專題23數列的基本知識與概念

【考點預測】

1.數列的概念

（1）數列的定義：按照二定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每二個數叫做這個數列的項.

（2）數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集｛1,2,…，川）

為定義域的函數%=/（〃）當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值.

（3）數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法.

2.數列的分類

（1）按照項數有限和無限分:

遞增數列:anA>an

遞減數列：a,>a

（2）按單調性來分:i+1n

常數列：（常數）

擺動數列

3.數列的兩種常用的表示方法

（1）通項公式：如果數列｛%｝的第〃項與序號〃之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫

做這個數列的通項公式.

（2）遞推公式：如果已知數列｛%｝的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與

它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.

【方法技巧與總結】

（5n=l

（1）若數列｛%｝的前〃項和為S“，通項公式為%,則%=|'*

[s“-S,T，n>2，n&N

注意：根據S"求凡時，不要忽視對”=1的驗證.

（2）在數列｛q｝中，若氏最大，貝,若%最小，貝』""'"i.

a

[n2a?+i[an<an+1

【題型歸納目錄】

題型一：數列的周期性

題型二：數列的單調性

題型三：數列的最大（小）項

題型四：數列中的規律問題

題型五：數列的最值問題

【典例例題】

題型一：數列的周期性

例L已知無窮數列｛%｝滿足。〃+2=|。〃+1-￡N）,且q=l,%=X（X￡Z）,若數列｛。九｝的前2020項中

有100項是0,則下列哪個不能是X的取值（）

A.1147B.1148C.-1142D.-1143

~2~

例若國表示不超過x的最大整數（如[2.5]=2,[4]=4,[-2.5]=-3),已知。〃二—xlO"，b、=a、

2._7_

bn=a?-10a?_,(7ieN,,H>2),貝ljb2m9=()

A.2B.5C.7D.8

1+凡

例3.數列｛%｝滿足4=2,%+]=其前〃項積為則幾等于（）

1-冊'

A.-B.--C.6D.-6

66

例4.若數列｛4｝滿足。1=2%=2,且%+2=|%+1-。“|,則｛%｝的前100項和為()

A.67B.68C.134D.167

2a?,0<a?<1,

例5.數列｛氏｝滿足%+1h]右q=K，則電⑼等于（）

2an-l,-<an<l,、'

-乙

2c.3

A.1B.

5555

例6.已知數列｛4｝滿足，%=<(〃￡N*,〃>1),若6￡(2,3)且記數列｛q｝的前〃項和為s”,

若鼠=2019,貝1」5刻9的值為（）

6057「6055

B.3028C.----D.3029

2

例7.（2022?廣東汕頭?三模）已知數列｛〃〃｝中，4=-：，當時，an=1，則%022=（

4an-\

4

AC.5D.

-45

例8.（2022?河北?滄縣中學高三階段練習）已知數列｛%｝中，a,t=。屋%+1（心2）,q=2,則％0等于（）

A.—B.—C.-1D.2

22

題型二：數列的單調性

mn~9,n>10

例9.（2。22.四川達州.二模（理））已知單調遞增數列｛叫滿足a，，1聲+則實數，〃的取值

I9J

范圍是（）

A.[12,-H?)B.(1,12)C.(1,9)D.[9,+c?)

例10.（2022.河南?溫縣第一高級中學高三階段練習（文））已知函數/（元）=]（：["）尤:若數列｛%｝

ICI,X〉/

滿足凡=〃刈（〃eN*）且｛4｝是遞增數列，則實數。的取值范圍是（）

A[：，3]B.[|,3]C.（2,3）D.[2,3）

例11.（2022?浙江?高三專題練習）已知數列｛%｝的首項為4=1,a2=a,且％討+〃〃=2〃+1（〃N2,〃￡N*）,

若數列｛〃〃｝單調遞增，則。的取值范圍為（）

A,\<a<2B.2<a<3

例12.（2022?全國?高三專題練習）已知等比數列｛4｝前〃項和S,滿足S〃=l-A3*（A6R）,數列也｝是

遞增的，且a=A*+所7,則實數3的取值范圍為（）

2

A.——,+ooB.[-l,+oo)C.(-1,+co)D.一§,+00

3

例13.（2022?全國?高三專題練習（理））已知數列｛%｝滿足4=13）（〃€產），若對于任意“6M

a"~\n<S

都有4>。用，則實數。的取值范圍是（）

b

兒M-仁

例14.（2022.全國?高三專題練習）設數列｛七｝的通項公式為%=川+加，若數列｛?“｝是單調遞增數列，則

實數6的取值范圍為（）

A.（—2,+oo）B.[-2,+co）C.（—3,+8）D.（―℃,—3）

【方法技巧與總結】

解決數列的單調性問題的3種方法

作差比較法根據%+1一〃“的符號判斷數列｛??｝是遞增數列、遞減數列或是常數列

根據嗅a>o或4<。）與1的大小關系進行判斷

作商比較法

冊

數形結合法結合相應函數的圖象直觀判斷

題型三：數列的最大（小）項

例15.已知數列｛q｝的首項為1,且％=則%的最小值是（）

A.B.1

C.2D.3

例16.已知數列｛4｝滿足4=1。，巴旦二％?=2,則冬的最小值為（）

nn

C.史27

A.2-1B.—D.—

234

2an

例17.已知數列｛4｝的前”項和S"，且S"-4=（〃_1）2，氏=不,則數列出｝的最小項為（

A.第3項氏第4項C.第5項。.第6項

例18.已知數列｛%｝的前n項和S“=2"-12〃,數列｛|。“|｝的前n項和&則乙的最小值

n

例19.數列,n=l,2,…，中的最小項的值為

【方法技巧與總結】

求數列的最大項與最小項的常用方法

(1)將數列視為函數/(x)當尤GN*時所對應的一列函數值，根據/(X)的類型作出相應的函數圖象,

或利用求函數最值的方法，求出了(元)的最值，進而求出數列的最大(小)項.

⑵通過通項公式凡研究數列的單調性，利用(心2)確定最大項，禾煙f"%,(n>2)

aaa

[n24+1[nVn+l

確定最小項.

(3)比較法：若有%+1-%=/(〃+1)-/(〃)>0或為〉0時&出>1,則為+]>%,則數列｛凡｝是遞增數

歹U,所以數列｛"〃｝的最小項為％=/(I)；若有。〃+1-%=/(〃+1)-/(〃)<0或。“>0時％L<1,則4+1va〃，

則數列｛“”｝是遞減數列，所以數列｛4｝的最大項為0=/(I).

題型四：數列中的規律問題

例20.蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以小)表

示第"幅圖的蜂巢總數，則/(4)=()；/(?)=().

A.353n2+3n—1

B.363H2-3n+l

C.373n2-3n+l

D.383n2+3H—1

例21.由正整數組成的數對按規律排列如下：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,

（3,2）,（4,1）,（1,5）,（2,4）,….若數對（根,〃）滿足"-2）W-2=2021,m,rieN*，則數對（〃2,W）排在（）

A.第386位B.第193位C.第348位D.第174位

例22.已知“整數對”按如下規律排列：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3M2,2）,（3,1）,（1,今（2,3）,（3,2）,（4,1）,...,則第68個“整

數對”為（）

A.（1,12）B.（3,10）C.（2,11）D.（3,9）

例23.將正整數排列如下：

1

23

456

78910

1112131415

則圖中數2020出現在

A.第64行3列B.第64行4列C.第65行3列D.第65行4列

題型五：數列的最值問題

例24.（2022?北京市第十二中學高三期中）已知數列｛%｝滿足%="+三，則數列｛見｝的最小值為（）

n

A,把n57

B.—C.8A/2D.12

35

n-\

例25.（2022?全國?高三專題練習）已知數列也J,a?=則下列說法正確的是（）

A.此數列沒有最大項B.此數列的最大項是巴

C.此數列沒有最小項D.此數列的最小項是〃2

例26.（2022?河南?高三階段練習（理））在數列｛%｝中，4=1,an-an_x=n（?eN+,n>2）,則^的

最小值是（

A—

A，21C.1DI

例27.（2022?遼寧?高三階段練習）若數列｛%｝滿足⑸=2〃25,7；=3/2…%，則1的最小值為（）

A.2-B.2-10C.2TD.2-12

若數列｛風｝滿足％則巴1■的最小值為（）

例28.（2022?全國?高三專題練習）=13,??+1~an=n,

n

2314

A.——Bn.—

53

C.V26--D.13

2

例29.（2022?全國?高三專題練習）設為=-2/+13〃-16,則數列｛%｝中最大項的值為（）

「13

B.5C.6D.—

42

例30.（2022?浙江?高三專題練習）已知數列｛%｝的通項公式為%=1-15+0,%是數列｛4｝的最小項,

n

則實數。的取值范圍是（）

A.[-40,-25]B.[^0,0]

C.[-25,25]D.[-25,0]

【過關測試】

一、單選題

1.（2022?陜西咬大附中模擬預測（理））函數“尤）定義如下表，數列｛玉｝（〃eN）滿足4=2,且對任意的

自然數〃均有%+1則尤2022=（）

X12345

“尤）

51342

A.1B.2C.4D.5

2.（2022?內蒙古赤峰?模擬預測（理））大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用

于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理.數列中的每一項，都代表太極衍生過程中曾經經歷過的兩儀數量

總和，其中一列數如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,……按此規律得到的數列記為｛%｝,

其前〃項和為給出以下結論：①電,1=21-2"；②182是數列｛%｝中的項；③⑸=210；④當〃為偶

數時，S,+2-2S“M+S“=〃+2（〃€N）其中正確的序號是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

3.（2022?河南?模擬預測（理））觀察數組（2,2）,（3,4）,（4,8）,（5,16）,（6,32）,…，根據規律，可得第8

個數組為（）

A.（9,128）B.（10,128）

C.（9,256）D.（10,256）

4.（2022?吉林長春?模擬預測（理））已知數列｛。"｝滿足1）（4+1）+2=0,則數列｛4｝的前2022

項積為（）

123

A.—B.—C.—6D.一

632

5.（2022?江西?臨川一中模擬預測（理））已知數列｛4｝滿足q=2,〃角=券、則2022=（）

A.—B.1C.2D.一

32

6.（2022?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝的通項公式為q=〃+—貝廠%>4”是“數列｛4｝單調遞增'的

n

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（、-rr+2tn,H<5,neN,,、

7.（2022?全國?高三專題練習）已知數列｛%｝滿足%且數列MJ是單調遞增數列，

貝心的取值范圍是（）

A.由手）B.C.（5,^o）D.（1,4]

8.（2022.全國?高三專題練習）若數列｛的｝的前”項和S〃=〃2—iOw（〃eN*）,則數列｛”的｝中數值最小的項是

（）

A.第2項B.第3項

C.第4項D.第5項

9.（2022.上海普陀.二模）數列｛q｝的前〃項的和S“滿足S用+S“="5eN*）,則下列選項中正確的是（）

A.數列｛4,+1+%｝是常數列

B.若則｛4｝是遞增數列

C.若％=-1,則$2022=1013

D.若％=1,則｛%｝的最小項的值為-1

10.（2022?北京四中三模）已知數歹U｛%｝的通項為%=/一2力7,貝廣/<0”是“V〃eN*,%+1>%”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

11.（2022?河北?衡水第一中學高三階段練習）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論.主

要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理.數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩

儀數量總和，是中國傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.其前10項依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,則下列說法正確的是（）

A.此數列的第20項是200B.此數列的第19項是180

C.此數列偶數項的通項公式為由.=21D.此數列的前“項和為S“=〃?=-：!）

2%,網J1

12.（2022?全國?高三專題練習）若數列｛??｝滿足%+11，%=§,則數列｛氏｝中的項的值可能

~^—<an<1

為（）

4

A.-B.2D.

3CI7

13.（2022?全國?高三專題練習）下列四個選項中，不正確的是（）

A.數列…的一個通項公式是

3456〃+1

B.數列的圖象是一群孤立的點

C.數列1,-1,1,-1,…與數列-1,1,-1,1,…是同一數列

D.數列［J,…，上是遞增數列

242n

14.（2022?全國?高三專題練習）已知S”是｛4｝的前〃項和，4=2,an=l--（n>2）,則下列選項錯誤的

an-\

是（）

A.%02i=2B.SO2I=1O12

C.如?⑸+“3〃+2=1D.｛%｝是以3為周期的周期數列

L,1

2c1n,c1n<—

15.（2022?全國?高三專題練習）若數列｛即｝滿足4,+i=<72］，卬=,，則數列｛加｝中的項的值可

^2an--,an>-

能為（）

A.-B.-C.-D.-

9633

16.（2022?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足4+i=J，則下列各數是｛。,｝的項的有（）

214〃

23

A.—2B.—C."D.3

17.（2022?全國?高三專題練習（文））南宋楊輝在他1261年所著的《詳解九章算術》一書中記錄了一種三

角形數表，稱之為“開方作法本源”圖，即現在著名的“楊輝三角”.如圖是一種變異的楊輝三角，它是將數列

｛q｝各項按照上小下大，左小右大的原則寫成的，其中｛%｝是集合｛2、+2［0Vs<f，且s/eZ｝中所有的數從

小到大排列的數列，即4=3,%=5,%=6,?4=9,%=1。，…，則下列結論正確的是（）

3

56

91012

口Q(m=3?2n~]

A.第四行的數是17,18,20,24B.〃(〃+i)

2

°皿尸+

C,1D.[00=16640

2

18.（2022.全國?高三專題練習）如圖所示的數表中，第1行是從1開始的正奇數，從第2行開始每個數是

它肩上兩個數之和.則下列說法正確的是（）

1357911...

48121620...

12202836...

A.第6行第1個數為192

B.第10行的數從左到右構成公差為2"的等差數列

C.第10行前10個數的和為95x29

D.數表中第2021行第2021個數為6061><2故。

19.（2022?河北?石家莊實驗中學高三開學考試）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推

論.主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理.數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的

兩儀數量總和，是中國傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.其前10項依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,則下列說法正確的是（）

A.此數列的第20項是200B.此數列的第19項是182

C.此數列偶數項的通項公式為。2”=2/D.止匕數歹U的前兀項和為5“=〃5-1）

20.（2022?福建漳州?三模）已知數列｛凡｝的前"項