專題01集合與常用邏輯用語

目錄

題型一：集合

易錯點01忽視集合中元素的互異性

易錯點02未弄清集合的代表元素

易錯點03遺忘空集

題型二常用邏輯用語

易錯點04判斷充分性必要性位置顛倒

易錯點05由命題的真假求參數(shù)的取值范圍

題型一：集合

易錯點01：忽視集合中元素的互異性

易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高三上?云南?期中)已知集合/={1,3,/},2={l,a+2},若2口8=2,貝匹?()

A.{2}B.{1,-2}C.{-1,2}D.{-1,1,2)

【答案】A

【分析】利用子集關(guān)系來求解參數(shù)，最后要檢驗元素的互異性.

【詳解】因為2口8=8,所以8=",由/={1,3,/},8={1,0+2},

所以a+2=3或°+2=/，解得a=2或-1或1,

經(jīng)檢驗集合中元素的互異性，把。=1或-1舍去，所以。?{2}.

故選：A.

【易錯剖析】

本題易忽略集合元素的互異性而錯選D.

【避錯攻略】

類型1集合與元素關(guān)系的判斷

(1)直接法：集合中的元素是直接給出的.

（2）推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.

【提醒】若集合是有限集，可將集合中的元素化簡并一一列出，再與有限集內(nèi)的元素進(jìn)行逐個對照，確定

是否存在與其相等的元素，進(jìn)而判斷集合與元素的關(guān)系；若集合是無限集，可將元素變形，看能否化為集

合中元素的形式，也可以代入集合的約束條件，判斷是否滿足，若滿足則屬于該集合，否則不滿足.

類型2根據(jù)元素與集合以及集合間關(guān)系求參數(shù)

第一步：求解，根據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值；

第二步：檢驗，根據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進(jìn)行檢驗；

第三步：作答，此處所有符合題意的字母取值（范圍）.

易錯提醒：集合中元素的三個性質(zhì)，一定要理解透徹并掌握其基本作用：

（1）確定性：判斷對象能否構(gòu)成集合的依據(jù).

（2）互異性：常用于檢驗解的合理性，如求解集合中元素含有參數(shù)的問題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值

后，再根據(jù)其互異性檢驗.

（3）無序性：常用于判斷集合相等.

舉—反三

1.（24-25高三上?湖南長沙?期中）已知集合/={-1,0,。},3={-1,2,3}.若2={-1,0,2,3},則實數(shù)。的取

值集合為（）

A.{2,3}B.{0,2,3）

C.{-1,2,3}D.{0,-1,2,3}

【答案】A

【分析】利用集合的基本運算及集合中元素的互異性可確定選項.

【詳解】由/口8={-1,0,2,3}及集合中元素的互異性可得。=2或。=3,故實數(shù)。的取值集合為{2,3}.

故選：A.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合/={。,/},3={1,4},若le/,則/U3中所有元素之和為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由le/,求出。=1或。=-1,再分類討論由集合的互異性可求出/U8={-1,1,4},即可得出答

案.

【詳解】由IE%得々=1或〃=1,解得：。=1或。=一1,

若。=1,則/=1,不符合題意；

若°=一1,/=從而4U8={-1,1,4},

所以4UB中所有元素之和為4,

故選：C.

3.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模）己知集合/={1,。},2={2,/},若/U8中恰有三個元素，則由。的取

值組成的集合為（）

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2）

【答案】D

【分析】/U8中恰有三個元素，則兩集合中有一個相同元素，分類討論列方程求解并檢驗即可.

【詳解】因為2U3中恰有三個元素，所以。=2或a=/或1=",

結(jié)合集合中元素的互異性，解得。=2或。=0或。=1（舍去）或。=-1.

故選：D.

?易錯題通關(guān)

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合/={1,16,84，2={1,/},則滿足/口8=8的實數(shù)。的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)集合運算得集合關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)分類討論求解即可.

【詳解】依題意，BjA,若/=16,解得。=-2=2時不滿足集合的互異性，舍去），

若/=8a,解得。=0=2時不滿足集合的互異性，舍去），

綜上所述，。=0或。=-2.

故選：B

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知集合/={0,私/-3承+2},且2",則實數(shù)機為（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3

【答案】B

【分析】由題意可得加=2或病一3根+2=2,分類討論，結(jié)合集合元素的互異性，即可求得答案.

【詳解】因為月={0,加,--3加+2}且2一，

所以機=2或加之一3加+2=2,

①若機=2,此時加2—3加+2=0,不滿足元素的互異性；

②若m2-3m+2=2，解得冽=0或3,

當(dāng)機=0時不滿足元素的互異性，當(dāng)加=3時，4={0,3,2}符合題意.

綜上所述，加=3.

故選：B

3.（2024?四川攀枝花?二模）已知集合/={1,/},8={1,4,。},若/包8,則實數(shù)。組成的集合為（）

A.{-2,-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,0,2}

【答案】D

【分析】根據(jù)題意分/=4和/=°兩種情況運算求解，注意集合的互異性.

Q2=4a2=a

【詳解】4=B,則有或,解得〃=2或〃=一2或Q=0,

aw4aw4

實數(shù)a組成的集合為{-2,0,2}.

故選：D

4.（23-24高三上?全國?階段練習(xí)）已知加eR,集合/={刃,-1,2},8={/卜—},^C=A\JB,且C的

所有元素和為12,則加=（）

A.-3B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】先確定集合B中可能的元素，根據(jù)兩集合中元素的和求出〃，的值，再根據(jù)集合中元素的互異性取

值.

【詳解】集合B中的元素可能為：m2,4

因為加w—1,m*2.

若加=1則/={1,-1,2},5={1,4},則。={1,一1,2,4},元素和不為12；

若〃7=-2,則/={-2,7,2},8={1,4},則。={一2,-1,2,4},元素和不為12；

當(dāng)〃zw±l,±2時，C=|m,-l,2,m2,l,4j,因為C中所有的元素和為12,

所以加2+加=6,解得心=-3或加=2（舍去）.

綜上：m=-3.

故選：A

5.已知aeR,bwR,若集合＞[,11={/,0一6,0},則。刈?+人皿。的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件，利用集合的互異性即可求解.

【詳解】?.?集合卜,：」:={/,°-6,0},分母“0,

/.b=0,a2=1,JLa2a-b=a解得。=-l,

20192020

/.a+b=-l.

故選：B.

6.（24-25高三上?四川成都?期中）已知集合/={1,。+2},8={/,1,3},若對Vxe4都有xe8,則。為

（）

A.1B.-1C.2D.1或2

【答案】C

【分析】得到NuB,分a+2=/和。+2=3兩種情況，求出。，舍去不合要求的解，得到答案.

【詳解】由題意得工18,

當(dāng)°+2=/時，解得。=2或-1,

當(dāng)a=2時，8={4,1,3}滿足要求，

當(dāng)。=-1時，a+2=l,a2=\,A,B中元素均與互異性矛盾，舍去，

當(dāng)a+2=3時，。=1,此時/=1,B中元素與互異性矛盾，舍去，

綜上，a=2.

故選:C

7.已知x為實數(shù)，A={2,x,x2},集合A中有一個元素恰為另一個元素的2倍，則實數(shù)x的個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由題意分情況討論并判斷即可.

【詳解】由題意：

當(dāng)2=2%時，x=l,此時集合4={2,1,1},不成立；

當(dāng)2=2*時，x=±l,x=l時不成立，尸-1時，集合力={2,-1,1},成立;

當(dāng)x=2x2=4時，集合/={2,4,16},成立；

當(dāng)x=2x?時，x=0或x=g,x=0時集合/={2,0,0},不成立，x=1■時集合N=]2,g,；},成立；

當(dāng)f=2x2時，x=±2,x=2時集合/={2,2,4},不成立，》=-2時集合/={2,-2,4},成立；

當(dāng)x2=2x時，x=0或x=2,x=0時集合/={2,0,0},不成立，x=2時不成立；

故無e2,—1,—,4j>,

故選：B.

8.（2024?貴州?模擬預(yù)測）已知集合/={刈尤歸3,無€討，2={2加一1,,。={3,加,3加-2},若B=C,

則Nc3的子集個數(shù)為（）

A.2B.4C.7D.8

【答案】B

【分析】本題根據(jù)8、C兩集合相等，則元素相同，然后分類討論求出參數(shù)心，進(jìn)而求出兩個集合，再求集

合/、8的交集，然后可求子集的個數(shù).

【詳解】由題意得，/={0,1,2,3},又集合B=C,

若2加-1=3,則加=2,此時8={2,3,4},

則znB={2,3},故ZcB子集個數(shù)為22=4;

若2加-1=加，則加=1,此時顯然民C集合不成立，舍去；

若2冽-1=3加-2,m=1,同理舍去.

綜上得：加=2時，子集個數(shù)為4個；

故選：B.

9.（多選）（24-25高三上?江西新余?階段練習(xí)）若集合/={/+223“+2,8},則實數(shù)。的取值可以是（）

A.2B.3C.-4D.5

【答案】BD

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求解.

【詳解】集合/={片+2a,3a+2,8},則/+2.w8,3a+2w8,/+2aw3a+2,

解得aw-4,aw2,aw-1,可知BD符合題意,

故選：BD.

10.(多選)(23-24高三上?福建寧德?期中)設(shè)集合M={3,9,3x},N={3,/},&NjM,則x的值可以為

()

A.-3B.3C.0D.1

【答案】AC

【分析】由子集的概念解出x,并注意驗證集合間元素是否滿足互異性.

【詳解】因為N=所以-=9或d=3x,解得x=±3或x=0.

當(dāng)x=3時，3x=9,集合M中的元素不滿足互異性，故舍去.

當(dāng)尤=-3時，符合題意.

當(dāng)x=0時，也符合題意.

故選：AC.

11.(2024?安徽?三模)己知集合/={42,-l},2={y|y=x2,xe/},若/UB的所有元素之和為12,則實數(shù)

2=.

【答案】-3

【分析】分類討論彳是否為1,-2,進(jìn)而可得集合8,結(jié)合題意分析求解.

【詳解】由題意可知：彳且八2,

當(dāng)％=%，則、=力；當(dāng)x=2,貝l]y=4；當(dāng)x=-l,貝！])=1；

若八1，則8=。,4},此時NU5的所有元素之和為6,不符合題意，舍去；

若4=-2,則8={1,4},此時/U3的所有元素之和為4,不符合題意，舍去；

若且彳/_2,則8={1,4,萬},故力+2+6=12,解得彳=-3或4=2(舍去)；

綜上所述：A=-3.

故答案為：-3.

易錯點02：未弄清集合的代表元素

,易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024?湖南衡陽一模)已知集合N=3y=lg，-x-2)},2={無舊=4rH}，則2口8=()

3

A.(-1,2)B.[-,+<?)C.(0,+co)D.R

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)求值域得根據(jù)二次函數(shù)求得函數(shù)定義域得3根據(jù)交集運算得解.

【詳解】/==lg(x?-x-2)}為函數(shù)y=lg(x?-x-2)的值域，

令f=x2-x-2>0nx>2或x<-l,te(0,+<?)j=1g?=>jeR,

B={x\y=/x2-x+2)為函數(shù)y=yjx2-x+2的定義域，

即y=j(x_g)2+：,因為(了-^了+^之“所以函數(shù))=JX2-X+2定義域為R，

故/n5=R,

故選：D.

【易錯剖析】

本題易忽略集合的代表元素，沒有注意到集合A表示的是函數(shù)的值域，而集合B表示的是函數(shù)的定義域而

出錯.

【避錯攻略】

在進(jìn)行集合間運算時，常用的方法為列舉法和賦值法：

方法1列舉法

列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據(jù)集合基本運算的定義求解的方法。

【具體步驟】

第一步：定元素，確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數(shù)軸寫出所有元素或范圍；

第二步：定運算，利用常見不等式或等式解未知集合；

第三步：定結(jié)果。

方法二：賦值法

高考對集合的基本運算的考查以選擇題為主,所以我們可以利用特值法解題,即根據(jù)選項之間的明顯差

異,選擇一些特殊元素進(jìn)行檢驗排除,從而得到正確選項.

【具體步驟】

第一步：辨差異，分析各選項，辨別各選項的差異；

第二步：定特殊，根據(jù)選項的差異，選定一些特殊的元素；

第三步：驗排除，將特殊的元素代入進(jìn)行驗證，排除干擾項；

第四步：定結(jié)果，根據(jù)排除的結(jié)果確定正確的選項。

易錯提醒：在進(jìn)行集合的運算時，一定要先觀察集合的代表元素，因為代表元素決定了集合的性質(zhì)，通過

集合的代表運算可以確定集合是數(shù)集還是點集、代表元素是實數(shù)還是整數(shù)，另外在進(jìn)行補集運算時，一定

要注意全集的性質(zhì)，不要想當(dāng)然的認(rèn)為是R.

舉一反三

1.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中)已知集合河=b|y=--2x-2}N,則九=

()

A.[-3,1)B.[-1,1)C.(1,3)D.[1,4]

【答案】A

【分析】先化簡集合再利用交集定義即可求得McN.

[詳解]M=^y\/=/一2￥-2}=卜|y=(尸r-3)={y[y>-3)

故McN={y|y>-3}n{x|x<l)=[-3,l)

故選：A

2.(24-25高三上?江蘇鹽城?期中)已知集合力={-1,1},8={(x,y)|xe4ye/},則/口2=()

A.AB.BC.0D.R

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知集合8表示點集，而集合A表示數(shù)集，即可根據(jù)交集的定義求解.

【詳解】由2={(x,T)|xeA,yeA}可得g={(一1,1),(一1,一1),(1,T),(1,1)},

故4口3=0,

故選:C

3.(24-25高三上?山東?期中)集合N={1,2,3,4,5,6},8={xeN|2xe/},貝1]以8=()

A.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1,2,3)D.{4,5,6}

【答案】D

【分析】由補集定義可得答案.

【詳解】因為/={1,2,3,4,5,6},8={xeN|2xe/},

所以8={1,2,3},。/={4,5,6}.

故選：D.

>易錯題通關(guān)

1.(2024?浙江溫州?模擬預(yù)測)設(shè)集合/={xeZ|x2-3x-440},5={x||x+l|<1},則()

A.{-1,0}B.{-2,-1,0)

C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】A

【分析】解不等式化簡集合42,再利用交集的定義求解即可.

【詳解]依題意，^={xeZ|-l<x<4}={-l,0,l,2,3,4},5={x|-l<x+1<1)={x|-2<x<0},

所以/c8={—l,0}.

故選：A

2.(24-25高三上?陜西漢中?期中)已知全集。={引x-l<0},集合/=卜|，+3尤一4<0},則圖/=(

A.(-8,-4)B.C.(-4,1)D.[-4,1)

【答案】B

【分析】先求解集合A,然后利用補集的定義即可求解

【詳解】根據(jù)題意，集合”=3X2+3X-4<0}={X|-4<X<1),

因為U=(-8,l),所以&N=(-8,-4].

故選：B

3.(2024?廣東肇慶?―■模)已知集合/={xeN|(x-l)(x-4)40},8={x[0<x<3},則428=()

A.{1,2}B.(1,3)C.{2,3}D.[1,3)

【答案】A

【分析】解不等式可得/={1,2,3,4},再由交集運算可得結(jié)果.

【詳解】由不等式(x-l)(x-4)V0,得1W4,所以/={1,2,3,4},

又2={x|0<x<3},可得/c2={l,2}.

故選：A

4.(24-25高三上?浙江?階段練習(xí))已知集合M=1(x,y)>=1-|■卜N=<(x,y)^-+_y2=lj,則A/cN的元

素個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的元素類型，列方程組求解集即可得元素個數(shù).

【詳解】因為集合初=卜了)>=1-5,N=<(x,y)亍+產(chǎn)=1>,

>2］尤=0\x=2

則聯(lián)立2，解得1或C，

二+2=1U=1U=。

I4-

故McN={(0,l),(2,0)},集合中有2個元素.

5.(24-25高三上?安徽合肥?階段練習(xí))已知集合/=卜小=1唱12-項，集合2={巾=31，則=

()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+℃)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，將集合48化簡，再結(jié)合交集的運算，即可得到結(jié)果.

【詳解】A=^x\y=log3一1)}={xX-1>0}={x|x>1或x<-1},

2={引了=3一"}={?加>0},所以4c8=(l,+8),

故選:C

6.(24-25高三上?廣東東莞?階段練習(xí))設(shè)4={(xj)卜=x2-x},B={(x,y)\y=x},則/口8=()

A.{(0,0),(2,2)}B.{(0,0)}C.{(2,2)}D.0

【答案】A

【分析】聯(lián)立集合/與集合2的方程組，解方程組可得答案.

【詳解】根據(jù)題意知聯(lián)立集合4與集合6方程組得“，

I歹=工

解之可得或所以/c8={(0,0),(2,2)}.

故選：A

7.(24-25高三上?山東濟(jì)寧?期中)已知集合尸=卜卜=正口卜°=卜卜=值工],則尸n(40)=()

A.0B.[1,+℃)C.(-8,0)D.

【答案】D

【分析】首先根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)求出集合P，再求出集合。，最后根據(jù)集合的運算法則計算可得.

【詳解】由y=6-1可得--120,解得或xW-1,

所以尸=卜卜=V?[I[=(一8,-動，

Xx2-l>0,則了=&-120,所以0=[八了=,>-1]=[0,+8),

所以以0=(-8,0)，所以LAQ0=(F，T.

故選：D.

易錯點03：遺忘空集

易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高一上?重慶萬州?期中)已知集合/=何x>5},5={x|5a-l<x<a+ll},且/U8=N,則。

的取值范圍為()

【答案】B

【分析】由并集的定義可知/U8=N得到Bq/,討論集合8是否為空集，得到對應(yīng)的參數(shù)。的范圍，再

求并集得到結(jié)果.

【詳解】因為/U8=N,所以3包/.

若3=0,則5。-124+11,§Pa>3；

a<3解得沁<3.

若2/0,則

5。一125

綜上所述，。的取值范圍是|,+?

故選:B

【易錯剖析】

因為空集是任何集合的子集，根據(jù)包含關(guān)系求參數(shù)時一定分析集合為空集的情況，本題易忽略對B=0的討

論而錯選C..

【避錯攻略】

1.當(dāng)已知z口民zn8=0求參數(shù)時，一定要分析集合為空集的情況;

2.若集合為不等式的解集，往往借助于數(shù)軸進(jìn)行分析；

【具體步驟】

第一步：化簡，化簡所給集合；

第二步：畫圖，用數(shù)軸表示所給集合；

第三步：列示，根據(jù)集合端點間關(guān)系列出不等式（組）；

第四步：求解，解出不等式（組的解；

第五步：檢驗，通過返回代入驗證端點是否能夠取到.

3.若集合為正整數(shù)集或抽象集合，可借助于韋恩圖分析，若集合是點集，可借助于曲線的圖像分析.

易錯提醒：|已知集合關(guān)系求參數(shù)時，除去要分析空集的情況，還一定要分析端點值能否取得，可采用代入

檢驗的方法加以區(qū)分，避免出錯.

舉一反三

1.集合/={工2/-5工+2=0},8={X|辦一2=0},若2=402,則實數(shù)a的取值集合為（）

A.{-1,-4}B.{0,-1,-4}C.{1,4}D.{0,1,4}

【答案】D

【解析】首先求出集合A,依題意可得BgN,再分8=0、2={2}、8=三種情況討論

因為/={x|2x?-5x+2=o},B=A^\B,所以BgN,又8==0}

當(dāng)8=0,則a=0,當(dāng)8={2},即2a-2=0,解得a=l,當(dāng)2=即ga-2=0,解得。=4,綜上可

得實數(shù)。的取值集合為{0』,4},故選：D

2.設(shè)集合U=R,集合/={x|-2Vx45},B={x|加-64x<2加-1},若/c8=0,則實數(shù)加的取值范圍為

（）

A.1TB.(11,+8)C.-pHjD.1f-gU(1l,+oo)

【答案】D

【解析】結(jié)合8是否為空集進(jìn)行分類討論可求加的范圍

當(dāng)3=0時，AcB=0,則加一622加一1,即加W—5

m—6<2m-1\m—6<2m-1

當(dāng)3W0時，若4c5=0,則2m—1<—2或1加一6>5

解得-5〈加W-g或加>11,綜上，實數(shù)加的取值范圍為，巴-;U(H,+?)

故選：D

3.(24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí))設(shè)集合P={x|-2<x<3},。={x13。<x4。+1}.

(1)若尸口。=0,求。的取值范圍.

(2)若尸UQ=P,求。的取值范圍.

【答案】(1)(一叫一3]口；,+[

(2)_g'+°°]

【分析】(1)根據(jù)題意，分。=0和。=0兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合尸no=。，列出不等式，即可求解;

(2)根據(jù)題意，分。=0和。H0兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合PU0=P,列出不等式，即可求解;

［詳解］(1)解：由集合尸={刈_2cx<3},§LQ={x\?>a<x<a+\］

因為「口0=0,可分。=0和。*0兩種情況進(jìn)行討論：

當(dāng)。=0時，可得3aNa+l,解得azg,此時滿足尸0。=0；

一一[3a<a+\f3a<a+l

當(dāng)。W0,因為Pn0=0,則滿足?，或°，解得aV-3,

[a+lW-2[3a>3

綜上可得，實數(shù)。的取值范圍為(-8,-引口[；,+/).

(2)解：由集合P={x|-2<x<3},且。={x[3a<xVa+l},

因為尸UQ=P,可分。=0和。-0兩種情況進(jìn)行討論：

當(dāng)。=0時，可得3a2。+1,解得此時滿足尸UQ=P；

3a<Q+1

21

當(dāng)Q，0,因為尸U0=P,則滿足a+]<3,解得

3a>-2一

綜上可得，實數(shù)。的取值范圍為-|,+?\

■易錯題通關(guān)

1.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知集合/={x[l<x<2},5={x[l<x<a},若B=則實數(shù)。的取值范圍是

（）

A.(2,+oo)B.(1,2]C.(-a>,2]D.[2,+oo)

【答案】C

【分析】由集合的包含關(guān)系，對集合8是否是空集分類討論即可求解.

【詳解】集合/={疝<》<2},3={疝<》<。},若B匚A,

則若。41,則8=0三4滿足題意；

若°>1,且貝l]l<aV2,

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是（一叫2].

故選：C

2.設(shè)集合/={無|20+1VxV3a-5},5=1x|x2-21x+8O<oj,Ap\B=A,貝!|（）

A.[a\l<a<7}B.{a|6<a<7jC.{a\a<7}D.[a\a<6}

【答案】C

【分析】解不等式化簡集合8,再利用集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】顯然8=卜卜2-2卜+8040}=卜|54》416},由/口8=/,得4=B,

當(dāng)/=0時，即2a+l>3a-5,解得a<6,滿足4=2,則。<6；

當(dāng)時，貝U542a+143a-5416,解得6Va47；

所以aV7.

故選:C

3.（23-24高一上?廣東肇慶?階段練習(xí)）已知。=R,集合/={x——x_2=0},8={x|必+1=0},

8n（QM）=0,則實數(shù)加=（）

A.一工或1B.一,或0C.1或0D.-工或1或0

222

【答案】D

【分析】求出集合A中方程的解確定A,即可求出[4,根據(jù)3n（14）=0,分兩種情況加=0和加。0討論

即可.

【詳解】由題可知，A={2-l}f則=1或xw2},

因為8={x|mx+1=0},

所以當(dāng)根=0時，B=0,貝1」8口（加力）=0,符合題意；

當(dāng)加。0時，B={一~,

m

由2rl（&/）=0知，一-?_=-i或--=2,即機=i或機=一1,

mm2

綜上所述，實數(shù)加為0或1或-g,

故選：D.

4.（24-25高三上?遼寧沈陽?期中）集合尸=何,-1|<1},Q={x\a-l<x<a+l},且尸0。=0,則實數(shù)。

的取值范圍為（）

A.或B.-1<a<3C.a>3D.a<-1

【答案】A

【分析】首先化解集合A,又。*0,即可得到a+lWO或解得即可.

【詳解】由即解得0<X<2,

所以尸={刈尤-1|<1}=卜|0<_￥<2},

又。={x|U4a+l},顯然0H0,

因為「口0=0,所以a+l<0或a-122,

解得°工-1或.23,

即實數(shù)。的取值范圍為。或a23.

故選:A

5.（24-25高一上?四川達(dá)州?期中）已知集合/={x|-2VxW10},B={x\l-m<x<l+m}BCCRA=0,

則實數(shù)加的取值范圍為（）

A.m<3B.m<9C.m<3^m<9D.3<m<9

【答案】A

【分析】已知5口（；/=0,這意味著B集合與A集合在R中的補集沒有交集，那么8集合是A集合的子集.

接下來通過分析B集合的邊界與A集合邊界的關(guān)系來確定機的取值范圍.

【詳解】qz={x|x<—2或x〉10}.因為5nq4=0,所以B=

由于5={%|1-mWx〈l+加},要滿足BqZ,

當(dāng)5=0,即1一加>1+加，解得m<0.

m>0

當(dāng)Bw0,則有<1一根之一2.解得：0工機《3.

1+m<10

綜上，加的取值范圍為加W3.

故選：A.

6.已知集合/={x*-1=0},3={x|a尤=1},^AC\B=B,則實數(shù)a取值集合為（）

A.{-1}B.{1}C.{-11}D.1-1,0,1）

【答案】D

【分析】由題意知BgN,分別討論5=0和3關(guān)0兩種情況，即可得出結(jié)果.

【詳解】由4口3=2,知臺@/,因為/={無值2-1=0}={-1,1},B={x\ax=\],

若3=0,則方程辦=1無解，所以。=0；

若8w0,aR0,則8={x|亦=1}=x=',

因為8g/,所以工=土1,貝Ua=±l；

a

故實數(shù)。取值集合為{T,。1}.

故選：D.

7.（24-25高三上?江蘇南通?期中）已知集合/={-2,1,3,4},8={到尤-2|<加/€1<},^A^B=0,則實數(shù)

m取值范圍為（）

A.m>4B.m>4C.m<2D.m>2

【答案】A

【分析】根據(jù)集合B計算圖8,利用/n48=0求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】由/nq8=0得，B^0,m>o.

由8={xllx—2|<m,x￡R}得，B={x\2-m<x<2+m]f

A={x\x<2-m^x>2+m],

J2-m<-2

[2+加〉4解得m>4.

故選：A.

8.（24-25高三上?上海青浦?階段練習(xí)）已知集合月=卜|x-gB={x\m+\<x<3m,meR],若

NU3=N,則機的取值范圍是.

【答案】m<^

【分析】解絕對值不等式可得集合/，由/U2=N得31工，討論2為空集和不為空集情況，解相應(yīng)不等

式，即得答案.

【詳解】解住一；區(qū):W-1<x-1<|,.'.l<x<4,Bp^=jx||x-1<|U{x|l<x<4）,

乙乙乙乙乙II4

由4U5=/,得B5;

當(dāng)5={引m+l<x<3m,加￡R}=0時，即冽+1>3m,.,.加<；,符合題意；

m+1<3m

14

當(dāng)時，需滿足,加+1N1,解得加工§,

3m<4

4

綜合可得加工§,

4

故答案為：加《§

9.（24-25高三上?河北?階段練習(xí)）已知集合4="|一一2工一3?0},B={x\m-2<x<m+2],若4n5=0,

則m的取值范圍是.

【答案】{加何<一3或加>5}

【分析】化簡集合A,由兩集合交集為空集，列出不等式即可求解.

【詳解】={x|x2-2%-3<0}={x|-1<x<3}

因為/口5=0

所以加+2<—1或7W—2>3

解得：加<一3或加>5

故答案為：{%|加<-3或加>5}

10.（24-25高三上?河南?開學(xué)考試）已知集合/={x|-1WXV2},8=同若NUB=8,則實數(shù)加

的取值范圍為.

【答案】[2,+?））

【分析】求出集合B,根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式組求解可得.

【詳解】因為/U3=8,所以N=

當(dāng)冽<0時，B=0,不滿足題意；

當(dāng)加20時，由忖一1區(qū)加解得5={x|l—加+加},

[1—YYlV—1「、

依題意有1+加>2，解得加>2,即實數(shù)加的取值范圍為[2,+8）.

故答案為：[2,+⑹

11.（2024?江蘇常州?三模）集合/={吊一1〈尤+146},B={x\m-l<x<2m+l,m&R],^A[）B=A,則實

數(shù)m的取值范圍為.

【答案】（-叫-2]3T2]

【分析】結(jié)合8是否為空集進(jìn)行分類討論可求加的范圍.

【詳解】由=且4={%|-2WxW5},

當(dāng)5=0時，B7A,貝lj加一122m+1,即加V-2,

m-1>-2

當(dāng)時，若BjA,貝卜加>一2,解得一加W2,

2m+1<5

綜上，實數(shù)加的取值范圍為（-叫-2]3-1,2].

故答案為：（-^,-2]u[-l,2].

題型二：常用邏輯用語

易錯點04：判斷充分性必要性位置顛倒

易錯陷阱與避錯攻略

典例命題“曾€[1,2],/一。vo”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a<AB.a>4C.a<5D.a>5

【答案】D

【解析】求解命題“\^?1,2],/-。40”為真命題時。24,即可根據(jù)真子集求解

命題"Vxe[l,2],x2-aWO”為真命題，則/一對恒成立，所以心任)1m,,故。24,所以命題

“Vxe[1,2],--。W0”為真命題的充分不必要條件需要滿足是同a>4｝的真子集即可，由于同a25｝是

｛a|aN4｝的真子集，故符合，故選：D

【易錯剖析】

本題易混淆A是B的充分條件和A的充分條件是B的區(qū)別而出錯.

【避錯攻略】

1掌握充分、必要條件的概念及類型

(1)如果p=>q,則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；

(2)如果p=>q,但q今p,則p是q的充分不必要條件；

(3)如果p=>q,且q=>p,則p是q的充要條件；

(4)如果q=>p,且p今q,則p是q的必要不充分條件；

(5)如果p今q,且q分p,則p是q的既不充分又不必要條件.

【解讀】

(l)p是q的充分條件，是指以p為條件可以推出結(jié)論q,但這并不意味著由條件p只能推出結(jié)論一般

來說，給定條件0,由p可以推出的結(jié)論是不唯一的.

(2)“p是q的充分條件”與'，是p的必要條件”表述的是同一個邏輯關(guān)系，即p0q,只是說法不同.

(3)p是4的充要條件意味著“p成立，則q一定成立；p不成立，則q一定不成立“，要判斷p是否為q

的充要條件，需要進(jìn)行兩次判斷：一是看〃能否推出q,二是看g能否推出p.若p能推出q,g也能推出

P，就可以說p是《的充要條件，否則，就不能說p是《的充要條件.

2.靈活運用判斷充分、必要條件的方法

(1)定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷；

(2)圖示法：多個條件間關(guān)系的判斷時，可以用用“Q”、“今”、“U”將條件彼此相連，然后再判斷它們之

間的關(guān)系.

(3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：如果條件p和結(jié)論q都是集合,那么若則p是q的充分不必要

條件；若0?%則p是q的必要不充分條件；若〃=%則p是q的充要條件，尤其對于數(shù)的集合，可以利用小范

圍的數(shù)一定在大范圍中，即小今大，會給我們的解答帶來意想不到的驚喜.

(4)舉反例：要說明p是q的不充分條件，只要找到x()e｛x0,但刈仁盤叮｝即可.

易錯提醒：在判斷充分、必要條件時，一定要先對條件進(jìn)行等價化簡，然后再結(jié)合合適的方法進(jìn)行判斷，

為避免位置顛倒出錯，可先用推出符號標(biāo)注好判斷的方向再進(jìn)行分析.

舉一反三

1.已知命題P：Vxe[-4,2],-x2-a>0,則P為真命題的一個充分不必要條件是。

A.a<-2B.a<0C.a<8D.a<16

【答案】A

【解析】先分離參數(shù)求出。的取值范圍，則P為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是（-叫0]的一個真子集,

由題設(shè)命題為真，即。工；工2在工目-4,2]上恒成立，所以awgx?1=0,則P為真命題的一個充分不必要

2127min

條件應(yīng)該是（-8，。]的一個真子集，

故選：A

2.（24-25高三上?云南?期中）“女>0,（。-3卜-1=0”成立的充分必要條件是（）

A.a>\B.a<\C.a>3D.a<3

【答案】c

【分析】討論”3是否為0,當(dāng)"3=0時，顯然無解，故用。表示出方程的解，令結(jié)果大于0,求

得。的取值范圍.

【詳解】當(dāng)a-3=0即。=3時，Vx>0,（a-3）x-l=-1^0,所以。/3；

當(dāng)a-3/O即。/3時，>0,（a-3）無一l=0=x=--—>0=a>3.

''a-3

故選：C.

3.（24-25高三上?江蘇揚州?開學(xué)考試）若不等式成立的充分條件是0<x<4,則實數(shù)a的取值范圍

是（）

A.a<-lB.a<5C.a>-lD.a>5

【答案】D

【分析】先分情況求不等式卜+1]<。的解集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】設(shè)不等式卜+[<。的解集為A,5=（0,4）,

因為不等式卜+1|<。成立的充分條件是0<x<4,,所以

所以4工0,所以a>0.

|-1-||x+1—a<x+1<Q-a-1<X<Q-1所以/=

-a-l<0

由3=/可得=>a>5.

?-1>4

故選：D

?易錯題通關(guān)

1.（24-25高三上?青海西寧?期中）已知a>0,b>0,則使成立的一個充分條件是（）

A.a2+b2=\B.a+b=ab

C.T+2*=4D.a+b2=2

【答案】B

【分析】利用充分條件的定義，結(jié)合基本不等式、二次函數(shù)性質(zhì)判斷.

【詳解】對于A,取a=（,b=立,顯然有/+〃=1成立，但。+人22不成立，不符合題意.

22

對于B,由a+b=ab,f#—+y=1,所以6=（a+6）（—+：]=2+2+g、4,可推出a+b22,符合題意.

ab\abJab

對于C,4=2"+2'>2,22）=，可得a+b<2,不符合題意.

對于D,由a+/=2,得〃=2-〃，因為。>0,b>0,所以0<6</，所以

a+b=-b2+b+2=-^b--^行,;,不能推出a+bN2,不符合題意.

故選：B.

2.使“a<6”成立的一個充分不必要條件是（）

A.Vxe（0,1],aWb+xB.Vxe（0,1],a+x<b

C.3XG[0,1],a<b+xD.3xe[0,1],a+x^b

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對于A,若Vx￡（0,l],aWb+x,當(dāng)a=b時，a=b<b+x成立，

所以“VXE（0,1],QW6+“R"Q</,A不滿足條件；

對于B,VxG(0,1],a+x<b,貝!JQ<Q+X<6,即〃<6,

所以“VXE(0,1],a+x<b"n"a〈b”,

若a<b,貝！JVXE(0,1],不妨取Q=I,6=1.2,x=0.5,貝！JQ+X>6,

所以“VXE(0,1],a+x〈bya〈b\

所以“VXE(0,1],。+%<戶是的充分不必要條件，B滿足條件；

對于C,若a<b,則HXE[0,1],使得+即a<b+九，

即“〃<6"="*w[0,1],a<b+x”,

所以Wx?0,l],"b+x"是“a<"的充分條件，C不滿足條件；

對于D,若mxe[O,l],a+xWb,則aWa+xW6,即當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時，等號成立，

所以“Hxe[O,l],a+xWb”聲"a<b”,D不滿足條件.

故選：B.

3.(24-25高三上?河北張家口?開學(xué)考試)已知。,6,ceR,使a>6成立的一個充分不必要條件是()

A.a+c>b+cB.ac>bc

C.a2>b2D.ac2>be2

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.

【詳解】對于A,a+c>b+c<^>a>b,A不是；

對于B,當(dāng)c<0時，由ac〉bc,得a<b,B不是；

對于C,a1>b2可能有如a=-2,6=1,c不是；

對于D,由。/>加2,得02>0,貝lja>b；若。>6,。=。，貝!]QC?=加？，D是.

故選：D

4.(2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測)直線無+?+6=0與圓。:@+1)2+"-1)2=5有公共點的一個充分不必要條件

是()

A.fte[-Vi0,Vw]B.Z>e(-V10,Vw)

C.be[-4,4]D.be(-4,4)

【答案】B

【分析】求出當(dāng)直線與圓。有公共點時6的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.

【詳解】圓C的圓心為半徑