拓展提升02求數(shù)列的通項公式

歸納法

累加法

累乘法

題

型已知Sn=f(n)求通項

求數(shù)列的通項分

類已知Sn=f(an)求通項

角度1構(gòu)造等比數(shù)列

構(gòu)造法角度2構(gòu)造等差數(shù)列

角度3倒數(shù)構(gòu)造

01題型清單

1.歸納法

由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式

①各項的符號特征，通過(-1)"或(-1)用來調(diào)節(jié)正負(fù)項.

②考慮對分子、分母各個擊破或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系.

③相鄰項(或其絕對值)的變化特征.

④拆項、添項后的特征.

⑤通過通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律.

2.累加法

累加法適用于4+1—0〃=/(〃)或4—0+1=/(〃)型，其解題恒等式為an=a1+(a2—a1)+(a3—a2)+...+(an-

an_i)(n>2,〃￡N*)求解

3.累乘法

累乘法適用于4旦=/(〃)或2=/(")型，通常利用g=?0-1?…匕?4,求出通項4.

anan-\On-1On-2C/l

4.已知Sn=f(n)求an

已知S,=/(〃)求通項，步驟可分為三步：(1)當(dāng)"22時a"=s「s,T；(2)當(dāng)〃=1時，%=E；

(3)檢驗?zāi)芊窈蠈?，即?1和"±2兩種情況能否合寫成一個公式，否則就寫為分段的形式.

5.已知S”與4的關(guān)系求的

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用an=Sn—5"_1(n>2)轉(zhuǎn)化為只含5”,S.T的關(guān)系式,再求解；

(2)利用5n—5"-1=%(n>2)轉(zhuǎn)化為只含(7-1的關(guān)系式，再求解.

6.用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

形如%+1=左許+夕(匕P為常數(shù)，kp#O)的數(shù)列，可用"待定系數(shù)法”將原等式變形為

a

n+\+m=k(an+ni)(其中：加=:J),由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛%+機｝,先求出｛%+a｝的通項,從而

K-1

求出數(shù)列｛%｝的通項公式.

7.倒數(shù)法

形如冊+1=*^(p，g為常數(shù)，pq十0)的數(shù)列，通過兩邊取"倒"，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列

Pa?+q[an\

先求出的通項，即可求得

題型01歸納法

【典例1】(24-25高二上?甘肅酒泉?期中)己知數(shù)列1,百，垂，近，3,72^1,則該數(shù)列的第

25項是（）

A.7B.276C.572D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律及通項可得數(shù)列的項.

【詳解】由已知數(shù)列1,6，6，幣,3,J2I,....

即,2x1-1,J2x2-1，J2義3-1,J2x4-1,12x5-1，…,J2"-1‘…’

則數(shù)列的第"項為

第25項為J2x25-1=7,

故選：A.

【變式1](24-25高二上?山東青島?階段練習(xí))數(shù)列1,_克」,_正」，…的一個通項公式%=()

2244

1-1

A.((B.當(dāng)/yvc.(-1)-(/7Y-D.(-If(彳/?Y

【答案】D

【分析】由數(shù)列中每一項的特點可分析得到通項公式的結(jié)構(gòu).

【詳解】由于數(shù)列的符號正負(fù)項間隔出現(xiàn)，故符號為(-1)用，

且每項為與，故數(shù)列的一個通項公式為%=（-1）向?.

I2JV2J

故選：D.

【變式2］（24-25高二上?甘肅金昌?階段練習(xí)）若數(shù)列｛〃/的前四項依次為2,12,112,1112,則｛%｝的一

個通項公式為（）

A.tz=10^+2二(〃—1)(45〃—80)+2

10〃一810〃+8

99

【答案】D

【分析】通過規(guī)律即可求解.

【詳解】由2=10—8,12=100—88,112=1000—888,1112=10000—8888,可得｛%｝的一個通項公式為

10〃+8

^=10?--x(10?-l

9

故選：D.

【變式3】（23-24高二下?江西景德鎮(zhèn)?期末）數(shù)列1,-；，!，-；［,--的通項公式可能是（）

【答案】D

【分析】將數(shù)列前5項改寫為統(tǒng)一格式即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到數(shù)列的通項公式.

【詳解】由題數(shù)列的前5項可改寫為nw

其中負(fù)號交替出現(xiàn)在偶數(shù)項，分母為從1開始的奇數(shù)，

故數(shù)列的通項公式為%=上工上.

故選：D.

【變式4】（23-24高二下?北京?期中）數(shù)列｛%｝的前四項依次是4,44,444,4444,則數(shù)列｛%｝的通項公式

可以是（）

A.Q〃二4〃C.D.%=4xll”

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分析可得數(shù)列｛4｝的前四項與"的關(guān)系，綜合即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列｛%｝的前四項依次是：4,44,444,4444,

4444

234

則有％=3(1。|-1)=4,a2=-(10-1)=44,a3=-(10-1)=444,?4=-(10-1)=4444,

4/、

則數(shù)列缶“｝的通項公式可以是。“=3(10"T),

故選：C.

題型02累加法

【典例21(24-25高二上?吉林?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝，滿足％=2,an+l=%+2"(〃eN*),貝|a?=

若數(shù)列也｝的前〃項和為S“，且4=1也M+(-1)電=logM，則S66=.

【答案】2-1123

【分析】利用累加法求解即可得出見;先求出6用+(-1)*,=",進而得到

b2k+/+2=4左+1也I+b2M=1keN*),分組求和得到S66.

【詳解】因為an+l=a?+T,

所以%-%T=2"T(”N2),所以

a“an_x)+(a?_j-an_2)+-?-+(a3-a2)+(a2-a1)

=2"T+2々+…+2?+2=2("二1)=2"-2,

1-2"T

又因為4=2,

所以%=2〃，n>2,幾￡N*,

當(dāng)麓=1時也適合上式，

所以%=2〃.

由〃+i+(T)電=l0g2%=〃，

因為4=1,所以仇-4=1,解得仿=2

當(dāng)篦=2k時，砥+i+b2k=2k

當(dāng)”二2左一1時，b2k-b2k_x=2左一1

當(dāng)〃=2左+1時，b2k+2-砥+i=2左+1

所以砥+砥+2=4左+1,砥T+砥+1=1(左WN*)

所以%=(4+A+4+…+。65)+(。2+”+。6+…+%)

=]+]6+2+16(9+129)=]]23

2

故答案為：2";H23.

【變式1】(24-25高二上?上海?期中)在數(shù)列｛%｝中，%=6,且%=%_|+lg—、("22),則即)。=

n-l

【答案】8

【分析】利用遞推公式累加即可求解.

【詳解】由題意可得%-%T=lg—7，

n-l

…?213,100

所以〃2-。1=想,，。3一。2=愴5'……'400一。99=坨亞~'

…I2I31100」23100、1。

累力口何〃100—%=lg-+lg-+---+lg—=lg-x-x---x—=lgl10A0A=2,

L乙yy\A乙77j

所以〃ioo=2+%=8,

故答案為：8

2

【變式2】(24-25高三上?天津?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足：％=1,%=:，且%+2="川(”eN*),則

a

2?！?n+\

數(shù)列｛%｝的通項公式是

【答案】a?=-

n\t

【分析】由題意可構(gòu)造數(shù)列［子卜得到該數(shù)列為等差數(shù)列并求出通項公式后，利用累乘法即可得解.

2

【詳解】由a/2=T^(〃eN*),則詈^=7%，

a+a

%+%'%+1nn+\

?史」=2

==%+。向=4+1

即八。用*又4=1,%=T>則a1

22I

故數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)歹U,

即一^=2+(〃_1)=〃+1,

an+\

則有也=〃，吆=〃-1,"=2,且"？3,

anan-\a2

故也x—x…X幺=幺=疝，即。=3=4，顯然“=1,2均滿足.

故答案為：

n\

【變式3】(24*25高二上?河南信陽?階段練習(xí))已知數(shù)列｛叫滿足%+2=3a”+「2a”(〃eN*),且q=1,

/

。2=4,其前〃項和為s,,若對任意的正整數(shù)”，5“+2"+”2^0恒成立，則加的取值范圍是.

【答案】-|,+：|

【分析】由已知氏+2=3。用-2%可證數(shù)列｛a?+i-an］為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式及累加法可得見,

再利用分組求和可得S,,即可將不等式轉(zhuǎn)化為(切+3>2'-330,分離參數(shù)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得最值及

參數(shù)范圍.

【詳解】由己知an+2=3a“+i-2a”("eN"),

a

則n+i-??+i=22+i-=2(%一%),

則數(shù)列｛。，皿-%｝是以%-4=4-1=3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以見+「a,=3-2"T,

則an-a,,T=3-2"2，…，o2-a,=3-2°,

31,11

所以見一%=3.2"-2+3.2"-3+~+3.2°=(-^)=_3+3,2-，

則(=-3+3-2"T+q=3-2"--2,

貝！Js“=3.2°-2+3"-2+…+3.2'T-2=3"2,-2〃=3.2”-3-2〃,

"1-2

又$,+2〃+”2"20恒成立,

即3?2"-3+"2"=(m+312"-320,

3

BPw+3>—,nEN*,

3

=^GN*,單調(diào)遞減，

33

則當(dāng)〃=1時，V取得最大值為5，

33

即加+32—,m>——,

22

-3、

即加￡--,+ccI,

故答案為：一［什00］

【變式4】(24-25高二上?福建?期中)已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,%=；，

/X,11

an-xan+3%%+1=0(〃22,〃￡N)二己2.

⑴證明:數(shù)列也｝是等比數(shù)列.

(2)求｛與｝的通項公式.

【答案】⑴證明見解析

(2)an=97

J—1

【分析】(1)由遞推關(guān)系式結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；

(2)由等比數(shù)列求和公式以及累加法即可求解.

134

【詳解】(1)因為%.1%+3%%―4%_1%=0,所以---+-------=0,

an+\an-\an

11(11'

所以-------二3-----------,所以,=3b_1.

aaan

n+ln1%n-\)

711r,、

因為4=---------=3,所以｛4｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，

ci?ct^

所以a=3".

(2)由(1)知"=-------=3",

4+1an

所以^----=3,-----=32,--------=33,---------=3"-1(?>2),

^>2dyCL3d?^^4Cl、d〃“〃-1

累加可得，=3+32+33+3+3〃T/(I)二匕2(心2)

冊%1-32v7

2

因為％=1,所以%=不一^(“22),

3—1

2

因為q=1符合上式，所以％=二.

3—1

題型03累乘法

【典例3】(24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知數(shù)列｛%｝中％=[4=七]。,1(〃22),求數(shù)列｛%｝的通項公

式.

1

【答案】%=(小

nyn+\)

【分析】利用累乘法求解即可.

【詳解】解：因為?！?二

n+1

H-1

所以當(dāng)〃22時，---,

%〃+1

所以》中兇士,???,*&="

an_xn+i.an_2na24ax3

以上〃-1個式子相乘得馬-,也_a3a2_n-\n-221

4,3

an-\an-2a2a{n+\n

a1Ic1

BP—n=--x-x2xl,

ax〃+1n

I

所以“〃=（i?

111

當(dāng)〃=1時，a=---=-,也與已知相符，

x1x222

、1

所以數(shù)列｛r%｝的通項公式為4=而百.

【變式1】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）（1）對于任意數(shù)列｛%｝,等式：

q+（。2…+（《-區(qū)1）=《（《22,”eN"）

都成立.試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列｛%｝滿足：%=1,%包-%=2,“eN*,求通項與;

（2）若數(shù)列｛見｝中各項均不為零，則有《子亍……子=%（"22,"eN*）成立.試根據(jù)這一結(jié)論，完成問

/、an—i

題：已知數(shù)列｛%｝滿足：a\=1,~^=-----

an-\〃

（〃22/EN*）,求通項％.

【答案】（1）G〃=2〃-1,〃￡N*（2）a=—,weN*

nn

【分析】（1）利用累加法的思想求通項公式；

（2）利用累乘法的思想求通項公式.

【詳解】（1）當(dāng)〃22時，

a“=q+（%-。1）+（。3-----—"“-J=1+2+2H-----------F2

=2(〃-1)+1=2〃_1,

q=1也符合上式，所以數(shù)列｛%｝的通項公式是%=2"-1,”6N,.

n—11

(2)當(dāng)“22時，2=l」xZxx-----=—

a

axa2n-\23nn'

q=1也符合上式，

所以數(shù)列｛%｝的通項公式是%=L"eN*.

n

【變式2】（23-24高二下?福建廈門?期末）設(shè)S“為正項等比數(shù)列｛.“｝的前"項和，35=%+2%,%=16.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵數(shù)列低｝滿足4=1,"=屋:",求低｝的前"項和小

【答案】（1）%=2"

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，列出關(guān)于4的方程，即可求解.

（2）先利用累乘法求出｛或｝的通項公式，再利用裂項相消法求出色｝前〃項和人

【詳解】（1）因為｛%｝是正項等比數(shù)列，所以％>0,公比4>0.

因為3s2=%+2。3,所以3（。1+電）=+2。3,

貝（J2%—3。2—24=0,即2%/_3%夕-=0,

則2/_3q_2=0,得q=_g（舍）或4=2,

又因為&=%/=8%=16,所以為=2,所以｛%｝的通項公式為%=2”.

（2）依題意得里log?%=噫2"=“

n+2

log2an+2log22〃+2‘

，仇b12n-11x2x…x-1)2h2

當(dāng)“22時,2。-?_=_x_x…x----=--------------=-------即廣祈￡

4b?bn_x34〃+13X4X---X(H+1)〃(〃+1)

所以“J

因為4=1,

當(dāng)〃=1時，4=1符合上式，所以抄,｝的通項公式為，=一用.

2

因為“=

所以7；=2（1-

題型04已知§"=/（〃）求an

【典例4】（23-24高二下?北京大興?期中）己知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“="+l,則數(shù)列｛%｝的通項公式為

（）

A.an=n+lB.an=2n-l

[2,〃=1,

C.a=2n+\D.^=\

nn\2n-\,n>2

【答案】D

【分析】當(dāng)〃=1時，求得％;當(dāng)〃22時，根據(jù)%=S〃-Si化簡得％,再檢驗得出通項公式即可.

【詳解】當(dāng)〃=1時，％=百=1+1=2；

當(dāng)〃之2時，an=Sn-Sn_x=2n-l,

經(jīng)驗證，％=2不符合上式，所以。，=。1

\2n-\n>2.

故選：D.

【變式1】（24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前“項和S"="-2〃，貝1%+%+%等于

（）

A.12B.15C.18D.21

【答案】B

【分析】利用析-$2即可求得的+&+%的值.

【詳解】因為數(shù)列｛。,｝的前"項和E,=n2-2〃，

以4++%=&—，2=5~—2x5—（2~—2x2）=15.

故選：B.

【變式2】（24-25高三上?遼寧,期中）數(shù)列｛《｝中，已知對任意自然數(shù)〃嗎+的+%+…+。“=2"-1,則

a；+H-----^端等于（）

【答案】C

【分析】根據(jù)條件，利用S“與。“，求得a“=2"T,進而得到M=4"。再利用等比數(shù)列的前〃和公式，即可

求解.

【詳解】因為為+%+。3+…+。”=2"—1（1）,

當(dāng)"22時，%+電+%+…+an-\=2"1-1@,由①一②得=2"-2"一=2"“,

又見=2】一1=1,滿足*=2"、所以a"=2"i,

由%=2"、得到。：=（2"T）2=4"T,

1_4"4"-1

所以+…+d=1+4+…+4"-1=14=-~，

故選：C.

【變式3】（24-25高二上?天津紅橋?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S”，且S“=2/+3"-l,則數(shù)列

的通項公式為.

、_14,〃=1

'[An+1,7?>2

【分析】利用前〃項和與第"項的關(guān)系，分段求解即可.

22

【詳解】當(dāng)〃22時，??=5?-S?_1=（2n+3n-l）-（2（?-l）+3（77-l）-一1)=4〃+1,而4=E=4不滿足上式,

4,H=1

所以數(shù)列的通項公式為%=

4n+l,n>2

4,幾二1

故答案為:

4H+1,/I>2

【變式4](24-25高二上?黑龍江牡丹江?階段練習(xí))設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和是S”，如果它的前〃項和

2

Sn=n-2w+3,那么%=

【答案】見工一4

【分析】利用。"與S”的關(guān)系式求通項即可.

[詳解]當(dāng)〃=1時，?,=5,=1-2+3=2,

2

當(dāng)〃之2時，Sn=n-2n+3,

所以S.i=(Ip-2(〃-1)+3=〃2_4〃+6,

所以〃—〃—3,

2,n=l

2n-3,n>2

2,H=1

故答案為：氏

2n—3,n>2

【變式5】(24-25高二上?天津東麗?階段練習(xí))在數(shù)列｛%｝中，％=6,且“Sm-(〃+2)S"="("+l)(〃+2),

則冊=_____________

【答案】3/+3〃

【分析】由3,+「("+2電="(〃+1)("+2)化簡可證數(shù)列著不為等差數(shù)列，即可得

1個+1〃

S?=H(?+1)(H+2),再利用退一相減法可得明.

【詳解】由科+「(1+2)S.=〃(〃+1)5+2),

VV

人(〃+1)(〃+2)n(<n+1)'

則數(shù)列7J是以2=3為首項，1為公差的等差數(shù)列，

[Z2(w+l)j1x2

S

BP/-=3+(?-1)=?+2,

〃(〃+1)

所以=〃(〃+1)(〃+2),

當(dāng)〃之2時，sn_x=(〃-1)?及(〃+1),

an=Sn-Sn_x=〃(〃+1)(〃+2)-(〃一1>〃(〃+1)=+=3H2+3〃，

當(dāng)〃=1時，4=6滿足上式，

綜上所述an=3/+3n,

故答案為：31+3〃.

題型05已知an與S?的遞推式求通項

【典例5](24-25高二上?甘肅酒泉?期中)設(shè)S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，若S"=2a,-1,則當(dāng)詈的值為

%0+"]2

()

11

A.8B.4C.-D.—

48

【答案】D

【分析】易知數(shù)列前〃和求出通項公式，再由等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)〃=1時，％=S[=2%-1,a,=1,

當(dāng)〃22時，%=2a-1,貝I]g=S“-S_i=2an-2”,

?9=2%,即數(shù)列｛%｝是首項%=1,公比4=2的等比數(shù)列，

即a,=2"T,

%+為_%(1+4-)_1_1

"?io+?i2%o(l+q2)q38

故選：D.

【變式1】(2024高二?全國?專題練習(xí))數(shù)列｛對｝的前"項和為S"，若％=1,a?+1=3S?(?>l),則與=

()

A.3x4"B.3X44+1C.43D.43+1

【答案】A

【分析】利用退位相減法可得數(shù)列從第2項起，是以電=3為首項，4為公比的等比數(shù)列，故可求&，或者

利用結(jié)論可求6.

【詳解】方法一：已知?！?|=35“，則當(dāng)〃上2時，an=3Sn_｛,

兩式作差，得??+1-??=3(S?-)=3%,

即。用=4。,，也即數(shù)列從第2項起，是以&=3為首項，4為公比的等比數(shù)列，

從而為=34-2,心2.

Il,n=l,

由于。I=1。=3%=3,則、。于是4=3x4.

13?4,n之Z,

方法二：因為為+i=3S“，所以。2=3q=3,5“=+“+],

-+1

根據(jù)左欄結(jié)論我們可以知道數(shù)列｛??｝從第二項開始是以5一=4為公比的等比數(shù)列，

3

則4=3x4）

故選：A.

【變式2】（24-25高二上?全國,課后作業(yè)）已知數(shù)列｛%｝的前"項和S"滿足S"=2-a"，則｛?！保耐椆?/p>

為.

【答案】見=[1

[S],n=l

【分析】利用%=c、.來求得正確答案.

5-Sc.,n>2

【詳解】由題設(shè)得q=H=l,所以a“=S0-S,T=2-a"-2+%T（〃22）,化簡得。，??；對一

n—1n-\

所以數(shù)列｛%｝是首項%=1，公比為：的等比數(shù)列，所以。,=1X

2I

1-1n-\

當(dāng)〃=1時，％==1依然成立，所以%=

n—\

故答案為：見I

【變式3】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知數(shù)列｛%,｝的前〃項和S“=2〃2+%-〃-1,且％=5,則數(shù)列｛%,｝

的通項公式為.

【答案】a?=4n+l

【分析】借助%與S“的關(guān)系計算即可得.

2

【詳解】S^S?-2W+a?-/7-l0,

則當(dāng)"22時，ST=2（?-1）-+an_x-（7?-1）-1（2）,

①-②得%=4"-3,則a“=4〃+l,

當(dāng)”=1時，%=4xl+l=5,符合上式，

故%=4/7+1.

故答案為：an=4?+1,

【變式4】(23-24高二下?廣東汕頭?階段練習(xí))設(shè)數(shù)列｛與｝的前"項和為S0，%=2,2Sn=nan+l,?eN,,

則an=-

【答案】In

【分析】根據(jù)題意，由為與S”的關(guān)系可得央=鰻(〃22),從而求出即可.

n+1n

【詳解】因為2S“=〃%+],當(dāng)時，25?_1=(?-1)??,

兩式相減可得2%=〃a“+i-("T)%,即+="%+i?

所以今.=%(心2),又出=2SI=4,所以多=2,

所以冬=冬=2(心2),

n2

所以。"=2"("22),且％=2也符合上式，

所以?！?2〃(〃eN*),

故答案為：2n

【變式5】(24-25高二上?陜西榆林?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，滿足2s“=3a“-l(〃eN*).

⑴求｛%｝的通項公式：

⑵若“=(2n-l)a?,求數(shù)列也｝的前n項和北.

【答案】①a〃=3"T

(2)7；=(〃7)X3"+1

【分析】(1)當(dāng)〃=1時，求出q=1,當(dāng)"22時，判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求

得結(jié)果；

(2)將(1)中的通項公式代入，根據(jù)錯位相減法可求得結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)"=1時，2%=2s1=34T,解得%=1,

當(dāng)〃22時，2S._]=3a-1,

貝l]2an=2Sn-2S“T=3a?-31,

化簡得%=3%,

所以｛叫是以首項為%=1,公比4=3的等比數(shù)列，

所以

(2)由(1)可得4=3"T,則“=(2"-1"，=(2"-1卜3'1,

12n1

7；,^^+^2+^+---+^=lx3°+3x3+5x3+---+(2?-l)x3-(l),

37；=1x31+3x3?+5x33+…+(21)x3"②，

Q-（2）ff-27；,=1+2x3'+2x32+---+2x3^-（2?-1）x3"

=1+2（31+32+---+3"-1）-（2H-1）X3"

=l+2x3^-^^-（2M-1）X3B=-2-（2w-2）x3n■

所以Z,=（〃-l）x3"+L

題型06構(gòu)造法

角度1構(gòu)造等比數(shù)列

2

【典例6】（2024高二?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足4+1=§%+4,且q=l,則｛%｝的通項公式為

（）

A.…小…田

【答案】c

【分析】給%M=：%+4兩邊同時加一個數(shù)x,構(gòu)造成等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項公式求解｛見｝的

通項公式即可.

'221

【詳解】設(shè)%+i+x=］（〃〃+x），即%=鏟〃一

所以-;x=4,解得工=-12,

2

所以=-12）,

所以｛%-12｝是首項為%-12=-11,公比為:的等比數(shù)列,

所以a=12-llx（|）.

故選：C.

2

【變式1］（2024高二?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足%M=w?！?4,且％=1,則｛?！埃耐椆綖?

【答案】a?=12-llx

【分析】給。用=§%+4兩邊同時加一個數(shù)X,構(gòu)造成等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項公式求解｛見｝的

通項公式即可.

2?11

【詳解】設(shè)%+i+x=](a.+x),即a,,+i所以-§x=4,解得x=-12,

9

所以。用一12=§m一12),

□

所以｛%-12｝是首項為％-12=-11,公比為:的等比數(shù)列,

所以a“-12=_1,

所以為=12-llxg).

故答案為：°,=12-1

【變式2】(2024高二?全國?專題練習(xí))在數(shù)列｛6｝中，已知q=2,且%=4a“-3”+l("eN*),則該數(shù)列

的通項公式為.

l

【答案】an=4-+n

【分析】借助待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列后可得數(shù)列｛??-?｝為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)即可得解.

【詳解】令％-/("+1)-2=4(%-4-2),

則%+i=4%—3An+A—3B,

-3A=-3A=1

由條件得,解得

4—35=1B=0

即“”+i-（n+l）=4（an-n）,

故數(shù)列｛%-〃｝是首項為%T=1，公比為4的等比數(shù)列,

從而a*-〃=4"T,故%=4"T+〃.

故答案為：%=4"一+〃.

【變式3】(24-25高三上?重慶■階段練習(xí))在數(shù)列｛%｝中，a,=l,a?+1=3a?+4,若對于任意的

nGN*^(??+2)>3"-5恒成立，則實數(shù)k的最小值為.

【答案】三4

27

【分析】利用構(gòu)造法分析得數(shù)列｛%+2｝是等比數(shù)列，進而求得%+2,從而將問題轉(zhuǎn)化為人上下恒成立,

令/(〃)=(〃eN*),分析數(shù)列｛〃叫的最值,從而得解.

【詳解】由%=3%+4,得%+2=3（%+2）,又％+2=1+2=3,

故數(shù)列｛《+2｝為首項為3,公比為3的等比數(shù)列,

所以%+2=3x3".=3",

貝I不等式左(。“+2)23〃一5可化為后2箏，令/(〃)=箏(〃eN*),

當(dāng)"=1時，/(?)<0；當(dāng)“22時，/(?)>0；

又/(〃+1)-/⑺=掌3〃一5_13-6幾

3〃OH+1

則當(dāng)〃=2時，/(3)>/(2),當(dāng)時，/(?+!)</(?),

5444

所以了(〃)W"3)=中上=/，則羥為即實數(shù)上的最小值為福?.

4

故答案為：—.

角度2構(gòu)造等差數(shù)列

【典例7](24-25高三上,天津?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足：%=1,%=；，且%+2=%"則

數(shù)列｛%｝的通項公式是

【答案】一

%

【分析】由題意可構(gòu)造數(shù)列,得到該數(shù)列為等差數(shù)列并求出通項公式后，利用累乘法即可得解.

a

n+l

【詳解】由％+2N*)則巴出=4角

見+14+%+1

"='=2

即_^1

=+又1=1,2=萬，則的一;，

an+2an+\an+\

2

故數(shù)列[子，是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列,

gp—^=2+(n-l)=n+l,

an+\

則有*=〃,『7…，/2,一日,3,

故也x%^x…x"=3=加，即。=4=-1,顯然〃=1,2均滿足.

an%a2a,〃！n\

故答案為：a?=—.

n\

【變式1】(2024高二?全國,專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足a,+i=3a“+3"(〃eN*),且％=1,則數(shù)列｛%｝的

通項公式為:

【答案】an=n-y-'

【分析】結(jié)合遞推公式的結(jié)構(gòu)特點構(gòu)建一個等差數(shù)列｛去｝,利用等差數(shù)列的通項公式求出構(gòu)建的數(shù)列的通

項公式，進而得解.

【詳解】將%=3%+3"兩邊同時除以3同，得,喙+；,即猾-&=；.

由等差數(shù)列的定義知，數(shù)列，三是以卜;為首項，g為公差的等差數(shù)列，

所以fH；+(I)xg=g,故%=〃3T.

l

故答案為：an=n-3"-.

【變式2】(24-25高二上?江蘇鎮(zhèn)江?開學(xué)考試)數(shù)列｛%｝滿足q=2,%M=2q,+2向，則數(shù)列｛%｝的通項公式為

an=?

【答案】n-T

【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，將翁=益+1，經(jīng)化簡可知新的數(shù)列是等差數(shù)列，在變

形可求得.

【詳解】由題意知。用=2%+2日將等式兩邊同時除以2"+i,

可得翁喙+1，因為%=2,所以可知三=1,

則數(shù)列[墨｝是以會為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以蜃?=1+(77-1)=〃，所以。"="-20.

故答案為：n-2n

【變式3](23-24高二下?湖南郴州?期末)已知數(shù)列｛%｝滿足：4=1,“。向-(〃+1”“=〃(〃+1).若％,

則數(shù)列也｝的前"項和S,=.

【答案】

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出見，再利用裂項相消法求和即得.

【詳解】數(shù)列｛%｝中，由〃。用-("+1)為="(〃+1),得9一%=1,

因此數(shù)列｛5｝是以?=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，"1,即%=*,

n1n

n111

于是b.

(ji+l)an〃(〃+l)n72+1

所以s〃=(1_；)+(g-；)+(；_；)+???+f=n

nn+1n+1n+1

故答案為：-

n+\

角度3倒數(shù)構(gòu)造

3a

【典例8］（23-24高二下?吉林長春?期中）已知數(shù)列｛%｝中，%=1且%+1=，二（〃€z），則可3=

)

1111

A.-B.-C.-D.一

8765

【答案】D

【分析】采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到?！?，得解.

3凡1+311

【詳解】由。用=飛得：——=■=一+￡,

%+34用3%a”3

又工=1,.??數(shù)列是以1為首項，（為公差的等差數(shù)列，

111/八〃+2

—=l+-(?-l)=——

an33

3.

""K'"eN，

3￡

155

故選：D.

【變式1］（23-24高二上?廣東湛江?階段練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，％=1