平面向量及其應(yīng)用章末題型歸納總結(jié)

（培優(yōu)篇）

【題型歸納目錄】

題型一：向量的線性運(yùn)算

題型二：向量的數(shù)量積運(yùn)算、夾角、模長(zhǎng)

題型三：向量范圍與最值問(wèn)題

題型四：余弦定理、正弦定理

題型五：平面向量的實(shí)際應(yīng)用

題型六：解三角形范圍與最值問(wèn)題

題型七：圖形類(lèi)問(wèn)題

題型八：三角形形狀判斷與多解問(wèn)題

題型九：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

題型十：中線、角平分線、高問(wèn)題

【思維導(dǎo)圖】

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1:向量的有關(guān)概念

(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模).

(2)向量的模：向量在的大小，也就是向量下的長(zhǎng)度，記作|而

(3)特殊向量：

①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：6與任一向量平行.

④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

知識(shí)點(diǎn)2：向量的線性運(yùn)算

(1)向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

①交換律

求兩個(gè)向量和的a+b=b+a

加法廠丁

運(yùn)算aa②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求@與B的相反

向量的和的

減法ci—b=6Z+(~b)

運(yùn)算叫做I與Ba

的差三角形法則

(1)|Aa|=|21|51

4(4萬(wàn))=(2//)3

求實(shí)數(shù)X與向量(2)當(dāng)幾>0時(shí)，23與萬(wàn)的方向相同；當(dāng)

數(shù)乘(A+/Li)a=Aa+jLta

@的積的運(yùn)算2<0時(shí)，25與萬(wàn)的方向相同；

4(萬(wàn)+B)=Aa+Ab

當(dāng)2=0時(shí)，23=0

知識(shí)點(diǎn)3：平面向量基本定理和性質(zhì)

1、共線向量基本定理

如果方=痛（力€幻，貝Ui/區(qū)；反之，如果//區(qū)且BwO,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)；I,使@=/.（口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

2、平面向量基本定理

如果1和易是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量3,都存在唯一的一對(duì)

實(shí)數(shù)4,使得@=41+々尾，我們把不共線向量I，尾叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為

{—e?},+^62叫做向量3關(guān)于基底{烏勺}的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1與最不共線，平面內(nèi)的任一向量G都可以分解成形如

方=4q+402的形式，并且這樣的分解是唯一的.4華+402叫做q,e2的一個(gè)線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若N=4q+4e?=4弓+402,則4=4，%=4.

推論2：若1=41+4最=0，則4=4=0.

3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在△N8C中，若點(diǎn)。是邊3c上的點(diǎn)，且麗=彳友（47-1）,則向量

方+2就

~AD=.在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”

1+2

之功效，建議熟練掌握.

4、三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)N,B,C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)使反=2a+〃礪，其中彳+〃=1,。為

平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A.B、C三點(diǎn)共線

O存在唯一的實(shí)數(shù);I,使得就=幾而；

o存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得云=刀+4萬(wàn)；

o存在唯一的實(shí)數(shù)；I,使得云=（1-㈤刀+2礪;

O存在2+〃=1,使得皮=疝+〃礪.

5、中線向量定理

如圖所示，在△NBC中，若點(diǎn)。患邊2c的中點(diǎn)，則中線向量方=；(荏+*)，反之亦正確.

知識(shí)點(diǎn)4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與X軸，》軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量7,7作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量萬(wàn)，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)%/使5=%:+百，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(XJ)

叫做向量)的坐標(biāo)，記作5=(%/).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有

向量(x,y)、對(duì)應(yīng))向量CM、=.布廢)點(diǎn)A(x,y).

(3)設(shè)值=(再,必)，b=(x2,y2),貝！J。+(=(占+%2，%+%)，a-b=(xx-x29yl-y2),即兩個(gè)向量的和

與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若不=(%/),2為實(shí)數(shù)，則=即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)

坐標(biāo).

(4)設(shè)4(再,必)，5(x2,y2),則45=。3-04=(芯-%2，%一%),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向

線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

(5)平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

22

①已知點(diǎn)4(不，必)，B(X2,y2),則45=(%2-再，歹2-必)，|AB|=^/(x2-xj+(j2-y^

②已知N=(%i，必)，b=(x2,y2),貝！J=(玉±々，乂士%)，4萬(wàn)=(九%1，%必)，

a-b=xrx2+yxy2,|a|=Jx；+y；.

a//box1y2-x2y1=0,aLb<=>xxx2+yxy2=0

知識(shí)點(diǎn)5：平面向量的數(shù)量積

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量G與人我們把數(shù)量miiBicosd叫做）與彼的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作。石，即

a-b=\a^b\cos0,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|2|cosd叫做向量）在3方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)。為鈍角時(shí),

它是負(fù)數(shù)；當(dāng)。為直角時(shí)，它是0.

②24的幾何意義：數(shù)量積2%等于,的長(zhǎng)度|2|與Z在日方向上射影|Z|cos。的乘積.

③設(shè)3,3是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是。力與3是方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過(guò)萬(wàn)

的起點(diǎn)4和終點(diǎn)8,分別作畫(huà)所在直線的垂線，垂足分別為4,耳，得到麗，我們稱(chēng)上述變換為向量3

向向量行投影，病叫做向量萬(wàn)在向量B上的投影向量.記為舊|cos在.

知識(shí)點(diǎn)6：數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量石、Z、2和實(shí)數(shù)X,貝I」：

@a-b=b-a；

(2)(Aa)-b=2(5-b)=a'(Ab)；

@(a+b)-c=a-c+b-c.

知識(shí)點(diǎn)7：數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)方、1都是非零向量，"是與Z方向相同的單位向量，e是日與"的夾角，則

(T)^-a=a-?=|a|cos6.@a1b<^>a-b=Q.

③當(dāng)方與Z同向時(shí)，a-b^a\\b\；當(dāng)方與Z反向時(shí)，a-b^-\a\\b\.

特別地，鼠或值|=后房.

④cos6="'(\a\\b|^0).⑤[Z]W]&|向.

\a\\b\

知識(shí)點(diǎn)8：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知非零向量2=（西，乂），b={x2,y2）,6為向量方、6的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模a\=yja-a1a\=y]x2+y2

數(shù)量積

a-b=\a\\b\cos0a-b=x1x2+yxy2

COS”,中2+22

cos0=

夾角Wg西+才?收+式

\a\\b\

的充要

a-b=0西工2+其力=0

條件

a//b的充要

a=AbCbw0)x,y2~x2yt=0

條件

a-^<|a5（當(dāng)

I與

1項(xiàng)，+yty2氏

且僅當(dāng)3〃3時(shí)等號(hào)成；+＞；,也；+

|初,|的關(guān)系Jxy2

立）

知識(shí)點(diǎn)9：正余弦定理

（1）正余弦定理：在八42。中，角B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為A43C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

，上=上=2a

公式b2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC.

,b2+c2-a2

cosA=---------------；

(1)Q=2Rsin/,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

ahcnc2+a2-b2

常見(jiàn)變形(2)sin/=——,sinB=——,sinC=——；cosB=---------------；

2R2R2Rlac

-a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

（2）面積公式:

S.ABC=—absinC=—Z>csin^=—acsinfi

222

&/8。=筆=；（°+6+°）"。?是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R,八）

知識(shí)點(diǎn)10:正余弦定理的相關(guān)應(yīng)用

（1）正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa:6:c=sin/:sing:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

a>bo4>5osin/>sinBocosA<cosB

a+b+ca+bb+ca+cab

③合分比:=2R

sin4+sin8+sinCsinZ+sin5sinB+sinCsin4+sinCsin/sinBsinC

(2)△ZSC內(nèi)角和定理：A+B+C=TI

①sinC=sin(/+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccos4+QCOSC.

②-cosC=cos(4+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=t&n'+tan'=tanA+tanB+tanC=tanA-tanB?tanC

J1一tan/?tanB

,--x..A+BCA+B.C

出sin(---)=cos—；cos(---)=sin—

⑤在ZU2C中，內(nèi)角4B,。成等差數(shù)列o3=2,/+C=^

知識(shí)點(diǎn)11:解三角形的實(shí)際應(yīng)用

1、仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

鉛

垂

線

2、萬(wàn)位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如8點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

3、方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

（3）南偏西等其他方向角類(lèi)似.

4、坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，z.為坡度）.坡度又稱(chēng)為坡比.

【典型例題】

題型一：向量的線性運(yùn)算

【例。如圖，已知點(diǎn)G是△N8C的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與42,4C兩邊交于"，N兩點(diǎn)，設(shè)

AM=xAB>AN=yAC則x+9y的最小值為（）

23

【答案】C

如圖，延長(zhǎng)/G交BC于點(diǎn)。，因點(diǎn)G是的重心，

—>2—.21—.—>1—.1—>?

因M,G,N三點(diǎn)共線，貝1]小>0,使恁=1疝7+（1-/）麗，

因而=x刀，AN^yAC，代入得,AG=txAB+（l-t）yAC,②

1

tx=-]]]

由①，②聯(lián)立，可得，3,,消去r即得，力一+一）=1,

八、13x歹

貝仃+9>=（工+9>）.：（工+~!"）=：（10+±+紅）2；+?.2囪=?,

3xy3yx333

當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時(shí)等號(hào)成立，

4416

即x=§/=5時(shí)，x+9了取得最小值，為?

故選：C.

【變式1-1]如圖，在平行四邊形/3C〃中，M是的中點(diǎn)，DM與AC交于氤N,設(shè)9=￡,AD^b，

則麗=（）

2-1

B.—a——b7

33

1-271-27

C.——a+—bD.—a——b

3333

【答案】A

【解析】依題意在平行四邊形NBC。中，AM//CD,

又M是N5的中點(diǎn)，則==

又DM與AC交于點(diǎn)、N,

所以&ANM~ACND,則四=處=1,

CNCD2

所以訴=#,

y.AB=a,AD=b,

所以麗=訴-方△就-萬(wàn)=1（方+詞-方=-22§+工近=一馬+）

33、'3333

故選：A.

【變式1-2］如圖，42是以CD為直徑的半圓圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AN=^AB,點(diǎn)M為線段NC中點(diǎn),

1―?2—?

B.-DC+-DN

3223

1—?1—?2—?1——?

C.-DC+-DND.-DC+-DN

2332

【答案】D

【解析】因42是以。為直徑的半圓圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，易知=

——?2—??1—?1—?—?——?—?——?——?—?1—??——?—?

由題設(shè)M4=—B4=—x—OC=—,CA=CD+DN+NA=-DC+DN+-DC=——DC+DN,

332333

-----?—?—?—?1—?—?1(9—?—A2—?1—?

由題意OM=DC+CN=℃+—G4=OC+—X--DC+DN\=—DC+—DN,

22I3J32

故選：D

【變式1-3］如圖，在△A8C中，點(diǎn)。是2C的中點(diǎn)，AC^3MC^4NC，分別連接MO、NO并延長(zhǎng)，與邊

N8的延長(zhǎng)線分別交于尸，0兩點(diǎn)，若刀=-2質(zhì),則。=()

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】B

【解析】因?yàn)轷拧?三點(diǎn)共線，所以布=彳而+〃N"+〃=i,

又因?yàn)镺是8c中點(diǎn)，所以汨=g就+；方，因?yàn)樘?3就，所以京

—??—?1—?1—?2—?—?31

所以40=+==尸，貝lJ4=a，〃=a，

所以,刀」衣，衣二2萬(wàn),

24

因?yàn)镹。,。三點(diǎn)共線，所以加=4芯+從而，4+4=1,

又因?yàn)?是8c中點(diǎn)，所以屈=!■就+；方，因?yàn)榈?4而，所以而

所以前=4赤+%而=方=14%+從而，則4=g，〃i=1,

1—,1—?—?3—?

所以==

所以聞=而一方=5萬(wàn)-2萬(wàn)=_/萬(wàn)，萬(wàn)=一2所,

所以4=1.

故選：B.

題型二：向量的數(shù)量積運(yùn)算、夾角、模長(zhǎng)

【例2】已知向量4與B的夾角。=與，且同=3,問(wèn)=2.

⑴求M+4；

(2)3在苕上的投影向量；

⑶求向量2與日+B夾角的余弦值.

【解析】(1)由向量a與B的夾角。=會(huì)，且同=3,問(wèn)=2,得小B=3x2x(-g)=-3,

la+^|2=a2+P+25-6=9+4-6=7,所以歸+可="

Z7?A-I

(2)b在M上的投影向量為*。=-：屋

⑷3

(3)a'{a+b}=a2+a-b=9—3=6,則cos〈扇子+6)二一(——=---j==~~~,

|a||a+b|3x，77

所以向量5與2+B夾角的余弦值為二.

7

【變式2-1］在平行四邊形45c。中，4B=3,AD=2,若M,N分別是邊5C,CO所在直線上的點(diǎn)，且

滿足嬴=k反,CN=kCD^^e(-l,l).

n__________廠c

(1)當(dāng)4048=90。，4=g時(shí)，求向量介和訴夾角的余弦值；

(2)當(dāng)-048=60。時(shí)，求初.麗的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)4、時(shí)，AM=AB+-BC=AB+-AD,同理=

(2)AM=AB+kBC=AB+kAD,AN=AD+^-k)AB,

故AN?AM=［(而+(1-斤)洞］.(刀+后碼

=kAI)+(l-k)A^B2+(\+k-k2)AD-AB

=4/C+9(1-^)+(1+/C-^2)X2X3X-

=-3左2-2左+12=-31后+gj+y,

-------37

因?yàn)橐?〈左<1,W<AN-AM<—,

故而?新的取值范圍為卜,斗,

【變式2-2】已知非零向量2,B滿足同=1,且（23+孫（2”B）=3,b-（a-b]=--.

⑴求W的值；

（2）證明：3_1_（4-2彼）；

⑶設(shè)B與"3的夾角為。，求歸叫及cos。的值.

【解析】⑴因?yàn)閮z+孫儂-9=3,

所以4/-廬=3,故4同2卡1=3,

又問(wèn)=1,

所以問(wèn)=1,

(2)因?yàn)?@_石)=_；,

所以》Z-必=-g,又問(wèn)=1,

一1

所以方年=7,

2

所以a-(d_2B)=/_27B=]_2xg=0,

所以3“1-25)；

(3)因?yàn)闅w一同==不(@-B)=^a-1a-b+b~=1,

所以口_.=1,

b-(a-b)

因?yàn)?$。=閂^~

又B?(萬(wàn)-B)=-W=L歸-q=1，

所以cosp=-g.

【變式2-3］已知|碼=&,揚(yáng)|=1,4與B的夾角為45。.

⑴若2G+36與位-不共線，求實(shí)數(shù)/的值；

（2）求11+23|的值;

⑶若向量（21-花）與（府-33）的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)?,+33與應(yīng)-彼共線，

所以存在實(shí)數(shù)加使得23+3彼=m（ta—b}=mta-mb,

（cfm=-3

\mt=22

所以，，解得2,所以"-彳；

-m=3t=——3

I3

（2）因?yàn)閨引=正，出|=1,方與B的夾角為45。，

所以苕石=|苕卜|豆「COS45O=Qxlx-^-=1,

所以歷+2討=片+405+4川=2+4+4=10,

貝1］團(tuán)+2"=廂：

（3）向量（2々-4）與（府-3坂）的夾角是銳角，

可得（23-文3>（24-3B）>0,且（21-幾可與（23-3句不同向共線，

即為2A52+32廬-（6+A2）a-b>0,

即有74-（6+萬(wàn)）>0,解得1<彳<6,

由（2）-4）與（X3-3B）共線，可得2.（-3）=-2,4,

解得彳=±6，當(dāng)2=灰時(shí)，兩者同向共線，

則實(shí)數(shù)2的取值范圍為（1,n）5八,6）.

題型三：向量范圍與最值問(wèn)題

【例3】如圖，在方格紙（每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1）上有4,B,C三點(diǎn)，已知向量々以/為始點(diǎn).

⑴試以8為始點(diǎn)畫(huà)出向量g,使］在￡方向上的投影向量為力，且網(wǎng)=26，并求鼠g的值

（2）設(shè)點(diǎn)。是線段/C上的動(dòng)點(diǎn)，求麗.麗的最大值.

【解析】（1）由圖知，d=（2,0）,同=2,

因?yàn)槿性赯方向上的投影向量為無(wú)，所以否在￡方向上投影數(shù)量為2同=4,

設(shè)B=(x,y),則■^■=整=4，即x=4,

又W3+/=2行,所以〉=土2,所以分=（4,±2）,

故以2為始點(diǎn)的向量g如圖，

(2)易知，5C=(3,-l),C3=(-2,3),

設(shè)麗=40,(0工/141),貝I」麗=(一24,3/1),而=前+麗=(3-24,3/1-1),

所以麗?麗=-24(3-24)+3/1(3/1-1)=131-94,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)4=1時(shí)，左方?麗取得最大值4.

【變式3-1］如圖，四邊形48。是正方形.E在邊48上運(yùn)動(dòng)，尸在邊BC上運(yùn)動(dòng)，力尸與DE交于點(diǎn)G.

⑴若E是48的中點(diǎn)，BC=3BF,AG=AAF,求實(shí)數(shù)幾的值；

（2）若AE=BF,DG=mDA+itDF.求一的最大值.

m

【解析】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為6,

則40,6),尸(6,4),D(0,0),E(3,6),所以方=(6,-2),方=(3,6),

設(shè)點(diǎn)G(x,y),則/G=(x,y-6),

由就=4萬(wàn)，得(%/-6)=2(6,-2),

x=6Ax=62

所以,即得到G(646-24),

y-6=-2Ay=6-2A,

設(shè)麗=〃詼，貝1)(646-24)=〃(3,6),

6A=3〃3

所以解得力=7

6—24=6〃

（2）因?yàn)?G,尸三點(diǎn)共線，且而=優(yōu)萬(wàn)2+”而，

所以加>0,〃>0,加+〃=1,

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,AE=BF=x(Q<x<\),

則應(yīng)0,1),5(1,1),C(1,O),￡>(0,0),￡(x,l),尸(1,1-x),

所以方=(0,1),DF=(l,l-x),反=(x,l),

所以DG=mDA+nDF=(n,m+n-nx)=(n,l-nx),

又方己//無(wú)，所以〃=X

所以〃=%2'm=1一〃=-——

1+x21+x2

X

1+/X

所以一=

m1X?—X+1X2—X+1

1+x2

V!

若x=0,貝！J—=0,

m

n_x

若x￡(0,1],貝!J加%2-x+1

當(dāng)且僅當(dāng)x=L,即X=1時(shí)，等號(hào)成立,

X

綜上所述：2的故大值為1.

m

【變式3-2］如圖1所示，在△4BC中，點(diǎn)。在線段BC上，滿足3函=麗,G是線段上的點(diǎn)，且滿足

3AG=2GB，線段CG與線段4D交于點(diǎn)。.

(^AD^xAB+yAC，求實(shí)數(shù)x,y的值;

⑵若刀=力而，求實(shí)數(shù)/的值；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)。的直線與邊/瓦NC分別交于點(diǎn)E,F,設(shè)存=4詬，萬(wàn)=〃衣，(九>0,〃>0),求丸+〃的

最小值.

—.1—■

【解析】(1)因?yàn)?①=麗所以CD=：CB,

4

所以詬=%+而=衣+，赤=

4444

13

所以

,__k,___,__o______?__,

(2)由題意可知：GC=AC-AG=AC--AB=--AB+AC,

GO=AO-AG=tAD-AG=tAD--AB=t-AB+-AC]--AB=(---)AB+—AC,

5U4J5454

又因?yàn)镚,O,C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)左使得詼=左衣，

(^-^)AB+^AC=k(-^AB+AC)=-^AB+kAC,

t2_Ik8

t=——

45-5

所以：解得：

k=§

—=k

14〔ii

o

所以

(3)易知9次=刀」左=就，

Z〃

_.8—?81—?3—?2—?6—?21—?61—?2—?6—?

由(2)知40=—/。=—(—45+—4C)=—/B+—4C=—x—4E+—x—力方=——/￡+——AF,

方111144111111211//1U11〃

又因?yàn)橥摺?廠三點(diǎn)共線，所以11r已=1,又彳

6、/o、82〃628.12//6A8\叵8+473

所以:!+//=(—+——)(4+//)=—+^^+——>—+2A—x——+2=

11211〃111U11〃11\11213TTVTF^^

=奇，即好巾，八空時(shí)取等號(hào),

當(dāng)且僅當(dāng)言

iIX

所以"+"的最小值為駕g

【變式3-3］如圖，在菱形4BCD中，AB=2,E是CD的中點(diǎn)，且萬(wàn).就=9.

(1)求cos/ZEB；

(2)以A為圓心，2為半徑作圓弧，點(diǎn)尸是弧DB上的一點(diǎn)，求定.麗的最小值.

【解析】⑴因?yàn)橐?荔+石，^E=AD+DE=^AB+AD,

所以元.亞=(萬(wàn)+存+而]=；而+|而?近+通2=|zs.2o+6=9,

所以瓦?萬(wàn)=2，

,n.DAD■AB1兀

所以COS4M8=^W=5,又/D/8e(O,7i),所以ND43=§.

??.△5CD為等邊三角形，又「E是C。中點(diǎn)，

向

.?.8￡_LCD,.-48￡是直角三角形，BE=2x—=>5,AB=2,

2

I---------BE拒歷

.,./￡=也+后=V7，?■■cosZAEB=—=-^==—；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，/B所在直線為x軸，垂直于48的直線為了軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則3(2,0),C(3,g),設(shè)尸(2??425.6)[0^夕4])

所以麗=(2-2cos0,-2sm0),PC=(3-2cos26-2sin6?),

所以尸8.PC=(2-2cos^,^sin0)-^3-2cos6),^3-2sin0j=10-lOcos。一2V§sind=10-4^7sin(6(+^?),

10

其中sm展正，

故當(dāng)e+°=|?時(shí)，及?.而取最小值，

所以麗.無(wú)=10-4近，此時(shí)sin(19+0)=l.

題型四：余弦定理、正弦定理

JT9

【例4】在△45。中內(nèi)角4瓦。所對(duì)邊分別為。也。，若5=§萬(wàn)=^。。，貝usiiL4+sinC=()

A.-B.V2C.—D.-

222

【答案】C

TT941

【解析】因?yàn)?=鼻萬(wàn)=：ac,則由正弦定理得sirUsinC=gsin28=3.

9

由余弦定理可得：b1=a2+c2—etc=—ac,

4

22131313

即：a+c=—acf根據(jù)正弦定理得sin2z+sin2c='siii4sinC=」，

4412

7

所以（siih4+sinC）2=sin?/+sin2C+2siiL4sinC=—,

4

因?yàn)?。為三角形內(nèi)角，則siib4+sinC>0,貝Usiih4+sinC=五.

2

故選：C.

a/

【變式4-1]△/BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,△45C的面積為二，且6=1,C=^~,

43

則邊c=（）

A.7B.3C.V7D.V13

【答案】C

【解析】由S《Be=！a6sinC=Lqxlxsin￥=Y^a=*亙，解得。=3,

c22344

由余弦定理得c?=a2+/-2abcosC=32+12-2x3xlxcosm=7,所以c=V7.

故選：C.

【變式4-2]在△48C中，a,6,c分別是角4民。的對(duì)邊，若云0$。+（<?-24）?）$2=0,

⑴求角8的值；

⑵若方?數(shù)=-2，且滿足siiU+sinC=2sia8,求△4BC外接圓的半徑R.

【解析】（1）由正弦定理得sin8cosc+（sinC-2sin/）cos5=°,

z.sinBcosC+sinCcos5=2sincosB,則sin（8+C）=2sin/cos3,

又sin（B+C）=sin（兀-4）=sin/,貝!!sint=2sinZcos8,

17r

,「sin/wOncost=5,又§￡（0,兀），故B=

（2）由ABBC=ac,cos（7t-3）=—;ac=-2=>ac=4.

由余弦定理得：b2=/+。2-2QCCOS5,又sinZ+sinC=2sin5=>Q+c=26,

所以（"=（Q+c）2-3ac

3（<:。）=12=>（42+c）2=16na+c=4,b=2,

揖=工=」=巫,?.R=空.

sinBsin60°33

a

【變式4-3】已知△/5C的內(nèi)角4尻。的對(duì)邊分別為。也。，且ccosB+bcosC=

2cosZ

（1）求角/的大小;

(2)若MBC的面積為4右,.=34，求△ABC的周長(zhǎng)和外接圓的面積；

0sm/

【解析】(1)由ccosB+bcosC=---------,由正弦定理得sinCeos5+sin5cosC=----------

2cosA2cosA

sin/4sin/t1

從而有sin(5+C)=---------=sin/=---------,sin/wO,貝Ucos4=一,

2cosA2cosA2

兀

由0<4<兀=4=1；

(2)因?yàn)镾=」bcsin4=工6(>^^=4\^,所以bc=16,

222

由余弦定理得：a2=b2+/-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA,

即27=0+0)2—3x16,解得6+0=56，

所以周長(zhǎng)為〃+6+。=3用56=85

a_36

設(shè)外接圓半徑為凡由嬴一^一，得R=3,

sin—

3

所以外接圓面積旅2=32兀=9兀.

題型五：平面向量的實(shí)際應(yīng)用

【例5】一條河的兩岸平行，河寬600m,一艘船從河岸邊的某處出發(fā)到河對(duì)岸.設(shè)船在靜水中行駛的速度的

大小為4km/h,水流速度的大小為2km/h.當(dāng)船以最短距離到對(duì)岸時(shí)，船行駛所用的時(shí)間（保留兩位小數(shù)）

為（）

A.0.17hB.0.15hC.0.13hD.0.1Oh

【答案】A

【解析】設(shè)一艘船從岸邊/處出發(fā)到河的正對(duì)岸，設(shè)船的速度同=4km/h,水流速度歸|=2km/h,

要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度恐必須垂直于對(duì)岸,

故選：A.

【變式5-1］如圖，一條河的南北兩岸平行.游船在靜水中的航行速度司的大小為10km/h,水流的速度E的

大小為4km/h,則游船要從/行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，其航行速度的大小（）

A.2后km/hB.2歷km/hC.2而km/hD.14km/h

【答案】A

【解析】設(shè)］與E所成的角為伏°＜。＜兀），

由題意得，（V1+V2）-V2=V1-V2+^=10X4XCOS0+16=0,

2

則cos0=~—

2

（Vj+V2）+片+2?西=100+16-2x10x4x1=84,,+口=2技.

故選:A

【變式5-2】有一條東西向的小河，一艘小船從河南岸的渡口出發(fā)渡河.小船航行速度的大小為15km/h,方

向?yàn)楸逼?0。，河水的速度為向東7.5km/h,求小船實(shí)際航行速度的大小與方向（）.

A.當(dāng)JSkrn/h正北B.￡6km/h與水流方向夾角為63.4。

C.5Vykm/h與水流方向夾角為41。D.J瓜m/h垂直于河岸

【答案】A

【解析】如圖，冠為河水速度，就為小船航行速度，設(shè)近為小船實(shí)際航行速度.

D

設(shè)E為渡口A在對(duì)岸對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則Z4EC=90。，NC4E=30°,

在A/CE中，?.,"=］狗=15,...CE=；NC=7.5=國(guó)|,

:.E和D重合，|石|=NE=一防2=加S=yV3（km/h）.

二小船實(shí)際航行速度的大小為?瓜m/h,方向?yàn)檎狈较?

故選：A.

【變式5?3】在日常生活中，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為

G＞作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為耳，耳，且園=|司，耳與耳的夾角為凡給出以下結(jié)論：

①"越大越費(fèi)力，d越小越省力；②。的范圍為［0,可；

③當(dāng)時(shí)，行園=同；④當(dāng)夕三時(shí)，園=同.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】A

【解析】根據(jù)題意,得恂=|耳+園，園=園,耳與瓦的夾角為6,

所以慟2=同2+同2+2園X園Xcos。=2同2（1+cos0）,

解得同2=—H-，

I?2（1+cos0）

對(duì)于①，因?yàn)椤Ｄ?,兀）時(shí)，y=cos。單調(diào)遞減,

所以"越小越省力，e越大越費(fèi)力，故①正確；

對(duì)于②：由題意知?的取值范圍是［o,兀)，故②錯(cuò)誤;

對(duì)于③：因?yàn)閺]M_,所以當(dāng)時(shí)，廬「=同，