湖南省長沙市第一中學2025屆高三下學期2月開學考試數學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]已知集合

A={xeZ|x-5x-6<O},B={xeR||x-l|<l},^JA(^B)=()

A.{0,1,2}B.{3,4,5}C.{%|0<x<2}1<%<0或2<x<6}

1.答案：B

解析：解不等式好_5%_6<0,則其解為-l<x<6?

又因為xeZ,所以A={0,l,2,3,4,5}.

求解集合3:解不等式|x-1區1,則—iwx—iwi,得04九W2,所以5={%|O〈xW2}.那么

61tB={x|x<0或x>2}.

所以A93)={3,4,5}.

故選:B.

2.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]已知復數z=?0,且有z+N=0,則

4+3i

實數。=()

A.--B.-2C.-D.-

3223

2.答案：A

曲近2+ai(2+ai)(4-3i)8+3a4a-6.

解析：z=-------=>----------------(-=-------+--------1,

4+3i(4+3i)(4-3i)2525

8+3ci4。一6.

所以三----------1，

2525

又z+元=0,

所以2=0,解得:a=—

253

故選:A

3.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]擲一枚質地均勻的骰子兩次，甲表示

事件“第一次出現的點數是奇數點”，乙表示事件“兩次骰子的點數之和是7”,則甲與乙的

關系為（）

A.互斥B.互為對立C.相互獨立D.既不互斥也不獨立

3.答案：C

解析：由題設，樣本空間為

(1,1)，(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3)，

(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3)

,(6,4),(6,5),(6,6)，共有36種，

甲有

(1,1)，(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6)共有18種，則概率為《=；,

乙有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共有6種，則概率為=1,

6

顯然同時滿足甲乙有(1,6),(3,4)(5,2)且概率為巴nJ,則巴

所以甲乙不互斥也不對立,但相互獨立,A、B、D錯,C對.

故選:C

4.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]設數列｛4｝的前〃項和為S“，若命題

P:“數列｛4｝為等差數列“，命題q：”對任意的keZ,SkSk-Sk，S3k-S2k成等差數列“，

則p是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.答案：A

解析：判斷0能否推出?

若數列｛??｝為等差數列，設其首項為%,公差為d.

先求Sk，根據等差數列前n項和公式Sn=陽?+若Q2，可得見=他+"工6.

再求S2k，S2k=2ka｝+2"T).,那么

—、k=H-------------------d——T---——d)—kci、-\----------------d

4k--2k-k~+k3kk

d=ka1+~d-

2

接著求S3k，S3k=3俎+3k(3；-l)d,所以

Si=3他+3"-D〃.M+2"T)d)=奶木⑸7「性—3

9k2-3k-4k2+2kd=ka+5k~kd-

二kCLy+---------------i

2

o72i

然后計算2($2左一S&),2(S2/—SJ=2(她+個工d)=2應+(342一人)小

計算

SR+⑸尢—$2%),

"小的+5k_kk2_k+5kl—k7,、,

Sk+(S3k~S2k)=kai+---------d=2kci[H----------------------d=2ka、+(3k-k)d

因為2（%-SQ=Sk+?-S2J，所以對任意的左eN*，》，S2k-Sk,S3k—S2k成等差數列,

即夕是q的充分條件.

判斷q能否推出p,

當數列｛”的通項公式為4=?1鬻時.

[2,〃為偶數

當左=]時,S]=q=0,S,=%+電—0+2=2,S2—Sj-2,S3=S,+%—2+0—2,S3—S2=0,

此時2（S2—SJ=2x2=4,A+（邑—S2）=0+0=02（S2—&）力1+（國一邑），不滿足R

說明滿足q時，數列｛??｝不一定是等差數列，即qLp,p不是q的必要條件.

p是q的充分不必要條件.

故選:A.

5.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]若e為銳角，且

cosPcos（。一/]=圭叵，則tan。的值為（）

I4J10

12

A.1B.-C.lD.2

33

5.答案：D

解析：由cos^-cos^—=-^（cos2^+sin^cos^）=~^~則cos?e+sin8cose=1,

所以cos2e+sinaos'=J+tan。=由又。為銳角，則加。〉。，

cos~e+sirT。1+tan-05

所以3tan?。一5tan夕一2=（3tan8+l）（tan。-2）=0,可得tan0=2-

故選:D

6.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]已知在平面直角坐標系xOy中，點

4（1,0）,5（3,0%點C在V軸上運動，當NACfi最大時，向量C4在8上的投影向量為（）

ill?

A.-CBB.-CBC.-CBD.-CB

4323

6.答案：C

解析：令C(0,y)，則CA=(l,-y)，C5=(3,-y)，

CACB3+/

所以cosZACB=

\CA\\CB\Jl+Vx,9+/

而0＜；W；,故NACfi最大，則，=6，^=3,故（cosNACB/m:與,

此時，向量C4在庭上的投影向量為生色（5=9底=^C氏

|CB|2122

故選:C

7.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]“四書”是《大學》、《中庸》、

《論語》、《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化、思想史上地位極高，所載內容

及哲學思想至今仍具有積極意義.為弘揚中國優秀傳統文化，某校計劃開展“四書”經典誦

讀比賽活動,某班有4位同學參賽,每人從《大學》、《中庸》、《論語》、《孟子》這

4本書中選取1本進行準備，且各自選取的書均不相同，比賽時有以下兩種方案：（1）這

四位同學從這4本書中有放回隨機抽取1本選擇其中的內容背誦,記抽到自己準備的書

的人數為的人數X,（2）這四位同學從這4本書中不放回隨機抽取一本選擇其中的內容

背誦，記抽到自己準備的書的人數為的人數匕則有（）

A.￡（X）=E（Y）,D（X）=D（Y）B.E（X）＞E“）,￡＞（X）＜D（Y）

C.E（X）＜E（Y）,D（X）＞D（Y）D.E（X）=E（Y）,D（X）＜D（Y）

7.答案：D

解析：由題可知方案（1）中這四位同學抽到自己準備的書的概率均為L易知

4

X?3（4,：），

由二項分布的數學期望公式與方差公式可知:

E（X）=4xl=l,D（X）=4xlx（l-lj=j.

由題可知y的所有可能取值為01,2,4,

9_3

。"=。）=二產24-8

V'A；243

叩=2）=界-

'7A：244

p（y=4）=^-=—,

I'A：24

E（y）=0x—+lx—+2x—+4x—=1

v724242424

D（y）=（0-l）2x^-+（l-l）2x^-+（2-l）-x^-+（4-l）2x^-=l,

i"i"i"

：.石（x）=E（y）,￡＞（x）＜￡＞（y）.

故選:D.

8.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]如圖,已知異面直線。力成60。角，公

垂線段MN（MNLa,MNLb,Mwa,Nwb）長度為2.線段43兩個端點分別在直線。力上

移動,且線段A5的長度為4,則線段中點T的軌跡的離心率為（）

AV2B2A/2cD2布

~~?亍

8.答案：B

解析：設線段MN中點為。，過點。分別作直線a7/a，//〃〃，

以。為坐標原點，直線儲石所成的角平分線所在直線作x軸，直線MN所在直線為z軸

建立如圖所示空間直角坐標系，

則|AB|=j3(〃zT)_+(_〃zT)_+4=4,即3(m—?)2+(m+/)2=12,

2x

'2m+t=

A/3

設線段中點T坐標為（%,丁⑶,則＜y=S，可得4t-m=2y

2

z=0

z=0

22

所以3（吁。2+（機+。2=]2/+浮A=12,整理得.+y2=i，

所以T的軌跡為橢圓，離心率e=￡=必2—尸=述,

aa3

故選:B

二、多項選擇題

9.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]如圖，在棱長為1的正四面體A3CD

中，點。是頂點A在底面BCD內的射影"為A。的中點，則（）

A.BMLCMB.四面體A-BMC的體積為—

48

C.點D到平面BCM的距離為也

D.三棱錐A—BCO與“—BCD的外接球體積相

等

9.答案：ACD

解析：由題設OB=OC=2X道=走廁04=，故0M邛,

323

所以BM=CM￡OB2+0M?=顯，故BM?+CM?=BC?，則對;

2

=x

BMC^A-BOC—%-80c且Szxgoc--xsinl20°=^~,

所以入斗導部落導B錯;

=1031

由^D-BCMVM-BCD且SABCD=萬義FXSill60°=，S=—X----X----=—，

△BCM2224

若點D到平面BCM的距離〃則![義L』x"x3,可得d=^C對；

343642

對于M-6cD，其外接球球心在直線Q4上，若其半徑為「，貝Ur2=OB2+(r-OM)2,

所以戶」+[—4]—2廠+工可得廠=近

3(V6)V624

對于A-BCD，其外接球球心在直線OA上，若其半徑為凡則R2=OB2+(04-R)2,

所以R2=L(?R]=R2—mR+L可得R=血,

3I3J34

所以R=r,即三棱錐A—BCD與V-BCD的外接球體積相等,D對.

故選:ACD

10.［2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試］已知函數

/(x)=sin(|cosx|)+cos(|sinx|)，則以下結論正確的是()

A./(%)的圖象關于直線x對稱B./(%)是最小正周期為2兀的偶函數

C.f(x)在區間上單調遞減D.方程/(x)=；x恰有三個不相等的實數根

10.答案：ACD

+cossin=sin(|sinx|)+cos(|cosx|),

—+x)=sin(|sinx|)+cos(|cosx|),

，，[-x]=f]，+x],故A正確;

/(7T+x)=sin(|cos(7i+x)|)+cos(|sin(7i+x)|)=sin(|cosx|)+cos(|sinx|)=f(x)，故B不正確;

當XE］o,'|■|時"=8sx單調遞減,ynsin/jw(0,1)單調遞增，所

以,y=sin(|cosx|)=sin(cosx)單調遞減,同理,y=cos(|sinx|)=cos(sinx)單調遞減,故函數

/(x)在區間［。e］上單調遞減，所以C正確；

易知/⑴為偶函數，綜上可知:/⑶的周期為兀，且在區間10,9上單調遞減，在區間

由兀］上單調遞增,在區間卜卷上單調遞減.

令g(x)=gx,因為/(O)=sin1+1>g(0)=0,/=cos1<cos(=<g=(,故函

數/(x)與g(x)的圖象在區間10弓］內有且只有一個交點；

又/(兀)=sinl+1〉sin：+l=拒;?>g(?i)=^|?，故函數/(x)與g(x)的圖象在區間''兀］

內有且只有一個交點；

又/住卜cos1<g住卜?，故函數/(x)與g(x)的圖象在區間卜群內有且只有一

個交點.

因為/(2兀)=sinl+1<g(2?r)=兀，由/(%)周期性和g(x)單調性可知，當x>2兀或xW0時,

兩函數圖象無交點.

綜上所述，方程/(x)=；x恰有三個不相等的實數根

故選:ACD

11.［2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試］造型稱為四葉型或幸運草

型，數學上，我們把這樣的曲線叫做四葉玫瑰線.已知定長線段A3的長度為4,它的

兩個端點A,3分別在x軸、y軸上(均不過原點。)滑動，過。向線段A3作垂線

OM,垂足M的軌跡為四葉玫瑰線,記作曲線C,則下列結論正確的是()

A.點(后，后)在曲線C上B.曲線C有且只有兩條對稱軸

C.曲線C圍成區域的面積不超過4兀D.當點(根,")在曲線C上時，|加"區2

11.答案：ACD

解析：設析(x,y)(xwO,y#0),A(xo,O)(xo^0),3(0,%)(%w0),則

OM=(x,y),AB=(f0,%),AM=(x-x0,y),由|AB|=4得x；+公=16①,

由ABLQM得AB.OM=(fo，%)?(羽y)=0,即為丁=%%②，由點航在線段A3上，

得AM//AB,則為(x-/)=-③.由①②③得仁+力3=16//,所以曲線C的方程

為+,2)3=］6%2,2(x/0,y/0).

選項A：將(0,3)代入曲線C的方程，易知［(0)2+(0)2］=16乂(0)2*(后)2成

立，故A正確.

選項B：用r替換x,曲線C的方程不變，所以曲線C關于y軸對稱；用-y替換》

曲線C的方程不變，所以曲線C關于x軸對稱；x與y互換，曲線C的方程不變，所

以曲線C關于直線y=x對稱；用-x替換》-y替換x,曲線C的方程不變，所以曲

線C關于直線,=-x對稱，所以曲線C有四條對稱軸，故B錯誤.

/22、2

選項C：因為（爐+'2）3=16%2y2416土上匕,所以爐+y2?4,所以曲線C圍成區

I2J

域的面積不超過4兀，故C正確.

選項D：由16必/=#+力3）（2|町|）3,得|孫區2,當且僅當|x|=|田=后時取等

號，所以當點（加，川）在曲線。上時，|加〃區2,故D正確.

三、填空題

12.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]^+|+3^（x+l）6的展開式中常數

項是.

12.答案：15

解析：（X+1）6的通項公式為：&]=C"6-r,

所以卜+j+3}x+l）6的展開式中常數項是：2C：+3C：=15,

故答案為：15

13.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]已知函數/（x）=|x3-ax在區間

解析：當aWO時,在區間（1,6）上〃x）=gx3-以單調遞增，滿足題設;

當a>0日寸，在％￡（。,+oo）上，令x3-3ax=x（x2-3a）=0,可得％=y/3a，

ax--xi,Q<x<y[3a

3

所以0<時時/(x)N。,貝!)/(%)=<

—x3-6zx,x>y/3a

對于y=蛆-；％3且0<x<G^,則y，=Q_%2,

所以0<%<五時V>。，在(0,?)上y=ax-gx3單調遞增，

y[a<x<yf3a時V<0,在(而,+8)上y=-gv單調遞減，

此時，要使"X)在區間(1,用上單調遞增，則62行得心3，

對于y=；x3_〃尤且1〉y/3a1則y'=%?-〃>0,即函數在+oo)上單調遞增，

此時，要使f(x)在區間(1,同上單調遞增，則后41，得即0<〃<g,

aG]—co,—[3,+co).

故答案為:[一局…

14.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]定義min{p,q/}表示p,%「中的最

小信max{p,q,r}表示中的最大值.已知實數。力,。滿足。+/?+°=0,取:=1,則

min{max{a,/?,c}}的值為.

14.答案：揖

解析：因為a+》+c=0，a/;c=l,

所以實數a,b,c中2個為負數,1個為正數，

不妨設c>0,則max{a,Z?,c}=c,

2

因為2A/^V(—a)+(—/?)=(?,所以仍V1,

1

因為c>0,abc=l,所以‘VJ2,即d24,解得cN也，

c4

所以max{〃,/?,(?}的最小值為次，即min{max{a/c}}的值為百，

故答案為:次

四,解答題

15.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]在△ABC中角A,3,C的對邊分別為

a,b,c,已知tanA+tanC=~7?

a2-b2-c2

(1)求C;

⑵若°=2百，且*=速，求&WC的面積?

sinA4

15.答案：（1）C=—；

3

（2）迪，

解析：(1)由〃2="+/-2/?ccosA，即a2-b2-c2=-2Z?ccosA，

所以tanA+tanC=26H=_Vf",

-2bccosAccosA

sinAsinCsinAcosC+cosAsinC_sin(A+C)

而tanA+tanC=H-----------

cosAcosCcosAcosCcosAcosC

又sin6=sin(7i-A-C)=sin(A+C)，且tanA+tanC=——----------

cosAcosC

所以sin§=_?=_CsinB，顯然/BcosA/0,

cosAcosCccosAsinCcosA

2

所以tanC=-6，而八（0,兀）,則。=q7r.

c°s1—cosA_36，

(2)由(1)知3=4—A,貝UcosB

3

sinA2sinA24

所以篙邛由nA弓故sinA=,c°sA=W

..26x

icsinAJ78V312_1

則mia=------=-----產'—=—f=,sin8=sin1三一A

sinCV3V72X772義幣―2后'

~2

所以=；acsinB=；x-^x2Gx^^=^^

/2yj/27//

16.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]如圖，在四棱錐p—ABCD中以_1平

面A3CD,設平面P3C和平面PAD的交線為l，l//BC-

（1）若ABL5C，證明:平面Q4T）J_平面出3；

⑵AB=AD=1,PA=42,ZABC=120°，平面ABCD與平面PCD所成角的余弦值

為L求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值.

3

16.答案：（1）證明見解析

（2）叵

3

解析：（1）證明:因為上4,平面ABCdCu平面ABCD,所以PAL5C，

因為ABMA.RVABU平面A4B，所以平面

因為〃/BC"u平面PAD,5C<Z平面PAD，所以BC〃平面PAD，

因為5Cu平面ABCD,平面ABCD平面八4D=AD，所以5C〃AD,

所以AD,平面

因為A￡>u平面PA。，所以平面B4T），平面上4B.

（2）由（1）可知BC7/AD,因為NABC=120。,所以/B4￡>=60。，

以A為原點,AB，AP所在直線分別為x軸,z軸,在平面ABCD內,垂直于AB的直線為V

軸,建立如圖所示的空間直角坐標系，

B

X

設3c=p,則P（0,0,夜），6（1,0,0）（旦+1,也,0,D,0，所以

（22j122/

PC=[f+l,鼻,-拒],P￡>="，￥，-后，

（22J（22J

Ip\百〃

設平面PCD的法向量為〃=（%y,z）,則<12]2'丁,

x+6y-2A/2Z=0

取z=l，則尤=Q1-p），y=n0+"所以〃=取（1-#,"（；'）,1

顯然平面ABCD的一個法向量為m=（0,0,1）,

依題意2小、二

解得p=2,

設PC與平面ABCD所成的角為a,因為PC=(2,后,-行卜又平面ABCD的一個法向量

為777=(0,0,1),

所以sina=空渣=交，所以直線PC與平面A3CD所成角的正弦值為史.

|PC||m|33

17.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]已知函數力(x)=lnx+ax-a,直線

/:y=左,對于給定的實數匕存在兩個不同的實數體嗎，使得直線/與曲線y=力,(%)和曲

線產幾(％)都相切?

(1)求左的取值范圍；

(2):%+/<-2.

17.答案：(1)(0,+oo)

(2)證明見解析

解析：(1)設直線/:y=左與曲線力(x)=lnx+ax-a相切于點P(尤“0),

小°)=2+"°,消去。得lnx0-1+二左

則有

Inx0+axQ—a=k

根據題意可知k=lnx-1+!有兩個不同的解,

X

令/z（x）=1口入+工一1,則/（%）=，--v=T-9

JCJCXX

所以當0<xvl時,〃（力<0,/1（%）單調遞減當X>1時,〃（力>0/（力單調遞增，且

/z(l)=O,

顯然當x—時,/z(x)f+00,

r

令加(x)=lnx+J(x>0)4iJm(x)=---~~r~9

所以當0<x<g時，加（%）vO,加（x）單調遞減，當%>1時,加（%）>0,制%）單調遞增,

=—ln2+l〉0,

所以In%>--M亙成立，所以Inx+^-l所以當％>0,x-0時,/z（x）-+oo,

2xx2x

所以要使左=1口％-1+,有兩個不同的解，人>0,

x

故女的取值范圍為（0,”）.

（2）由（1）可知對于給定的實數女>0,有且僅有七￡（。」）,々￡（1,丑0）,

使得=InXj+--1=Inx2+--1,BPIn—+———=0,

X]x2x2x}x2

又因為。=一工,所以存在力=—J_,g=-,滿足題意，

xQX1X2

設，=%，貝Ux=---，x=---,(0<Z<1),

x12v7

X2Inr-tint

ii)

所以要證6+〃2=----1---—2，只需證?+l)ln/<—2+2/,即

l石x?)1-t

(1+l)ln/_+2—2t<0?

令g⑺=Q+l）lnf+2—2/,（0</<1），則g'⑴=hn+；—1,

由⑴可知gt）〉g"）=O,所以g⑺在（0,1）單調遞增，

所以g⑺<g（l）=0,所以%+?<-2成立*

18.[2025春?高三?長沙市第一中學?開學考試]如圖已知拋物線「：好=2/,點

A,3,C是拋物線r上的三個不同的動點，當拋物線「的焦點R為△ABC的重心時，線段

網/員RC長度之和為2.過4B,C三點作拋物線的切線，三條切線兩兩交于點。，瓦G.

⑵求正胃黑

（3）已知△ABC和△DEG的面積分別為號，S2,是否存在實數2，使得工二入^?若存

在，求出2的值;若不存在,請說明理由.

18.答案：（1）=--

p2

（2）證明見解析；

（3）答案見解析.

解析：（1）設4（%,%）,8（%2，%），。（%3,%），因焦點廠為4.0的重心，

再+冗2+冗3=°

又（。,￡|,則V

X+%+%_p，又線段FA,FB,FC長度之和為3,

3一'

結合拋物線定義，又拋物線準線為y=-e.

2

331

可知|可|+|歹回+怛q=y+%+%+]P=3p=5np=5.

（2）由（1），拋物線r：L=y，則A（再苫）,5（々芯）,C（%3,娟,

設在A點的切線方程為:y=%）+片，將其與拋物線方程聯立,

可得：/一質+腦—%：=0,令其判另式為0,

2

則k—4g+4x；=0=>(左一2%J=0=>左=2xl

故在A點的切線方程為:y=2%（工一%）+父=>y=2%d一片,

同理可得在B點切線為:y=2x2x-xf，在。點切線為:y=2x3x-xj.

2/、

聯立A與3處切線方程，則2x3一>=%，可得G土也,再赴

2x2x-y=x1（2J

同理可得玉產，七小71玉產,玉石]

\AE\_GD\\AE=mEG

因A,瓦G與氏2G均三點共線，則--^--~-----------r<^>5

\EG\DB\GD=mDB

因A(不，才),3(%2芯)，C(%3，%；),

貝UAE=[,%(七一XJ)EG=(,x1(x2-x3)

、

,x2(x3-xj,DB=

7

hz^

AE=EG即他_仍.

可得/f即可西

GD=^-X^DB

(3)由(2)修

阿|

貝坐G|=六|G41GM二號忸琲

則S?二一471G4MqsinNBGA=SABGA，其中M=玉二土

2(m+1)(m+1)x2-x3

注意到445。與Z\BGA同底，則S]=nSBGA,

其中〃為C點到AB距離4與G點到AB距離d2的比.

由（2）,A（X],X；）,B（九2，X；），C（%3,X；）,G「；”,小2

2

貝ijAB直線方程為:y=~~—（x-x^+xjny-（x2+x^x+=0,

+X3）+12，（々+工3）+12^（X2+X3）+1

貝!J〃=4