重難點2-3利用導數研究曲線的切線問題

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預測

切線問題在高考中頻繁出現，主要以選擇題和填空預計2025年高考中，切線問題的考題形式及內容

題的形式考查，部分題目結合解答題的第（1）問不會有太大的變化，繼續考查曲線在給定點處的切

出現.題目難度適中，重點考查學生對導數幾何意線方程，可能涉及參數化問題、結合函數的單調性、

義的理解和應用能力.極值等性質考查切線問題.

重難點題型解讀

題型2■過■點P處的切線問題。—利用導致研究曲線的切線問題一＞=＞題型5兩條曲線的公切線問題

題型3切線的平行與垂直問題題型6與切線有關的距離最值

題型1“在”點P處的切線問題

求曲線“在”某點處的切線方程步驟

:第一步（求斜率）：求出曲線在點（%,/（七））處切線的斜率/（%）;

!第二步（寫方程）：用點斜式丁—/（%）=/'（%）5—%）；

■第三步（變形式）：將點斜式變成一般式.

1.（24-25高三上?江蘇鹽城?月考）曲線y=d（x-l）在x=l處的切線方程為（）

A.x=lB.y=lC.V=xD.y=x-l

【答案】D

【解析】因為y=f（x-l）,所以y=3/_2x,

所以曲線丫=爐（％-1）在》=1處的切線的斜率為i,

當x=l時，y=0,所以切點為（1,0）,

所以切線方程為y-o=x-i,即y=x-i.故選：D.

2.（24-25高三上?河南?期末）函數〃x）=ex+e2x的圖象在點（。，/⑼）處的切線方程為（）

A.3%-y+l=0B.2x-y+2=0C.x-3y+6=0D.3x-y+2=0

【答案】D

【解析】依題意，/（0）=2,

因為1f（x）=e，+2e",所以/'（0）=3,所以切線方程為y-2=3（x-0）,

BP3x-y+2=0f故選：D.

3.（24-25高三上?山東泰安?模擬預測）已知函數〃x）=l+2x-sinx,則曲線y=〃x）在x=0處的切線方程

為（）

A.元+）-1=0B.x-y+l=0C.x-y-l=0D.2x-y+l=0

【答案】B

【解析】/（0）=l+0-sin0=l,f（x）=2-cosx,

故/'（0）=2—cos0=2-l=l,

故y=/（x）在x=0處的切線方程為y-l=x-0,即x—y+l=0.故選：B

4.（24-25高三上?廣東?月考）函數〃尤）=lnx+2x的圖象在點（1,2）處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面

積為（）

A.—B.—C.—D.一

2368

【答案】C

【解析】由〃x）=lnx+2x,得廣（x）=1+2,/”）=3,

則〃尤）的圖象在點（L2）處的切線方程為y-2=3（x-l）,即y=3尤-1,

令x=0,得,=_1,令y=。，得無=；,

則該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為[Xlx[=],故選：C.

題型2“過”點P處的切線問題

求曲線“過”某點處的切線方程步驟

第一步：設切點為。（％,/（尤0））;

第二步：求出函數y=/（x）在點X。處的導數/'（小）；

第三步：利用。在曲線上和尸（%）=與0,解出無。及廣（七）；

;第四步：根據直線的點斜式方程，得切線方程為y—/（xo）=/'（xo）（x—%）.

1.（23-24高三下.天津和平.二模）過點（0,0）作曲線y=2，（xwR）的切線，則切點的坐標為

【答案】4

【解析】設切點的坐標為。,2'）,由y=2%xeR）,y=21n2,

所以過切點的切線方程為：y-2f=2（ln2（x-r）,

把（。,0）代入得:一2t=一t-2-n2,BPtln2=1,

所以公工，則切點坐標為：即（e，e].

In2（ln2J（ln2J

2.（23-24高三下.山西呂梁.二模）若曲線〃x）=lnx在點P（x。,為）處的切線過原點0（0,0）,則

【答案】e

【解析】因為〃尤）=lnx,所以尸（x）=3

所以〃x）在點尸（工,%）處的切線方程為y-1叫,=’（x-%.

入0

又切線過原點0（0,0）,則-1啄=-1,所以x°=e.

3.（24-25高三上?陜西西安?一模）已知直線/為曲線〃尤）=；尤3+3過點尸（2,4）的切線.則直線/的方程

為.

【答案】x_y+2=0或4x_y_4=0

14

【解析】■：f（x）=-x3+-,：.f'（x）=x2.

設直線I與曲線”X）相切于點M（x0,%）,則直線I的斜率為k=r（x。）=X；,

，過點MO。,%)的切線方程為尸OoXx-x。),

i4

即y-(§石+y=-%)，又點P(2,4)在切線上，

???4一(家+令=需(2-%)，整理得x；-3x：+4=0,

2

A(XO+1)(XO-2)=O,解得力=T或x0=2；

所求的切線方程為無7+2=0或4x-y-4=0.

4.(24-25高三上?江蘇蘇州?模擬預測)過點(1,4)且與曲線/(%)=1+了+2相切的直線方程為()

A.4x-y=0B.7x—4y+9=0

C.4.r-y=0^7x-4y+9=0D.4x-y=0或4x—7y+24=0

【答案】C

【解析】設過點(1,4)的曲線y=/(%)的切線為：l-y-y0=(3%^+1)(%-%0),

i

(3歐+1)(1-x)=4-y航7曰配=一5

有00%=1或

%=瑞+與+2'解侍Vo=4/9，

y。?

代入/可得4x-y=0或7x—4y+9=0.故選：C

題型3切線的平行與垂直問題

i------------------⑥-----------------------------------------------------------------------------1

II

對于平行問題，利用導數求出切線斜率，將斜率相等作為條件建立方程求解；對于垂直問題，利用兩

切線斜率乘積為-1的條件建立方程.同時，結合函數圖像和幾何性質，靈活運用數形結合思想，快速

i定位關鍵點和條件，從而高效解決問題.

ii

1.(24-25高三上?廣西河池?期末)已知函數=lnx在點(1,0)處的切線與直線y=6+1垂直，則。=.

【答案】-1

【解析】函數/(乃=1心的導數為(")=；，故函數在點(L0)處的切線斜率為=

因為切線與直線>=方+1垂直，所以。=-1.

2.(23-24高三下?廣東肇慶?模擬預測)若曲線y=Y-alnx在點尸(1,1)處的切線與直線y=x-2垂直，則實

數a的值為()

A.1B.75C.2D.3

【答案】D

【解析】由y=x2-alnx,求導；/=2彳-色，

x

則y=x2-“lnx在點P（l,l）處的切線的斜率為y'k=2-a,

而y=f-alnx在點P（l,l）處的切線與直線y=x-2垂直，

則2-。=-1,故。=3.故選：D

3.（24-25高三上?內蒙古赤峰?期中）已知曲線C：y=e，+x在點A處的切線與直線2x-y+2=0平行，則

該切線方程是（）

A.2x-y=0B.2x-y-2=Q

C.2x-y-l=OD.2x-y+l=O

【答案】D

【解析】根據題意可得y=e"+l,設4（g,yo）,則a+1=2,解得%=0,

所以%=e°+0=l,所以4（0,1）,

故所求切線方程為＞T=2（x-0）,即2x-y+l=0.故選：D.

4.（23-24高三上?內蒙古赤峰?期中）已知〃x）=x+liw,曲線y=〃x）在點Q處的切線/與直線2x-y-14=0

平行，則直線/的方程為（）

A.2x-y+l=0B.2x-y-l=0

C.%+2y+l=0D.%+2y-l=0

【答案】B

【解析】因為〃x）=x+lnx,其中》＞0,則/'（x）=l+:，

直線2x-y-14=0的斜率為2,由廣⑺=1+^=2,可得x=l,且41）=1,即點。（1,1）,

所以，直線/的方程為y—l=2（x—1）,即2x-y-l=0.故選：B.

題型4根據切線條數求參數

00既W

已知了（%）,過點（。/），可作曲線的〃（"=1,2,3）條切線問題

第一步：設切點《（%,%）

;第二步：計算切線斜率上=/'(%);

第三步：計算切線方程.根據直線的點斜式方程得到切線方程：y-y0=f'Wx-x0).

第四步：將(。,力代入切線方程，得：b-yQ=f\x0Xa-x0),整理成關于不得分方程;

!第五步：題意已知能作幾條切線，關于飛的方程就有幾個實數解.

1.(24-25高三上?四川內江?模擬預測)若過點(加㈤(m>0)可以作兩條直線與曲線y=相切，則下列選

項正確的是()

A.2n<]nmB.2n>lnmC.2m>Inn>0D.2m<inn<0

【答案】B

【解析】設切點

因為，=3lnx,所以y'=1,

22x

所以點P處的切線方程為=—(x-x0),

又因為切線經過點(九力，

所以〃_gln/=*(m一%),即2〃+l=ln/m

+一，

%

令/(%)=lnx+'則>=2〃+1與/(%)=1口冗+'(%>0)有兩個不同的交點,

xx

當加40時，/(彳)>0恒成立，所以“X)單調遞增，不合題意；

當機>0時，當0<x<加時，/r(x)<0,當x>加時，/r(x)>0,

所以/(元)礴=/(a)=lnm+l,貝!j2〃+1>lnM+l,即故選：B

2.(24-25高三上?福建安溪?月考)若過點。(2〃,片)可作3條直線與曲線/(工)=工3相切，貝匹的取值范圍為

()

A.(0,8)B.(-,+℃)C.(-oo,0)(0,-)D.(-(?,0)u(8,+<?)

88

【答案】B

【解析】設過點P的直線與曲線/(幻=由相切于點。。,戶),則尸0)=%,

32

其中⑥2表示直線P。的斜率，即3產=二^,整理，得2/_6ay+4=0.

t—2a

過點P可作3條直線與曲線/(x)相切等價于方程2/-6/+/=。有3個不同的實數根.

設gQ)=2/—6。/+4，則，⑺=6/—12。，.由g'?)=。，得，=0或，=2々，

易知1=0和，=2〃是g⑺的兩個極值點.

方程2r-6at2+/=o有3個不同的實數根，即g⑺有3個不同的零點，

所以g(0)g(2〃)<0,即/(”2_8馬<0,解得故選:B.

3.(24-25高三上?湖南岳陽?月考)已知過點(。,切可以作函數八了)二丁一九的三條切線，如果，>0,貝南和人

應該滿足的關系是()

A.0<b<a3B.<b<a3-a

9

C.—a<b<a3D.—a<b<ai—a

【答案】D

【解析】設切點。，戶一)，由廣(x)=3f_l可得

切線方程為>一(rT)=(3產-l)(XT),

將(a,3代入得b-(t3-t)=(3t2-l)(a-t),

整理得6=-2r+3。尸-a,

設g(f)=-2t3+3a廠一a,g'(f)=-6廠+6at,

令??)=0,解得t=o或r=a,因為。>。，

所以g⑺在(f,0),(。,+?)單調遞減，在(0,。)單調遞增，

由題意得6=8(/)有3個不相等的實數根，

則有g(O)<b<g(a),即—avZ?v/—a.故i^:D.

4.(24-25高三上?黑龍江?模擬預測)若過點(2,〃z)可作出曲線/(力=3一3x的三條切線，則加的取值范圍

是__________

【答案】(-6,2)

【解析】f'(x)=3x2-3,則過⑺)的切線為y—〃f)=「(r)(xT),即y=(3"3卜一2己

3

由過點(2,㈤可作曲線y=的三條切線得m=-2t+6/-6有3個不等實根.

令8(。=2/一6產+6+〃z,g'(f)=6產一⑵，由=0得1=0或r=2.

當，<0或/>2,g'(f)>0,g")單調遞增；當0<f<2,g'⑺<0,g(r)單調遞減；

故當「=。時，函數g(。取得極大值為6+加；當，=2時，函數g?)取得極小值為根-2.

要使g(。=°有3個不等實根，則6+根＞0,加一2＜。，即得-6＜機＜2,

即所求m的取值范圍是(-6,2).

故答案為：(-6,2).

題型5兩條曲線的公切線問題

已知f(x)和g(x)存在〃(〃=1,2,3)條公切線問題

第一步：求公切線的斜率，設了。)的切點4和/(%))，設g(x)的切點3(%送(乙))；

第二步：求公切線的斜率左=尸(玉)與左=g'(%)；

第三步：寫出并整理切線

(1)y-/(xi)=/'(xi)(x—斗)整理得：y=f'(xi)^i+/(-^i)

(2)y-g(X2)=g'(X2)(x-X2)整理得：y=g\x2)-x-g'(x2)x2+g(x2)

ra)=g'(x2)

第四步：聯立已知條件＜

r

-f(xl)x1+/(%1)=-g(x2)x2+g(x2)

1.(24-25高三上?山東聊城?月考)已知曲線y=lnx與曲線y=/x-￡|有唯一交點，且在交點處有相同的

切線，貝!)。=()

A.2B.-C.1D.!

22

【答案】D

【解析】當。=0時，曲線y=。￡|=。與曲線y=lnx有唯一交點(1,0),

當awO時，因為'二左和廣一工在(0,+8)上單調遞增，

X

。在(0,+8)上單調,

因為曲線V=lnx在(0,+8)上單調遞增，且兩曲線有相同切線,

所以函數y=〃1[=0在(0,+8)上單調遞增，故。＞0,

lnl=0,=二.y=lnx與y=J的交點為(1,0),

(lnx)，=L，y=lnx在(1,0)處的切線斜率左=1,

X

記/(x)=,則/[x)=!_g[l+3(5<0

--------：-su>

2x2

所以〃x)在(0,+8)上單調遞減，故In。有唯一解,

即曲線y=lnx與曲線有唯一交點，滿足題意.故選：D.

2.(24-25高三上?河北邯鄲?月考)若直線>=履+6是曲線y=e,-l的切線，也是曲線y=e，"的切線，則實

數/?=()

A.-In2+1B.-In2+-C.-In2--D.-In2

222222

【答案】C

【解析】根據題意，設直線>=區+匕與曲線y=e，-l的切點為(占——1),

與曲線y=e-2的切點為(々,eV),

而y=e*-1的導數為y=e\y=的導數為/=。皿,

2

所以兩曲線的切線分別為丫-。+1=9(x-Xl),y-^-=e'(尤一左)，

%西=e*2-2[x=-ln2

兩條切線對應相同，可得八\?八、也.2,解得?°?

(l-xje'-l=(l-x2)e^[x2=2-ln2

所以切線方程為>—6,2+1=6-32(%+1112),即y=gx+；ln2-J,

則6=jln2-L故選：C.

22

3.(24-25高三上?遼寧?期末)已知函數〃x)=e、—2根，g(x)=f—皿，若過點(私0)的直線與曲線y=fQ)

和y=g(x)均相切，則實數優的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】設直線與〃力=e*-2根圖象相切的切點為國e*-2m),

由廣(x)=e*,則切線斜率為e』，

1%1%,Xl

切線方程為y—e為+2m=e^,即y=ex+e-exx-2mf

又g(m)=O,且g<x)=2x-根，即=

所以過點(狐。)與曲線y=f-g相切的直線方程為y=g:-機2,

聯立］：-7c2解得加=玉+1，所以e*=玉+1，

xz

?-e'xl-2m=-m,

設〃(x)=e",nr(x)=ex-1

當％>0,nr(x)>0,n(x)單調遞增,當xv0,"(%)<0,n(x)單調遞減，

所以〃(幻之〃(0)=0,故e—x+1,當且僅當％=0時取等號，

故由e*=石+1得％=0,所以機=1.故選：C

4.(24-25高三上?山西運城?期末)若兩曲線y=lnx與y=Qf+i存在公切線，則正實數〃的取值范圍為()

A.3B.(0,2e]C.1-e-3,+oojD.[2e,+co)

【答案】C

【解析】設公切線與曲線y=lnx與>=江+1的交點分別為a，inxj,(x?,應+1),其中占>0,

對于y=lnx,得，=4,

則與y=lnx相切的切線方程為yTnX]=工(無一再)，即y=L%+ln龍1-1,

玉須

對于y=ax?+1,得y'=2ax,

則與'=奴2+1相切的切線方程為,_(行+1)=25(%_工2),即y=2ax2x-ax^+l,

由公切線，得一二2ax[,]nx—l=—ax1+1,有一^二仙國―2,--=2x^—xfInx(x,>0),

%i434〃{

令g(x)=2f-x2lnx(x>0),則gz(x)=3x-2xlnx=x(3-21nx),令g〈x)=0,得％=

(3>

當一0,一時—>0,g(x)單調遞增,

\/

/3A

當xee2,+oo時g<x)<0,g(x)單調遞減.

\/

'3、1111

所以g(無)a=ge2k-e3,故即。2彳片3.故選：C.

)24〃22

題型6與切線有關的距離最值

—*

I

;利用平行線間距離最短的原理，找尋與已知直線平行的曲線的切線.

1.(24-25高三上?甘肅白銀?模擬預測)已知產是曲線〃x)=xlnr+l上一點，則點尸到直線2彳-y-8=0的

最短距離為()

A灼9-e)B-e)c灼9-2e)D」(7+e)

5555

【答案】A

【解析】由題知，r(x)=lnx+l,令/'(x)=2,得％=e,

又〃e）=e+l,可得點P（e,e+1）,

所以點P(e,e+1)到直線2x-y-8=0的距離最短為快一(二)一母二歲.故選:A.

V5V5

2.(24-25IWJ二上,遼寧鞍山?期末)已知aeR,若實數蒼、滿足y=—］尤~+2I1LX+5,貝!l(a—x)~+(a+1—＞)?

的最小值為()

A.20B.72C.2D.8

【答案】C

【解析】由題意，點(x,y)在曲線y=-；x2+21nx+J上，點(0,4+1)在直線＞=》+1上，

(a-X)2+(〃+l-y)2的幾何意義就是

曲線y=-：x2+21nx+；上的點P(x,y)與直線y=x+l上的點Q(a,a+1)兩點間的距離的平方.

當點尸為曲線yn-gd+ziju+g平行于直線y=x+l的切線的切點，

且直線P。垂直于直線y=x+l時，P,。兩點間的距離才可能最小.

22

又''二一九+—，令y'=—X+—=1,解得了=1或—2(舍去)，

xx

所以切點為尸(1,0).切點p(l,o)至U直線y=x+i的距離

d=卜”=就是所要求的曲線y=-*2+21nx+1上的點與直線＞=X+1上的點之間的最小

，222

距離,

故+(〃+1-J?)?的最小值為=2.故選：C.

3.(23-24高三下?江蘇泰州?模擬預測)曲線y=e"+x+l上的點到直線y=2x距離的最小值為()

A小R小2百36

A.---D.---Cr.-------nD,----

10555

【答案】C

【解析】令/(工)=1+兀+1,則/(%)=e"+l,

設該曲線在點(%,/(%))處的切線為/,

需求曲線到直線y=2x的距離最小，必有該切線的斜率為2,

所以/'(%0)=川+1=2,解得—=0,則切點為所2),

故切線/的方程為>-2=2%,即2x-y+2=0,

所以直線2x-y+2=0至IJ直線2無一y=。的距離為《=//=￥，

^/22+(-1)25

即該曲線上的點到直線y=2x的最小距離為撞,故選：c

5

4.(24-25高三上?河南?月考)已知A是函數〃x)=xe*+3圖象上的一點，點B在直線/:x-y-3=。上，則|明

的最小值是()

A.7瓜一叵B.3C.2夜D.30

2e

【答案】D

【解析】設〃x)=配，+3上一點A(x°,x0e&+3)處的切線與/:x-y-3=0平行，

則廣(x)=(l+x)e，，則(l+%)e須=1,

令r(x)=(l+x)e*-l,顯然(0)=0,貝ij(x)=(2+x)e，，

當x<—2時，當x>—2時，/'(x)>0,

故［x)=(l+x)e，-l在(-8,-2)上單調遞減，在(-2,+8)上單調遞增，

當x<-2時，恒成立，易知f(x)=(l+x)e，-1只有1個零點，即0,

所以%=0,故A點坐標為(0,3),

恒目的最小值為4(0,3)到直線/?7-3=0的距離，即華昌=3近，故選：D

限時提升練

(建議用時：60分鐘)

一、單選題

1.（24-25高三上?四川?模擬預測）/（x）=x-l-21nx,則在x=1處切線方程為（）

A.y+%-l=OB.y-x+l=O

C.%=1D.y+2x-2=0

【答案】A

【解析】因為，（x）=x—l—21nx,

所以〃i）=iT—o=o,7。）=1一:，所以『'⑴=一1,

所以函數“X）在X=1處的切線方程為y=-l（x—1）,即尤+y-i=o.故選：A.

2.（24-25高三上?江西景德鎮?模擬預測）過點A（O,1）且與曲線/a）=x3+2x-l相切的直線方程是（）

A.y=5%+lB.y=2x+l

C.y=x+lD.y=-2x+l

【答案】A

【解析】/'（同=3爐+2,點A不在曲線上，

設切點為（%,就+2/-1）,則「伉）=3/2+2=寸土生土，解得：毛=-1,

%

得切點（-LT）,則上=/'（一1）=5

切線方程為：y=5x+l,故選：A.

3.（24-25高三上?河南?月考）曲線y=e=2a尤在無=0處的切線經過點（2,-1）,則實數〃的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】y=e'-2a,由導數幾何意義知，

>=^-2以在％=0處的切線斜率為6°—2。=1一2。，

當x=0時y=l,切線經過點（2,-1）,故有??=1-2a,解得。=1.故選：C.

4.（24-25高三上?湖北?期末）函數〃月=311（2月在尤=^處的切線與直線y=3x+5垂直，則。=（）

【答案】B

【解析】函數〃x)=§n(2x),求導得1(尤)=-￡ln(2x)+￡,

/⑴在.七處的切線斜率為'UJI2；「；,

又〃尤)在尤=；處的切線與直線y=3x+5垂直，

所以3x4。=—1,解得a=-----.故選：B.

12

5.(24-25高三上.山西.月考)曲線/(x)=lnx-1與g(x)=ln(x-1)的公切線的斜率為()

A.1B.-1C.eD.-e

【答案】A

【解析】因為〃x)=lnx-l,則-(尤)=：,

設切點坐標為(a,lna-1),<7>0,切線斜率為用=-,

可得切線方程為y-(in4-1)=_(X-q),BPy=-x—2+lna；

因為g(x)=ln(x-l),則g'(無)

設切點坐標為("In伍切線斜率為心=土,

11A

可得切線方程為y-ln(6-l)=「(x-6),即、=「》一+ln(6-l)；

由題意可得：

b

-2+In〃=--------F

b-1

所以公切線的斜率為一=1故選：A.

6.(24-25高三上?廣東佛山?一模)若直線y=x+。與曲線y=ln(x+b)相切，則/+/的最小值為(

【答案】A

【解析】設直線y=x+。與曲線V=ln(x+6)的切點為(x。,%).

對y=ln(x+Z?)求導，根據(ln“)'=▲〃'，可得爐=

因為直線y=x+a的斜率為1,由導數的幾何意義可知,

1,

在切點處17=1,即無。=1-乩

x0+b

又因為切點(無。，％)既在直線上又在曲線上，

所以％=無。+。且為=ln(x0+?，即山(%+b)=毛+4.

將升=1-6代入ln(Xo+6)=Xo+a可得：ln(l—6+6)=l-6+a,gpa-b-1.

將。=人一1代入/+〃可得：

a2+b2=(b-l)2+b2=2b2-2b+l=2^b-^+1,

所以當b=。=時，取得最小值為故選：A

7.(24-25高三上?內蒙古?開學考試)點尸是曲線y=f-Inx上任意一點，則點尸到直線y=x-4的距離的最

小值是()

A.1B.拒C.2D.20

【答案】D

【解析】因為點P是曲線y=公-liw上任意一點，

所以當點尸處的切線和直線y=X-4平行時，點尸到直線y=X-4的距離最小.

因為直線y=x-4的斜率等于1,曲線y=x2-lnx的導數y=

X

令y=i,可得％=i或■(舍去),

所以在曲線y=f—inx上與直線y=x-4平行的切線經過的切點坐標為(1,1),

11-1-21

所以點P到直線4的最小距離為?局=2^2.故選:D.

8.(24-25高三上?重慶?月考)若過點(。力)可以作曲線y=ei的兩條切線，貝U()

A.eb+l<aB.ea+1<bC.0<b<ea+1D.0<a<eA+1

【答案】C

【解析】設切點為

對j=e'+1求導可得："e㈤,

???切線的斜率為

可得切線方程為：廣泊+:淖+十一%)，

1+1

把點(a,6)代入可得b-e^=e^(a-x0),化為6=6中(。+1),

令/(x)=e"+i(a-x+l),xGR,/,(x)=ex+1(a—x),

令?f(x)>0得x<a;令/(x)<0得x>。

所以函數/(X)在(-8,a)上單調遞增，在(。,+8)上單調遞減，

可得x=a時函數/(%)取得極大值/(a)=e“+L

當尤t■一8時,/(尤)>0,/(尤):o,

當X—>+00時，—8.

：.b<0時，y=b與函數/(%)的圖象最多有一個交點，不符合題意，舍去.

b>0時，由過點(。㈤可以作曲線y=e㈤的兩條切線，

.-.y=b與函數/(%)的圖象有兩個交點，

.,.0<6<尸.故選：C.

二、多選題

9.(24-25高三上?河北?月考)若直線y=〃a-3與曲線y=/+x相切，則加的值可以為()

A.-3B.2C.4D.5

【答案】AD

【解析】函數>=/+無，求導得y=4/+i,

設直線y=W-3與曲線y=/+x相切的切點為

則曲線y=x"+x在點(t,—+力處的切線方程為y—(t4+t)=(4/+1)(尤—f),

fm=4r+1

依題意，｛°,4、,3,、，解得/=T,；〃=_3或f=l,，77=5,

[-3-(r+r)=-z(4