拓展提升01數(shù)列的求和

公式法

倒序相加法

角度1加減型

角度2分段函數(shù)型

分組求和

角度3an+an+l=f(n)型

題角度4通項卜l)nan型

型

數(shù)列的求和分錯位相流法

類

角度1等差型

角度2根式型

裂項相消法

角度3指數(shù)型

角度4含。)n型

數(shù)列求和與不等式

題型清單

1.公式法

直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和.

①等差數(shù)列的前〃項和公式：

“3+。")."(九一1),

Sc?=-------------=na'--------2-----'d-

②等比數(shù)列的前〃項和公式：

na^q=1

Qi(1-q")67]—aq.

-1----------=—i-----n-工應豐1

｛l-q\-q

2.倒序相加法

如果一個數(shù)列｛。“｝的前〃項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個

數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.

3.分組求和法

(1)把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.

若數(shù)列｛%｝的通項公式為+bn,且｛4｝,｛4｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組分別求和法求數(shù)

列｛%｝的前"項和.

(2)若數(shù)列｛%｝的通項公式為奇偶分段數(shù)列型或者絕對值分段數(shù)列型，可采用分組求和法求數(shù)列｛c“｝

的前"項和，注意對"進行分類討論

(3)一個數(shù)列的前"項和，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如%=(-類型，可采

用兩項合并求解.

4.裂項相消法

把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.

常見的裂項公式：

]=￡_1]=JJ

+nn+\'+2n+lJ'

111111/—公

(3)-------------=----------------------；(4)~~r=廣=；(Va—7b)；

⑸而+1內(nèi)='〃「+17廠〃；(6)(2"—12""+』廣井1一戶11

5.錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，這個數(shù)列的前〃項和

可用錯位相減法求解.

錯位相減法求和時，應注意：①在寫出“s“”與"qS“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,

以便于下一步準確地寫出“Sn—qS“”的表達式.

②應用等比數(shù)列求和公式必須注意公比1是否等于1,如果[=1,應用公式

02題翊講

題型01公式法

【典例1】(24-25高三上?遼寧?期中)數(shù)列｛%｝中已知對任意自然數(shù)+電+〃3+…+。〃=2〃-1,則

---等于()

4〃一141+2

A.T-1B.(2〃一1)2C.

33

【答案】C

【分析】根據(jù)條件，利用S〃與求得明=2“T,進而得到片=4〃T,再利用等比數(shù)列的前正和公式，即可

求解.

【詳解1因為4+出+。3+…+%=2"—1(1),

當〃22時，%++。3+…+an-\~2〃一1一1(2)，由(1)—(2)得an=2〃一2"々=2〃一1,

又q=2-1=1,滿足%=2〃T,所以%=2〃T,

由a“=2"T,得到a：=(2'T)2=4"T,

1_d"4"-1

所以a；+a；+a；H--Fa；=1+4H---1-4"1=———=---,

故選：C.

【變式1】（24-25高二上?天津東麗?階段練習）已知S.為等比數(shù)列｛%｝的前n項和，S8=-30,$4=3$2,則

$6=（）

A.-1B.-8C.-10D.-14

【答案】D

【分析】根據(jù)前〃項和公式，根據(jù)率=1+d=3得d=2,即可根據(jù)〉?求解.

d2d6'

【詳解】若公比4=1,則見=2邑，這與邑=3星矛盾，故公比不為1,

由S…可得丁亨二―故

S_l-^_1-24_15_75_

又$86一匚『一口7一’，故56_正8一-14,

故選：D

【變式2】（23-24高二上?河南漠河?期末）等差數(shù)列｛6｝中，/+%+。4=18,氏=10，則其前100項和為

()

A.5050B.10010C.10100D.11000

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得為〃，再利用求和公式求解得答案

【詳解】???電+。3+。4=18,%=10，

[3。]+64=18[。[=2

???"，解得「c，

[4+4d=10n[d=2

100x99

所以Si。。=100q+—--d=10100.

故選：C.

【變式3】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）在數(shù)列｛%｝中，已知%M+%=32,則｛%｝的前10項和為（）

A.2040B.2046

C.4040D.4046

【答案】B

【分析】由已知條件表示出｛%｝的前10項和，再由等比數(shù)列求和可得答案.

【詳解】因為%+i+a“=3-2",所以的+%=3x21

5

%+%=3x2,,a6+a5=3x2,

+ci~i=3x2,6Z|Q+Q9=3x2,

貝I{%}的前10項和為3(2+23+2$+2,+2<))=3x)=2046.

故選：B.

【變式4】（24-25高二上?福建,期中）已知等差數(shù)列｛6｝的前”項和為5“，%+%=55,則九=（）

A.880B.220C.110D.440

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求為+須的值，從而可求品,.

【詳解】因為由+g=55,所以q+“16=55,

故兒=*%+%6）=8X55=440,

故選：D.

題型02倒序相加法

111

【典例2】（24-25高二上?湖南?期中）若等比數(shù)列｛4｝滿足%。口=1貝U-------+--------+…+-----------)

6Z]+1①+1。2023+1

20232025

B.1012D.1013

【答案】A

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算出；+—二（1?〃（2023/eN*）的值，然后利用倒序相加法可求

為+1出024.“+1

得所求代數(shù)式的值.

【詳解】等比數(shù)列｛6｝滿足%012=1，則%。2023=42a2022=…==。1012=1，

所以，對任意的1?〃《2023的正整數(shù)〃，

[_1]_。"。2024—〃[_42024—〃]

%+1。2024f+1an+ana2024-n。2024-〃+11+“2024-〃“2024-〃+1

令s'+」一+…+'

4+1+1。2023+1

貝I]2s=[」一+—-—+」一+—!—+-■■+—i—+」—]=2023,

I4+1。2023+1JI。2+1。2022-1~J\°2023+1卬+1J

c1112023

S-----------1-------------1-------1---------------

Q1+12+1。2023+12

故選：A.

【變式1】(24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知數(shù)列｛%｝中，q------,則S=%+%+…+〃97+〃98=

2n-99

()

A.96B.97C.98D.99

【答案】C

【分析】利用倒敘相加法求和即可.

■、斗時、096949698

【詳解】5=^+(22+---+(297+?98=—+—+—+—0,

c98969496小

S—QQR+QQ7+…+Q)+QI---------1--------F…H--------1-------(2),

9897197959597

9694969898969496

①+②得2S=------1--------F???H--------1------------1--------F???H--------1------

9795959797959597

9698949696949896

------1------+------1------+???+------1------+------1------

9797959595959797

=2+2H----1-2+2=98x2,

所以5=98.

故選：C.

【變式2】(24-25高二上?全國,課后作業(yè))已知正項數(shù)列｛0“｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且

2

1g%+1g02023=0,若小)=幣7,則/(4)+/(%)+…+/(%023)等于()

A.2022B.4036C.2023D.4038

【答案】C

【分析】根據(jù)題意結合等比數(shù)列的性質(zhì)可得為??2023=?2-a2022=a3-a202l=…=片1n=1，根據(jù)函數(shù)解析式可得

/(x)+/1：j=2,利用倒序相加法運算求解.

【詳解】因為正項數(shù)列｛%｝是公比不等于1的等比數(shù)列，

且1g+1g。2023—°，則1g，“2023)=。，即％,“2023—，

aa

結合等比數(shù)列性質(zhì)可得號，2023=2'。2022='。2021=…=%012=1>

又因為函數(shù)〃同=導，則“耳+/[￡|=.+==：卓=2,

X2

令7=/(q)+/(%)+…+/(.21)23)，則7=/(%。23)+/(%022)+~+/(%)，

可得27=/(4)+/(。2023)+/(。2)+/(4022)+…+/(電023)+/(%)=2*2023,

所以7=2023.

故選：C.

【變式3】(24-25高二上?上海,階段練習)已知函數(shù)/(x)=占，數(shù)列｛%｝是正項等比數(shù)列，且％。=1,

(1)計算〃+的值；

⑵用書本上推導等差數(shù)列前〃項和的方法，求/(1)+/(。2)+/(%)+--+〃陽)+〃％9)的值.

【答案】(1)1;

吠

【分析】(1)直接代入/'(x)+/d)化簡即可；

(2)由(1)/(x)+/(l)=l,結合等比數(shù)列性質(zhì)，即可求解.

X

【詳解】(1)因為函數(shù)〃x)=」7，

X+1

二匚I、If(X)+f(-)=-----1-----T=-----1-----=1

所以Xl+x11l+x1+X

1H--

X

(2)因數(shù)列｛4“｝是正項等比數(shù)列，且%0=1,貝1]%%9=。2%8=。3%7=,,=溫=1，

所以/(?1)+/(?19)=/(?1)+/(-)=1,

%

同理f(a2)+/際)=/⑷+"%7)=…=/(?10)+/(?10)=1，

令5=/(%)+/(電)+/(。3)+…+/(48)+/(。19)，

又5=/(%9)+/(《8)+/(%7)+…+/(4)+/(%)，

19

則有2s=19,故5=了，

所以〃。1)+/(。2)+/(%)+…+/(48)+/(。19)=5.

題型03分組求和法

■角度1和差結構型

【典例3](24-25高二上?天津濱海新,階段練習)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“且滿足S,=2%-1(?eN,

等差數(shù)列低｝滿足4=1,且％也+1也+6成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%,｝與低｝的通項公式；

(2)記數(shù)列｛6+4｝的前〃項和為北,求人

【答案】①。，=2"、b?=3n-2

【分析】（1）利用一=%-其求出%；設等差數(shù)列低｝的公差為d,由他+1）2=a（4+6））求出d=-l可

得2；

（2）利用分組求和的方法可得答案..

|詳解1（1）S"=2%-1,Sn+l=2%+]-1,

%=S"+「S"=2an+1-l-（2an-l）=2an+l-2an,

an+\=2a“,又：％=1,

所以數(shù)列｛%｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，則。"=2"'

設等差數(shù)列加J的公差為"，

則由4=1,也+1）2=b2M+6）得（2+2d了=（1+d）（7+3d）,

解得："=一1或"=3,

"=-1時，=此時偽=2-2=0,構不成等比數(shù)列，舍去，

所以“=3”-2；

n

（2）an+bn=2-'+3n-2,

7；=（2°+2+---+2,"1）+（1+4+---+3?-2）

1-2",〃。+3”-2）

=-----1------------Z—In---------.

1-222

【變式1】（24-25高二上?甘肅張掖?階段練習）已知等差數(shù)列｛%｝的公差d>0,其前〃項和為S〃，若

邑=6,且％,出，1+。3成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4“｝的通項公式；

⑵若6“=%+2一％,求數(shù)列6“的前項和7；.

【答案】⑴％二〃

+1)

(2)4=——^+1-

2

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前3項和以及等比中項的性質(zhì)構造方程組計算可得%=〃；

（2）利用分組求和以及錯位相減法計算可得結果.

%(1+43)=

【詳解】（1）依題意可得

+〃2+。3=6'

,%(1+%+2+(%+療，整理可得八/2=。,

即

3al+3d=6

解得"=1或"=-2（舍），所以q=l；

即可得4,=%+（〃T）4=1+〃T=〃，

所以數(shù)列｛%｝的通項公式%=〃；

(2)由(1)可得2=%+2一"”="+2-0=〃+I

北=4+"+”+…+2

=1+2+3+---+?+-+|-

2(2

=^1+1-QJ.

可得小一+1七卜

【變式2】（24-25高二上?上海,階段練習）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，%=3,且$6-53=45,數(shù)

列也｝為等比數(shù)列，公比為2,且4+&+—14.

⑴求數(shù)列｛%｝與低｝的通項公式；

（2）設數(shù)列,“｝滿足c”=an+bn,求數(shù)列｛c?｝的前〃項和Tn.

【答案】⑴。，=3"；bn=T

（2）7；=3"2；3〃+2用_2

【分析】（］）由等差數(shù)列與等比數(shù)列前〃項和公式，分別求得公差與4,帶入等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公

式即可；

（2）由等差數(shù)列與等比數(shù)列前〃項和公式可得.

【詳解】（1）設｛%｝的公差為d,因為邑-邑=45,所以g+%+&=45,

又%=3,貝ij（3+3d）+（3+4d）+（3+5d）=45,故〃=3,

所以。*=3+（“-1>3=3”；

因為4+62+"=14,q=2,所以4+24+44=14,解得々=2,

所以6,=6「27=2-2"7=2".

（2）結合（1）可得:

?(3+3?)2(1-2")3/+3"1

=4+%+,,?+%+4+“2+?,,+”〃---------------1--------------=--------------rZ-乙

21-22

【變式3】（24-25高二上?湖南永州?期中）已知等差數(shù)列｛%｝滿足%=2,?4+2a6=16.

⑴求數(shù)列｛。“｝的通項公式；

⑵設6,=%+2%,求數(shù)列｛2｝的前"項和S）,.

【答案】（1）。“=〃

（2）2向+四/一2

【分析】（1）設出等差數(shù)列｛%｝的公差，結合已知條件列出方程，進而求出通項公式.

（2）由（1）的結論，利用分組求和法及等差、等比數(shù)列前〃項和公式求解即得.

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛0”｝的公差為d，由。2=2,'+206=16,

[a,+d=2隆=1

得4,解得4,

1%+3d+2（Qi+5d）=16附寸=l

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為：%=1+（"-1）X1=".

（2）由（1）知"="+2",則S“=4+a+…+6“=（1+2）+（2+22）+…+（〃+2"）

=（1+2+-+"）+（21+22+~+2"）/（,1）+2（]；）=2%亞丁）_2.

■角度2分段函數(shù)型

【典例4】（24-25高三上?內(nèi)蒙古包頭?開學考試）已知正項數(shù)列｛叫的前〃項和為S",且2s

（1）求｛%｝的通項公式；

%,“為奇數(shù)

⑵設a=]〃為偶數(shù)，求數(shù)列也｝的前2"項和八?

44+2'

【答案】（1）。“="

11

（2）七二二?+1

4〃+4

【分析】⑴利用%=f'5.,金n=l或2

來求得｛凡｝的通項公式.

（2）利用分組求和法、裂項求和法等求和方法來求得數(shù)列抄“｝的前2〃項和心

【詳解】（1）依題意，2S?=??（??+1）,a?>0,

當”=1時，2%=%(q+1),解得q=1,%=0(舍去).

當心2時,由2S“=%(%+1)得2S“T=—(%T+1),

兩式相減得2%=a~+an-a~_i-an_x,a；-a^_x-(an+an_x)=0,

即（%+。,一1）（%-%八T）=。，由于4+%>0,

所以%-%一1=0,%-%=1（〃22）,所以數(shù)列｛。“｝是首項為1,

公差為1的等差數(shù)列，所以（為=1也符合）.

為奇數(shù)

⑵由⑴得a=為偶數(shù)，

〃（〃+2）2\n〃+2）

所以4〃=bl+仇+4+"+…+力2〃一1+b2n

=(4+4+?-+%)+92+64+???+&/

1

2〃+2

1±^.

2〃+2甲(2一，2?+2)］=-44〃+4

a+1,〃為奇數(shù),

【變式1】（24-25高二上?江蘇蘇州?期中）已知數(shù)列｛0“｝的前”項和為S"，且%=1,??n

+1q,+2,”為偶數(shù),

則$2。的值為（）

A.300B.29C.210D.29-1

【答案】A

【分析】由遞推關系得｛“〃｝的奇數(shù)項是首項為q=1,公差為3的等差數(shù)列，再利用分組轉化求和以及等

差數(shù)列的求和公式求解即可.

【詳解】若〃為奇數(shù)，貝lj"+l是偶數(shù)，〃+2是奇數(shù)，

則%+1=%+1，①

aa

?+2=?+l+2，②

①+②得：“〃+2=%+3,

所以｛4｝的奇數(shù)項是首項為q=1,公差為3的等差數(shù)列；

3+〃5+…+〃19)+2+〃4+〃6---20)

所以S20=(%+〃(。+。

=(。］+。3+。5+.’,+419)+("1+1+%+1+%+1+.,,+%9+1)

=2(〃］+%++…+69)+I。

(1f)X9\

=210x1+^—x3+10=300.

故選:A.

為偶數(shù)

【變式2】（23-24高二下?廣東佛山?階段練習）已知數(shù)列｛與｝滿足%=%=1,a,川=卜“+1,”為奇數(shù)則數(shù)

歹U｛a,｝的前2n項和s2n=.

【答案】2"+"2+"-2

2

【分析】由題意數(shù)列｛七｝的所有偶數(shù)項構成以1為首項2為公比的等比數(shù)列，所有奇數(shù)項構成以1為首項1

為公差的等差數(shù)列，分組求和即可.

2%,“為偶數(shù)

【詳解】由。,+2為奇數(shù)可得'

數(shù)列｛2｝的所有偶數(shù)項構成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列,

數(shù)列｛2｝的所有奇數(shù)項構成以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列,

前2〃項和邑“=5奇+S偶=2"+n'+n~2

2

故答案為：2"+"2+"-2

2a","是偶數(shù)

【變式3】（24-25高二上?江蘇蘇州?階段練習）已知數(shù)列｛與｝滿足%=3,且％M

an-1,"是奇數(shù)'

（1）設4=%,+%—，證明：也-3｝是等比數(shù)列;

⑵求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑶設數(shù)列｛。.｝的前n項和為S”，求使得不等式E,>2022成立的〃的最小值.

【答案】⑴證明見解析；

2尸+1,〃是偶數(shù)

（2）%=彳；

2h+2,〃是奇數(shù)

(3)20.

【分析】（1）由已知條件，用均表示出a,得出。2“="，再用均表示出a”得出出“二寫。，聯(lián)立

得出b?+1=2b”-3,通過構造得出如「3=2（4-3）,檢驗“-3片0,即可得出證得結論.

（2）由（1）求出“，再求出。2小即可求出數(shù)列｛%｝的通項公式.

（3）由（2）的結論，探討數(shù)列岱“｝的單調(diào)性，再計算判斷即得.

2。”,”是偶數(shù)

【詳解】⑴由%M得ain=a2n-l~1>。2”+1=2a2"，02"+2=g0+111，

<2?-1,〃是奇數(shù)

b-1

則出i=%+l，又。=。2”+。2"-1，于是d=%.+%,+1=2%+1，解得%=六一

又bn+l=a2n+2+a2n+1,則bn+l=a2n+l-1+a2n+l=2a2n+l-1=4a2?-l,解得a2n=

因止匕勺1=11,整理得6網(wǎng)=2'-3,即6角一3=20一3),

由%=3,得出=4—1=2,貝ij4=%+4=5,4一3=2w0,

所以數(shù)列｛4-3｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

_i_Q_1

(2)由(1)知，%―3=2〃，即或=2〃+3,%〃==2〃T+1,4〃―1=電〃+1=21+2,

fj

z)22+1,〃是偶數(shù)

所以數(shù)列｛%｝的通項公式是見=

2~+2,”是奇數(shù)

(3)由(2)知，出"-1+g"=2"+3,貝!!$20=——+3n=2,,+1+3〃-2,

1—2

5=$2-$21，S2n+1=S2n+a2n+l>S2n,因此數(shù)列｛SJ是遞增數(shù)列，

n

而又=3x29+3x9=1563,S20=2+3x10-2=2076>2022,

所以使得不等式J>2022成立的?的最小值是20.

■角度3(-1)"%型

【典例5】(24-25高二上?福建莆田?階段練習)(多選)已知數(shù)列｛%｝：2,-4,6,-8,10,-、記｛對｝的前〃項和為

S“，下列說法正確的是()

A.??=(-2)"+1B.一%｝是等差數(shù)列

C.百7>百9D.$39=40

【答案】BD

【分析】通過觀察數(shù)列各項可得選項A錯誤；根據(jù)數(shù)列通項公式計算出小，結果為關于〃的一次函數(shù)形

式可得選項B正確；禾|J用句9=岳7+%8+%9,代入數(shù)據(jù)可得選項C錯誤；利用分組求和可得選項D正確.

【詳解】A.根據(jù)數(shù)列各項可得a“=(-1)用?2〃，選項A錯誤.

B.a2,一-a2n=(-I)?"-2(2〃一1)一(一I)?"--4〃=4〃-2+4n=8?-2,

是以6為首項，8為公差的等差數(shù)列，選項B正確.

C.S19=S*+%8+/9=A7—36+38=Su+2>S17,選項C錯誤.

D.S39~(4+)+(。3+--------1"(437+”38)+。39

二(2-4)+(6-8)+…+(74-76)+78=-2x19+78=40,選項D正確.

故選：BD.

【變式1】(24-25高二上?廣東東莞?期中)已知公差d*0的等差數(shù)列｛為｝滿足？+。4=10，%，的，％成等

比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設。求可+Z+4+,,,+%

【答案】⑴4=2〃-1

(2)20

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列｛%｝的通項公式表達出+%和4，/，%成等比數(shù)列，解出即可求解;

(2)求出”=(-1)%〃，再并項求和即可.

【詳解】(1)解：由題設％+。4=2%+4d=10,

因為%,a2,生成等比數(shù)列，即■二%?%,

所以(%+dp=%(Q]+4(7),

2al+4(7=10

可解得%=l,d=2

(q+d)2=%(q+4d)

所以%=為+(〃—1)d=2〃—1

(2)解：因為“=(-!)%〃，

以4+Z>2+&+…+人20=—"1+出—。3+。4—…—"19+。21

=(。2—+—%)+…+(〃20—q9)=2X10=20.

【變式2】(24-25高二上?江蘇?期中)已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且4>0恒成立，它的前四項的平方和為

54,且這四項中首尾兩數(shù)的積比中間兩數(shù)的積少2.

(1)求｛。”｝的通項公式.

(2)若“=(T)”a，〃eN*,求數(shù)列仞｝的前100項和“.

【答案】⑴%="+1;

(2)5150.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，建立首項卬、公差d的方程，進而求出通項公式.

(2)由(1)求出“，再利用并項求和法求解即得.

【詳解】(1)設｛。"｝的首項為q,公差為d,

依題意，(％+d)(%+2<7)-%(%+34)=2,解得"=1或d=-l,

由%>0恒成立，得"=1,

又0；+(%+1丫+(%+2『+(為+3『=54,而%>0,解得%=2,

所以｛%｝的通項公式*=2+("-1)」=〃+1.

(2)由(1)知，〃=(一1)"5+1)2,

2

則%”-1+&=-4"2+(2n+1)=4?+1,

所以兒。=伯+3+他+")+…+(砥+狐。)=50(5；201)=5150.

【變式3】(24-25高二上?江蘇?期中)已知等差數(shù)列｛0.｝的前〃項和為S,,滿足%+&=10，$7=49.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設6"=(-1)"。0,求4+b2+b3+???+%.

【答案】⑴氏=2〃-1

(2)20

【分析】(1)根據(jù)題意，列出關于qS的方程，代入計算，即可得到結果;

(2)由并項求和法代入計算，即可得到結果.

【詳解】(1)設等差數(shù)列的公差為"，

2al+4d=10<7j=1

由題意可得，解得所以a“=21.

7al+2\d=49d=2

(2)由(1)可得”=(一1)%=(-1)"(2〃一1),

以4+/+4+…+4o=(-1+3)+(-5+7)+…+(-37+39)=2x10=20.

■角度4%+an+l=/(〃)型

【典例6】(24-25高三上?江蘇蘇州?期中)在數(shù)列｛6｝中，an+an+x=2n,則數(shù)列｛。“｝前24項和S24的值為

()

A.144B.312C.288D.156

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結合%+。用=2",將｛%｝前24項和$24轉化為等差數(shù)列求和問題.

【詳解】因為(+(+1=2〃，

bi12x(2+46)

以84=q+a,+%+…+/4=2+6+10+…+46=---------------=288,

故選：C.

【變式1】(23-24高二下?江西萍鄉(xiāng)?期中)數(shù)列｛%｝(〃eN*)滿足q=1,前〃項和為S“，對任意正整數(shù)“都

有%+1+。“=〃+3,則$8=()

A.18B.28C.40D.54

【答案】B

【分析】代入遞推關系式，直接求和.

【詳解】由見+1+。“=〃+3可知，

S&=(%+出)+(。3+04)+(>5+%)+(%+08)'

=4+6+8+10=28.

故選：B

22

【變式2】（23-24高二下,江蘇南京?階段練習）已知數(shù)列應｝滿足％=1,電=3,??+2=（l-2sin^>?+cos^,

則該數(shù)列的前22項和為（）

A.69B.88C.89D.96

【答案】C

【分析】利用條件分奇偶討論的關系，利用分組求和法計算即可.

【詳解】當〃為奇數(shù)時，an+2=~an,

當”為偶數(shù)時，an+i=an+l,

以*S*22=4+。2+03+，，，++^22

=（%+/+,,,+〃21）+（42+〃4+°,,+42）

=（1—1+1—1+…+1）+（3+4+…+13）=89.

故選：C

【變式3］（23-24高二下廣西南寧?期末）已知數(shù)列｛叫滿足％=1,%+%=3〃+2,則其前9項和59=_.

【答案】69

【分析】由分組求和法即可得解.

【詳解】Sg=%+（g+。3）+（。4+。5）+（。6+%）+（。8+。9）

=1+（3X2+2）+（3X4+2）+（3X6+2）+（3X8+2）=69.

故答案為：69.

題型04裂項相消法

■角度工等差型

【典例7］（23-24高二上?河南漂河?期末）已知數(shù)列｛%｝滿足：4=1,%+|=霍］.

⑴若，=一,求證：｛"｝為等差數(shù)列.

an

⑵求數(shù)列｛。/向｝的前〃項和S".

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，即可得到以「或=2,從而得證;

（2）由（1）可得%=，，從而得到。1AM二-利用裂項相消法計算可得.

2n-l2y2n-l2n+lJ

a12a+1小1

【詳解】（1）因為。用=」n7,所以一=-n^=2+一,

2%+1%a,an

11c,1,

即-------=2,b-，又4=—=1,

%%?i

所以也“｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列；

（2）由（1）可得〃=^-=2"-1,貝

%2n—1

1?_If11）

所以。"。用=―T,歹二7=彳|一'

2n-l2z?+l212〃-1In+lJ

所以S"4■-對U+…-&]

2v3）2[35）212〃-12/7+1J

1/1111111I/111n

2（13352n-l2n+1）2（2n+\）2n+\

【變式1】（24-25高二上?天津濱海新?階段練習）等比數(shù)列｛與｝中，%=3,%=81,則數(shù)列------------

[log3a?-log3a?+1J

的前2022項和為（）

2020202120222021

A.B.C.D.------

4044202220234046

【答案】C

【分析】先求出等比數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)裂項法求和.

【詳解】設等比數(shù)列的公比是4,則4=%/,即3/=81,解得4=3,

111_11

Jze.一—3，n+1

log3a?-log3a?+1log,3"-log,3n（n+1）nn+\

于是[1--------]------|--的-刖2022項和為1+H-----2RE12022

^log3a?-log3??+1J223202220232023

故選：C

【變式2】（24-25高二上?天津東麗?階段練習）已知數(shù)列｛%｝滿足4=1±2+3+…±1,則數(shù)列的

”+1〔4a,4+J

前〃項和S”=_____________

VI

【答案】ZT

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得。“=],再利用裂項相消法求和.

(1+〃)〃

【詳解】由已知1+2+3+…+〃2〃，

a：=：-=T

n=〃+1H+12

1111

則~A=(二----77，

所以s=i--+---+---+--一—=1-一匚=」-

"223nn+\n+\〃+l

故答案為：言p

【變式3】(24-25高二上?黑龍江綏化?階段練習)已知等差數(shù)列｛乙｝的前〃項和S“滿足$3=-3,S7=-21.

(1)求｛叫的通項公式;

,1、

(2也=-%+1,求數(shù)歹U｛嘉1｝的前"項和卻

【答案】(1)??=-?+!;

2)7；,=-----型土^—.

〃42(〃+1)(〃+2)

【分析】(1)利用等差數(shù)列的前〃項和公式求出]「進而求出通項公式.

[a=-1

(2)由(1)的結論，利用裂項相消法求和.

(1S?=3〃[+3d——3fa,

【詳解】(1)設等差數(shù)列｛00｝的公差為d,則;01解得;

所以%=%+(〃一l)d=-〃+1.

(2)由(1)知，b=n,貝！1--------=-----------=—(-------------)

n」44+2〃(〃+2)2nn+2

所以[=\[(1…+(^7^)+(工-----)]

232435n-ln+1nn+2

1Z1111、32〃+3

=—(IT------------------------)=--------------------------

22n+1n+242(n+1)(?+2),

■角度2根式型

【典例8](23-24高二下?重慶九龍坡?階段練習)數(shù)列｛%｝的前〃項和為色，且邑="2+2〃,

2

“匹+，則數(shù)列的,｝的前"項和為(=()

A.J2〃+1—Jin—1B.J2n+3-1

C.72/7-2D.V2W+3-V3

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用。“S”的關系求出。“，再利用裂項相消法求和即得.

2

【詳解1數(shù)列｛%｝的前n項和Sn=n+2n,

當〃N2時,an=S?-ST="+2〃-[(〃-+2(〃-l)]=2n+l,而4=E=3滿足上式，

2_________

因止匕=2〃+1,b=,----]-------=二2〃+3-J2〃+1,

j2〃+l+j2〃+3

以北=(y/5—A/3)+(s/7—y/-5)+(V9—)H----F(J2rl+3—J2AZ+1)—<2n+3—\/3.

故選：D

【變式1】(24-25高二上?江蘇蘇州?階段練習)已知數(shù)列｛%｝滿足

2〃一%+2〃一2或+…+2j+4=3?2〃―〃—3,若=如：",則數(shù)列｛g｝的前〃項和北=.

【答案】AA?+2-V2

【分析】根據(jù)所給遞推關系，得出2〃一2%+2〃-3〃2+...+〃1=3-21-〃+1-3,兩式相減即可求解通項公式,

再利用裂項相消求和即可得解.

【詳解】當〃=1時，％=3-21—1—3=2,即％=2.

2"?%+2"2?+…+2a〃_]+cin=3,2°—w—3(1^)

當心2時,2〃-2%