銳角三角函數綜合題拓展訓練（10考點65題）

目錄與鏈接

考點一、利用三角函數求最值....................................................2

考點二、一次函數與三角函數的綜合問題..........................................14

考點三、二次函數與三角函數的綜合問題..........................................26

考點四、反比例函數與三角函數的綜合問題........................................56

考點五、三角形與三角函數的綜合問題............................................69

考點六、四邊形與三角函數的綜合問題............................................86

考點七、圓與三角函數的綜合問題..............................................105

考點八、相似三角形與三角函數的綜合..........................................116

考點九、網格圖背景下的三角函數應用..........................................136

考點十、構造直角三角形求值..................................................144

考點一、利用三角函數求最值

I.如圖，在平面直角坐標系中，4（6,0）、40,8）,點C在y軸正半軸上，點。在x軸正半軸上，且

CD=6,以CO為直徑在第一象限作半圓，交線段N3于E、F,則線段E尸的最大值為.

2.如圖，在平行四邊形4BCD中，NC與AD交于點。，ZOAB=45°,ZABO=60°,BD=8.點、P仄B

點出發沿著2。方向運動，到達點。停止運動.連接的，點8關于直線相的對稱點為。.當點0落在/C

上時，則。2=,在運動過程中，點。到直線8。的距離的最大值為.

3.如圖，在ZUBC中，已知48=/C,/8/C=45。，。為直線8c邊上一動點，將線段繞點/逆時針

旋轉45。得到/E,連接8E,若3。=2,則班的最小值為

3

4.如圖，sinNNO6=5,點尸在射線08上，且0P=5,點。是射線CM上一動點.將/。沿折疊,

點。落在平面內點C處.點。在射線。4上，且00=2.5,則8的最小值為.

B0

P

5.在平面直角坐標系中，已知點/、2的坐標分別440)、8(0,2).以N8為斜邊在右上方作RtA/BC.設

點C坐標為(X/),則x+2〉的最大值為.

6.如圖，△ABC中，4B=/C=5,3C=8,。為2c中點，以3為圓心，3。長為半徑作。8,交4B與點

E.M為。8上一點，連接將繞/點順時針旋轉N2/C的度數，得線段4V、連接。/、BN.

備用圖

(1)求證：AABN咨AACM

(2)當點M與點。重合時，求證：4V與08相切；

(3)A^CM面積的最大值為.

7.綜合與實踐

問題：如何將物品搬過直角過道?

情境：如圖1是一直角過道示意圖,0、尸為直角頂點，過道寬度都是1.2m.矩形是某物品經過該

過道時的俯視圖，寬48為0.8m.

圖1圖2圖3

步驟動作目標

1靠邊將如圖1中矩形Z3CD的一邊4?？吭赟。上

2推移矩形ABC。沿SO方向推移一定距離，使點。在邊AD上

3旋轉如圖2,將矩形A8CD繞點。旋轉90°

4推移將矩形ABCD沿07方向繼續推移

操作:

探究:

(1)如圖2,已知3c=1.6m,<9Z)=0.6m.小明求得OC=lm后，說：“OC<1.2m,該物品能順利通過直角

過道”.你贊同小明的結論嗎？請通過計算說明.

3

(2)如圖3,物品轉彎時被卡住(C、8分別在墻面PQ與PR上)，若sin/C8P=w，求。。的長.

(3)請直接寫出過道可以通過的物品最大長度，即求8c的最大值__________.(結果保留根號)

考點二、一次函數與三角函數的綜合問題

8.如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線y=gx-3分別交于x軸、y軸于/、2兩點，一次函數了=履+6

的圖像經過點2和點C(4,l),與x軸交于點D

(1)求一次函數了=h+6的解析式及點。的坐標；

(2)求證：NOAB=NCAD；

(3)如果點P在射線AB上，且與A/DC相似，求點尸的坐標.

9.在平面直角坐標系xOy中(如圖)，一次函數圖像與反比例函數圖像相交于點4(-1,3)和8(3,0),點

>0)是該反比例函數圖像上的一個動點，連接/C,與y軸的正半軸交于點。.

?J

------------1--------------

(1)求一次函數解析式及△NOB的面積；

DC3

(2)當K=7時，求點。到x軸的距離；

AD2

(3)當。。與x軸夾角與/。48相等時，求a的值.

10.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，直線歹=6+2(左<0)交x軸于點C,交y軸于點8.

(1)求點8的坐標；

(2)如圖1,點A在第一象限，連接48、AC,44c8=90。，ZABC=60。,若點C的橫坐標為八點A的橫

坐標為d,求d與/之間的函數關系式(不要求寫出/的取值范圍)；

⑶如圖2,在(2)的條件下，在歹軸上取點尸(0,7),連接CR點￡為N8的中點，在y軸上存在一點G,

若NAGE=NCFO,且/G/E+/F3C=180°,求點E的坐標.

11.如圖，在平面直角坐標系中，已知點/(2,0)和點3(-1,3),點。(1,-1).

(1)求直線5。的表達式和線段N8的長度；

(2)連接線段2。、AD,求tan/48D的值；

(3)設線段2。與x軸交于點P,如果點C在x軸上，且△48C與“BP相似，求點C的坐標.

考點三、二次函數與三角函數的綜合問題

12.如圖，拋物線丁="2+樂+°(4<0)經過，(-1,0),5(3,-4)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式(用含。的式子表示)；

(2)連接AB,BC,若tanN48C=；,求。的值.

13.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線y^x2+bx(6是常數)經過點(2,0),點/、8均在

拋物線上，橫坐標分別為3-加，過點/作直線軸，過點B作直線軸，兩條直線相交于

點C,連結43、BC、AC.

(1)求拋物線y=/+云的解析式；

⑵當機=-2時，求tan/8/C的值；

(3)設點/的縱坐標為必，點2的縱坐標為％,當弘一y2<o時，求加的取值范圍；

(4)當△4BC的邊與坐標軸有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P為該拋物線上一動點.

①當點P在直線NC下方時，過點尸作尸￡||x軸，交直線NC于點￡,作刊7〃y軸.交直線/C于點尸，求

EF的最大值；

②若ZPCB=3/0CB,求點P的橫坐標.

15.如圖，已知拋物線了=/?2+"x+p與y=d+6x+5關于了軸對稱，與了軸交于點與x軸交于點A

和5.

^y^mx2+nx+p的解析式一，試猜想出與一般形式拋物線y=ax2+法+c關于"軸對稱的二次函數解析式

為一

(2)A,8的中點是點C,則sin/CW=_.

(3)如果過點M的一條直線與y=/wx2+〃x+0圖象相交于另一點N(a，6),a,。滿足/-。+加=。，

16.如圖，拋物線)=/+云+<:交x軸于點/(-3,0),點8(1,0)交丁軸于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，連接NC,8C,點尸為線段NC下方拋物線上一動點，過點尸作尸軸交/C于點。，過點。

3

作〃x軸交于點7/,求尸。+了。打的最大值以及點P的坐標；

(3)將二次函數沿射線/C平移一定的單位長度，使得平移后的拋物線過點(1,-4),記平移后的點C對應點為

C',連接C"點G為平移后新拋物線上一動點，若滿足N/C'G=N0C8,直接寫出符合題意所有點G的橫

17.新定義：對于拋物線>=辦2+瓜+°,若/=QC,則稱該拋物線是黃金拋物線，若拋物線歹=工2一2x+加

是黃金拋物線，與天軸交于點4頂點為。.

yk

1-

」」」」」」」」」??

-101X

-1■

(1)求：此黃金拋物線的表達式及D點坐標；

(2)點3(2㈤在這個黃金拋物線上.

①點C卜-在這個黃金拋物線的對稱軸上，求：/03C的正切值.

②在射線上找一點尸，使以點尸、/、。所組成的三角形與A/。。相似，求：尸點坐標.

18.如圖，在平面直角坐標系xQy中，以y軸正半軸上一點4(0,加)(加為非零常數)為端點，作與y軸正

方向夾角為60。的射線/,在/上取點3,使A3=4左(左為正整數)，并在/下方作48C=120。，

BC=2OA,線段/民OC的中點分別為。，E.

(1)當加=4,左=1時，直接寫出2,C兩點的坐標;

(2)若拋物線了=-友絲Wx+加的頂點恰好為。點，且。E=2g,求拋物線的解析式及此時

k+23(k+2)

cosNODE的值;

(3)當k=1時，記線段/民。。的中點分別為。，耳，當左=3時，記線段43,OC的中點分別為2，外，求直

線&區的解析式及四邊形。2月片的面積(用含m的代數式表達).

19.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，直線y=-x+4與X軸、了軸分別相交及c,拋物線

⑴求。和6的值.

(2)點尸是直線3C上方拋物線上任意一點，設點尸的橫坐標為人連接/C.四邊形/CPB的面積為S,求S

與t的函數關系式.

(3)點尸為拋物線上的一點，連接/C,當/尸8。+/4c。=45。，求尸的坐標.

考點四、反比例函數與三角函數的綜合問題

20.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=H+8與了軸交于點C,與反比例函數了=—在第一象限內的圖象

tanZBOC=^,則加的值是()

交于點B,連接05,若工℃=16,

C.40D.32

21.如圖，在RtA/O8中，兩直角邊0408分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，且tan/A4O=2,將

1?

繞點3逆時針旋轉90。后得到△HO6,若反比例函數>=一的圖象恰好經過斜邊的中點C,則

14

22.已知點A與點3分別在反比例函數》=((x>0)與的圖像上，且。4_LO8,貝Utan/840

24

—(x>0)

23.已知函數歹=*的圖象如圖所示，點P是y軸正半軸上一動點，過點P作夕軸的垂線交圖象于

——(x<0)

A,3兩點，連接。4、OB.若4403=90。，貝!|tan/=.

24.如圖，直線V=2x+2與V軸交于A點，與反比例函數>="(％>0)的圖象交于點",過M作軸

x

⑴求反比例函數表達式；

⑵點N(a,l)是反比例函數y=：(x>0)圖象上的點，在y軸上是否存在點尸，使得PM+PN最?。咳舸嬖?

求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由；

25.如圖，在平面直角坐標系中，直線>=2x+6與反比例函數y=勺的圖象交于/(-1,加)，8兩點，C

為反比例函數圖象第四象限上的一點.

備用圖

(1)求反比例函數的表達式及點5的坐標；

(2)當與△/0C的面積相等時，求此時點C的坐標；

(3)我們把對角線互相垂直且相等的四邊形稱為“垂等四邊形”.設點。是平面內一點，是否存在這樣的C,D

兩點，使四邊形"CD是"垂等四邊形”，且該四邊形的兩條對角線相交于點。，若存在,

求出C,。兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

26.如圖，一次函數y=G+2的圖象與反比例函數＞=與的圖象相交于/(切,4),8兩點，與X,y軸分別

X

相交于點c,D.且tan//CO=2.

(1)分別求這兩個函數的表達式；

(2)以點。為圓心，線段。3的長為半徑作弧與無軸正半軸相交于點E,連接4E,BE.求的面積;

(3)根據函數的圖象直接寫出關于x的不等式左x+2＞與的解集.

考點五、三角形與三角函數的綜合問題

14

27.如圖，在等邊三角形/8C中，。是A8上的點，連接C￡>,CD=~,P在CO上，連接

14I-

AP,ZAPC=120°fAP=2,若SABCD=>3，則tanNP/C=

28.如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內，直角頂點重合于C,點。在邊48上，NBAC=NDEC=30°,

EF

4c與DE交于點、F,連接4E,如果AD=1,ND=5,那么=

N/=60°,點。,￡分別是邊48,/C上一動點，連接成交直線CD于點尸.

(2)如圖2,若45=/C,且BD=AE,在平面內，將線段/C繞點C順時針方向旋轉60。得到線段，連

接板，點N是板的中點，連接CN.在點。，￡運動過程中，猜想線段班CF,CN之間存在的數量

關系，并證明你的猜想.

(3)若4B=/C,^BD^AE,將△4BC沿直線AB翻折至ZUBC所在平面內得到,點〃是心的中點,

點K是線段P尸上一點，將△尸沿直線翻折至△P/K所在平面內得到△。上次，連接PQ.在點￡),E

運動過程中，當tan//PK=去，且。KC尸時，請直接寫出罷的值.

73BC

30.如圖，△4BC中，AB=AC=3,BC=4.動點尸、。分別從點A、C同時出發，點P以每1個單位長

度的速度沿NC向終點C運動，點。沿折線C2-A4向終點A運動，在CB上的速度為每秒2個單位長度，在

A4上的速度為每秒3個單位長度，連結尸。.設點的運動時間為，卜乂/>0).

(1)用含t的代數式表示2。的長.

(2)求點A到邊8c的距離.

(3)cosZACB=.

(4)當NCP0W9O。時，以尸。為對角線作矩形尸￡0尸，且點E在NC邊上，當=時，求t的值.

31.ZX/BC中，8c=12,。、石分別在"a4C上，NACB=NADE,連接DC,作NMEN=NDCB交DC千

M,交BC于N,EN交DC于O.

⑴如圖1,AB=AC,BD=2AD,DC=IO.

①求/DC3的正弦值；

②若。M:MO=7:18,求DW；

(2)如圖2,/MEN=/ABC=45。,EC=&E,連接MN,若四邊形MNCE為梯形，請直接寫出DM的長.

考點六、四邊形與三角函數的綜合問題

32.如圖，點E為正方形N3CD對角線/C上一點，連接DE,作E尸，。￡,交8C于點尸，作BHLEF交

CD于點、H,垂足為G,若BF=FC,GF=l,則。H的長為.

33.如圖，已知在矩形/BCD中，E是4B上一點，連接CE,將ABCE沿CE翻折，使3落到廠處，延長E尸

交CD延長線于G.

⑴求證：EG=CG.

（2）若BC=8,tan/BEC=2,則GF的長為.

34.數學活動課上同學們進行探究活動，先將兩個相似的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后

將其中一個三角形紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質.

【初步感知】（1）如圖1,在ZUBC和△極）中，若——=——=-,/BAC=/EAD=a,連接班、CD,

一ACAD2

BE

直線BE、CD相交于點K,試探究五=,ZBKC=；

A/?1

【深入探究】（2）如圖2,NA4C=NE4Q=90。，點￡為線段3C上一點（不與點3重

ACAD3

1CD

合），連接CD,若tan/A4E=彳，探究二的值；

2ED

【拓展創新】（3）如圖3,在△/3C中，AC=BC=S,點。為2c邊上的動點，過點。作射線使

/ADH=/ACB.當點。運動到3c邊中點時，射線。H交48于點N,此時空=：.過點A作4GJ_N。

AN3

交射線?！庇贕,在點。從C運動到2的過程中，求折線GZ。掃過的面積.

35.小明和小剛走進教室，跟隨李老師探究“矩形折疊中的相似三角形”問題.請你一同作答：如圖，已知在

矩形4BC。中，48=4,BC=6,點E為邊4B上一點(不與點/、點8重合)，先將矩形4BCD沿CE折

疊，使點8落在點尸處，C尸交4D于點

(1)觀察發現

寫出圖1中一個與A/EG相似的三角形：

(2)遷移探究

當C尸與的交點〃恰好是的中點時，如圖2.求陰影部分的面積.

(3)拓展應用

當點B的對應點尸落在矩形48co的對稱軸上時，求BE的長.

36.如圖，在矩形/BCD中，點、E為邊DC上一點、,將△4DE沿4E翻折，使點。恰好落在邊上的點

F.

(1)如果48=26,/。=4,求EC的長;

(2)如果AE-DE=2EC,求tanNBAF+tanNFAE的值.

37.如圖，在菱形48C。中，48=10,AD為對角線，點E是邊22延長線上的任意一點，連結DE交8C

于點凡BG平分NCBE交DE于點、G.

(1)求證/。86=90。；

(2)若BD=n,DG=2GE,求tanZBDE的值.

(3)若BE=AB,當/D4B的大小發生變化時(0。</。48<180。)，在/E上找一點T,使GT為定值，說明理由.

38.在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動.

(1)操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙ABC。和CEFG拼成形圖案，如圖①.試判斷：△NCF的形狀為.

(2)深入探究

小紅在保持矩形/BCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉，若/B=2,AD=4.

圖②圖③

探究一：①若矩形CEFG繞點C順時針旋轉，當點尸恰好落在AD的延長線上時，設CG與。尸相交于點”,

如圖②，求ACMF的面積.

探究二：②若矩形CEFG繞點C逆時針旋轉俏。，邊CG與邊4D交于點、M,連接當

/8MC+//MC=180。時，如圖③.請直接寫出用的值.

考點七、圓與三角函數的綜合問題

39.如圖，ON經過坐標軸的。、C、D三點,C（4,0）、￡＞（0,3）,5。是的一條弦，貝UsinNOAD的值為

40.如圖，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，4、B、。是小正方形頂點，。。的半徑為1,P是

。。上的點，且位于右上方的小正方形內，貝Ijsin//P5等于（）

A.走B.—C.-D.1

222

41.如圖，己知。。經過△/BC頂點N、B,交3C邊于點。，交/C邊于點￡

2

（2）如果點Z是弧540的中點，8D=8,AC=\2,sinC=-,求。。的半徑.

42.如圖，。是。。的弦3C的中點，A是劣弧數上一點，半徑CM與線段5C交于點E,已知04=7,

BC=10.

A

B.

D

⑴求線段。。的長；

⑵當0￡:5E=5:4時，求NOED的余弦值.

43.C3為。。的直徑，弦N2LC。，垂足為尸，E為弧CD上一點，ZAEB=2ZEAB,連接3C交/E于

點G.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AEA.BC；

(2)如圖2,連接CE,過點A作/aLCE,垂足為H,交8C于點求證：MG=BG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DW,GO,若NDMB=ZOGC,BE=4,求。尸的長.

44.如圖，。。為△N8C的外接圓，弦CC/5,垂足為E,直徑8尸交8于點G,連接/尸，AD.若

4B=AC=5,BC=2也.

之

(1)證明：四邊形NOG廠為平行四邊形；

(2)求矍的值；

⑶求sinNC4。的值.

45.如圖，在。。中，48是直徑，CF是N/C2的平分線，分別交48于點E,于點尸，點D在加的

延長線上，連接/C,CD,DC=DE.

⑴求乙4c尸的度數.

(2)求證：DC是OO的切線.

(3)連接4月，過點、E作EH14尸于點,H,若4。=3,tanNEFH=g,求斯的長.

考點八、相似三角形與三角函數的綜合

46.如圖，已知在△48C中，點。是2C邊上一點，且48=40,點￡是4。邊上一點，MZEBD=ZC.

12

(2)若cosZ.EDB——,tanC=—,求BD:BC的值.

47.如圖，在矩形45co中，￡是邊CD的中點，連接班，過點A作//，5￡于點尸，交邊BC于點、G,

連接。咒.給出下面四個結論：

①AABFS^BEC.

②在不添加輔助線和其它字母的前提下，圖中相似三角形只有6對.

③若BF=1,AF=3,則AD=gV10.

④若絲=*,貝lJtan//ED=*.

AB42

上述結論中，正確結論的序號是.

48.【問題引入】如圖1,等邊△4BC,。為5C邊上一點，￡為4c邊上一個點；且44?！?60。，求證:

Z\ABDS/\DCE.

［模型運用】如圖2,在/\ABC中，/C=60。，。為4c邊上一點，連接5。且ZABD=60°,已知BC=6,AD=7,

求CD的值.

3

【能力提升】如圖3,在△45。中，。為/。邊上一點，連接AD且N/m=NC=a,tan?=-,且

4

ADm,直接寫出窘的值.

CD

圖I圖2圖3

49.△/2C中，BC=\2,D,E分別在4B,AC±,ZACB=ZADE,連接DC,作NMEN=NDCB交DC

①求/DC5的正弦值;

②若DW:MO=7：18,求DM；

(2)如圖2,NMEN=NABC=45°,EC=夙E，連接MN,若四邊形"NCE為梯形，請直接寫出DM的長.

50.已知：正方形N3C。的邊長為4,點E為2c邊的中點，點P為48邊上一動點長，沿尸E翻折AAPE得

到△FPE,直線尸產交8邊于點。，交直線ND于點G.

備用圖

(1)如圖，當8尸=1.5時，求C。的長；

(2)如圖，當點G在射線4。上時，設8P=x,DG=y,求了關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍;

(3)延長E尸交直線ND于點27,若叢CQEs^FHG,求8P的長.

51.如圖，四邊形/5CD中，ZA=ZB=90°,AD=\,AB=2,BC=3.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，P為邊上的一動點，點。是CD的中點，則0P的最小值是

(2)如圖②，若尸為42邊上一點，以PD,尸C為邊作平行四邊形尸C。。，請問對角線尸。的長是否存在最小

值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.

(3)如圖③，若尸為DC邊上任意一點，延長尸4到E,使4E=nP4(〃為常數)，以PE、依為邊作平行四

邊形尸請探究對角線P。的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理

由.

考點九、網格圖背景下的三角函數應用

52.如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1,點/,B,C都在格點上，則/4BC的正切值是

53.如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，兩條網格線的交點叫格點，△NBC的頂點/、

8、C都在格點上，僅用無刻度的直尺，在網格中完成畫圖.

(1)在48邊上畫出點。，使tanaBC。=0.5；

(2)在(1)條件下，A4CD面積是.

54.在如圖的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1,點N、3在小正方形的格點上，在圖1,圖2中各畫

一個三角形，滿足下列要求：

(圖1)(圖2)

(1)在圖1中畫一個RtZ\A8C,點C在小正方形格點上，且A/BC的面積為5；

(2)在圖2中畫一個使A/BE中有一個角為45。，點￡在小正方形格點上，且AABE的面積為3,請

直接寫出sinN4的值.

55.圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網格，每個小正方形的邊長為1,每個