2025年統計學期末考試題庫：數據分析與計算技巧試題解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述性統計量計算要求：運用描述性統計量的計算方法，分別對給出的數據進行計算，包括均值、中位數、眾數、方差、標準差、四分位數。1.已知一組數據：5，7，8，9，10，11，12，13，14，15，求該組數據的均值。2.已知一組數據：5，7，8，9，10，11，12，13，14，15，求該組數據的中位數。3.已知一組數據：5，7，8，9，10，11，12，13，14，15，求該組數據的眾數。4.已知一組數據：5，7，8，9，10，11，12，13，14，15，求該組數據的方差。5.已知一組數據：5，7，8，9，10，11，12，13，14，15，求該組數據的標準差。6.已知一組數據：5，7，8，9，10，11，12，13，14，15，求該組數據的第一四分位數和第三四分位數。二、概率及概率分布要求：根據概率的定義和概率分布的知識，計算給出的概率值。1.拋擲一枚公平的硬幣，求至少出現一次正面的概率。2.拋擲一枚公平的骰子，求出現偶數的概率。3.一個袋子里有5個紅球，3個藍球，2個黃球，隨機從袋子中取出一個球，求取到紅球的概率。4.一批產品中有10%的次品，求隨機抽取3件產品，其中至少有1件次品的概率。5.一個班級有30名學生，其中有15名男生，15名女生，隨機選取一名學生，求這名學生是女生的概率。6.從1到100中隨機選取一個數，求選出的數是奇數的概率。三、假設檢驗要求：運用假設檢驗的方法，對給出的數據進行假設檢驗。1.已知某工廠生產的產品重量服從正態分布，其均值μ為50kg，標準差σ為5kg。現從該工廠生產的產品中隨機抽取10個樣本，其重量分別為49.8kg，50.1kg，50.3kg，49.7kg，50.2kg，50.5kg，49.9kg，50.4kg，50.6kg，50.0kg，假設顯著性水平α=0.05，檢驗該工廠生產的產品的重量是否符合正態分布。2.某品牌手機的平均電池壽命為400小時，現從該品牌手機中隨機抽取10個樣本，其電池壽命分別為390小時，420小時，410小時，440小時，380小時，450小時，430小時，460小時，420小時，400小時，假設顯著性水平α=0.05，檢驗該品牌手機的平均電池壽命是否符合400小時。3.某公司生產的產品合格率一直保持在90%，現從該公司的產品中隨機抽取10個樣本，其合格率分別為92%，94%，91%，93%，95%，96%，90%，97%，89%，98%，假設顯著性水平α=0.05，檢驗該公司產品的合格率是否符合90%。4.某地區居民的平均收入為5000元，現從該地區隨機抽取10個居民，其收入分別為4800元，5200元，4700元，5300元，5100元，4900元，5400元，5600元，5700元，5800元，假設顯著性水平α=0.05，檢驗該地區居民的平均收入是否符合5000元。5.某產品的平均壽命為1200小時，現從該產品中隨機抽取10個樣本，其壽命分別為1150小時，1250小時，1170小時，1280小時，1160小時，1300小時，1190小時，1210小時，1220小時，1230小時，假設顯著性水平α=0.05，檢驗該產品的平均壽命是否符合1200小時。6.某班級學生的平均成績為80分，現從該班級隨機抽取10名學生，其成績分別為82分，78分，81分，75分，80分，84分，79分，83分，88分，77分，假設顯著性水平α=0.05，檢驗該班級學生的平均成績是否符合80分。四、相關性與回歸分析要求：根據給出的數據，計算相關系數，并建立線性回歸模型，預測因變量。1.已知某地區降水量（X）和農作物產量（Y）的數據如下：X:10,15,20,25,30Y:200,250,300,350,400計算X和Y之間的相關系數。2.根據上述數據，建立線性回歸模型，預測當降水量為22時，農作物產量是多少。五、時間序列分析要求：根據給出的時間序列數據，進行趨勢分析和季節性分析。1.已知某商場在過去12個月的銷售額（單位：萬元）如下：1月:30,2月:28,3月:32,4月:30,5月:34,6月:33,7月:35,8月:37,9月:36,10月:38,11月:39,12月:40分析該時間序列的趨勢和季節性。2.基于上述時間序列數據，預測下一個月的銷售額。六、統計推斷要求：根據給出的樣本數據，進行統計推斷，包括參數估計和假設檢驗。1.已知某城市居民的平均年收入為60000元，現從該城市隨機抽取了100名居民，其年收入分別為58000元，61000元，62000元，59000元，63000元，64000元，57000元，61000元，62000元，58000元，假設顯著性水平α=0.05，檢驗該城市居民的平均年收入是否為60000元。2.某批產品的質量標準是每件產品長度不小于80cm。現從該批產品中隨機抽取了20件，其長度分別為78cm，82cm，81cm，79cm，83cm，80cm，84cm，80cm，85cm，82cm，80cm，79cm，81cm，83cm，79cm，80cm，82cm，81cm，80cm，82cm，假設顯著性水平α=0.05，檢驗該批產品的平均長度是否滿足質量標準。本次試卷答案如下：一、描述性統計量計算1.均值=(5+7+8+9+10+11+12+13+14+15)/10=110/10=112.中位數：將數據從小到大排序后，位于中間的數為中位數，即第5個數和第6個數的平均值：(10+11)/2=21/2=10.53.眾數：數據中出現次數最多的數為眾數，該組數據中每個數只出現一次，因此沒有眾數。4.方差：先計算均值，然后計算每個數據與均值的差的平方，求和后除以數據個數。方差=[(5-11)^2+(7-11)^2+(8-11)^2+(9-11)^2+(10-11)^2+(11-11)^2+(12-11)^2+(13-11)^2+(14-11)^2+(15-11)^2]/10方差=[36+16+9+4+1+0+1+4+9+16]/10方差=100/10=105.標準差：方差的平方根。標準差=√10≈3.166.第一四分位數：將數據從小到大排序后，位于25%位置的數。第一四分位數=(5+7)/2=6第三四分位數：將數據從小到大排序后，位于75%位置的數。第三四分位數=(13+14)/2=13.5二、概率及概率分布1.至少出現一次正面的概率=1-(沒有正面的概率)=1-(1/2)^2=1-1/4=3/42.出現偶數的概率=3/6=1/23.取到紅球的概率=5/10=1/24.至少有1件次品的概率=1-(沒有次品的概率)=1-(0.9)^3=1-0.729=0.2715.這名學生是女生的概率=15/30=1/26.選出的數是奇數的概率=50/100=1/2三、假設檢驗1.計算樣本均值和樣本標準差。樣本均值=(49.8+50.1+50.3+49.7+50.2+50.5+49.9+50.4+50.6+50.0)/10=500.5/10=50.05樣本標準差=√[((49.8-50.05)^2+(50.1-50.05)^2+(50.3-50.05)^2+(49.7-50.05)^2+(50.2-50.05)^2+(50.5-50.05)^2+(49.9-50.05)^2+(50.4-50.05)^2+(50.6-50.05)^2+(50.0-50.05)^2)/9]樣本標準差≈√[0.04+0.01+0.16+0.16+0.01+0.36+0.16+0.16+0.01+0.01]/9樣本標準差≈√[1.44]/9樣本標準差≈0.37進行t檢驗，計算t值：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)t=(50.05-50)/(0.37/√10)t≈0.05/(0.37/3.16)t≈0.05/0.117t≈0.424查找t分布表，自由度為9，顯著性水平α=0.05時，臨界值為1.833。由于t值（0.424）小于臨界值（1.833），不拒絕原假設，即該工廠生產的產品的重量符合正態分布。四、相關性與回歸分析1.計算相關系數：相關系數=∑[(X-X?)(Y-?)]/[√(∑(X-X?)^2)*√(∑(Y-?)^2)]相關系數=[(10-11)(200-210)+(15-11)(250-210)+(20-11)(300-210)+(25-11)(350-210)+(30-11)(400-210)]/[√[(10-11)^2+(15-11)^2+(20-11)^2+(25-11)^2+(30-11)^2]*√[(200-210)^2+(250-210)^2+(300-210)^2+(350-210)^2+(400-210)^2]]相關系數=[(-1)(-10)+(4)(40)+(9)(90)+(14)(140)+(19)(190)]/[√[1+16+81+196+256]*√[100+1600+8100+4900+6400]]相關系數=[10+160+810+1960+3610]/[√(650)*√(22400)]相關系數=6700/[25.6*149.4]相關系數≈6700/3822.4相關系數≈0.7482.建立線性回歸模型：Y=a+bX使用最小二乘法計算斜率b和截距a：b=∑[(X-X?)(Y-?)]/∑[(X-X?)^2]b=6700/650≈10.38a=?-bX?a=210-10.38*11≈21.62線性回歸模型：Y=21.62+10.38X預測當X=22時，Y的值：Y=21.62+10.38*22≈21.62+229.56≈251.18五、時間序列分析1.趨勢分析：觀察數據變化，可以看出銷售額呈現出上升趨勢。季節性分析：觀察數據變化，可以看出銷售額在12月達到最高點，表明存在季節性波動。六、統計推斷1.進行t檢驗，計算t值：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)t=(58000-60000)/(0.37/√100)t=-2000/(0.37/10)t=-2000/0.037t≈-54.05查找t分布表，自由度為99，顯著性水平α=0.05時，臨界值為1.6