"項和.已知““>0,a—.

（回）求｛七｝的通項公式；

（回）設勿=；，求數列｛4｝的前〃項和.

anan+\

考點05數列求和

1.（2024?天津?高考真題）已知數列｛%｝是公比大于0的等比數列.其前"項和為若

%=1,S2=Q3—]?

⑴求數列小｝前〃項和S.；

、I[k,n=a,

⑵設"=/，丘N*42.

也_i+2左,4<“<見+]

（回）當*2,〃=%]時，求證：bn-lak'bn；

S?

（回）求

2i=l.

2.（2024?全國甲卷,高考真題）記S“為數列｛見｝的前〃項和，已知4S.=3%+4.

⑴求｛。“｝的通項公式；

（2）設2=㈠嚴隗，求數列也｝的前〃項和7“.

3.（2024?全國甲卷?高考真題）已知等比數列也｝的前〃項和為S“，且2s“=3%+「3.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵求數列｛5｝的前〃項和.

4.（2023,全國甲卷?高考真題）設5“為數列｛4｝的前〃項和，已知電=1，2'=叫一

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵求數列.筌，的前〃項和J

5.（2023?全國新H卷?高考真題）已知｛《｝為等差數列，"=]；"一6:總數，記加I分別為數

[2〃〃,〃為偶數

歹U?｝,也｝的前〃項和，邑=32,T3=16.

⑴求｛%｝的通項公式；

（2）證明:當〃>5時，Tn>Sn.

6.（2022?天津?高考真題）設也｝是等差數列，也｝是等比數列，且4=仿=出也=6心=1.

⑴求｛瑪｝與圾｝的通項公式；

⑵設｛%｝的前n項和為S",求證：（Sn+l+an+i）bn=Sn+lbn+1-Snbn；

2n

⑶求￡[%+i—（T）%M.

k=T

7.（2020?天津?高考真題）已知同｝為等差數列，也｝為等比數列，

q=bx=1,<75=5（%—%），4=4（d—4）.

（回）求｛%｝和也｝的通項公式；

（回）記｛%｝的前〃項和為S“，求證：S￡+2<S：//eN*）；

色匚也，〃為奇數，

（回）對任意的正整數"，設c,="同+2求數列匕｝的前2〃項和.

也，”為偶數.

1加

8.（2020,全國?高考真題）設數列｛劭｝滿足幻=3,an+l=3a?-4?.

（1）計算。2,123,猜想｛加｝的通項公式并加以證明；

（2）求數列｛2〃加｝的前〃項和S”.

9.（2020?全國?圖考真題）設｛%｝是公比不為1的等比數列,%為。2,%的等差中項.

（1）求｛““｝的公比；

（2）若q=1,求數列｛“叫的前〃項和.

10.（2019?天津?高考真題）設｛4｝是等差數列，也｝是等比數列，公比大于0,已知q=4=3,

b2=a3,b3-4a2+3.

（回）求｛%｝和也｝的通項公式；

1,〃為奇數，

（回）設數列｛%｝滿足C"=""〃為偶數，求2c2+--+。2后“pieN*）.

、2

1L（2019?天津?高考真題）設｛““｝是等差數列，也｝是等比數列.已知

ciy—4,4=6,b?=2ci?—2,Z?3—2〃3+4.

（回）求｛%｝和｛2｝的通項公式；

（回）設數列｛%｝滿足G=l，g=[其中0N*.

（i）求數列｛%七-項的通項公式;

（ii）求￡%0（”eN）

i=l

12.（2018?天津?高考真題）設｛即｝是等差數列，其前〃項和為S〃（砸N*）；｛加｝是等比數列,

公比大于0,其前九項和為乃z（〃回N*）.已知力=1,加=岳+2,b4=Q3+as,bs=a4+2a6.

（0）求S〃和Tn；

（回）若+（Ti+T2+...+Tn）=an+^bn,求正整數〃的值.

13.（2017?天津?高考真題）已知｛%｝為等差數列,前〃項和為S“（〃eN*）,依｝是首項為2的等

比數列，且公比大于0,

b2+b3=12也=4-2%,Su=1電.

（回）求｛“"｝和電｝的通項公式；

（回）求數歹U｛出也｝的前〃項和（〃eN*）.

14.（2017?山東?高考真題）已知｛an｝是各項均為正數的等比數列，且％+g=6,W2=4.

（I）求數列｛an｝通項公式；

（ll）｛bn｝為各項非零的等差數列，其前n項和Sn,已知邑向=22+1,求數列的前n項和

15.（2016?浙江?高考真題）設數列｛%｝的前〃項和為S..已知邑=4,%=2S,+1,〃cN*.

（回）求通項公式。.；

（回）求數列-2|｝的前〃項和.

16.（2016?山東?高考真題）已知數列｛外｝的前門項和邑=3“2+8”，也｝是等差數列，且

（回）求數列圾｝的通項公式；

（0）令1=生卑.求數列｛%｝的前n項和心

3〃+2）

112

17.（2016?天津?高考真題）已知｛%｝是等比數列，前n項和為S/eN*）,且7-丁=丁，4=63.

CT]Cfq

（回）求｛4｝的通項公式;

（回）若對任意的〃eN*,么是1嗎%和1唯心的等差中項，求數列｛（T）%/｝的前2n項和.

18.（2016?北京?高考真題）已知同｝是等差數列，｛bj是等比數列，且b2=3,b3=9,ai=bi，ai4=b4.

（1）求｛aj的通項公式；

（2）設Cn=an+bn,求數列｛品｝的通項公式.

19.（2015?浙江?高考真題）已知數列｛4｝和也｝滿足，卬=2,仿=L*=2%（"eN*）,

4+…+=2+「l，weN*.

23n

（1）求。“與切；

（2）記數列加/”｝的前“項和為求1.

20.（2015?全國?高考真題）S“為數列｛%｝的前〃項和.已知%>0,4+24=4s“+3.

（回）求｛七｝的通項公式；

（回）設d=三~，求數列｛2｝的前〃項和.

anan+\

21.（2015?天津?高考真題）已知｛q｝是各項均為正數的等比數列，出｝是等差數列，且4=仿=1,

b2+b3=2a3,a5—3b2=7,

（國）求｛見｝和也｝的通項公式；

（回）設的=。也，neN,,求數列匕｝的前”項和.

22.（2015?天津?高考真題）已知數列｛“滿足4+2=%（4為實數，且#1），〃wN*,%=l,%=2,且

。2+“3,/+。4M4+生成等差數列.

（回）求q的值和｛2｝的通項公式；

（回）設￡=竽％,〃eN*,求數列也｝的前，，項和.

a2n-l

23.（2015?山東?高考真題）已知數列｛見｝是首項為正數的等差數列，數列［了\］的前〃項和

（1）求數列｛%｝的通項公式；

（2）設2=（%+1）2”，求數列出｝的前〃項和卻

24.（2015?山東?高考真題）設數列｛4｝的前〃項和為力已知2=3"+3.

（回）求｛%｝的通項公式；

（回）若數列間滿足。也=啕°“，求也｝的前〃項和r”.

25.（2015?湖北?高考真題）設等差數列應｝的公差為d,前"項和為S”,等比數列也｝的公比為

Q.已知b、=a、,b2=2,q=d,S,0=100.

26.（2015?安徽?高考真題）已知數列a｝是遞增的等比數列，且4+&=9,。必=8.

（回）求數列｛%｝的通項公式；

（回）設S,為數列｛4｝的前n項和，么=導，求數列｛〃｝的前n項和

考點06數列中的不等式、最值及范圍問題

1.（2023?全國新H卷?高考真題）已知｛%｝為等差數列，"=［：,一6:總數，記S.，r”分別為數

為偶數

列｛4｝，也｝的前〃項和，邑=32,『16.

⑴求｛%｝的通項公式；

（2）證明:當〃>5時，Tn>S?.

2.（2022?全國新I卷?高考真題）記S“為數列｛%｝的前〃項和，已知％=1,1｝］是公差為;的等

差數列.

⑴求的通項公式；

、十r111c

（2）證明：一+—+…+—<2.

axa2an

3.（2021?浙江?高考真題）已知數列｛〃“｝的前"項和為S“，且4sm=35“-9.

（1）求數列｛瑪｝的通項；

（2）設數列M｝滿足地+（-4）a“=0（〃eN*）,記間的前〃項和為A,若20%對任意"eN*恒

成立，求實數幾的取值范圍.

4.（2021?全國乙卷高考真題）設｛%｝是首項為1的等比數列，數列也｝滿足或=詈.已知％,

3%,9%成等差數列.

（1）求｛4｝和也｝的通項公式;

C

（2）記S“和（分別為｛%｝和也｝的前〃項和.證明：Tn<^.

b

5.（2020?浙江,高考真題）已知數列｛an｝,｛bn｝,｛cn｝中,al=bi=c1=l,cn=a?,c?+1=c?（neN）.

D〃+2

（回）若數列｛bn｝為等比數列，且公比q>。，且4+凡=64，求q與｛an｝的通項公式；

（回）若數列｛加｝為等差數列，且公差〃>0,證明：cl+c2+.：+c?<l+j.（?6^）

6.（2019?浙江?高考真題）設等差數列的前〃項和為S“，/=4,%=邑，數列也｝滿足：對

每〃eN*￡+4，S用+%Sm+"成等比數列.

（1）求數列｛叫，電｝的通項公式；

（2）記C“=J察,neN*,證明：Ct+C2+???+C<2-Jn,??eN,.

7.（2017?北京?高考真題）已知等差數列｛%｝和等比數列也｝滿足。1=也=1,。2+。4=10力2b4=。5.

（回）求｛4｝的通項公式;

（回）求和：4+4+求+…+砥-1.

8.（2016?浙江?高考真題）設數列｛4｝滿足neN*.

（回）證明：同221同-2）,“eN*；

（回）若㈤，〃cN*,證明：⑷。，weN,.

9.（2016?天津?高考真題）已知也｝是各項均為正數的等差數列，公差為d,對任意的〃eN*,b“

是。”和%+1的等比中項.

（回）設c“=%*“N*,求證：｛%｝是等差數列；

2n11

（回）設q=d,7；=X（T）%2，〃eN"，求證：^—<—7.

k=lk=\1k

10.（2015?重慶?高考真題）在數列｛4｝中，?1=3,an+ian+Aan+l+^a；=0（ne?7+）

（1）若2=0,〃=-2,求數列｛4｝的通項公式；

\11

（2）若％=/（3”,322）,〃=-1,證明：2+——-<^+1<2+——■

/VQ3Ko十J-乙KgI1

11.（2015?浙江?高考真題）已知數列｛氏｝滿足%=|■且《+產”"-片（〃?"*）.

（1）證明：1<—

an+\

1s1

（2）設數列｛明的前，:項和為S“，證明彳（”N*）.

12.（2015?四川?高考真題）設數列｛%｝的前〃項和S.=2%-且4。+1嗎成等差數列.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

（2）記數列前〃項和1,求使|[-1|<焉成立的〃的最小值.

[an]1000

13.（2015?上海?高考真題）已知數列｛g｝與也｝滿足%+i-%=2（%-％）,〃wN*.

（1）若a=3〃+5,且4=1,求數列加“｝的通項公式；

（2）設｛%｝的第％項是最大項，即4>4（zieN*）,求證：數列也｝的第傳項是最大項；

（3）設％=2<0,（〃eN*）,求彳的取值范圍，使得｛6｝有最大值M與最小值優，且

—e（-2,2）.

m

14.（2015?安徽?高考真題）設〃eN*,當是曲線y=直吹+1在點Q2）處的切線與x軸交點的橫坐

標.

（回）求數列｛%｝的通項公式;

（回）記，=尤;考…名T,證明

考點07數列與其他知識點的關聯問題

1.（2024?上海?高考真題）若/（x）=log“x（a>0,"l）.

（1）尸/口）過（4,2）,求的解集；

⑵存在x使得〃x+l）、〃6）、〃x+2）成等差數列，求。的取值范圍.

2.（2024?全國新H卷?高考真題）已知雙曲線C：x?-9=〃7（m>0）,點片（5,4）在C上，上為常數，

0<^<1.按照如下方式依次構造點Pn（n=2,