頁專題20圖形的旋轉一、單選題1.如圖，中，，將逆時針旋轉得到△ADE，交于F．當時，點D恰好落在上，此時等于（

）A． B． C． D．2.如圖，把以點A為中心逆時針旋轉得到△ADE，點B，C的對應點分別是點D，E，且點E在的延長線上，連接，則下列結論一定正確的是（

）A．B．C．D．3.如圖，和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，把以為中心順時針旋轉，點為射線、的交點．若，．以下結論：①；②；③當點在的延長線上時，；④在旋轉過程中，當線段最短時，的面積為．其中正確結論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4.如圖，已知等腰直角，，，點C是矩形與的公共頂點，且，；點D是延長線上一點，且．連接，，在矩形繞點C按順時針方向旋轉一周的過程中，當線段達到最長和最短時，線段對應的長度分別為m和n，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．5.如圖，將繞邊的中點順時針旋轉180°．嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉后的與構成平行四邊形，并推理如下：點，分別轉到了點，處，而點轉到了點處．∵，∴四邊形是平行四邊形．小明為保證嘉淇的推理更嚴謹，想在方框中“∵，”和“∴四邊形……”之間作補充．下列正確的是（）A.嘉淇推理嚴謹，不必補充 B.應補充：且，C.應補充：且 D.應補充：且，6.在中，已知，，．如圖所示，將繞點按逆時針方向旋轉后得到．則圖中陰影部分面積（）A.B. C.D.7.如圖，平面直角坐標系中，點在第一象限，點在軸的正半軸上，，．將繞點逆時針旋轉，點的對應點的坐標是A．， B． C．， D．二、填空題8.如圖，為的平分線，且，將四邊形繞點逆時針方向旋轉后，得到四邊形，且，則四邊形旋轉的角度是______．

9.如圖1，在中，，，，D是上一點，且，過點D作交于E，將△ADE繞A點順時針旋轉到圖2的位置．則圖2中的值為__________．

10.以原點為中心，把點M（3，4）逆時針旋轉90°得到點N，則點N的坐標為．11.如圖，在?ABCD中，，將繞點逆時針旋轉角（）得到，連接，．當為直角三角形時，旋轉角的度數(shù)為_______．12.如圖，在中，，將繞點A逆時針方向旋轉，得到．連接，交于點D，則的值為________．13．已知等腰，，．現(xiàn)將以點為旋轉中心旋轉，得到，延長交直線于點D．則的長度為_______．三、解答題14.在中、，于點M，D是線段上的動點（不與點M，C重合），將線段繞點D順時針旋轉得到線段．

(1)如圖1，當點E在線段上時，求證：D是的中點；(2)如圖2，若在線段上存在點F（不與點B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．15.在平行四邊形中（頂點按逆時針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長．(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉得點．①如圖2，當點落在射線上時，求的長．②當是直角三角形時，求的長．16.如圖，正方形中，點在邊上，點是的中點，連接，．

(1)求證：；(2)將繞點逆時針旋轉，使點的對應點落在上，連接．當點在邊上運動時（點不與，重合），判斷的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，已知，當時，求的長．17.【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學用相同的兩塊含的三角板開展數(shù)學探究活動，兩塊三角板分別記作和，設．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點A按順時針方向旋轉，旋轉角為，旋轉過程中保持不動，連接．(1)當時，________；當時，________；(2)當時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點F，將繞著點A旋轉一周，點F的運動路徑長為________．18.（1）[問題探究]如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．

①求證：；②將線段繞點P逆時針旋轉，使點D落在的延長線上的點Q處．當點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；③探究與的數(shù)量關系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關系，并說明理由．

19.如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉，連接，以為邊在上方作，且．(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當?shù)闹底畲髸r，求此時的值．20.【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．(1)如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：____________；(2)如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應用】(3)當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．21.問題情境：小紅同學在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點B順時針旋轉．

特例感知：（1）當在上時，連接相交于點P，小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為的中點，如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結論，請給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接，并延長與相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是中點P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結論，請判斷△APE的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形繞點B順時針旋轉，連接，點P是中點，連接，，，△APE的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．22.如圖①，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形中，，過點作射線，垂足為，點在上．

(1)【動手操作】如圖②，若點在線段上，畫出射線，并將射線繞點逆時針旋轉與交于點，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為_______度；(2)【問題探究】根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點在射線上移動，將射線繞點逆時針旋轉與交于點，探究線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．23.將正方形的邊繞點逆時針旋轉至，記旋轉角為．連接，過點作垂直于直線，垂足為點，連接，（1）如圖1，當時，的形狀為，連接，可求出的值為；（2）當且時，①（1）中的兩個結論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出的值．

參考答案：一、單選題：題號1234567答案BADDBBA二、填空題：8.75°；9.；10.（﹣4，3）；11.90°，180°或270°；12.5；13..三、解答題：14.（1）證明：由旋轉的性質得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點；（2）；證明：如圖2，延長到H使，連接，，∵，∴是△FCH的中位線，∴，，由旋轉的性質得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴△ABF≌△ACH(SAS)，∴，∵，∴，即．

15.（1）在?ABCD中，，在中，．（2）①如圖1，作于點，由（1）得，，則，作交延長線于點，則，∴．∵∴．由旋轉知，∴．設，則．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋轉得，，又因為，所以．情況一：當以為直角頂點時，如圖2．

∵，∴落在線段延長線上．∵，∴，由（1）知，，∴．情況二：當以為直角頂點時，如圖3．設與射線的交點為，作于點．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．設，則，∴∵，∴，∴，∴，∴，化簡得，解得，∴．情況三：當以D’為直角頂點時，點落在的延長線上，不符合題意．綜上所述，或．16.（1）證：∵四邊形為正方形，∴，，∵點是的中點，∴，∴，∴，即：，在與中，∴，∴；（2）解：為等腰直角三角形，理由如下：由旋轉的性質得：，∴，∴，，∵，∴，即：，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形；（3）解：如圖所示，延長交于點，∵，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，設，則，，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴．

17.（1）解：∵和中，∴，∴當時，與重合，如圖所示：連接，∵，，∴為等邊三角形，∴；當時，∵，∴當時，為直角三角形，，∴，當在下方時，如圖所示：

∵，∴此時；當在上方時，如圖所示：∵，`∴此時；綜上分析可知，當時，或；故答案為：2；30或210．（2）解：當時，如圖所示：

∵，∴，∴，∵，又∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即兩塊三角板重疊部分圖形的面積為．（3）解：∵，為的中點，∴，∴，∴將繞著點A旋轉一周，點F在以為直徑的圓上運動，∵∴點F運動的路徑長為．故答案為：．

18.（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴△DCP≌△BCP，∴；②的大小不發(fā)生變化，；證明：作，垂足分別為點M、N，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形是矩形，，∴，∵，∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，∴，∵，∴，即；③；證明：作交于點E，作于點F，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴，四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，作于點M，則，∴，∵，∴，∴；（2）；證明：∵四邊形是菱形，，∴，∴是等邊三角形，垂直平分，∴，∵，∴，作交于點E，交于點G，如圖，則四邊形是平行四邊形，，，∴，都是等邊三角形，∴，

作于點M，則，∴，∴．19.（1）解：在中，，，且，，∴，，∴，，∴∴∴，故答案為：．（2）∵，且，，∴，，延長交于點，如圖所示，

∵，∴，∴在中，，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，

同（1）可得則，∵，則，在中，，，∴在以為圓心，為半徑的圓上運動，∴當點三點共線時，的值最大，此時如圖所示，則，

在中，∴,，∵，∴，過點作，于點，∴，，∵，∴，∴，中，．20.（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；

（3）解：當點E在線段上時，連接，如圖所示：設，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時；當點D在線段上時，連接，如圖所示：

設，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時；綜上分析可知，或．21.（1）證明：連接，，，如圖，∵四邊形，都是正方形，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即點P恰為的中點；（2）△APE是等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形，都是正方形，∴∴，∴△APE是等腰直角三角形；（3）△APE的形狀不改變，延長至點M，使，連接，∵四邊形、四邊形都是正方形，∴，，∵點P為的中點，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，設交于點H，交于點N，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴△APE是等腰直角三角形．22.（1）解：如圖所示：

∵，∴，∵，∴∠ABE=90°，∴；故答案為：135．（2）解：；理由如下：連接，如圖所示：

根據(jù)旋轉可知，，∵，∴、P、B、E四點共圓，∴，∴，∴，∴．（3）解：當點P在線段上時，連接，延長，作于點F，如圖所示：

根據(jù)解析（2）可知，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵為等腰直角三角形，∴，即；當點P在線段延長線上時，連接，作于點F，如圖所示：

根據(jù)旋轉可知，，∵，∴、B、P、E四點共圓，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，即；綜上