專題01高分必刷題-三角形重難點題型分類（解析版）

專題簡介：本份資料包含《三角形》這一章在各次月考、期末中除壓軸題之外的全部主流題型，所選題目源自

各名校月考、期末試題中的典型考題，具體包含七類題型：三角形的邊長問題、多邊形的內角和與對角線、三

角形的三個角平分線模型、三角形的角度計算、8字模型、燕尾模型、折疊模型，本專題資料適合于培訓機構

的老師給學生作復習培訓時使用或者學生月考、期末考前刷題時使用。

題型1：三角形的邊長問題

1.（2022?四川?成都）已知三角形兩邊長分別為4和9,則此第三邊x的取值范圍是（）

A.5cxe13B.4Vx<9C.18cx<26D.14Vx<22

【詳解】解：由三角形的三邊關系得：9-4<x<9+4,即5<x<13,故選：A.

2.（2021?河南周口）一個三角形的三邊長分別為3,5,尤，若x為偶數，則這樣的三角形有（）個.

A.2B.3C.4D.5

【詳解】解：根據題意得：5-3<x<5+3,即2<x<8,?I為偶數，取4,6,即這樣的三角形有2

個.故選：A

3.（2022?遼寧?沈陽）三角形兩邊長分別為4和7,若第三邊的長為偶數,則這個三角形的周長可能是（）

A.15或12B.15或19C.16或17D.19或23

【詳解】解：設三角形第三邊的長為1.三角形的兩邊長分別為4和7,二7-4<。<7+4,即

為偶數，,。=4或。=6或。=8或。=10,當。=4時，這個三角形的周長=4+4+7=15；

當。=6時，這個三角形的周長=6+4+7=17；當。=8時，這個三角形的周長=8+4+7=19；

當。=10時，這個三角形的周長=10+4+7=21；綜上所述，這個三角形的周長可能是15或17或19或

21.故選：B.

4.（2022?四川成都）已知。，b,。是&ASC的三邊長，b,c滿足（。-2）?+|c-3|=0,且。為方程|x-4|=2

的解，貝1ABC的周長為（）

A.4B.5C.7或11D.7

【詳解】解：（〃一2）2+上一3|=0,「2—2=0且c—3=0,:.b=2、c=3,。為方程,一4卜2的解，

「.。=2或〃=6,又c-b<a〈c+b,BP1<tz<5,:.a=2,貝1ABC的周長為2+2+3=7,故選：D.

5.已知實數無，y滿足|x-6|+〉y-15=0,則以x，y的值為兩邊的等腰三角形的周長為（）

A.27或36B.27

C.36D.以上答案都不對

【解答】解：?.?實數x,y滿足」-6|+正-15=0,；.X=6,y=15.；6、6、15不能組成三角形，.?.等腰

三角形的三邊長分別為6、15、15,.?.等腰三角形周長為6+15+15=36.故選：C.

6.（2022?遼寧沈陽）已知a,b,。是一個三角形的三邊長，化簡|。+。-匕|+屹-。+〃|+|。-萬-。|=.

【詳解】解：a,b,c是一個三角形的三條邊長，「.a+c-OK）,b-c+a>G,a-b-c<0,

\u+c—b\+\b—c+ci\+\ci—b—c\=a+c—Z7+Z?—c+a—（a—b—c）=ci+c—b+b—c+ci—ct+b+c

=a+Z?+c,故答案為：a+b+c.

7.已知a,b,c分別為三角形的三邊長，則化簡|a-b-c|+|b-c-a|+|c-〃+。|的結果為（）

A.a+b+cB.-a+b-3cC.a+2b-cD.-a+b+3c

【解答】解：\a-b-c|+|。-c-a\+\c-a+b\=-a+b+c-b+c+a+c-a+b=-a+b+3c,故選：D.

題型2：多邊形的內角和、對角線

8.（2022?廣西?興安）正多邊形的一個內角等于144，則該多邊形是正（）邊形.

A.8B.9C.10D.11

【詳解】解：設正多邊形是w邊形，由題意得0-2）x180。=144”.解得”=10,故選：C.

9.（2022?浙江溫州）若w邊形的內角和等于外角和的4倍，則邊數”是（）

A.8B.9C.10D.11

【詳解】解：根據題意得：5-2）x1800=3600x4,解得：”=10,即邊數w是：L0.故選：C

10.（2022?浙江杭州）如果一個多邊形的內角和等于外角和的2倍，那么這個多邊形的邊數〃=.

【詳解】解：設這個多邊形的邊數為"，依題意，得：（"-2）x1800=2*360。，解得：n=6.

故答案為：6.

11.把正三角形、正四邊形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，若Nl=52°,N2=18°,則N3=.

【解答】解：等邊三角形的內角的度數是60。，正方形的內角度數是90°,正五邊形的內角的度數是:

A（5-2）X180°=108°,則N3=360°-60°-90°-108°-Z1-Z2=32°.故答案是：32°.

5

12.（2020?四川?宜賓）如果一個多邊形從一個頂點出發可以做7條對角線，則它的內角和是

【詳解】解：.??多邊形從一個頂點出發可引出7條對角線，，w-3=7,解得w=10.

十邊形的內角和為：180°x（10-2）=1440°,故答案為：1440°.

13.一個正多邊形的每個內角都比與它相鄰的外角的3倍還多20。，

（1）求此正多邊形的邊數；（2）它有多少條對角線？

【解答】解：（1）設多邊形的一個外角為a,則與其相鄰的內角等于3a+20°,

由題意，得（3a+20）+a=180°,解得a=40°.即多邊形的每個外角為40°.

又；多邊形的外角和為360°?.多邊形的外角個數=迦=9....多邊形的邊數為9；

40

（2）二.”邊形的對角線條數為：In

2

...當〃=9時，An（?-3）=2x9X6=27,故有27條對角線.

22

題型3：三角形的三個角平分線模型

1、三角形的兩內角角平分線模型

14.（2022?山東濱州）如圖，N1=N2,N3=N4,ZA=88",貝I|N8OC=

【詳解】Z1+Z2+Z3+Z4+Z4=180°,ZA=88°,且N1=Z2,Z3=Z4,/.Z2+Z4=46°,

???Z2+Z4+ZBOC=180°,Z2。。=180。-46。=134。，故答案為：134°.

15.（2022?山東濟南）如圖，已知△ABC中，BD,CE分別是△A8C的角平分線，8。與CE交于點。，如

果N4=54。，那么NBOC的度數是（）

A.97°B.117°C.63°D.153°

【詳解】?.,BD,CE分別是△ABC的角平分線，,N02C=gNABC,NOCB=—ACB,

Z80C=180°-ZOBC-ZOCB=180°-ABC-180°-ABC+NACB),

???ZA+ZABC+NACB=180°,ZA=54°,二ZABC+ZACS=180°-ZA=126°,二ZBOC^180°-；xl26°

=117°,故選：B.

16.（2021?江蘇?麒麟）如圖，BI,C/分別是△ABC的角平分線，ZB/C=1300,則NA=

【詳解】解：:B/,C/分別是△ABC的角平分線，,NZBC=gNABC,ZICB=^ACB,vZBZC=130",

Z/BC+NICB=50°,：.ZABC+ZACB=2x50°=100°,/.ZA=180°-100°=80°.故答案為：80°.

17.(2021?福建?莆田)在AABC中，ZB,NC的平分線相交于O,ZBOC=125°,則NA的度數為一.

【詳解】解：如圖,?,ZBOC=125°,：.ZOBC+Z0cB=180。-125。=55。，/ZABC與NACB的平分線相交于

。點，ZABC=2NOBC,ZACB=2NOCB,：.ZABC+NACB=2(ZOBC+ZOCB)=110°,

ZBAC=180°-110°=70°.故答案為:70°.

2、三角形兩外角角平分線模型

18.如圖,在△ABC中，NB=40°,三角形的外角ZDAC和NACP的平分線交于點E,則NAEC=

n

【解答】解：：三角形的外角/D4C和/ACF的平分線交于點E,，/EAC=2/D4C,ZECA=lzACF；

22

又：/B=40°(已知)，ZB+Zl+Z2=180°(三角形內角和定理)，

.?.AZZ)AC+-1ZACF=A(ZB+Z2)+A(ZB+Z1)=工(ZB+ZB+Z1+Z2)=110°(外角定理)，

22222

/.ZA￡C=180°-(AZ￡)AC+AZACF)=70°.故答案為：70°.

22

BACZ:F

19.（2022?山東煙臺）如圖，已知13ABC,NA=80,即平分外角NC3。，C/平分外角/BCE,BG平

分4:BF,CG平分外角/BCF,則NG=.

【詳解】解：：NDBC=ZA+ZACB,ZECB=NA+ZABC,：.ZDBC+Z.ECB=4A+ZACB+NA+ZABC,

■：ZACB+ZA+ZABC=180°,：.ZDBC+NECB=NA+180°=80°+180°=260°,「BP平分外角NDBC,CF

平分夕卜角NECB,ZFBC=-ZDBC,ZFCB=-ZECB,：.ZFBC+NFCB=-(ZDBC+NECB)=130",

222

,「BG平分NCB/，CG平分ZBCF,；.ZGBC=^2FBC,/LGCB=-AFCB,：.^GBC+AGCB=-

222

(ZFBC+ZFCB)=65°,；.ZG=180°-(ZGBC-ZGCB)=180°-65°=115°.

故答案為：115°.

3、三角形一個內角一個外角角平分線模型

20.（2022?河南南陽）已知AABC中，①如圖1,若點P是N4BC和NACB的平分線的交點，則N尸=90。

+|zA；②如圖2,若點尸是NA3C和外角NACE的平分線的交點，則NP=90。一NA；③如圖3,若

點P是外角NC8F和外角N8CE的平分線的交點，則NP=90。一1NA；上述說法正確的是

【詳解】解：①正確.P點是NABC和ZACB的角平分線的交點,

ZPBC+ZPCB=J(ZABC+ZACB)=1(180°-NA)=90°-1zA,

ZP=180°--(ZABC+ZACB)=180o-90o+-ZA=90°+-ZA；

2J22

②錯誤.3P是AABC中NABC的平分線，CP是4cB的外角的平分線，.?.々BC=；ZABC,

NPCE=g/ACE,/ACE是ASC的外角，NPCE是ABPC的外角，:.ZACE=ZABC+ZA,

ZPCE=/PBC+NP,-ZACE=-ZABC+-ZA,-ZABC+-ZA=ZPBC+ZP,即NP=^NA；

222222

③正確，BP、CP為AABC兩外角的平分線，

ZBCP=|ZBCE=g(NA+NABC),NPBC=|NCBF=J(NA+ZACB),

由三角形內角和定理得：ZBPC=180°-ZBCP-NPBC=180°-1[ZA+(ZA+NABC+ZACB)]

=180°-J(ZA+180°)=90°-;NA；.故答案為：①③.

21.(2022?山東泰安)如圖①、②中，NA=42。，4=N2,Z3=Z4,則的度數為()

【詳解】解：,①②中，Z71=42°,N1=N2,N3=N4,.,.①中，

Z2+Z4=1(Zl+Z2+Z3+Z4)=1x(180°-42°)=69°,故N0/=180°-69°=1110；

②中，N。2=/4-N2=1[(N3+N4)-(N1+N2)]=]/A=21°；」.NO/+N。2=111°+21°=132°,故選：D.

22.(2021?江蘇無錫)如圖，△ABC為直角三角形，NACB=90。，A。為NC48的平分線，與NA8C的平

分線BE交于點、E,BG是AABC的外角平分線，與BG相交于點G,則NAOC與NGBb的和為()

A屁

□

CD

F

G

A.120°B.135°C.150°D.160°

【詳解】解：NAC2=90°,=NC42+NCA4=90°,：AE,BE分別平分NCAB,ZCBA,

:.ZEAB+NEBA=gNCAB+gNCBA=45。,,:BG平分NCBF,:.ZCBG=gZCBF,；ZCBE=gzCBA,

ZCBE=NCBG+NCBE=1NCBF+JZCBA=90°,：.ZG=90°-45°=45°,-/ZADC=ZBDG,

ZAOC+NGBF=ZBDG+NOBG=180--NG=135°,故選：B.

23.（2022?山東泰安）如圖，在△ABC中，設NA=x。，NABC與NAC。的平分線交于點A,得N4；ZAJBC

與NA/CZ）的平分線相交于點&2,得NA2；…；N人202/與NA?02/C￡）的平分線相交于點&2022,得N4（）22,則

NA2022是（）度.

【詳解】解：:NAC。是△ABC三角形的外角，NA/CO是△A/BC的外角，NA=NACZ>NABC,

Z4=NAiCD-ZAiBC,-：54/和CA/分別是NABCACD的角平分線，,ZAiBC^^ABC,

N4CD=[NACD,...NA/=[NAC￡)-；NABC=[N4=1?尤°,同理可得，N4=1/A尸]x^x。，

NNA2=；xgxg尤。，...，ZA2022-,n77X°,故選：C.

222222U22

題型4：三角形的角度計算

24.（2022?浙江紹興）如圖，AB//CD,AE平分NBAC,且與C。相交于點E,若NC=50。，則NAEC的

度數為.

【詳解】解：因為-AB//CD,ZC+ZBAC=180°,又NC=50。，ZBAC=130°,1?AE平分NBAC,

:.ZEAC=^ZBAC=65°,.?./4￡。=180。-(/0+/￡4。=65。.故答案為：65°.

25.（2022,江蘇無錫）將一副三角板（含30。、45。的直角三角形）如圖擺放，則圖中N1的度數為.

【詳解】解：由三角形的外角性質得：N1=30。+90。=120。.故答案為：120。.

26.（2022年江蘇）一副三角板如圖放置，ZA=45°,ZE=30°,DE//AC,貝

【詳解】解：如圖，DE//AC,：.Z2=ZA=45°,ZE=30°,"=90。，:.ZD=6Q°,

Z1=Z2+ZD=45°+60°=105°,故答案為：105.

27.（2022?江蘇?江陰）把一副常用的三角板如圖所示拼在一起，點B在AE上，那么圖中1

【詳解】解：「NBAC=45°,ZBCA=60°,ZABC=180°-(ZBAC+zBCA)=75°.故答案為：75.

28.(2022?江蘇?江陰)如圖，已知AABC中，AD±BC^D,AE■平分NBAC,N2=80。，NC=40。，則

ZDAE=度.

【詳解】解：：zB=80°,ZC=40°,ZBAC=180°-ZB-ZC=180--80o-40o=60o,：AE平分NBAC,

：.ZBAE=^CAE=^BAC^30°,'：ADrBC,：.AADB=90°,AB+ABAD=90°,：.ABAD=10°,

：.ZDAE=NBAE-NBAD=30O-10°=20°,故答案為：20.

29.(2018?山東德州)如圖，在AABC中，ZB=40°,ZC=80",A。是3C邊上的高，AE平分N8AC,

(1)求NA4E的度數；(2)求NZME的度數.

【詳解】解：(1)1,在AABC中,ZABC=40°,ZACB=80°,ZBAC=180°-40o-80o=60o,

,/AE平分NBAC,：.ZBAE=30°；

(2),.-AD是AABC的高,；.ZADB=90°,ZBA￡>=180°-90°-40°=50°,ZDAE=ZBAD叱BAE=50°-30°=20°.

30.(2021?北京)如圖，在.ASC內，AD是2c邊上的高，BE平分ZABC交AC邊于E,Zfi4C=60°,

ZABE=25°,求NZMC的度數.

【詳解】解：的平分ZABC,ZABE=ZCBE=|ZABC,ZABE=25。,

ZABC=50°,AD是2C邊上的高，..ZADB=90°,則在△A5O中，

4AD=90°-ZABD=9()o-50o=40。，NDAC=NBAC-/BAD,ZBAC=60°,

,-.ZZMC=60°-40°=20°.

E

BDC

31.(2020?黑龍江)如圖，已知/A=20。，ZB=27°,AC±DE,求NLN。的度數.

【詳解】AC±DE,ZAPE=90°.rN1是△AEP的外角,/.Z1=ZA+/LAPE./ZA=20°,

：.Zl=20°+90o=110".在ABDE中,Z1+ZD+Z8=180°,;N8=27°,

：.Z0=180°-110°-27°=43°.

32.（2021?湖北）如圖，在ZkABC中，ZA=40°,N8=76。，CE平分NACB,CQ_LAB于點O,DFLCE于

點、F,求NC￡＞尸的度數.

【詳解】解：N4=40°,Z8=76；ZACB=180°-40°-76°=64°,rCE平分NACB,：.ZACE=ZBCE=32°,

：.ZCED"A+ZACE=72°-：CDrAB,DFrCE,zCDF+ZECD=NECD+ZCED=90°,ZCDF=4CED

=72°.

33.如圖，A。是△ABC的高，AE,3尸是△ABC的角平分線，它們相交于點O,ZBAC=60°,NC=70

(1)求/CA。的度數.(2)求/BOA的度數.

【解答】解：⑴"：AD±BC,：.ZADC=90Q,VZC=70°,AZCAD=180°-90°-70°=20°；

（2）VZBAC=60°,ZC=70°，：.ZBAO=30°,ZABC=50°,TB/是NA3C的角平分線,

/.ZABO=25°,AZBOA=1SO°-ZBAO-ZABO=180°-30°-25°=125°.

題型5：8字模型

34.（2021?黑龍江）如圖，NA=NO=90°,若NB=31°,則/OCE=

【詳解】解：：ZB=31°,ZA=90°,ZDCE=ZACB=90°—N8=90°—31°=59°故答案為：59

35.（2022?重慶）如圖，已知Nl=135°,貝INA+/B+NC+/D+NE+N/=度.

【詳解】解：連接8C,?；ZA+NO+N3=ZACB+ZD3C+N2=180。，N2=N3,

：.ZA+ZD^ZACB+ZDBC,

：.ZA+ZD+NEBD+ZACF=ZACB+NDBC+ZEBD+ZACF=NFCB+ZEBC.

：N1=/E+/F=/FCB+NEBC,：.ZA+ZD+ZEBD+ZACF^Zl.'：Z1^135°,

：.ZA+ZEBD+ZACF+ZD+ZE+ZF=2Z1=270°.

故答案為：270.

36.如圖，AE是NBA。的平分線，CE是NBC。的平分線，且AE與CE相交于點E.若N0=40。，ZB

=30。，則NE的度數為.

D

C

E

BN-------*4

【詳解】解：,??AE是NA4D的平分線，CE是的平分線，，NDAE=/BAE=g/DAB,

NDCB=NDCE=gNDCB,-：zD=40°,N2=30。，ND"DCB=ZB"BAD①，：.4BAD-ZDCB=10。,

:.NDAE-NDCE=5。,:ND+NDCE=NE+NDAE②,由①+②，得：2ND+NDCB+NDCE

=ZE+ZB+ZBAD+ZDAE,80°+3ZDCE=30°+NE+3ZDAE,/.50°-3(ZDAE-ZDCE)=NE,

：.Z￡=35".故答案為：35。.

37.（2022?山西呂梁）如圖，已知CBII8,37和C。分另1平分NR4F和/DCE,若NAEC=57°,ZAFC=63°,

則NBAF的度數為.

AB//CD,AB//CD//FG,ZDCF=LGFC,ZBAF=NGFA,/CF平分NDCE,

設NDCF=NFCE=X,則NGFC=X,ZGFA=NAFC-Z.GFC=63°-X,：.ZBAF=ZAFG=63°-x,

在△Cf'H中，ZC//F=180°-ZFCE-ZAFC=18O°-x-630=117°-x,rAE平分NBAF,

63°-x63°-x63°_y

ZBAE=NEAF=------,在AAEH中，NE/M=180°-ZEAH-AE=180°------------57°=123°-----------,

222

63。一x

/ZEHA=AFHC,：.117°-x=123°-——,解得：x=Yl°,：.ZBAF=63O-17O=46°,故答案為：46°.

38.(2020?安徽)如圖①，已知線段AB,CD相交于點O,連接AD,CB,我們把形如圖①的圖形稱之為"8

字形如圖②，在圖①的條件下，NDAB和NBCD的角平分線AP和CP相交于點P,并且與CD,AB分

別相交于點M,N,試解答下列問題：

⑴在圖①中，請直接寫出NA,ZB,ZC,ND之間的數量關系;

⑵在圖②中，若ND=40。，NB=36。，試求NP的度數；

⑶如果圖②中ND和NB為任意角時，其他條件不變，試問NP與ND,NB之間存在著怎樣的數量關系（直

接寫出結論即可）.

①②

【答案】(1)ZA+ZD=ZB+ZC；(2)38°；(3)2ZP=ZB+ZD

【詳解】解：(1)在△AOD中，ZAO￡>=180°-ZA-ZD,在，3OC中，ZBOC=180°-ZB-ZC,

ZAOD=ZBOC(對頂角相等)，.?.1800-ZA-ZD=180°-ZB-ZC,.?.NA+ND=NB+NC；

(2)QZD=40°,4=36°,ZOAD+40°=ZOCB+36°,:.ZOCB-ZOAD=4°,

一11

AP.C尸分另是/DAB和NBCD的角平分線，.-.ZDAM=-ZOAD,ZPCM=-ZOCB,

又iZDAM+ZD=ZPCM+ZP,ZP=+ZD-NPCM=；(NOAD-NOCB)+NO=38°；

(3)根據"8字形"數量關系，ZOAD+ZD=ZOCB+ZB,ZDAM+ZD=ZPCM+ZP,

所以，ZOCB-ZOAD=ZD-ZB,ZPCM-ZDAM=ZD-ZP,

AP.C尸分另(J是/DAB和N3CD的角平分線，ZDAM=^ZOAD,NPCM=；NOCB,

：.^ZD-ZB)=ZD-ZP,整理得，2ZP=ZB+ZD.

39.（2020?河北?保定）圖1,線段AB、CD相交于點O,連接AD、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為"8字

形”.如圖2,在圖1的條件下，NDAB和NBCD的平分線AP和CP相交于點P,并且與CD、AB分別相交于

M、N.試解答下列問題：

（1）在圖1中，請直接寫出NA、NB、NC、ND之間的數量關系：；

（2）圖2中，當ND=50度，NB=40度時，求NP的度數.

（3）圖2中ND和NB為任意角時，其他條件不變，試問NP與ND、ZB之間存在著怎樣的數量關系.

【詳解】解(1)ZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=180°,ZAOD=ZBOC,/.ZA+ZD=ZC+ZB；

(2)由(1)得，ZDAP+ZD=NP+ZDCP,①NPCB+ZB=NPAB+ZP,②

???ZDAB和NBCD的平分線AP和CP相交于點P,ZDAP=ZPAB,ZDCP=ZPCB,

①+②得：ZDAP+ZD+ZPCB+ZB=NP+ZDCP+ZPAB+ZP,即2ZP=ZD+ZB=50°+40°,，ZP=45°；

(3)關系：2NP=ND+NB；證明過程同(2).

題型6：燕尾模型

40.（2018?云南?騰沖）已知：點。是△ABC所在平面內一點，連接A。、CD.

（1）如圖1,若NA=28。，ZB=72°,ZC=ll°,求NAOC；

（2）如圖2,若存在一點P,使得平分/ABC,同時尸。平分NAOC,探究/A,ZP,NC的關系并

證明；

（3）如圖3,在（2）的條件下，將點。移至/ABC的外部，其它條件不變，探究/A,ZP,NC的關

【詳解】（1）如圖1,延長AD交BC于E,

在AABE中，NAEC=ZA+NB=289+72*100。，在ADEC中，ZADC=ZAEC+ZC=1009+115=llie；

Z5=ZA+Z1,Z5=ZP+Z3,ZA+Z1=NP+Z3,,:PB平分NABC,PD平分NADC,

Z1=N2/3=N4,；.ZA+Z2=NP+Z4,由(1)知N4=N2+ZP+ZC,/.ZA+Z2=NP+Z2+NP+ZC

ZA—ZC=2ZP；

(3)ZA+ZC=2Z已理由如下:如圖3,

同(2)理知NA+Z1=NP+Z3/C+Z4=ZP+Z2,/.ZA+ZC+Z1+Z4=2NP+Z2+Z3,

PB平分NABC,PD平分NADC,=Z1=Z2/3=Z4,二Z1+Z4=Z2+Z3,，NA+ZC=2ZP

41.如圖(1),由三角形的內角和或外角和可知：在圖(2)中，直接利用上述的

結論探究：

①若AD、CD分別平分NOAB,ZOCB,且/0=80°ZB=120°,求/ADC的度數

②AD、CD分別平分/。48,ZOCB,猜想/O,ZABC,/4DC之間的等量關系，并說明理由.

【解答】解：①根據題意得：ZOAB+ZOCB=ZB-ZO=120°-80°=40°,

,：AD.CD分別平分NOAB,ZOCB,：.ZOAD+ZOCD=Ax40°=20°,

2

Z.ZADC^ZO+ZOAD+ZOCD=80°+20°=100°；

②由題意得：ZADC=ZOAD+ZOCD+ZO,ZABC=ZOAB+ZOCB+ZO,

?：AD.CD是/OAB、NOCB的平分線，：.ZBAD=ZOAD,ZOCD=ZBCD,

：.ZABC=2ZADC-ZO.

42.（2022?全國）如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學習用品一一圓規.我們不妨把這樣圖形叫做"規形圖",

那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？下面就請你發揮你的聰明才智，解決以下問題:

（1）觀察"規形圖"，試探究NBDC與NA、NB、NC之間的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖（2）,把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖⑴XZ恰好經過點B、C,若

ZA=50°,則NABX+ZACX=°；

②如圖⑶DC平分NADB,EC平分NAEB,若NDAE=50°,ZDBE=130°,求NDCE的度數；（寫出解答過程）

③如圖（4）,NABD,NACD的10等分線相交于點Gi、G2…、G9,若NBDC=140。,ZBGiC=77°,則NA

的度數=

【詳解】解：（1）連接AD并延長至點F,由外角定理可得NBDF=NBAD+NB,NCDF=NC+NCAD；

,/ZBDC=ZBDF+ZCDF,ZBDC=ZBAD+ZB+ZC+ZCAD.'.'ZBAC=ZBAD+ZCAD；

ZBDC=ZBAC+ZB+ZC；

(2)①由(1)的結論易得：NABX+NACX+NA=NBXC,「NA=50°,NBXC=90°,

ZABX+ZACX=90°-50°=40".故答案是：40；

②由⑴的結論易得NDBE=NDAE+NADB+NAEB,NDCE=NADC+NAEC+NA

?，-ZDAE=50°,ZDBE=130°,/.ZADB+ZAEB=