重難點12利用導函數研究極值點偏移

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預測

極值點偏移問題主要作為導數壓軸題型出現，側重考直函2025年極值點偏移問題預計將作為導數綜合題的難

數零點分布與不等式證明。題目常結合對數、指數函數或點，可能結合函數零點、不等式證明等考點，側重考

含參方程設計，此類問題難度較高，多出現在卷末以區分有對稱化構造(如差函數或比值代換)與代數變形能

數學思維層次。力。題型可能延續乘積型、商型偏移，并融入實際應

用背景或創新性設問(如拐點偏移變形)，同時強化

對“二次求導+極值點分析”邏輯鏈的深度考查

重難點題型解讀

加法不含參型

利用導函數研

究極值點偏移

加法含參型乘法不含參型

X,-x,/(x)-/(x,)

極值點偏移的判斷：根據極值點偏移的定義可知：當題干中出現苞+%，、^，一上_」等條件而求證

4[工2X]X-2

i

不等式成立的時候，即可視為極值點偏移考察

I

極值點偏移的常用方法：

①對稱構造法

若已知函數/(X)滿足/(%)=/■(%),%為函數/(X)的極值點，求證：尤1+%2<2%0.

(1)討論函數/(X)的單調性并求出/(幻的極值點X。；

假設此處/(X)在(7，%)上單調遞減,在(公,笆)上單調遞增.

I

(2)構造F(x)=f(x0+x)~f(x0-x)；

注：此處根據題意需要還可以構造成F(x)=/(%)-/(2x0-x)的形式.

(3)通過求導廣(x)討論/(幻的單調性，判斷出廠(左)在某段區間上的正負，并得出/(%+x)與

/(%-x)的大小關系；

假設此處F(x)在(0,+oo)上單調遞增,那么我們便可得出F(x)＞F(x0)=f(xo)-f(xo)^O,從而得到：

ii

X〉。時，f(x0+x)＞/(x0-x).

(4)不妨設再＜X。＜々,通過f(x)的單調性，/(%))=/(X,),/(/+X)與/(%-X)的大小關系得

出結論；

ii

接上述情況，由于X〉/時，/(/+X)＞/(%-X)且//%,/(%1)=/(jr2),故

/(七)=/(々)=/[%+(%-%0)]＞/[工0一(々一/)]=/(2%—9)，又因為看＜%,2。一々＜/且

ii

/(%)在(~°0,%0)上單調遞減，從而得到再＜2%0-x2,從而再+々＜2%0得證.

1?

ii

(5)若要證明[(土手)＜0,還需進一步討論土芋與X。的大小，得出五詈所在的單調區間，從

222

ii

而得出該處函數導數值的正負，從而結論得證.此處只需繼續證明：因為王+々＜2%,故與強＜x°,

2

ii

由于/(x)在(7,X。)上單調遞減，故f(五4三)＜0.

j2

②差值代換法

ii

差值換元的目的也是消參、減元，就是根據已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點之

II

差作為變量，從而實現消參、減元的目的.設法用差值(一般用f表示)表示兩個極值點，即/=石，化

為單變量的函數不等式，繼而將所求解問題轉化為關于f的函數問題求解.

③比值代換法

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點的

ii

比值作為變量，從而實現消參、減元的目的.設法用比值(一般用/表示)表示兩個極值點，即/=土，化

X2

為單變量的函數不等式，繼而將所求解問題轉化為關于，的函數問題求解.

*"±T^TATXTATXTATATATXTXT4iTATXTXTXTXT±TXTXT±TXTXTXTATATXTXTATJLTXTATATXTXTATXTXT4iTXTXT±TXTXTXT^TATXTJiTXTATXT^,rXTATXTATAT±TATdiTATATATXTJiTXTJiTATJiTJiTATXTATJLTXTlA

題型1加法不含參型

蒼蒜SS5S灌薇贏記…懿鬲藪7(5二以㈣-＞0)-

⑴若恒成立，求機的取值范圍；

⑵若/'(x)有兩個不同的零點花,》2，證明玉+%＞2.

【答案】⑴(0,e]

(2)證明見解析

【詳解】(1)首先由機＞0可知"X)的定義域是(0,+8),從而/(x)=ln(/nx)-x=lnx-x+ln機.

11_r

故((x)=—x=—1=-------,從而當0<x<1時/'(x)>0,當x>l時/'(x)<0.

故〃龍)在(。,1)上遞增，在(1,+。)上遞減，所以“X)具有最大值=

所以命題等價于ln〃2-l40,即We.

所以加的取值范圍是(。,4.

(2)不妨設須<々，由于“X)在(0』)上遞增，在(1,+<?)上遞減，故一定有。(為<1<%.

在一1</<1的范圍內定義函數0(。=/(1+。一/。一。.

則p?)=尸(1+。+/(1_。=號+匕=舌>0,所以單調遞增.

這表明f>0時°(/)>2(0)=/(1)_/(1)=0,即/(l+r)>/(l_r).

又因為/'(2—占)=/(1+(1—占))>/(1_(1一占))=/(占)=0=/(xj,且2-再和馬都大于1,

故由/(X)在上的單調性知2-再</，即%+%>2-

2.(2024?湖南郴州?模擬預測)已知函數/(x)=2alnx+；x2-5+2)無，其中。為常數.

⑴當。>0時，試討論f(x)的單調性；

⑵若函數有兩個不相等的零點為，/，

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：為+馬>4.

【答案】(1)答案見解析；

(2)(i)」一<a<0；(ii)證明見解析.

ln2-l

【詳解】(1)由題設r(x)=2+x_(a+2)=x2—(a+2)x+2a=Q2)(xa),且xe(0,+s),

XXX

當0<”2時,在(0,〃)上/8)>0,在(。,2)上r(x)<。，在(2,+s)上/(x)>0,

所以，在(0,々)、(2,+⑹上/(x)單調遞增，在以2)上/Xx)單調遞減;

當〃=2時，在(0,+8)上/'(九)之。恒成立，故/(無)在(0,+8)上單調遞增；

當〃〉2時，在(0,2)上尸(%)>0,在(2,a)上/(%)v0,在3,口)上/'(%)>0,

所以，在(0,2)、3,內)上/(%)單調遞增，在(2,々)上/(%)單調遞減.

(2)(i)由/(2)=2aln2+Jx22-(a+2)x2=2(aln2-a-l)<0,

若〃〉0時，f(a)=一(。+2)。=葭(41口〃一。一4),

44—〃

令y=41na—〃—4且。>0,貝仃'=一一1=------,

aa

所以0<〃<4時V>。，">4時：/<0,

故y=41na-q-4在(0,4)上遞增，在(4,+8)上遞減，貝ljy1nM=81n2-8<0,

所以/(a)<0,

結合(1)中/(x)的單調性，易知a>0不可能出現兩個不相等的零點，

又a=0時，〃X)=；X2-2X在(0,+◎上只有一個零點，不滿足，

所以。<0,止匕時，在。2)上尸(x)<0,在(2,+co)上y'(無)>0,

故在(0,2)上/⑺單調遞減,在(2,+8)上/(x)單調遞增，則穴心=〃2)=2(。1112-"1),

又x趨向于0或負無窮時，/(x)趨向正無窮，只需gm)=a(ln2-l)-l<0成立，

顯然g(。)在(F,0)上遞減，且當a=「L_時g(a)=0,

ln2-l

所以，一］—<。<0時g(a)<0恒成立，即所求范圍為一］—<。<0；

In2-1In2-1

(ii)由(i),在，)，<a<0時,/(x)存在兩個不相等的零點玉,尤2，

In2-1

不妨令0<玉<2<%2，要證玉+%>4,即證入2〉4一再，而4一玉￡(2,4),

由⑴知：在(2,+8)上單調遞增，只需證—玉)</(%)=/(玉)=0,

由2〃lnx,+耳片一(〃+2)玉=0,則xf一4%=2〃(再一21nxJ

令"(%)=/(4—%)—/(%),且0<x<2,

則h(x)=2〃ln(4—x)+—(4—x)2—(a+2)(4—x)—2〃Inx——x2+(a+2)x

=2aln(4—x)—2a\nx—4a+2ax,

(x-2}2

所以，在(0,2)上〃(冗)=—2〃?二，>0,即%(%)在(0,2)上遞增,

x(4-x)

所以/z(%)</z(2)=2aln2—2aln2—4a+4a=0,即/(4—司)v/(玉)=/(%)成立，

所以玉+Z〉4,得證.

【點睛】關鍵點點睛：第二問，首先利用第一問及其零點個數將參數范圍限定在。<0,進而利用導數研究

其最值求范圍，再令。<玉<2<%，將問題轉化為證/(4-%)</(再)是關鍵.

3.(2023?貴州畢節?模擬預測)已知函數/(x)=(2x+a)lnx-

(1)當時，/W>0,求〃的取值范圍.

-1

(2)若函數7(%)有兩個極值點斗尤2，證明：x,+x2>2e?

【答案】(1)［L”)

(2)證明見解析

【詳解】(1)當xNl時，Ax)對o-3：一二11.在x21恒成立,

3+lnx

3x-2xinx

令g(%)=xe[l,+oo),

3+lnx

—(3+21nx)lnx

<0

則g'(x)=(3+lnx)2-

函數g(x)在[L+8)上單調遞減，

，g(x)〈g⑴=1,

的取值范圍是[L+00).

(2)函數/(%)=(2x+a)ln%-3(%-a),a>Q.

e\2%+a日CIa_a+2x\nx-x

貝I]f(x\=21nx+-------3=21nx+——1=-------------,

XXX

?「函數/(%)有兩個極值點4，%，

=0有兩個正實數解o方程〃=%_2xlnx有兩個正實數解=函數y=〃與函數/i(x)=x-2%lnx,

了￡(0,y)的圖象有兩個交點.

7z'(x)=l-2-21nx=-21nx-l,令〃(X)=0,解得x=

11

當0<%〈7時”(x)>o,則單調遞增，當X>7時”(%)<0,則力(X)單調遞減,

Veve

函數心)的極大值即最大值為小41=2.

又0<%〈十時Mx)=x(l_21nx)>0,且當X.0時,%(%)-0,又力(6)=0,

2

0vav-產

不妨設°<$<~^J=<*2，

、--2―1『7z(%2)<~廣—玉]//(F)</z(-2產—X]

要證明玉+%2>2e2o/>7=—再>

令F(x)=h^x)-h\x=九一2尤Inx一xIn=0.

所以p(x)=l_21nx—2+1—21n

2即戶美時取等號,

當且僅當光=如一%

；?函數F(x)在xe0,〒單調遞增,

尸［力=0,F(x)<0,即咐)<4亍-xj,

因此%+x2>2e5成立?

【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為

不等式恒成立問題.注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的

單調性、極(最)值問題處理.

4.(2024?遼寧?模擬預測)已知函數〃x)=e'-62(°>0).

2

⑴當。=此時,判斷在區間(L+s)內的單調性;

(2)若/'(x)有三個零點號,馬，三，且毛<%<三.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：玉+%+$>3.

【答案】⑴在(L2)上單調遞減，在(2,收)上單調遞增

⑵(i)ae［1,+<?］；(ii)證明見解析

222

【詳解】(1)當4=1時，/(x)=e，一fr(x)-e%一~~X9

22

令g(x)=r(.x)=e-*x,g〈x)=e:5，

22

令g'(x)=1-耳=0,可得x=Inm=2-ln2,

則當x?l,2—ln2)時，g'(x)<0,當xe(2-ln2,”)時，g'(x)>0,

即g(x)在(L2-ln2)上單調遞減，在(2-ln2,田)上單調遞增，

2

Xg(l)=r(l)=e-^<0,8出=八21—e?=。，

故當xe(l,2)時,r(x)<0,當x?2,同時,r(x)>0,

故在(1,2)上單調遞減，在(2,日)上單調遞增；

(2)(i)/(X)有三個零點，即e*-依2=0有三個根，

e》一

由尤=0不是該方程的根，故a=r有三個根芯,々,鼻，且不<龍2<%，

X

故當xw(ro,0)_(2,+00)時，/zr(x)>0,當無￡(0,2)時，

即力(同在(F,0)、(2,+o))上單調遞增，在(0,2)上單調遞減，

22

/z(2)=1r=?,當xf-s時，,%.0-時，/z(x)f+oo,

當X.0+時，M%)一+00,Xf+CO時，%(%)—+00,

故ae15，+oo］時，。=持有三個根；

-12

e1e

(ii)由〃(x)在(Y?,0)上單調遞增，〃(-1)=(^=壺<］，故不>-1,

x

eie巧已為

由⑴f>TW—=—=—=?且一1<%i<0<W<2<%,

玉x2x3

即只需證/+退>4,設，=2>1,貝|］斗=々匕

X2t

e與e即有〃=e%(T,故Zln/uwa-l),馬=誓,

則有若=帚

2t\nt21nl2t\nt_2(Z+l)lnZ

則=即x+x=

t-123t-1t-1t-1

即只需證一^----——>4o----——>2oInt——---->0，

t—1t—1/+1

令M%)=lnx—2(x：)(

x>l),

則〃,⑺w2(x+l)-2(尤-1)(x+1)--4x(x-1)-

>。恒成立,

(x+l『x(x+l)~x(x+l)~

故〃(x)在(1,內)上單調遞增，

則〃(x)>〃(l)=lnl—。=。，即得證.

【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的一般題設形式：

1.若函數f(x)存在兩個零點再,無2且占片/，求證：xl+x2>2x0(X。為函數/(x)的極值點);

2.若函數/(x)中存在占,％2且工產々滿足/(當)=/(々)，求證：xi+x2>2xo(/為函數/(x)的極值點);

3.若函數/⑺存在兩個零點不々且x產馬，令七="逗，求證：/伍)>0；

4.若函數“X)中存在占,無2且5產/滿足/(%)=/(%),令無。=土產，求證：/(^)>0.

5.(2023?山西?模擬預測)已知函數〃x)=lnx-a4+l,aeR.

⑴若〃x)W0,求。的取值范圍；

⑵若關于X的方程/(d)=em-er2有兩個不同的正實根4%,證明：玉+%>2疵.

(2)證明見解析

【詳解】(1)“X)的定義域為(0,+8),

由/(無)=lnx—々6+14。，得。］

、「/、lnx+1…，/、1-lnx

設g(x)=一^,貝！|8(力=「^

7x2x7x

由g'(x)＞。，得0＜x＜e,由g'(x)＜。，得了＞e,

則g(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+“)上單調遞減，

從而g(X)max=g(e)=2^?

e

故aN暹,即。的取值范圍是12園,+力.

eLe)

(2)證明：由/1)=y-前2,得1次_依+1=y-6%2,

即ex?+In(ed)=e(11+辦，即e"g)+In{ex1)=e111+ax.

設尸(x)=x+1,則9胭)+In(e?)=*+辦等價于川In(ef))=尸卬).

易證尸(x)在R上單調遞增，則辦=ln(ed),即〃=1±a竺

l+21nxl-21nx

設〃(%)=則〃(%)=

xx2

由〃(x)>0,得0<》<五，由〃(x)<0,得x>瓜,

則力(X)在(0,向上單調遞增，在斜,+8)上單調遞減,

當x趨于+8時，G(x)趨于0.

方程/(/)=y-族2有兩個不同的正實根X1,尤2,不妨設玉<馬,

1/—2

由圖可知，—7=<^i<A/C<x,0<ii<-j=.

Ve2，e

設G⑺=2警V1）,G（g*>。,

則G⑺在(1,+e)上單調遞增.

因為G（1）=O,所以G（f）>0,BPln/-^^>0.

設七三>1,則ln&-2-^^>0,

龍1再生■+]

再

即2(無2-無1)<111r叫,貝1J王<玉+%

%十%2lnx2-In%12

因為方程/-有兩個不同的正實根%,斗,

axx=1+21呻工2一%2

所以,作差得

lnx—1^a

ax2=1+2In/2

因為0<"白，所以卜正，所以4e氤>庭,

則占>薪,故石+9>26.

【點睛】本題屬于極值點偏移問題，通常處理方法有構造差函數借助單調性證明，或者合理代換將二元化

為一元問題，利用導數求解即可.

題型2乘法不含參型

1.(2023?24高三上?全國?階段練習)已知函數/荷=21nx+or(aeRj

⑴若〃x)WO在(0,+8)上恒成立，求a的取值范圍；

3

⑵設g(x)=x-/(x),XV*2為函數g(x)的兩個零點，證明：科2<1.

【答案】(1)(-應二］

e

⑵證明見解析

【詳解】（1）函數的定義域為（o,+8）,因為/（x）wo,所以。4一手；

^h(x)=--,//(無)一2-如x

XX

當X￡（0,e）,h\x）<0,為減函數；

當無?e,+oo）,hr（x）>0,人（無）為增函數;

所以〃(x)有最小值力仁)=-：7，所以a4-92,即a的取值范圍為(_雙_9$.

,InY

(2)證明:令g(x)=0,此時V——--?=0；

x

不妨設〃(x)=d-也-a,函數定義域為(0,+8).

X

2-21nx2(?+lnx-l)

h(x)=2x------——=-----7-----,

xx

令9（x）=/+ln.x-l,可得e'（x）=3尤2+4>0,

x

所以函數9（x）在（0,+8）上單調遞增，

又9⑴=0,當0<x<l時，（p{x）<0,刀（無）單調遞減;

當x>l時，雙龍）>。，〃（x）單調遞增；

不妨設不<々，

止匕時0<%<1<%，0<—<1.

%

因為〃（不）=。（Z）=0,、

2In—

=/z(x2)-/z^—

所以/7（%）-〃-d

1

令尸(%)=尤_4_21nMx>l),k(x)=]+-57_2=^^->0在(1，+°°)上恒成立，

%X2XX2

所以尸(x)為增函數，F(X2)>F(1)=0,所以〃(玉)一/?[▲]>(),即〃(％)>/71工

\X2J\X2

又因為〃（X）在（0,1）上單調遞減，所以。<項<，<1,故%%<1.

X2

【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有二個：一是恒成立問題，利用分類參數法求解，求解新函數的最

值即可；二是函數零點問題，把兩個變量轉化到同一個單調區間內，結合單調性可得結論.

2.(2024?廣東湛江?一模)已知函數/(x)=(l+lnx)e臉.

⑴討論〃元)的單調性；

(2)若方程/(力=1有兩個根4，3,求實數a的取值范圍，并證明：占%>1.

【答案】⑴在(0,1)上單調遞增，(1,+8)上單調遞減，

(2)見解析

【詳解】(1)由題意可得彳>。,」->0,所以4>0,

ax

/(x)=(l+lnx)elnax="In*的定義域為(0,+a),

〔/、

又((力=^-_-_a_x_—_(1l+2\nxYa一盤,由廣(％)=o,得％=i，

(ax)"收~

當0<x<l時，r(x)>0,則〃X)在(0,1)上單調遞增，

當%>i時，r(x)<o,則7?(》)在(i,+8)上單調遞減，

/八、.1+Inx1,1+lnx、乩/、1+lnx

(2)由-----=1,得ZF------=Q,設g(x)=------，

axxx

/Q；i+lnx)—Inx,由g'(x)=。，得x=l,

父㈤-x2x2

當0<x<l時，g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調遞增,

當x>l時，g'(x)<0,則g(x)在(1,+8)上單調遞減,

又g(「=0,g⑴=1,且當x趨近于正無窮，g(x)趨近于0,

1+In%_1+Inx2

證明：不妨設玉<々，則九2,

再x2

〃(x)=T^+lnx=W^nx20,所以外外在(。,+少)上單調遞增,

又％⑴=0,所以/i(xJ=g(xJ-gH]<0,即g(xj<g]:：

又g(%)=g(x2)，所以g(X2)<g]H,

又%>1,:>1，8⑺在a+⑹上單調遞減，所以%>：,

故公彳2>1.

【點睛】關鍵點點睛：(1)解此間的關鍵在于求出“X)的導數，并能根據導數的符號結合相關知識判斷出

單調性；(2)解此間的關鍵在于把中2>1轉化為g(%)<g［'］來證，又gG)=g(9),構造

〃(x)=g(x)-g］￡|,對〃(x)求導，得到力⑺的單調性和最值可證得g(x,)<g］一］即可證明玉%>L

3.(2023吃4高三上?江西撫州?階段練習)已知函數〃x)=(x+2)e"T

⑴求函數〃x)的單調區間；

⑵若方程〃力=》-2的兩個實數根互為相反數，求實數。的值；

(3)在條件(2)下，若函數g(x)=2e*-lnx-x-機-有兩個不同的零點尤1，%,證明：^x2<-.

【答案】(1)增區間是(一1),減區間是(一1,田)

(2)0

(3)證明見解析

【詳解】(1)〃尤)的定義域為R,

故尸(x)=e"T_(x+2)e"T=_(x+l)e”,

令尸(x)>0得x<-l,令/(x)<0得x>-L,

故函數〃x)的增區間是減區間是(-1,小)；

(2)(x+2產—x+2=0,即e"(x+2)—e*(x—2)=0,

設方程(x+2)e"—x+2=0的兩根分別是與和-尤。,

故6"5+2)_叫％-2)=0①，

a

e(-x0+2)-(-x0-2)=0,即e"e而(一X。+2)+(、+2)=0②，

a

由①-②可得：(e-l)[xo+2+(xo-2)e^]=O(3),

令g(x)=x+2+(x-2)e，，貝ijgr(x)=l+(x-l)ex,

令vv(x)=g'(x)=l+(x—，則wr(x)=xe%,

當%>0時，M/(X)>0,，(兀)=l+(x-l)eX單調遞增，

當％<0時，wr(x)<0,g〈x)=l+(x-l)e”單調遞減，

故/(x)=l+(x-1戶在1=0處取得極小值，也時最小值，

故/(%)之/(0)=1-1=0,即g(x)單調遞增，注意到g(O)=O,

故g(%)只有I個零點，即0,

當/=。時，由①可知：2e"+2=0,即e"=—l,無解，

故后w。，貝！Jg(%)w0,則有e。—1=0,解得。=0；

(3)由(2)可得/(%)=(%+2)，f(―^)=(—X+2)ex,

貝!Jg(x)=2ex-lnx-x-m-/(-x)=xex-lnx-x-m,

令g(%)=。得—In%—%—根=0,即ex+lnx—(inx-\-x)—m—0,

令1=x+lnx,貝U函數1=x+lnx在x￡(0,+oo)單調遞增，ZGR,

函數冢必有兩個不同的零點再，/，也即方程e'T=根在止R有兩根

其中％=In玉+玉心=In%2+々，

令p?)=e'-1,則p")=e，-l,

令p'Q)〉0,解得，〉0,令p'?)<0,解得才<0,

p(r)=e，-f在fe(-8,0)為減函數，在te(0,+oo)為增函數，

?.?M%n=P(°)=L又X->—00時，p(t)f+8；%f+8時，p3f+8,

G<0<*P(￡)=Pg，

號qQ)—p(t)—p(—f)—(e'—/)—(e'+%)=e'一er—2%,，>0,

則q(t)=e'+e、-222Gt.J一2=0,當且僅當f=0時，等號成立，

又r>0,故q'(f)>。恒成立，

q⑺在/e(0,+oo)單調遞增，；">o時，4⑺><7(0)=0,

由，2>。得觀幻=P(4)-p(W)>0,即p(t2)>p(-t2),

f+t<0

而。(。在7(f,。)單調遞減，JEL?!<0,-r2<0,所以/[〈一馬，i2>

艮|]有0+12=In玉+再+In々+%2<0，

*.*In玉+玉+lnx2+x2二山玉馬+玉+工2221n小%%+2dxix?,

InJ%%+J%/〈0，又1"%+去=卡-3>°，

InJ1%+，石％2<ln}+5,而y=lnx+x在x￡(0,+oo)單調遞增,

<~i=，?-%%〈~■

0ee

即得證

【點睛】極值點偏移問題，通常會構造差函數來進行求解，本題關鍵點為％e“-Inx-%-相=0變形為

爪-(lnx+x)-m=0,換元后再構造差函數進行求解.

4.(2023?北京通州?三模)已知函數/(%)=依-4-lnx(Q>0)

x

(1)已知/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為y=%-i,求實數〃的值;

(2)已知/(%)在定義域上是增函數，求實數4的取值范圍.

⑶已知g(x)=/(%)+￡有兩個零點4，/，求實數〃的取值范圍并證明石馬〉e2.

【答案】⑴〃=1

⑵加

(3)0<a<-,證明見解析

e

【詳解】(1)因為“元)=依一,同，所以r(x)=a+/T

所以/''(l)=2a—1,又f3在點(1,/(D)處的切線方程為y=x-l,

所以尸⑴=2°-1=1,解得a=L.

(2)/(x)的定義域為(0,+00),因為/(x)在定義域上為增函數，

所以y(x)=a+f」20在(0,+oo)上恒成立.

2

即“廣一：+"W0恒成立.4(d+1)。X,

X\)X+1

%，/\l-f(1+X)(1-X)

令g(，)j所以

%G(0,1)時g<x)>0,XG(l,+oo)時g'(x)<0,

所以g(%)在(0,1)上單調遞增，在(1，+8)上單調遞減，

所以g(x)1m「⑴=g即

(3)g^x)=ax-\wc

定義域為(o,+8)，g'(x)=a_L=

XX

當時，g'(x)v0,所以g(%)在(0,+00)上單調遞減，不合題意.

當Q>0時，g,(x］=a--=aX1

xx

g(x)在(0,1)上單調遞減，在［,+，|上單調遞增，

所以g(x)的最小值為=,

函數g(x)存在兩個零點的必要條件是g［：］=1-Ing<0,

BP0<6Z<-,又g⑴=a>0,

e

所以g(x)在(1,-)上存在一個零點(,>1).

aa

當xf+8時，g(x)^+<x>,所以g(x)在(：，+oo)上存在一個零點，

綜上函數g(x)有兩個零點，實數a的取值范圍是0<a<L

e

不妨設兩個零點無2>不>。

由g(西)=且(九2)=。，所以1叫=叼，lwc2=ax2,

~,/、lux.—lrix9

所以In不一ln%2=〃(芯一9)，所以〃=%_兀-，

要證玉工2〉e2,

只需證In(%九2)>2,

只需證In玉+ln%2>2,

由1nxi+lnx2=aXj+ax2=+%)=(芯+x2)^^—更^,

2(x,

只需證In%—lnx2<--------,

xx+x2

只需證ln&<上一

々五+1

令土=f(O<t<l),只需證mt〈絲二D,

X2t+1

2(r

令H?)=ln￡-

/+1

1_4_4/_”1)2

>0,

t(r+1)2(+1)2(+1)2

：.H⑺在(0,1)上單調遞增，.?.//(/)<"(1)=0,

即lm<亞二D成立，

/+1

所以再%>eZ成立.

【點睛】極值點偏移問題，應熟練掌握對稱構造的基本方法，同時結合處理雙變量問題的常用方法比值代

換的技巧.

5.(2023?江西南昌?二模)已知函數〃x)=x(lnx-a),g(x)=^-^-+a-ax.

(1)當時，y(x)N-lnx-2恒成立，求a的取值范圍.

⑵若g(x)的兩個相異零點為4，%，求證：

【答案]⑴(f,2]

(2)證明見解析

【詳解】(1)當X21時,f(x)三一In尤—2恒成立,

即當尤21時，(無+l)lnx-flx+220恒成立，

設F(x)=(x+l)lnx—ax+2,

所以尸(1)=2—420,即aW2,

Fr(x'j—InxH-----F1—a,

x

設r(x)=\nx+—+\-a,

貝！］/(x)」―-\=

xx

所以，當時，r'(x)20,即r(x)在［L+s)上單調遞增，

所以r(x)、r(l)=2-a^0,

所以當時，F'(x)=r(x)>0,即尸(x)在［1,+8)上單調遞增,

所以下⑴=2—a,

若尸(x)20恒成立，則aW2.

所以時，/(x)Wnx-2恒成立，a的取值范圍為(-oo,2].

(2)由題意知,g(x)=lnx-ax,

c]ln(W=+M)

_Inx=ax,v7、)

不妨設%>%>°，由〈得〈玉/\，

L

[Inx2=ax2m—=a^xi-x2)

則如(國迎)再+%:產,

、In%"%A"/

x2x2

令”2>1,

%2

則3%)=山,即：m(無[%)=⑴Inf.

要證再/>。2,

只需證In(%%)>2,

只需證---In，>2,

t-1

SPuElnZ>———(z>1)，

t+1v7

即證ln,_2([l)>0(r>l),

/+1

令"(。=如/—2(‘(/>1),

、(if

因為f根(%)=—；―9>0，

z(z+l)

所以相⑺在(1,+8)上單調遞增,

當，￡(l,+oo)時，m{t)>m(l)=0,

所以In”及二D>0成立，

1+1

2

故XjX2>e.

【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的解法

(1)(對稱化構造法)構造輔助函數：對結論再+馬>(<)2%型，構造函數B(x)=/(x)-/(2x°-x)；對結論

再X。>(<)x：型，構造函數/⑴=/(力_/(9)，通過研究尸⑴的單調性獲得不等式.

X

(2)(比值代換法)通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換好*化為單變量的函數不等式，利用函數單

調性證明.

題型3加法含參型

1.(2024?云南?二模)已知常數〃>0,函數/(x)=gX2一辦_2〃21nx.

⑴若Vx>0,/(X)>-4〃2,求4的取值范圍；

(2)若4、%2是/(%)的零點，且證明：%+工2>4〃.

【答案】(1),,;]

(2)證明見解析

【詳解】(D由已知得/(%)的定義域為{x|x>0},

口，2Q2x2-ax-2a2(x-2a)(x+a)

Fl.J(X)—X—CL---------------------------------------------.

XXX

a>0f

.?.當xe(0,2.)時,r(x)<0,即/(x)在(0,2a)上單調遞減;

當尤e(2a,E)時，f'(x)>0,即/(x)在(2a,+oo)上單調遞增.

所以/(x)在x=2a處取得極小值即最小值，

??"(x).=/(2")=-2〃ln(2a)，

Vx>0,/(x)>-4a2of(x)^=-2a2In(2a)>-4?2oIn(2a)<Ine?,

.-.0<a<y,即0的取值范圍為

(2)由(1)知，f(x)的定義域為{x|x>0},

/(x)在(0,2a)上單調遞減，在(2a,+8)上單調遞增，且x=2a是f(刈的極小值點.

「斗、馬是/(X)的零點，且玉片馬,

二不、%分別在(°，2。)、(2a,+8)上，不妨設0<再<2。<%,

設尸O)=/(-v)-/(4a-x),

..(x-2A)(X+a)(2a-x)(5a-x)2a(無一2a『

貝nF(x)=--------------------1--------------------=----------------.

x4a-尤x(無一4a)

當xe(0,2a)時，F(x)<0,F(2a)=0,即尸(x)在(0,2a］上單調遞減.

,0<玉<2a,

/.F(jq)>F(2a)=0,即/(石)>/(4々_石),

〃%)=/(々)=。，

xx<2a,

4a—石>la,

又?.x2>2a,/(x)在(2a,+8)上單調遞增，

x2>4a-x1,即xl+x2>4a.

【點睛】方法點睛：(1)給定函數比較大小的問題，需判斷函數單調性，根據單調性以及需要比較的數值

構造函數，利用函數的單調性可比較大小；

(2)極值點偏移法證明不等式，先求函數的導數，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據范圍以

及函數值相等構造新的函數，研究新函數的單調性及最值，判斷新函數小于或大于零恒成立，即可證明不

等式.

2.(2024?安徽合肥?二模)己知曲線C:〃x)=e「xe工在點A0"⑴)處的切線為/.

(1)求直線/的方程；

(2)證明：除點A外，曲線C在直線/的下方；

(3)設/(玉)=/(工2)=/,石力工2，求證：Xl+X2.

e

【答案】(l)y=v+e；

(2)證明見解析；

⑶證明見解析.

【詳解】(1)因為/(x)=e'—xe”，

所以/⑴=0，r(x)=-xe'，r(l)=-e,

所以直線/的方程為：y=-e(x-l),即>=9+6

(2)令g(x)=-ex+e-eX+xeX,貝!]g，(x)=_e_e￡+eX+xe*=-6+屁工，