專題07解布幾何(送礁盤J

五年考情?探規律

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

直線與圓的性質應用在高考

考點01：直線和圓的2024甲卷北京卷天津卷

綜合問題2022北京乙卷甲卷III卷考考查趨勢是主要考查圓的

2020III卷

一些基本性質，一般難度較小

2024天津II卷

2023甲卷乙卷北京III橢圓與雙曲線的基本性質是

2022甲IIIIII高考數學中的必考點也是高

考點02橢圓，雙曲線

2021北京甲卷乙卷III頻考點，一般考查的基本內容

基本性質

III一些性質的綜合應用

2020浙江I卷

2024甲卷I卷

求橢圓雙曲線的離心率及離

考點03橢圓雙曲線2023天津

心率的取值范圍是高考的高

的離心率2022浙江乙卷

頻考點。

2020北京n卷

2023北京乙卷

拋物線在高考中小題中考查

2022乙卷

考點04拋物線性質非常普遍，重點考查有關拋物

2021III北京卷

及應用線的p的有關問題

2020IIII北京卷

2024In卷圓錐曲線的綜合應用一般作

考點05圓錐曲線的

2023甲乙天津為選填壓軸題目出現，是對圓

綜合問題

2021浙江錐曲線綜合能力的考查

分考點?精準練

考點01：直線和圓的綜合問題

1.（2024?全國甲卷）已知直線ax+y+2-a=0與圓c：x?+/+4>-1=0交于4臺兩點,

則|/目的最小值為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】根據題意，由條件可得直線過定點P（L-2）,從而可得當尸48時，同的

最小，結合勾股定理代入計算，即可求解.

【詳角軍】因為直線。*+>+2—。=0,即“（x-l）+y+2=0,令無一1=0,

則x=l,y=-2,所以直線過定點（1,-2）,設尸（1,-2）,

將圓C：x2+y2+4y-1=0化為標準式為一+（y+2『=5,

所以圓心。（0,-2）,半徑廠=石，歸。=1

當尸02時，|/回的最小,

此時M4=2#干E『=2x后斤=4.故選：C

2.（2024?北京?高考真題）圓，+/-2x+6y=0的圓心到直線x->+2=0的距離為

（）

A.V2B.2C.3D.3亞

【答案】D

【解析】由題意得/+/-2x+6y=0,即+(>+3)2=10,

11-（-3）+21r

其圓心坐標為則圓心到直線x-y+2=0的距離為J『+（=3J2.故選:D.

3.（2022高考北京卷）若直線2》+^-1=0是圓口—。）2+/=1的一條對稱軸，則

a=()

11

A.-B.-----C.1D.-1

22

【答案】A【解析】：由題可知圓心為（a,0）,因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線

上，即2a+0—1=0,解得。=工.故選,A.

2

4.（2023年新課標全國I卷）過點（0,-2）與圓/+/-4x-1=0相切的兩條直線的夾

角為a，貝!1sina=（）

A.1B.@1C.巫D.亞

444

【答案】B【解析】:方法二因為丁+/-41=0,即（x-2『+丁=5,可得圓心

C（2,0）,半徑r=

過點P（0,-2）作圓c的切線，切點為48，

因為PC=^22+（-2）2=272，則歸聞=^|PC|2-r2=百，

-T41a-/ADC逐V10/V3V6

可得sin/ZPC=-產=-----,cosZAAPC=-產=——，

2V242V24

貝（Jsin/APB=sin2ZAPC=2sinNAPCcos/APC=2x

cos/APB=cos2ZAPC=cos2/APC-sin2ZAPC--<0,

4

即NAPB為鈍角，所以sina=sin（兀一NAPB）=sinNAPB=

4

法二：圓X?+_/一4工_1=0的圓心C（2,0）,半徑廠=石，

過點P（0,—2）作圓c的切線，切點為48,連接23,

可得pC=^22+（-2）2=272，則|P^|=\PB\=^\PCf-r2=G，

因為|尸旬2+|P5|2-2|P^|■|P5|cos=|C4|2+|C5|2-2|G4|-|C5|cosZ^C5

且NNC8=7i-Z.APB,J^3+3-6COSNZP8=5+5-10COS（TI-NAP8）,

即3—cos/APB=5+5cos/APB，解得cos/APB=--<0,

4

即NAPB為鈍角，則cosa-cos（兀一/APB）--cosNAPB=；

且a為銳角,所以sina=Jl—cos2a=----；

4

方法三：圓x2+/-4x-l=0的圓心C（2,0）,半徑子=指，

若切線斜率不存在，則切線方程為>=0,則圓心到切點的距離d=2>/，不合題意;

若切線斜率存在，設切線方程為J=2,即區-y-2=0,

則廣左一2|=舊,整理得左2+8左+i=o,且A=64—4=60>0

“2+1

設兩切線斜率分別為左，左2，則左1+左2=—8,桃2=1，

可得|左_左21='（左1一4左1左2=2^/15-，

\k-k\r—sinai-sina

所以tani=Uy_2?=J15,即-----=J15,可得cosa=一"，

T+k[hcosaV15

rn.l.22?2sinCC1

則sma+cosa=sma-\------=1，

15

且a0,],則sina>0,解得sina=45.故選：B.

4

5.（2020年高考課標I卷）已知。/W：x2+j2-2x-2v-2=0,直線/:

2x+y+2=0,尸為/上的動點，過點尸作。M的切線P4%,切點為45,

當1PMM4sl最小時，直線4B的方程為（）

A.2x—y—1—0B.2x+y—1—0C.2x—jv+1-0

D.2x+y+l=0

【答案】D

【解析】圓的方程可化為（x—l）2+（y—l）2=4,點M到直線/的距離為

|2xl+l+2|

d==石〉2,所以直線/與圓相離.

互+f

依圓的知識可知，四點4R5M四點共圓，且所以

\PM\-\AB\=AS^PAM=4X|X|P^|X|^M|=4|P^|,而回=抑可—4，

當直線的上/時，|M￡in=J^，IP"L=L此時1PM?|N8|最小.

[11f,

]/、11y——xH—x=-1

—1=—(x—1)即＞=—x+—,由《，22解得，\.

222[2x+y+2=0，=°

所以以MP為直徑的圓的方程為(x—l)(x+l)+〉(y—1)=0,BPx2+v2-v-l二0,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線48的方程.故選：D.

6.（2020年高考課標H卷）若過點（2,1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線

2x-y-3=0的距離為()

拽D?竽

A."B.cbH

55■"I-

【答案】B

【解析】：由于圓上的點（2,1）在第一象限，若圓心不在第一象限,

則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限,

設圓心的坐標為（a,a）,則圓的半徑為

圓的標準方程為（x—+（＞—=a1.

由題意可得（2—a『+（l—a）2二=a2,可得。、6。+5=0，解得。=1或a=5，

所以圓心的坐標為（1,1）或（5,5）,

圓心（I」）到直線的距離均為4=.義號-3_拽

圓心（5.5）到直線的距離均為％=

圓心到直線2x—y—3=0的距離均為d=

所以，圓心到直線2x—y—3=0的距離為乎.故選：B.

二填空題

7.（2024?天津?高考真題）圓（x-iy+V=25的圓心與拋物線/=2*（>>0）的焦點尸

重合，A為兩曲線的交點，則原點到直線相的距離為.

4

【答案】y/0.8

【詳解】圓（x-l>+廿=25的圓心為尸（1,0）,故與=1即2=2,

由<-1）+y=25nTWx2+2x-24=0,故x=4或x=-6（舍），

j=4x

故4（4,±4）,故直線NF:〉=±g（x-l）即4》一3『一4=0或4工+3>-4=0,

故原點到直線小的距離為d=口=3，

55

4

故答案為：—

8（2022新高考全國I卷）寫出與圓/+/=1和（％_3）2+（j-4）2=16都相切的一條直

線的方程.

35725

［答案］y=--X+—=24-24^x=~^

【解析】：圓=i的圓心為。（0刀），半徑為1,圓（x—3）2+（y—/=16的圓

心。為（3,4）,半徑為4,

兩圓圓心距為J32+42=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

433

如圖，當切線為/時，因為左歿=§,所以勺=—^，設方程為^=一^》+'?〉（））

d-—］=1535

。至I」/的距離V，解得/=：,所以/的方程為歹=一一%+—,

W卜記444

當切線為m時，設直線方程為Ax+y+p=0,其中2>0,k<0,

刨之;1

725

由題意＜?,解得《,y=-----X

\3k+4+p\24---24

35725

當切線為。時，易知切線方程為x=-l,故答案為：y=-x—aSJ-TT

442424

或x=-1.

9.(2022年全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為

【答案】

=免或

9

25

【解析】：依題意設圓的方程為―+必+以+或+尸=0,

>=0F=0

若過（0,0）,（4,0）,（-1,1）,貝I]16+4。+尸=0解得,。=一4,

1+1-D+E+F=0E=—6

所以圓的方程為一+/一4%一6了=0,即(x—2『+(y—3)2=13；

>=0F=0

若過（0,0）,（4,0）,（4,2）,則16+4。+尸=0解得—4,

16+4+4D+2E+F=0E=—2

所以圓的方程為f+j?—4x—2y=0,即（x—2y+（y—=5；

F=0

F=0

D-

若過（0,0）,（4,2）,（-1,1）,則＜1+1-D+E+F=0,解得《

3

16+4+4D+2E+F=0a14

E=------

3

所以圓的方程為=即+（y

33

1+1-D+E+F=0

若過（T1）,（4,0）,（4,2）,則V16+4D+F=0,解得<

16+4+4。+2￡+尸=0

E=-2

所以圓的方程為I?+y2_。工_2了=0,即［x-g］+（j-l）2=~^;

故答案為：（x-2）2+（j-3）2=13sg（x-2）2+（j-l）2=5或

口司+1T吟或/

10.（2022年高考全國甲卷數學（理））若雙曲線一二=1（,?＞0）的漸近線與圓

f+y2—4了+3=0相切，貝！］%=.

【答案】旦

3

V-2X

【解析】雙曲線三=1（加＞0）的漸近線為＞=±±，即％±切=0,

mm

不妨取X+機y=0,圓f+J?一4^+3=0,gpx2+（j；-2）2=1,所以圓心為（0,2）,半徑

r=\,依題意圓心（0,2）到漸近線x+my=Q的距離d='I-=1,

JiIi/i/i2

解得加='^或%=（舍去）.故答案為：.

333

11.（2022新高考全國II卷）設點4（-2,3）,8（0,。），若直線N5關于歹=。對稱的直線

與圓（X+3）2+3+2）2=1有公共點，則。的取值范圍是.

【答案】?2

【解析】4（-2,3）關于歹=。對稱的點的坐標為幺'（一2,2"3）,8（0,a）在直線歹=。

Q—3

上，所以H8所在直線即為直線/,所以直線/為y=——x+a,即

-2

（a-3）x+2j-2a=0；圓C:（x+3『+（7+2）?=1,圓心C（—3,—2）,半徑/?=：!,

13(Q-3)-4-2Q|

依題意圓心到直線/的距離d=J~/<1即（5-5a）2V（"3『+2?,

7(?-3)+22

131313

解得即——-;故答案為：—

323?232

考點02：橢圓，雙曲線基本性質

1.(2024?全國?高考n卷)已知曲線C：，+/=16(y>0),從c上任意一點p向X

軸作垂線段PP,尸'為垂足，則線段PP的中點M的軌跡方程為()

A.—+^=1(y>0)B.—+^=1(y>0)

164168

2222

C.^+―=1(y>0)D.^-+—=1(y>0)

164168

【答案】A

【分析】設點，(xj),由題意，根據中點的坐標表示可得尸(x,2y),代入圓的方程即可

求解.

【詳解】設點"(X/),貝！|尸(蒼歹0)，尸'(無，°),

因為M為PP的中點，所以Vo=2y,即尸(x,2y),

又尸在圓爐+1/=16。>0)上,

所以％2+4/=i6(y>0),即/+一=1(歹>0),

164

22

即點初的軌跡方程為2+-=1。>0).故選：A

164

22

2.(2024?天津?高考真題)雙曲線5-2=1(“>0,6>0)的左、右焦點分別為牛F2.P

ab

是雙曲線右支上一點，且直線尸層的斜率為2.△尸片乙是面積為8的直角三角形，則雙

曲線的方程為()

A-丁]x2y2X1y2x-y2

82842848

【答案】C

【分析】可利用△尸片與三邊斜率問題與正弦定理，轉化出三邊比例，設|尸耳卜加，由

面積公式求出％,由勾股定理得出。，結合第一定義再求出

【詳解】如下圖：由題可知，點尸必落在第四象限，/耳空=90。，設|尸￡|=機，

2

/尸與耳=%/尸片￡=2,由左%=tan，=2,求得smR=-^,

因為/月尸8=90。，所以原叱后時=-1,求得%;=彳，即tan4=g,

sin%=后由正弦定理可得：|P^|:\PF2\-.\FtF2\=sinO{:sin^2:sin90°=2:1:75,

則由「閶=機得|尸耳|=2%國&|=2c=45m,

由J0片卜戶用=；"2機=8得以=2女，

貝I]|尸月|=2&，忸胤=4&J與工|=2c=2亞,0=師,

由雙曲線第一定義可得：\PF\-\PF^=2a=242,a=0b7c-a2=a，

22

所以雙曲線的方程為土-匕=1.

28

故選：C

2

3.(2023年新課標全國II卷)橢圓。：\+/=1的左、右焦點分別為廣，F2,直線

>=x+機與C交于4B兩點，若AF[AB面積是△鳥48面積的2倍,貝ijm=

).

2R后2

A.-D.---c_旦D.——

33'一三3

y=x+m

【答案】C【解析】：將直線y='+m與橢圓聯立《x2,,消去》可得

—+V=1

I3-

4x2+6mx+3m2-3=0,

因為直線與橢圓相交于48點，則A=36——4x4(3—-3)〉0,解得—2(加<2,

設K到AB的距離4,凡到AB距離d2,易知片(-72,0),F2(72,0),

則-告,|V2+m|

|-V2+mI

S4F1AB_V2V2+mV2F廠/△.+、

7^=—7=~~7=I/-——^I=2,解得機=—J或—3夜(舍去)，

STAB|J2+-I\y/2+m\3

V2

故選：c.

22

4.（2023年全國甲卷理科）設。為坐標原點，片，巴為橢圓。：土+2=1的兩個焦點,

96

3

點P在C上，cos/月盟=《，貝『0?|=()

13V3014J35

A.—B.C.-D.-1±-

5252

JT

【答案】B[解析工方法一：設公產2=2仇0<3<3,所以

22

SPFF=btan/RPF?=Z）tan3,

△作上22

cos20-sin23_1-tan203

由cosZFPF=cos20==—,解得:tan0=—,

X2cos20+sin201+tan2952

22

由橢圓方程可知，a=9,〃=6,02=a—廿=3,

所以，=gx陽閭x|4=gx26x|yj=6x；,解得：片=3,

即$=9*[—■!]=?!，因此==小3+:=^^.故選：B.

22

5.（2021年新高考I卷）已知片，&是橢圓C：土+匕=1的兩個焦點，點M在C上

94

則1Ml.的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】：由題，力=9/2=4,則叫|+網=2。=6,

所以|町|.|叫氏=9（當且僅當|孫1=1兒/1=3時，等號成立）故選：C.

2J

22

6（2022年全國甲卷（理））橢圓。:=+指=1（〃>6>0）的左頂點為4點P,Q均在。上,

ab

且關于y軸對稱.若直線仍）。的斜率之積為;，則c的離心率為

）

R后,11

D.--------C.一D.-

223

【答案】A【解析】A（-a,O）,設尸（士,必）,則。（-占,必）,

y.必必M2]_

則+〃，故3P?一22

xx+a-xx+a-xx+a4

b1一石2

22b2(a2-x^1

又3+冬=1，則2Hnb-

必，所以/即/北

ab2

a—'J+/4

C1一〉冬故選:A.

所以橢圓C的離心率e

a

2

7.（2023年全國乙卷理科）設A.B為雙曲線x2三=1上兩點，下列四個點中，可為線

段AB中點的是)

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

X1+0%+%

【答案】D【解析工設幺（西,必）,8（々,則48的中點M

22

2

%

X；一一

9

可得上匚&，左=:因為在雙曲線上，貝卜

452

%

再-X2X]+%2%+X?1

一-1

29

兩式相減得（x；-X；=0,所以3?左==9.

;工2

對于選項A：可得左=1,3B=9，則48：y=9x—8,

J=9x-8

聯立方程｛2/_

消去y得72x2—2x72x+73=0，

X-

此時△=（—2x72『—4x72x73=—288<0,所以直線A8與雙曲線沒有交點，故A

9Q5

錯誤；對于選項B：可得k=—2,kAB=-3,則=-51一,，

[95

y=——x——

22

聯立方程〈2，消去V得45、2+2X45X+61=0，

2V7

XT

1-9---------1

此時A=(2x45/一4x45x61=—4x45xl6<0,

所以直線A3與雙曲線沒有交點，故B錯誤；

對于選項C：可得左=3,￡鉆=3,則48：y=3x

由雙曲線方程可得a=1,6=3,則48:y=3x為雙曲線的漸近線，

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；

9Q7

對于選項D：k=4,k=—,則43:y=-x—，

AB444

[97

y=—x——

44

聯立方程42，消去V得63/+126%—193=0,

fV-1

[9

止匕時A=1262+4X63X193>0，故直線A8與雙曲線有交兩個交點，故D正確;

22

8(2020年高考課標ni卷)設雙曲線C：1=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi，

a2b2

F2,離心率為6.P是C上一點，且FiPLF2P.若△PF「2的面積為4,則o二

/\

()

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析工?.?■!=石，.氐，根據雙曲線的定義可得|附H*|=2a,

S&PF島=；|尸7計|?用=4,即1mHp閭=8,

-.-F.PIF.P,.-.|P^|2+|P^|2=(2C)2,

.?.(|尸片卜|尸￡『+2］尸用.|尸聞=4。2,即/一5a2+4=0,解得〃=1，

故選：A.

9.(2020年浙江省高考數學試卷)已知點0(0,0),4(-2,0),8(2,0).設點P滿足

\PA.-\PB.=2,且P為函數片3,4-/圖像上的點,貝1OP|=()

A.B.C.V7D.V10

25

【答案】D

【解析】：因為|尸/|—|尸6|=2<4,所以點尸在以43為焦點，實軸長為2,焦距為

4的雙曲線的右支上，由c=2,a=l可得，/=。2_/=4-1=3,即雙曲線的右支方程為

x2-^-=l(x>0),而點尸還在函數、=3,4—丁的圖象上,所以,

y=3yl4-X。

由1上l(x〉

故選：D.

——JL.人/

10(2021高考北京)若雙曲線C：=1離心率為2過點("G),則該雙曲線

的方程為()

222

A-2x2-V2=1B.J—匕=ic.5x2-3/=1D.土—匕=1

.326

【答案】B

【解析】：：e=￡=2,則c=2a，人+一一=耳,則雙曲線的方程為

22

—-^-=1，將點的坐標代入雙曲線的方程可得之-3=4=1,解得

Y3/1)/3//

2

a=l,故b=G，因此，雙曲線的方程為工2_/=1.故選：B

-填空題

22

1L(2021年高考全國甲卷理科)已知片，鳥為橢圓C：二+乙=1的兩個焦點，P,Q

164

為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|尸。|=|耳聞，則四邊形尸片0鳥的面積為

【答案】8【解析】：因為P,。為。上關于坐標原點對稱的兩點，

且|尸。|=|公乙所以四邊形跳鳥為矩形，

22

設|產片\=m,\PF2|=n,則%+〃=8,m+n=48,

所以64=（相+〃）2=m2+2mn+n2=48+2mn,

mn=S,即四邊形尸片0鳥面積等于8.故答案：8.

22

12.（2022新高考全國II卷）已知直線/與橢圓上+二=1在第一象限交于A,B兩點，/

63

與x軸，y軸分別交于M,N兩點，且|M4|=|N3|,|TW|=2JL則/的方程為

【答案】x+島-2友=0

【解析】：令48的中點為E,因為|M4|=|N3|,所以|〃E|=|NE|,

2222

設/（否,乂），B（x2,y2）,則上+里=1,立+工=1,

6363

所以近一立+日一工=0,即a一%）（否+%）+5+%）（%一%）=0

663363

（必+72）"%）11

所以-,即左OE,左相二一一，設直線4B:y=kx+m,k<0,

（%!一工2）（西+迎）22

m/J-,O1,N（0,加），所以

m>0,令1=0得^=加，令>=0得X=_「即叫—

4-篝，事，即人二=二，解得』也或心走（舍去），

I2左2J_m_222

~lk

乂|人困=2百，B|J\MN\=y/m2+（V2m）2=273-解得加=2或加=—2（舍去），

所以直線4S:y=—手x+2，即x+向—28=0；

x+yfiy—2V2=0

13.(2022新高考全國I卷)己知橢圓C：?+q=l(a〉b〉O),C的上頂點為A,兩

a~6一

個焦點為片，F2,離心率為g.過片且垂直于/弓的直線與C交于D,E兩點，

\DE\=6,則△/￡)￡的周長是.

【答案】13

c1

【解析】：?..橢圓的離心率為e=—=—,；.a=2c,.?.〃=/_02=3。2,.?.橢圓的

a2

方程為f+?=1,BP3X2+4/-12C2=0,不妨設左焦點為耳，右焦點為巴，

JT

如圖所示，*.*AF2=a,OF2=C,a=2c,：.ZAF2O=—,工△，4月為正三角形，

??,過片且垂直于的直線與C交于D,E兩點，為線段/6的垂直平分線，，直

線。E的斜率為*,斜率倒數為百，直線Z>E的方程：x=6y-c，代入橢圓方程

3X2+4/-12C2=0,整理化簡得到：13y2—6限y—9c2=0,

判另ij式A=(6&『+4xl3x9c2=62><16xc2,

c=

|CZ)|=^1+(V3)|J1-J2|=2X^1-=2X6X4X^=6,~^,=2c=—,

???DE為線段/鳥的垂直平分線，根據對稱性，AD=DF2,Z￡=%,.?.△4DE的

周長等于△鳥的周長，利用橢圓的定義得到△心。￡周長為

\DF21+\EF2|+|DE|=|DF2l+lEF21+|DFX|+|二|=|。用+|DF21+|ER\+\EF2\=2a+2a=4a=l3

故答案為：13.

14.(2023年北京卷)已知雙曲線C的焦點為(-2,0)和(2,0),離心率為行，貝|C的方

程為.

22

【答案】土-匕=1

22

【解析】：令雙曲線。的實半軸、虛半軸長分別為顯然雙曲線。的中心為原點,

焦點在x軸上，其半焦距c=2,

由雙曲線C的離心率為、歷，得9=0,解得a=后,則6==6,

a

2222

所以雙曲線C的方程為土-匕=1.故答案為：土-匕=1

2222

22

15.（2023年新課標全國I卷）己知雙曲線。:1-3=1（。＞0乃＞0）的左、右焦點分別

ab

為片,g.點A在C上，點B在了軸上，~^ALF\B,F^A=--F^B,則C的離心

率為?

【答案】巫-V5

55

【解析】：方法一：

依題意，設M閭=2加，則|叫|=3相=忸4|,|幺耳|=2a+2機，

在Rt^aS-中，9m2+（2a+2m）2=25m2,則（a+3機）（。一加）=0,故。=冽或

a=-3加（舍去）,所以4|=4a,|4閭==2a,忸7計=忸4|=3a,則|48|=5a,

\AF\4a4

故COSZFAF=—=-,所以在△/月乙中，

}2\AB\5a5

222

/口人口16a+4a-4c4敕鈿為《2c2痂