2023-2024學年度下學期期末質量監測

八年級數學試卷

（試卷滿分120分，考試時間120分鐘）

考生注意：所有試題必須在答題卡指定區域內作答，在本試卷上作答無效.

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.用不等式表示：犬是非負數，則下列各式中正確的是（）

2222

A.x>0B.%>0C.x*0D.X<Q

2.下列從左到右的變形中，屬于多項式因式分解的是（）

A.2a2b-3ab2=ab（2a-3b^B.（x+l）（x-3）=x2-2x-3

C.x2-3=（x+l）（x-l）-2D.l0a2b=2a-5ab

3.2023年2月24日，“逐夢寰宇問蒼穹---中國載人航天工程三十年成就展”在中國國家博物館展出,

下列航天圖標中，是中心對稱圖形的是（）

4.關于x的方程——+1=——有增根，則女的值是（）

x—2,x—2

A.0B.3C.2D.-3

5.如圖，在中，/。=90。,/5=30。，。是上一點，連接，若AD平分,設口4。3

和△ADC的面積分別是Sr$2,則S］：S2=（）

A.1:1B.2:1C.3：1D.3:2

第1頁/共6頁

6.若6〉a〉0,則下列各式正確的是（）

aa+\1aa+\atz+1

A——=____R。——>。__+__C—<___D—<____

bb+\bb+1bb+1bb+\

7.已知口ABC的三邊長分別為a,b,c,且滿足絲=62_A，貝！）口ABC一定是（）

A,等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

8.指出下列命題中的假命題（）

A.三個角都相等的三角形是等邊三角形

B.一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線也相等的兩個直角三角形全等

C.三角形的三條角平分線相交于一點，并且這點到三個頂點的距離相等

D.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

9.如圖，把DABC繞著點C順時針旋轉，點A的對應點是點A,點8的對應點是點5',連接58'，若

BB'//AC,ZACB=45°,則ZACA的度數是（）

A.22.5°B.25°C.28°D.30°

10.如圖，Z7A8CD的對角線AC與5。相交于點O,E、尸是對角線3。上不同的兩點，在下列添加的條

件中，不能判定四邊形AECF為平行四邊形的是（）

C.AF//CED.ZBAE=ZDCF

二、填空題（本題共5道小題，每小題3分，共15分）

H.若分式三?有意義，則x的取值范圍是—.

x+2

12.分解因式,2+/）2一4/^2=.

第2頁/共6頁

13.一個多邊形的內角和是它的外角和的5倍，則這個多邊形的邊數為.

14.如圖，在。ABC。中，尸是邊上一點，E是CD邊的中點，AE平分ND4P.若3b=6,CF=2,

則AF的長為?

15.如圖，在。ABC。中，分別以AB、為邊向外作等邊口43后、等邊AADF,延長交線段AE

于點G,連接CE、CF、EF,則在以下四個結論中，①MDF注AEBC；②CGLAE；③

ZCDF=ZEAF；④AECF是等邊三角形.一定正確的有：.（只填序號）

三、解答題（共75分）

x-1

16.先化簡，再求值:其中x=-3.

x~+2x+1

17.如圖，已知點4（2,4）、5（1,1）,C（3,2）.

第3頁/共6頁

（1）將口ABC繞點。逆時針旋轉90。得△A^iG，畫出△4片。「

（2）畫出DABC關于原點。成中心對稱的圖形2c2.

（3）在平面直角坐標系內找點。，使得A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點。的坐標為

18.證明與作圖:

（1）已知：如圖1,BM1OA,AN1OB,垂足分別為M,N,與AN相交于點P.若

OM=ON,求證：PA=PB.

（2）尺規作圖：如圖2,已知：線段a,b（a<b）,

求作：等腰三角形ABC,使底邊上的高為。，腰長為b.（提示：作圖要保留作圖痕跡，且要用2B鉛

筆，不用寫作法）.

19.新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組的解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的

x-1>1

“關聯方程”.例如：方程尤―1=3的解為X=4,而不等式組c―的解集為2<x<5,恰好X=4在

x-2<3

x-1>1

2<工<5的范圍內，所以方程％-1=3是不等式組。^的“關聯方程”.結合新定義，按要求解答下

x-2<3

面問題：

/、v_i[2x-2>x-1

（1）在方程①3（x+l）—x=9；②4x—7=0；③土廠+l=x中，不等式組的“關聯

方程”是;（只填序號）

空2X①

2

（2）若關于x的方程2x+左=5是不等式組〈，0,的“關聯方程”，求左的取值范圍？

x—1、2x+le

20.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，E為上的一點，連接池并延長，使BF=BE,連接EC并

延長，使CG=CE,連接PG.H為尸G的中點，連接求證：四邊形AEHD為平行四邊形.

第4頁/共6頁

21.某公司積極響應節能減排號召，決定采購新能源A型和2型兩款汽車，已知每輛A型汽車的進價是每

輛8型汽車的進價的1.5倍，若用3000萬元購進A型汽車的數量比2400萬元購進8型汽車的數量少20

輛.

（1）A型和B型汽車的進價分別為每輛多少萬元？

（2）該公司決定用不多于3600萬元購進A型和3型汽車共150輛，最多可以購買多少輛A型汽車？

22.閱讀材料：教材中把形如+〃的式子叫做完全平方式.如果一個多項式不是完全平方式，我們

常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這

種方法叫做配方法.利用配方法不僅可以將多項式進行因式分解，還能解決求一些多項式最大值或最小值

等問題.例如：

①分解因式：尤2+2x-3：

X2+2X-3=（X2+2X+1）-3-1=（X+1）2-4=（X+1+2）（X+1-2）=（X+3）（X-1）.

②求多項式2_?+4x-3的最小值：

2X2+4X-3=2（X2+2X）-3=2（X2+2X+1）-3-2=2（X+1）2-5.

V2（X+1）2>0,.\2（X+1）2-5>-5,

...當x=—1時，2/+4x—3有最小值，最小值是—5.

解決問題：（1）若多項式爐+質+49是完全平方式，則常數上的值為；

（2）分解因式：X2-4X-5;

（3）當x為何值時，多項式-3/+6x+5有最大值？并求出這個最大值.

拓展應用：

（4）若實數a,b滿足5a—8+7=0，則多項式a+0的最小值為.

23.發現結論：

第5頁/共6頁

D

B)

(1)在口ABC中，ZC=90°,ZA=30°,若設BC=a,則AC=；(用含有。的代數式表示)

(2)如圖1,在0ABe。中，AC是對角線，將DABC沿AC翻折至口從9。，CB'與邊AD相交于點E,

連接3'。，則△AEC的形狀是,線段3'E和。E的數量關系是.

結論應用：

在〃A8C。中，ABBC,NB=30°,AC是對角線，將048。沿AC翻折至△AB'C,連接B'。.

(3)如圖②，已知A3=4AG，BC=2,A3'與邊CD相交于點E,求△ACE的面積；

(4)已知A3=4百，當口5'4。是以8'。為斜邊的直角三角形時，求的長.

第6頁/共6頁

2023-2024學年度下學期期末質量監測

八年級數學試卷

（試卷滿分120分，考試時間120分鐘）

考生注意：所有試題必須在答題卡指定區域內作答，在本試卷上作答無效.

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.用不等式表示：/是非負數，則下列各式中正確的是（）

22

A./〉0B.%>0C.x^0D.<0

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查用不等式表示，涉及非負數定義，根據非負數定義將必是非負數表示為必20,逐項驗

證即可得到答案，熟記非負數定義是解決問題的關鍵.

【詳解】解：犬是非負數，用不等式表示為產'。，

A、犬〉0錯誤，不符合題意；

B、必上。正確，符合題意；

C、爐片0錯誤，不符合題意；

D、犬<0錯誤，不符合題意；

故選：B.

2.下列從左到右的變形中，屬于多項式因式分解的是（）

A.2a2b-3ab2=ab（2a-3b）B.（X+1）（JC-3）=JC2-2x-3

C.X2-3=（X+1）（X-1）-2D.lQa2b-2a-5ab

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了因式分解，根據因式分解的定義：把一個多項式轉化為幾個整式乘積的形式叫做因式

分解，據此即可判斷求解，理解因式分解的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：A、2a2b-3ab2=ab（2a-3b）,從左到右是因式分解，該選項符合題意；

第1頁/共24頁

B、（尤+1）（尤-3）=￡-2%-3,從左到右是整式的乘法運算，不是因式分解，該選項不合題意;

C、X2-3=（X+1）（X-1）-2,從左到右是多項式的恒等變形，不是因式分解，該選項不合題意；

D、10/6=2/5",從左到右是單項式的恒等變形，不是因式分解，該選項不合題意；

故選：A.

3.2023年2月24日，“逐夢寰宇問蒼穹----中國載人航天工程三十年成就展”在中國國家博物館展出,

下列航天圖標中，是中心對稱圖形的是（）

0

【答案】C

【解析】

【分析】根據在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么

這個圖形叫做中心對稱圖形得出結論即可.

【詳解】解：由題意知，圖形是中心對稱圖形,

故選：C.

【點睛】本題主要考查中心對稱的知識，熟練掌握中心對稱的概念是解題的關鍵.

"+33元

4.關于x的方程——+1=—有增根，貝琳的值是（）

x—2x—2

A.0B.3C.2D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】先去分母，再將增根x=2代入上+3+x-2=3無，求解即可.

【詳解】解：去分母，得％+3+x-2=3x,

將增根x=2代入，

第2頁/共24頁

得左+3+2-2=6,

解得左=3,

故選：B.

【點睛】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握分式方程增根的含義是解題的關鍵.

5.如圖，在DABC中，/。=90。,/5=30。，。是上一點，連接AD,若AD平分NB4C,設口4。3

和△ADC的面積分別是S],S?,則5:S2=()

B.2:1C.3:1D.3:2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了直角三角形的性質，等角對等邊,三角形的面積等知識，先求出/BAD=ACAD=30°,

得出AD=5。，從而CO=gAO=330,然后根據三角形面積公式可得結論.

22

【詳解】解：???NC=90°,NJB=30。,

ZBAC=90°-30°=60°.

：平分/84C,

/BAD=ZCAD=-ZBAC=30°,

2

ZB=/BAD，

；?AD=BD,

：.CD^-AD^-BD,

22

S,:S,=-BD-AC:-CD-AC=2:1.

1222

故選B.

6.若6〉a〉0,則下列各式正確的是（）

Cl6Z+1+laa+1aa+1

A.-=-----B.—>------C.一<-----D.—<----

bb+1bZ?+1bb+1bZ?+l

【答案】C

【解析】

第3頁/共24頁

【分析】本題考查不等式的性質，涉及分式變形，由b>a>0及

a(b+l)-b(a+l)=ab+a-ab-b=a-b<0得至++,逐項驗證即可得到答案，熟記不

等式性質是解決問題的關鍵.

【詳解】解：b>a>0,+=ab^a-ab-b-a-b<Q,即〃(b+1)+,

A、...f="錯誤，不符合題意；

bZ?+l

B、.?./〉爐錯誤，不符合題意；

bb+1

C、二幺〈但正確，符合題意；

bb+1

D、...fW空錯誤，不符合題意；

bb+\

故選：C.

7.已知口ABC的三邊長分別為a,b,c,且滿足片―四=戶—歷，貝舊ABC一定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了因式分解的應用，由片―ac=/—8c得/—52—ac+6c=0,從而

(a-b)(a+b-c)=0,由兩邊之和大于第三邊可得a+。>c,即。+8—c>0,進而。一。=0,故可得

解.

【詳解】解：由題意，va2-ac=b2-bc，

,,a2—1)~—ac+be—0>

(a+Z?)(a-Z?)-c(?-Z2)=0,

(a-b)(a+b-c)=0.

5L'.'a+b>c,即a+0-c>0,

a—b=0,即a=Z?.

???048。是等腰三角形.

故選：A.

8.指出下列命題中的假命題()

第4頁/共24頁

A.三個角都相等的三角形是等邊三角形

B.一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線也相等的兩個直角三角形全等

C.三角形的三條角平分線相交于一點，并且這點到三個頂點的距離相等

D.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了真假命題的判斷，等邊三角形的判定，全等三角形的判定，平行四邊形的判定以及

三角形的角平分線的性質，掌握這些判定定理以及性質是解題的關鍵.

【詳解】解：A.三個角都相等的三角形是等邊三角形，是真命題，故該選項不符合題意；

B.如圖NB=NN=90°,AD=MF,AB=MN,BD=DC,NF=NG,

R-OADB^R-OMFN,

：.BD=FN,則BC=NG,

RtDACB4RtOMGN,

.?.一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等，是真命題，故該選項不符合題

思；

C.三角形三個內角的平分線的交點到三角形三條邊的距離相等；而三角形三條邊的垂直平分線的交點到

三角形三個頂點的距離相等，故原命題是假命題，故該選項符合題意；

D.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，是真命題，故該選項不符合題意；

故選：C.

9.如圖，把DABC繞著點C順時針旋轉，點A的對應點是點A,點8的對應點是點3',連接88'，若

BB'//AC,ZACB=45°,則N4CA的度數是（）

A.22.5°B.25°C.28°D.30°

【答案】D

第5頁/共24頁

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形的性質、旋轉的性質等知識點，

設N4CA=x,則NAC3=45°+x,根據平行線的性質可得NC33'=NAC3=45°+x,再根據旋轉的

性質可得=BC=BC，然后根據等腰三角形的性質可得/。33'=/匿'3=45°+%,最后根

據三角形的內角和定理求解即可得.

【詳解】解：設NAC4=x,

ZA'CB=45°,

:.ZACB=450+x,

■：BB'//AC,

:.ZCBB'=ZACB=45O+x,

由旋轉的性質得：==BC=BC）

ZCBB'=ZCB'B=45。+x,

在△BOB'中，/"8'+/"'8+/8'。8=180°,

45°+x+45°+%+x=180°,

解得x=30°,

即NAC4=30°,

故選：D.

10.如圖，OABCD的對角線AC與5。相交于點O,E、尸是對角線5。上不同的兩點，在下列添加的條

件中，不能判定四邊形AECF為平行四邊形的是（）

A.BE=DFB.AE=CF

C.AF//CED.NBAE=NDCF

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質與判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理與性質定理是解題的關

鍵.根據平行線的判定方法結合已知條件逐項進行分析即可得.

第6頁/共24頁

【詳解】解：A、???四邊形ABC。是平行四邊形，

AOA=OC,OB=0D,

,/BE=DF,

：.OE=OF,

.??四邊形AECR是平行四邊形，故不符合題意；

B、AE=CF,不能得到四邊形AECT是平行四邊形，故符合題意;

C、：四邊形ABC。是平行四邊形，

OA=OC,

:AF//CE,

：.ZFAO=NECO,

5L-：ZAOF=ZCOE,

：.Z\AOF也△COE,

AF=CE,

.??四邊形AECT是平行四邊形，故不符合題意；

：四邊形ABC。是平行四邊形，

AB=CD,AB//CD,

NABE=NCDF,

又，:NBAE=NDCF,

：.AABE冬ACDF,

AE=CF,NAEB=ZCFD,

ZAEO=ZCFO,

：.AE//CF,

.??四邊形AECR是平行四邊形，故不符合題意，

故選：B.

二、填空題（本題共5道小題，每小題3分，共15分）

H.若分式三工有意義，則尤的取值范圍是—.

x+2

【答案】#-2

【解析】

【分析】根據分母不等于。列式進行計算即可求解.

【詳解】解：根據題意得，尤+2W0,

第7頁/共24頁

解得xW-2.

故答案是：xW—2.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，根據分母不等于0列式是解題的關鍵.

12.分解因式.

【答案】(a+b)2(a—4

【解析】

【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式

法，完全平方公式法，十字相乘法等.

先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可.

【詳解】4//

=(/+Z?2+2ab^[cr+b~-2a6)

=(a+b)2(a-b)’.

故答案為：(a+b)(a-b).

13.一個多邊形的內角和是它的外角和的5倍，則這個多邊形的邊數為.

【答案】12##+-

【解析】

【分析】根據多邊形的內角和公式G，-2>180。與外角和定理列出方程，求解即可得到答案.

【詳解】解：設這個多邊形的邊數為〃，

根據題意得：(〃—2)X180°=5X360°,

解得：n=12,

故答案為：12.

【點睛】本題主要考查了多邊形內角和公式，多邊形外角和定理，解題關鍵是掌握多邊形內角和公式：

(〃-2)?180°以及多邊形的外角和等于360°.

14.如圖，在。ABC。中，尸是邊上一點，￡是CD邊的中點，AE平分ND4P.若BF=6,CF=2,

則AF的長為.

第8頁/共24頁

【答案】10

【解析】

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定與性質等知識

點，正確作出輔助線，構造等腰三角形是解題的關鍵.

延長AE,BC相交于點根據平行四邊形的性質可得、AD=BC=BF+CF=8.

ZM=ZEAD，再結合角平分線的定義等腰三角形的性質可得=通過證明

□ADE絲OMCE(AAS)得出CM==8,然后根據線段的和差即可解答.

【詳解】解：延長AE,BC相交于點

?..四邊形ABC。為平行四邊形，

/?AD//BC,即AD=BC=BF+CF=8,

：.ZM=ZEAD,ZECM=ZD

,：AE平分ND4E,

/.ZEAD=NEAF,

ZM=ZEAF,

：.AF=FM

是CD邊的中點，

EG=EF,

在《ADE和LMCE中，NM=ZEAD,ZECM=ZD,ED=CE,

.*.□ADE^OMCE(AAS),

CM=AD=8,

：.AF=FM=FC+CM=2+S=10.

第9頁/共24頁

故答案為10.

15.如圖，在。ABC。中，分別以AB、為邊向外作等邊口43石、等邊AADF,延長交線段AE

于點G,連接CE、CF、EF,則在以下四個結論中，①Z\CDFdEBC；②CG_LAE；③

NCDF=NEAF；④ZXECE是等邊三角形.一定正確的有:.（只填序號）

【答案】①③④

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質、等邊三角形的判定及性質、平行四邊形的性質，熟練掌握性

質定理是解題的關鍵.

根據等邊三角形的性質，只有NA3C=150°時，CGLAE可判斷②；根據平行四邊形的對角相等，等邊

三角形的每個角都是60。可得出NCDE=NE8C,根據平行四邊形的對邊相等，等邊三角形的三條邊都相

等可得出CD=E8,DE=BC,然后利用“邊角邊”證明△CD尸也△EBC即可判斷①；再表示出

NEAF,可得NCDE=NE4E即可判斷③；同理可證明口出尸藥EBC,根據全等三角形的性質可得出

ZFEC=60°,即可判斷④.

【詳解】解：在等邊三角形A8E中

???等邊三角形頂角平分線、底邊上的中線、高和垂直平分線是同一條線段

，如果CGJ_AE,則G是AE得中點，ZABG=30°

.-.ZABC=150°,而題干中缺少這個條件

，無法證明CGLAE,故②錯誤;

?.?□ABE、△ADR是等邊三角形

FD=AD,BE=AB,ZFDA=ZABE=60°

；四邊形ABC。是平行四邊形

AD=BC,AB=DC,ZABC=ZCDA

FD=BC,BE=DC

NCDF=NEBC

.nCDF^JEBC,故①正確;

第10頁/共24頁

?/ZFAE=ZFAD+NEAB+/BAD=60°+60°+(180°-ZCDA)=300°-ZCDA,

ZFDC=360°-ZFDA-ZADC=300°-ZCDA

ZCDF=ZEAF,故③正確；

同理可得：NCBE=NEAF=NCDF

???BC^AD^AF,BE=AE

.BEAF^EBC

ZAEF=ZBEC

???ZAEF+ZFEB=ZBEC+ZFEB=ZAEB=60°

NFEC=60°

CF=CE

.?口ECT是等邊三角形，故④正確

故答案為：①③④.

三、解答題（共75分）

(]x—3、x—1

16.先化簡，再求值：------~------------其中冗二一3.

x-l)X2+2X+1

x+12

【答案】

X3

【解析】

【分析】本題考查分式化簡求值，涉及因式分解、分式混合運算及代數式求值，先因式分解、再由分式混合

x+[

運算化簡得到——,最后將％=-3代入化簡結果求值即可得到答案，熟記分式混合運算法則是解決問題的

x

關鍵.

（1r-3x-1

【詳解】解：二一+

kX-xX-1%2+2x+1

1x-3](x+1)2

_______?___________x-_____-_

x(x-l)(x+l)(x-l)x-1

x+1+x(x-3)X+1)2

X

x(x+l)(x-l)x(x+l)(x-l)x-1

x+1+%2—3x(x+1)

+x-1

Y—2x+l、(x+l)2

+x-1

第n頁/共24頁

_(I)2上+丁

x(x+l)(x-l)x-1

_x+1

一,

X

-3+19

當x=—3時，原式=上一=-.

-33

17.如圖，已知點4(2,4)、5(1,1)、C(3,2),

（1）將口48。繞點。逆時針旋轉90。得△AqG，畫出△4片。「

（2）畫出DABC關于原點。成中心對稱的圖形△A芻C2.

（3）在平面直角坐標系內找點。，使得A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點。的坐標為

【答案】（1）見解析（2）見解析

（3）（0,3）或（2,-1）或（4,5）

【解析】

【分析】（1）分別作出AB,C的對應點4,a,G即可解決問題.

（2）分別作出A,B,。的對應點A，B2,C2即可解決問題.

（3）根據平行四邊形的定義，畫出圖形寫出坐標即可.

【小問1詳解】

如圖所示，△A與G即為所求作，

第12頁/共24頁

【小問2詳解】

【小問3詳解】

如圖，滿足條件的點D的坐標為（0,3）或（2,-1）或（4,5）.

故答案為（0,3）或（2,-1）或（4,5）.

【點睛】本題考查旋轉變換，平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識.

18.證明與作圖：

（1）已知：如圖1,BM1OA,AN1OB,垂足分別為M,N,8M與AN相交于點P.若

OM=ON,求證：PA=PB.

（2）尺規作圖：如圖2,已知：線段a,b（a<b）,

求作：等腰三角形ABC,使底邊上的高為a,腰長為6.（提示：作圖要保留作圖痕跡，且要用2B鉛

筆，不用寫作法）.

【答案】（1）見詳解（2）見詳解

【解析】

【分析】本題主要考查了做等腰三角形，全等的判定以及性質.掌握等腰三角形的性質以及全等的判定以及

性質是解題的關鍵.

（1）先證明RtUOMP咨甌ONP（HL）,由全等的性質得出PM=PN,由對頂角相等得出

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ZAPM=NBPN,再證明DAM尸也□BNP(ASA),由全等的性質即可得出PA=PB

(2)在直線/上取點D,作/'，/于。，在/'上截取AD=。，然后以點A為圓心，b為半徑畫弧交/于3、

C兩點，貝|口ABC滿足條件.

【小問1詳解】

證明：V,BM10A,AN-LOB,

：.ZBMO=ZANO=90°,

?e,OM=ON,OP=OP,

：.RDOMP^R^ONP(HL),

PM=PN,

又ZAMP=ZBNP=90°,NAPM=ZBPN,

AMP^3BNP(ASA),

：.PA=PB.

【小問2詳解】

等腰三角形□ABC如下圖所示:

19.新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組的解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的

x-1>1

“關聯方程”.例如：方程X—1=3的解為X=4,而不等式組《。一的解集為2<1<5,恰好X=4在

x-2<3

x-1>1

2<%<5的范圍內，所以方程X-1=3是不等式組。1的“關聯方程”.結合新定義，按要求解答下

x-2<3

面問題:

②；③中，不等式組，2x—2>x—1

（1）在方程①3（x+l）—x=94x—7=03+l=x的“關聯

23（x-2）-x<4

方程”是；(只填序號)

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—>x?

2

（2）若關于x的方程2x+k=5是不等式組〈1的“關聯方程”，求左的取值范圍？

x-l、2x+l-人

【答案】⑴①②（2）-9WZW7

【解析】

【分析】本題考查新定義，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式組等知識，理解新定義的“關聯方程”

是解決問題的關鍵.

（I）解題中給出的三個一元一次方程及不等式組的解集，根據“關聯方程”驗證即可得到答案；

5-1

（2）解一元一次方程得到x=——，解不等式組得到,根據“關聯方程”的定義得到

2

-1<--<7求解即可確定答案.

2

【小問1詳解】

解：@3（x+l）-x=9,解得x=3；

7

②4%—7=0,解得%=—；

4

③3+l=x,解得x=l；

2

2x—2>x—1（1）

<3（%-2）-%<4（2）'

解不等式①得x>l；

解不等式②得xW5；

.,?原不等式組的解集為1<XW5；

7

x=3.%=—在1<%45范圍內；x=l不在1<XW5范圍內,

4

2x—2>x—1

不等式組“小，”的“關聯方程”是①②，

3（x-2）-x<4

故答案為：①②；

【小問2詳解】

5-k

解：2x+k=5,解得x=----；

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2

工2-2②

I23

解不等式①得x2-1；

解不等式②得xW7；

，不等式組的解集為-1VXW7；

①

2

?.?關于x的方程2x+Z=5是不等式組1。1的“關聯方程”，

工2―2②

[23

5-左

——<7,解得-9WAW7.

2

20.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，E為上的一點，連接班并延長，使BF=BE,連接EC并

延長，使CG=CE,連接尸G.X為尸G的中點，連接求證：四邊形A/7/D為平行四邊形.

【答案】見詳解

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質得出AD//BC,AD=BC,再證明BC為UEFG的中位線，得出BC//FG,

BC=-FG,再由〃為PG的中點，證明F”〃A。，尸”=AD即可得出結論.

2

【詳解】證明：???四邊形為平行四邊形，

AAD//BC,AD=BC,

?：BF=BE,CG=CE,

BC為DEPG的中位線，

BC//FG,BC=-FG,

2

又為FG的中點，

FH=-FG,

2

：.FH//AD,FH=AD,

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.??四邊形AFHD為平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形中位線定理；熟練掌握平行四邊形的性質，并能進

行推理論證是解決問題的關鍵.

21.某公司積極響應節能減排號召，決定采購新能源A型和B型兩款汽車，已知每輛A型汽車的進價是每

輛B型汽車的進價的1.5倍，若用3000萬元購進A型汽車的數量比2400萬元購進B型汽車的數量少20

輛.

（1）A型和2型汽車的進價分別為每輛多少萬元？

（2）該公司決定用不多于3600萬元購進A型和B型汽車共150輛，最多可以購買多少輛A型汽車？

【答案】（1）A型汽車的進價為每輛30萬元，B型汽車的進價為每輛20萬元

（2）最多可以購買60輛A型汽車

【解析】

【分析】（1）設8型汽車的進價為每輛尤萬元，則A型汽車的進價為每輛1.5%萬元，由題意列出分式方程，

解方程即可；

（2）設購買輛A型汽車〃?輛，則購買（150-加）輛B型汽車，根據題意列出一元一次不等式，解不等式即

可；

本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出分式方程

和一元一次不等式.

【小問1詳解】

解：設8型汽車的進價為每輛尤萬元，則A型汽車的進價為每輛1.5X萬元,

24003000

依題意得:

x1.5%

解得：x=20,

經檢驗，x=20是方程的解，且符合題意,

則1.5x=L5x20=30,

答：A型汽車的進價為每輛30萬元，8型汽車的進價為每輛20萬元;

【小問2詳解】

設購買輛A型汽車冽輛，則購買（150-加）輛B型汽車，

依題意得：30m+20（150-m）＜3600,

解得：/”W60,

答：最多可以購買60輛A型汽車.

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22.閱讀材料：教材中把形如。2±2況,+52的式子叫做完全平方式.如果一個多項式不是完全平方式，我們

常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這

種方法叫做配方法.利用配方法不僅可以將多項式進行因式分解，還能解決求一些多項式最大值或最小值

等問題.例如：

①分解因式：X2+2X-3：

X2+2X-3=(X2+2X+1)-3-1=(X+1)2-4=(X+1+2)(X+1-2)=(X+3)(X-1).

②求多項式2/+4x-3的最小值：

2X2+4X-3=2(X2+2X)-3=2(X2+2X+1)-3-2=2(X+1)2-5.

V2(X+1)2>0,.-.2(X+1)2-5>-5,

.,.當x=-l時，+4x-3有最小值，最小值是一5.

解決問題：(1)若多項式九日+49是完全平方式，則常數左的值為；

(2)分解因式：%2-4%-5;

(3)當尤為何值時，多項式-3%2+6x+5有最大值？并求出這個最大值.

拓展應用：

(4)若實數a,b滿足/—5a—8+7=0，則多項式a+匕的最小值為.

【答案】(1)±14；(2)(x+l)(x-5)；(3)當x=l時，多項式—3/+6x+5有最大值，最大值是8；(4)

3

【解析】

【分析】(1)根據完全平方公式進行解答即可；

(2)根據閱讀材料，先將，_4x—5變形為--4x+4—9,再根據完全平方公式寫成(x—2p-9,然

后利用平方差公式分解即可；

(3)利用配方法將多項式-3必+6%+5,轉化為-3(x-lp+8,然后利用非負數的性質進行解答；

(4)根據/—5a—6+7=0，得出6=a?—5a+7，求出a+6=—5a+a+7=(a—2)+3,得出答案

即可.

【詳解】解：(1)???多項式日+49是完全平方式，

/.x2+fct+49=(x±7)2,

V(X±7)2=X2±14X+49,

第18頁/共24頁

k=+14；

⑵x2-4x-5，

=x2—4x+4—9,

二(%-2)-9,

=(x-2+3)(x-2-3),

=(x+l)(x-5)；

(3)-3x2+6x+5

=-3(%2—2x+l-1)+5

=-3(X2-2X+1)+8

=-3(x-l)2+8,

???當％=1時，多項式-3/+6x+5有最大值，最大值是8.

(4)?.?。2—5〃—人+7=0，

??Z?=—5〃+7,

?,〃+/?=/—5〃+〃+7

=a2—4。+7

=a?—4〃+4+3

=("2『+3,

.?.當a=2時，(a—2『+3有最小值3,

/.a+b的最小值為3.

【點睛】本題考查了配方法因式分解、配方法求代數式的最值、完全平方公式，熟記公式，讀懂材料，掌

握配方法的步驟和運用是解答的關鍵.

23.發現結論：

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D

B)

(1)在口ABC中，ZC=90°,ZA=30°,若設BC=a,則AC=；(用含有。的代數式表示)

(2)如圖1,在0ABe。中，AC是對角線，將DABC沿AC翻折至口從9。，CB'與邊AD相交于點E,

連接3'。，則△AEC的形狀是,線段3'E和。E的數量關系是.

結論應用：

在〃A8C。中，ABBC,NB=30°,AC是對角線，將048。沿AC翻折至△AB'C,連接B'。.

(3)如圖②，已知A3=4AG，BC=2,A3'與邊CD相交于點E,求△ACE的面積；

(