江蘇省徐州高級中學2023-2024學年高二上學期期中考試數

學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若一條直線經過兩點a。）和&'e），則該直線的傾斜角為（

)

71712兀5兀

A.6B.§C.3D.6

2.數列3,5,9,17,33,…的通項公式為

A.2"B.2"-1C.2"+1D.2"+1

3.已知直線4：3x+e+l=O,/2：（a+2）x+y+a=0,當/J4時，a的值為（）

_3

A.IB.-3C.-3或1D.萬

4.若點「（I'）為圓Y+V-6y=°的弦的中點，則弦N2所在直線的方程為（）

A2x—y—1—0B%—2y+1-0QX+2）—3—0D2X+y—3—0

22

±_2L=1

5.雙曲線/b2的漸近線方程為了=±2苫，則雙曲線的離心率為（）

廠—

A.75B.2C.2D.4

6.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一，改編書中一道題目如下：把60

個大小相同的面包分給5個人，使每個人所得面包個數從少到多依次成等差數列，且

較少的三份之和等于較多的兩份之和，則最多的一份的面包個數為

A.16B.18C.19D.20

2

X/

7.已知橢圓優b2的上頂點為A,左、右焦點分別為九，心,連接

“巴并延長交橢圓C于另一點B,若閨司：囚@=7:3,則橢圓C的離心率為（）

1￡1

A.4B.3C.2D.3

8.已知實數和乙，%，%滿足*=4,.+婕=4,尤］，+%%=0,則

%+y「4|+W+%-4|的最大值是（）

A.3V2B.6C.6行D.12

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.記S"為等差數列｛%｝的前"項和.若囚+%=°,則以下結論一定正確的是（）

A."4=°B.S"的最大值為顯

C.耳=，6D.同〈㈤

10.設拋物線「=4x,尸為其焦點，尸為拋物線上一點，則下列結論正確的是（）

A.拋物線的準線方程是x=TB.當小‘X軸時，忸用取最小值

C.若，（2,3）,則怛W十戶刊的最小值為3D.以線段尸尸為直徑的圓與了軸相切

11.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個

定點A、8的距離之比為定值*1）的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他

的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xQy中，

1^1_i

”（2,2）,2（-4,2）,點p滿足|尸印2,設點尸所構成的曲線為C,下列結論正確的是

（）

A.C的方程為一+/-8工一4y+4=°

B.在C上存在點M到點（-3,-2）的距離為4

C.0上的點到直線%-4歹+6=0的最大距離為6

D.過點3作直線/,若C上恰有三個點到直線/的距離為2,則該直線的斜率為

15

12.已知首項為正數的等比數列｛°」的公比為以曲線￡，：°/2+%+|/=1,則下列敘

述正確的有（）

A.4=為圓

B.q=T，Q離心率為2

c.g>iC"離心率為丫q

D.4<°，G為共漸近線的雙曲線

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

13.已知Q>0,若圓(%—")2+y2=2與圓N+。—q)2=8外切，則Q=.

14.直線/分別交x軸和了軸于/、8兩點，若MO」)是線段的中點，則直線/的

方程為.

22

------1

15.以雙曲線169的下焦點為焦點的拋物線的標準方程為一.

16.在數列S"｝中，若q=1，。"+2+(-1)%.=2,記S,是數列S.｝的前"項和，則&。。=

四、解答題

17.已知直線/經過a2)

(1)當直線的傾斜角為45。時，求直線/的方程；

(2)當直線/在兩坐標軸上的截距相等時，求直線’的方程.

18.已知S"是等差數列｛%｝的前"項和，且為=1,1=25,求：

(1)數列｛"/的通項公式；

⑵數列［％。"眼J的前力項和看.

19.已知圓川：x2+/_4x+2y-3=0和圓N：f+「=9.

(1)若直線/過點P(°'一3),且被圓加截得的弦長為4,求/的方程：

⑵求圓M與圓N的公共弦的長.

20.已知在等比數列位"｝中，%=2,且％,電，。3-2成等差數列.

(1)求數列的通項公式；

—F2lo§2一1

(2)若數列出｝滿足："a”,求數列血，｝的前"項和S”.

—5-+、=1(">6>0)e=—

21.已知橢圓M：a6的離心率為2,左頂點/到左焦點尸的距

離為1,橢圓M上一點3位于第一象限，點2與點C關于原點對稱，直線C尸與橢圓

M的另一交點為D.

試卷第3頁，共4頁

(1)求橢圓M的標準方程;

(2)設直線的斜率為匕，直線的斜率為伍.求證：網為定值.

22

八C:-=1(CL>0,/)>0)

22.在平面直角坐標系x勿中，已知雙曲線/b-的右焦點為

(工°),且經過點G⑸)

(1)求雙曲線C的標準方程：

(2)已知A,8是雙曲線C上關于原點對稱的兩點，垂直于的直線/與雙曲線C相切

于點尸，當點尸位于第一象限，且VP4B被x軸分割為面積比為3：2的兩部分時，求直

線月8的方程.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】應用直線斜率公式，結合直線斜率與傾斜角的關系進行求解即可.

【詳解】因為一條直線經過兩點G6）,

V3-0=

所以該直線的斜率為2-1",

則有該直線的傾斜角滿足tana=3,因為ae［0,兀），

71

a=—

所以3,

故選：B

2.C

【分析】本題考查用規律來推導數列的通項，注意對每項進行標序，方便推導，如：

q=3,2=5,...an

【詳解】觀察可知3=2+1，5=2?+1,9=23+1,1.,所以通項公式是a“=2〃+l.

【點睛】本題屬于基礎題,主要考查利用數列的規律求通項，關鍵是找到規律.

3.B

【分析】利用兩直線平行的充要條件即得.

［詳解］由直線4：3x+ay+l=O,/2：S+2）x+y+a=0,

。+21a

----二-w-

...3a1,得〃=一3

故選：B.

4.B

【分析】利用點差法求出直線力5的斜率，進而得到方程，注意檢驗是否符合題意即可.

【詳解】設則再之十才―6%=0,6%=0,

兩式做差可得X；一只+y'7；-6%+6%=0,

即a+X］）（西一X2）+（必+y2）（M一%）—6（弘一%）=0,

又因為尸0，1）是的中點，則再+%=2,必+%=2,

因此2（七一工2）+2（%-%）-6（%-%）=0,即2（占-乙）一4（弘-%）=0,

答案第1頁，共14頁

必一》

k^B

所以%-x22

因此直線的方程為=即x-2y+l=0,

經檢驗，符合題意，故弦所在直線的方程為》-2歹+1=0.

故選：B.

5.A

-=2

【分析】由雙曲線的漸近線的方程可得。，再利用"=/+〃，將所得等式轉化為關于

離心率的方程，即可解得離心率.

22

二一匕=1

【詳解】Q雙曲線“2b2的漸近線方程為V=±2x

22

c=5Q2,e=5f:.e=45

故選：A

【點睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，屬于常考題.

6.A

【分析】由題意可得首項和公差的方程組，解方程組再由通項公式可得.

【詳解】由題意可得遞增的等差數列｛“"｝共5項，設公差為”,

5x4

S=5a,+——1=5/+104=60,一，1

由題意可得總和2.又%+%=%+%+%,

,2%+74=34+32,聯立解得q=8,d=2,

二最多的一份為%=%+4d=8+2x4=16.

故選A.

【點睛】本題考查等差數列的通項公式，考查計算能力，屬基礎題.

7.C

【分析】根據橢圓的定義求得比勢火同，在一幽中,利用余弦定理求得c°s/JZ4,在

中，再次利用余弦定理即可得解.

【詳解】解：由題意可得國3卜怩卻=2。,

答案第2頁，共14頁

因為H⑷：因卻=7:3,

73

閨同=a

=—a,\F2B\~

所以

因為A為橢圓的上頂點,

8

所以3周=叫=。，貝產一二",

在V/3中，

2642_竺/

\AF^+\AB2-BF^aH----a

COSZFAF=2525

222MlAB2x”,2

5

在中,

歸B「=I/片『+-2M用恒用cos/月/工

c_1

即4c2=/+/一/=",所以。-5,

即橢圓C的離心率為萬.

【分析】分析所給出條件的幾何意義，作圖，根據幾何意義運用點到直線的距離公式即可

求出最大值.

【詳解】如圖：

答案第3頁，共14頁

設（1,必），（2,歹）2,則原題等價于點A,B是圓f+/=4上兩點，

UUUULMIUMUUMU

并且=（演，%>°'=（“2，％），0/0'=國'2+=°,所以OA±OB,

"弘-4|+民+力-4|=瓜陪最+/xR#

V12+12V12+12,

所以所求最大值就是48兩點到直線x+y-4=°的距離之和H4+忸8的④倍，

設的中點為"，由上圖可知：以0+忸8=2|九回，就是M點到直線x+y-4=0的距

離的2a倍，

\OM\=-\AB\=-x2V2=V2

由于V4B0是直角三角形，???2,設的中點為M,所以

加在圓*+y=2上運動，

所以本題等價于求河到直線x+y-4=0的距離2貶倍的最大值，

顯然，最大值=原點。到直線x+>-4=°的距離與圓/+丁2=2的半徑之和的2&倍

=2V2x^-Ji=+V2=12

故選：D.

9.AC

【分析】利用等差數列的通項公式得到為=一3"，借助通項公式、求和公式、等差中項性

質依次分析，即得解.

答案第4頁，共14頁

【詳解】設等差數列｛""｝的公差為“,

因〃]+%=0則％+%+6d=0故％=—3d

所以4=%+（"1）"=（"-4"，所以為=。，故A正確;

由于”的正負不清楚，故國可能為最大值或最小值，故B錯誤;

因為邑—E=6%+154-%=5（%+34）=0,則S[=$6,故C正確;

因為%+%=2%=0,所以％=-%,即同|=|%|,故D錯誤.

故選：AC.

10.AD

X=_P_

【分析】選項A：根據標準方程為/=2px的拋物線的準線方程是2判斷；選項B：

設尸點坐標，由拋物線定義表示盧同，結合尸點坐標的范圍，即可求忸制的最小值；選項

C：數形結合，尸為動點，根據幾何關系，當P、4、歹三點共線時取最小值；選項D：求

出圓的半徑與圓心，比較圓心橫坐標和半徑即可知是否與V軸相切口

4?

x=—=—1

【詳解】A：拋物線的準線為4,故A正確；

B：設尸（X。/。），則心0,訴=4"（1,0）,則附=%+1汽當％=。時取得最小值,此

時興°，°）在原點，故B錯誤；

C：作圖分析：

當橫坐標為2時拋物線上位于第一象限內的點為（2'2右），此點位于點S3）的下面，故

A在拋物線外部，

故當P、4尸三點共線時|即取最小值恒司=/"1＞（3-。）2而，故c錯誤；

D：根據題意，可得拋物線「=2"的焦點為/0，。），

答案第5頁，共14頁

設P（m,n）,PF的中點為〃（再,必），可得%-萬。+叫

由拋物線的定義，得四H尹國mI

x=-\PF\

21I即點M到了軸的距離等于以尸尸為直徑的圓的半徑,

因此，以刊7為直徑的圓與y軸相切，故D正確口

故選:AD

11.ACD

【分析】根據題意求出P的軌跡，結合圓中的相關知識進行分析判斷即可.

PA_J（x_2）+（y_2）_1

【詳解】設尸（X/）,則0'J—4）2+0-2）2。

化簡得，，+/-8X-4）+4=0,則選項A正確；

將圓C的方程化為標準方程為（“一守+&-2）2=16,則圓心為（4,2）,半徑為%

則圓上的點到點（一3，-2）的最小距離為卜3一貨+（一2一2）2一4=癡一4>4,

則在圓C上不存在點M到點（-3,-2）的距離為4,則選項B錯誤；

C上的點到直線3x-4y+6=0的最大距離為圓心到直線3x-4y+6=0的距離加半徑,

112-8+61

1.'+4=6

即V9+16,則選項c正確；

顯然直線/的斜率存在，設直線/的方程為V-2=/+4）,即履7+44+2=0,

由于圓C的半徑為4,則要使C上恰有三個點到直線/的距離為2,

沖=2

只需圓心到該直線的距離為2,即0公+1

k=±叵

解得好,則選項D正確.

答案第6頁，共14頁

故選：ACD.

12.ACD

【分析】利用等比數列的性質及圓錐曲線的概念逐項分析即得.

【詳解】???首項為正數的等比數列包｝的公比為"曲線6"一+%+1廿=1

C\x+y——>0z、

當4=1時，所以n"％,即曲線G,為圓心為（。，。），半徑為

1

%的圓，故A正確;

當4=T時，所以％與"用互為相反數且不為0,故6：%/+%+4=1為

等軸雙曲線，故曲線G的離心率為也，故B錯誤;

C11

0<a<a,一>2」2_1

當“1時，數列為遞增數列，nn+l%%+】，所以曲線J：%、+%e$焦點在

x軸上的橢圓,

當4<°時，%與八異號，故曲線Q：4一+%/=1為雙曲線，其漸近線為

22y=±J—x

。“廠+眄歹=°,即Nq,故D正確.

故選：ACD.

13.3

【分析】由圓心距等于半徑和求解.

【詳解】圓（x—a）2+V=2的圓心坐標為（"@,半徑為亞，圓x2+（y—°）2=8的圓心坐標為

（0，。），半徑為2&,

兩圓外切，則而-°）2+（°-。）2=3+20,解得a=3（因為a>0）,

故答案為：3.

14.x+2y-4=0

答案第7頁，共14頁

【分析】由"（2』）是線段的中點，可得/、8兩點坐標，后可得直線方程.

【詳解】因/、3兩點在x軸和了軸上，設/（乂°>p（°y\

因“（2,1）是線段"的中點，則"（4,0），6（02）,

—+—=l=>x+2y-4=0

故直線43的截距式方程為：42

故答案為：x+2k4=0.

6*=-20F

_￡_

【分析】求出雙曲線的下焦點坐標，即為拋物線的焦點，則萬=5，代入即可.

2222

乙一土=1L-土=1

【詳解】由雙曲線169得：°=4/=3,C=5,因為雙曲線169的下焦點為拋物

線的焦點，拋物線的焦點坐標為（°，芍），設拋物線方程為/=-2加，所以x2=-20y

故答案為：，=-20了.

16.2550

【解析】當"為奇數時，可得數列｛"/的奇數項為公差為2的等差數列，當〃為偶數時，

可得偶數項的特征，將所求問題轉化為奇數項和偶數項求和即可.

［詳解］...%=l，a.+2+（T）"a"=2,

???當”為奇數時，為+2-%=2,即數列的奇數項為公差為2的等差數列，

當"為偶數時，"a+見=2

50x49

ax+a3+a5+L+tz99=50x1H---------x2=2500

(。2+)+(06+)+(%0+。12)+L+(°48+。50)=2X25—50

,Si。。=2500+50=2550

故答案為：2550.

【點睛】關鍵點點睛:

（1）得到數列｛"/的奇數項為公差是2的等差數歹!J；

（2）得到數列也｝的偶數項滿足%+2+%=2

答案第8頁，共14頁

17.⑴x-?+l=°

（2）工+,_3=0或21_/=0

【分析】（1）由直線的傾斜角為45。時，求得斜率為左=tan45o=l,結合點斜式方程，即

可求解；

（2）當直線過原點時，得到2》-＞=0；當直線不過原點時，設方程為“a,

代入點O'）,求得。=3,即可求解.

【詳解】（1）由題意，直線/的傾斜角為45。時，可得直線/的斜率為左=tan45。=1,

又由直線/經過。2）,所以直線/的方程為＞-2=x-l,即直線/的方程為x—+l=0.

（2）當直線/過原點時，因為直線/經過（1"）,可得直線/方程為＞=2x,即2x-y=°；

—+—=1（a7：：0）

當直線不過原點時，可設直線/的方程為。a,

j_+2=1

因為直線/過點口2）,可得Ja一，解得。=3,所以直線/的方程為x+y-3=0.

綜上所述，直線/的方程為x+?-3=0或2x7=0.

18.⑴%=2"1

T=—^—

⑵“2/7+1

【分析】（1）設等差數列”"的公差為"，再根據前"項和的公式求解即可；

（2）根據（1）可得見=2"-1,再裂項相消求和即可

5x4

S,=52+——d=5xl+10d=25

【詳解】（1）設等差數列〃〃的公差為“，則2，所

以"=2.

所以。〃=l+（〃—l）x2=2〃-1,即。〃=2〃一1

（2）由（1）知，%%=（2"一1）（2〃+1）=丁（2"1-2〃+1）,

1

丁-ixa_i+i-i+L+-______o=ixfi_

所以”2113352n-l2/i+lJ212n+iJ2n+l

19.⑴x=°或產一3

答案第9頁，共14頁

12加

⑵5

【分析】（1）先求得圓”的標準方程，由此求得"=2,再分類討論直線/斜率存在的情況,

利用點線距離公式即可求得直線/的方程；

（2）先由圓心距判斷得兩圓相交，再由圓的一般方程相減得到公共弦方程，由此利用弦長

公式即可求得公共弦長.

【詳解】⑴由/+/-4尤+2夕-3=0得。-2）2+（尸1）2=8,故圓”的圓心為"GT）,

半徑為r=2叵

設圓心河到直線的距離為d,由弦長公式得2=4,故d=2,

若直線/斜率不存在，則x=0,此時圓心“（2，T）到直線/的距離為2,符合題意；

若直線/斜率存在，設直線方程為歹=丘-3,即質-了-3=0,

故"'I,解得上=。，則直線方程為了二-3,

所以直線/得方程為x=°或片一

（2）因為圓N：/+/=9,所以圓N的圓心為N（0,。），R=3,

所以阿M=,22+（-1）2=遙,R+-3+20,R-r=3-2也，

故R+"即圓"與圓N相交，

22

<x+y-4x+2“y-3=0

聯立〔f+V=9,兩式相減得公共弦方程為2》-夕-3=0,

JO-O-3|_3

所以圓心N（°，°）到公共弦的距離為'G舊,

2A/7?2-d2=2199=12石

又因為及=3,所以公共弦長為V55.

【解析】（1）根據題意，得到2%=%+（%-2）=%,求得4=2,進而求得數列｛%｝的通項

答案第10頁，共14頁

公式;

，=(一)"+21

(2)由(1)可得2,結合等差數列和等比數列的前〃項和公式，即可求解.

【詳解】(1)設等比數列｛%｝的公比為彳

因為為,電，。3-2成等差數列，可得2a2=%+(%-2)=2+(%-2)=。3,

o-幺一2

所以%，所以數列缶"｝的通項公式%=%廣=2"(〃eN).

b?=~+2log2%-1=4)"+2log22--l=(與+2"-1

⑵由(1)可得見22,

吐S“=(：+l)+[(：)2+3]+[(：r+5]+L+[(1)?+(2?-1)]

所以2222

=[1+(1)2+(1)3+L+(1)-]+[l+3+5+L+(2?-1)]

[

二1一(；力+小[1+(2"叨="—1r+I

j__22

2

【點睛】分組求和的解題策略：

1、一個數列的的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時

可用分組求和法，分別求和后相加減；

2、分組轉化求和的常見類型：

①若數列也｝滿足c“"”士％(｛%｝，也｝為等差或等比數列),可分組求和；

為奇數

②若"他",〃為偶數(｛%｝，｛"｝為等差或等比數列)，可分組求和.

22

工+了-1

21.(1)43

(2)證明見解析

【分析】(1)根據橢圓離心率公式，結合橢圓的性質進行求解即可；

(2)設出直線C尸的方程與橢圓方程聯立，根據斜率公式，結合一元二次方程根與系數關

系進行求解即可.

C1

e——

[詳解](1)(1)a2,AF=a-c=\,.-.a=2,c=l,b2=o2-c2=3,

答案第11頁，共14頁

(2)設°(再，必)，。(工2,歹2),則5(一石,一歹1),CF：x=my~^

x=my-1

22

——%+—y=i1

聯立〔43

-9

3m2+4

6m

（2

3m+4?—6my—9=03m2+4

%

k=々+2=%（%-2）=%（帥-1-2）=%（加%-3）=切]為-3%

色必切6+2）必（即2T+2）%（"沙2+I）myly2+yl

%]—2

-9加（6m_v）-27m

=3加2+413〃/+4=3/?4+3%=3

-9m-9m

7-----+^O-----+弘

3療+4-13/+41

【點睛】關鍵點睛:利用一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵.

22

二一匕=1

22.（1）63

Vio

y=-------X

⑵5

a2+b2=9

‘§」=1

【分析】(1)由題意可得〔二廿，解方程組即可求出結果；

(2)分別將直線42以及直線/的方程與雙曲線聯立，表示出點3與點尸的坐標，然后根

據題意得到關于幺加的方程組，解方