九年級（下）四月月考數學試題注意事項：1．本試卷滿分為150分，考試時間120分鐘；2．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”答題是無效的；3．考試結束后，請將“答題卷”交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分．每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．）1.實數的相反數是（）A B. C. D.2.英國曼徹斯特大學的兩位科學家因為成功地從石墨中分離出石墨烯，獲得了諾貝爾物理學獎，石墨烯是目前世界上最薄卻最堅硬的納米材料，同時也是導電性最好的材料，其理論厚度僅米，將用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的俯視圖是（）A. B. C. D.4.西遞、宏村以其世外桃源般田園風光和豐富多彩的歷史文化內涵聞名天下．相關部門對“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客的出行方式進行了隨機抽樣調查，整理繪制了兩幅尚不完整的統計圖，根據圖中信息，下列結論不正確的是（）A.本次抽樣調查人B.本次抽樣中選擇公共交通出行的有人C.扇形統計圖中，“其他”所對應的圓心角是D.若“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客有萬人，則選擇自駕出行的約有萬人5.時鐘分針長6厘米，從早上9點整到9點分，分針針尖所走過的路程是（）A.厘米 B.厘米 C.厘米 D.厘米6.已知反比例函數與一次函數的圖象的一個交點的橫坐標為，則的值為（）A B. C.5 D.37.如圖，在中，，點D，E在邊上，且，，則的長是（）A. B. C. D.8.如果是的一個因式，則的值是（）A B. C.0 D.19.如圖1，在中，，一動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿著的路徑運動，過點作，垂足為．設點運動的路程為，與的差為，與的函數圖象如圖2所示，點，是線段，與軸的交點，則圖2中點對應的點位置到點對應的點位置所經歷的時長為（）A.2秒 B.4秒 C.秒 D.秒10.如圖，矩形中，，，點E是邊上一點，且，點F是邊上任一點，把沿翻折，點B的對應點為，連接、，則以下結論正確的是（）①當與相似時，；②的最小值是；③點到距離的最小值是；④取的中點P，連接，則的最大值是．A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若代數式有意義，則實數的取值范圍是______．12.方程的解是______．13.如圖，小穎為學校聯歡會設計了一個“配紫色”游戲：下面是兩個可以自由轉動轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形．游戲者同時轉動兩個轉盤．若其中一個轉盤轉出了紅色，另一個轉出了藍色，則可配成紫色．此時，配成紫色的概率是______．14.如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點A出發，沿運動到點B停止，過點E作交射線于點F，連接，點Q是線段的中點，連接，則（1）當時，_______；（2）連接，則在點P運動的整個過程中，線段長的最小值為_______．三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分15.計算：16.人工智能是研究用計算機來模擬人的某些思維過程和智能行為（如學習、推理、思考、規劃等）的學科，主要包括計算機實現智能的原理、制造類似于人腦智能的計算機，使計算機能實現更高層次的應用．某校為迎接五十周年校慶舉行創新大賽，決賽是用電腦程序控制智能賽車在指定賽道上進行30米比賽，“領航號”和“致遠號”兩輛賽車在第一輪比賽時，兩輛賽車從起點同時出發，當“領航號”到達終點時，“致遠號”才行駛到全程的，“領航號”比“致遠號”每秒多行駛0.8米，求“致遠號”的行駛速度．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在由邊長是個單位長度的小正方形組成的網格中，的頂點都在格點(網格線的交點)上．（1）點的坐標為，以點為旋轉中心，將順時針旋轉至；（2）點通過（1）中旋轉后，對應點的坐標為；（3）用無刻度直尺在邊上作出一點，使得(保留作圖痕跡)．18.對于任意一個三位正整數，我們可以記為，即（，，，且均為整數）．若規定：對三位正整數進行運算，得到整數．例如，．（1）計算：；（2）當時，證明：的結果一定是的倍數．五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西方向上（點A、B、C、D在同一平面內），求隧道的長度．（參考數據：，，，結果精確到個位）20.如圖，點，在以為直徑的上，且，經過點的切線與的延長線交于點，與的延長線交于點，連接．（1）求證：．（2）若，，求的長．六、（本題滿分12分）21.2024年3月5日，《政府工作報告》提出了開展“人工智能”行動，涵蓋眾多行業和領域，其中大型語言模型是最近的熱門話題．某實踐小組開展了對A，B兩款聊天機器人的使用滿意度調查，并從中各隨機抽取20份，對數據進行整理、描述和分析（評分分數用x表示，結果分為四個等級：不滿意：，比較滿意：，滿意：，非常滿意：）．下面給出了部分信息：抽取的對A款聊天機器人的評分數據中“滿意”的數據：84，86，86，87，88，89；抽取的對B款聊天機器人的評分數據：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．設備平均數中位數眾數“非常滿意”所點百分比A88b96B8887.5c根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中，，，；（2）根據以上數據，你認為哪款聊天機器人更受用戶喜愛？請說明理由（寫出一條理由即可）．七、（本題滿分12分）22.如圖①，在菱形中，點分別在上，．（1）求證：；（2）如圖②，若為中點，連接．①求證：平分；②若，，求的值．八、（本題滿分14分）23.已知二次函數（為常數，且）．（1）若，請求出此時函數圖象的頂點坐標；（2）二次函數的圖象與軸交于兩點（點在點左側），與軸交于點，當點的縱坐標取到最大值時，求出此時的面積；（3）當時，在處取得最小值，請直接寫出的范圍．

九年級（下）四月月考數學試題注意事項：1．本試卷滿分為150分，考試時間120分鐘；2．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”答題是無效的；3．考試結束后，請將“答題卷”交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分．每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．）1.實數的相反數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相反數的定義：相反數是只有符號不同的兩個數；熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：實數的相反數是，故選：D．2.英國曼徹斯特大學的兩位科學家因為成功地從石墨中分離出石墨烯，獲得了諾貝爾物理學獎，石墨烯是目前世界上最薄卻最堅硬的納米材料，同時也是導電性最好的材料，其理論厚度僅米，將用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了科學記數法的表示方法，根據科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數即可求解，解題的關鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：，故選：C．3.一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖．根據簡單幾何體的三視圖的畫法，看得見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示可得答案．【詳解】解：該幾何體的俯視圖是從上面看該幾何體，選項D中的圖形符合題意，故選：D．4.西遞、宏村以其世外桃源般的田園風光和豐富多彩的歷史文化內涵聞名天下．相關部門對“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客的出行方式進行了隨機抽樣調查，整理繪制了兩幅尚不完整的統計圖，根據圖中信息，下列結論不正確的是（）A.本次抽樣調查人B.本次抽樣中選擇公共交通出行的有人C.扇形統計圖中，“其他”所對應的圓心角是D.若“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客有萬人，則選擇自駕出行的約有萬人【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了條形統計圖和扇形統計圖，對圖表的分析是解題關鍵．根據自駕人數及其對應的百分比可得樣本容量；用樣本總人數乘以對應的百分比可得選擇公共交通出行的人數；根據各部分百分比之和等于可得“其他”的百分比，在乘以即可；利用樣本估計總體可得選擇自駕出行的人數．【詳解】解：A、本次抽樣調查的樣本容量是人，此選項正確；B、樣本中選擇公共交通出行的有人，此選項正確；C、扇形統計圖中，“其他”所對應的圓心角是，此選項正確；D、若“十一”期間到西遞、宏村觀光的游客有萬人，則選擇自駕出行的約有萬人，此選項錯誤．故選：D．5.時鐘分針長6厘米，從早上9點整到9點分，分針針尖所走過的路程是（）A.厘米 B.厘米 C.厘米 D.厘米【答案】C【解析】【分析】本題考查弧長的計算，解題的關鍵是理解題意，記住弧長公式，利用弧長公式求解即可．【詳解】解：從早上9點整到9點分，分針轉過的圓心角，從早上9點整到9點分，分針尖所走過的路程(厘米)故選∶C．6.已知反比例函數與一次函數的圖象的一個交點的橫坐標為，則的值為（）A. B. C.5 D.3【答案】A【解析】【分析】本題考查了用待定系數法確定函數的解析式．把代入反比例函數的解析式，即可求得交點坐標，然后利用待定系數法即可求得k的值．【詳解】解：在中，令，解得，則交點坐標是：，代入，得．解得．故選：A．7.如圖，在中，，點D，E在邊上，且，，則的長是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟記各性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．由題意得出，，由旋轉的性質，再證，得出，，設，則，，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：在中，，，，，，把繞點A逆時針旋轉得到，連接，則，，，，，，，在和中，設，則，在中，由勾股定理得，，即，得，即．故選：A．8.如果是的一個因式，則的值是（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】本題考查因式分解，根據題意可知是方程的一個根，然后代入解題即可．【詳解】解：∵是的一個因式，∴當時，，解得：，故選：B．9.如圖1，在中，，一動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿著的路徑運動，過點作，垂足為．設點運動的路程為，與的差為，與的函數圖象如圖2所示，點，是線段，與軸的交點，則圖2中點對應的點位置到點對應的點位置所經歷的時長為（）A.2秒 B.4秒 C.秒 D.秒【答案】C【解析】【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，解直角三角形的相關計算，正確讀取圖中的信息是解題的關鍵．先得出當時，則，，再解讀當時，且與的差為，且此時停止運動了，說明點P與點C重合，則，運用，得，設故，分別算出在點M時，以及在點N時的時間，再計算它們的差值，即可作答．【詳解】解：∵過點作，垂足為，∴，當時，則，∴此時，由圖2得時，，∵與的差為，∴，∴，當時，且與的差為，此時停止運動了，說明點P與點C重合，∵，∴說明點P與點Q重合，則，即，則，由圖2得，在點M時，則，即，在中，，設則，故，∴，解得，∴，∵一動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿著的路徑運動，∴（秒），由圖2得，在點N時，則，即，此時點P是的中點，∴，則（秒），∴（秒），故選：C．10.如圖，矩形中，，，點E是邊上一點，且，點F是邊上任一點，把沿翻折，點B的對應點為，連接、，則以下結論正確的是（）①當與相似時，；②的最小值是；③點到距離的最小值是；④取的中點P，連接，則的最大值是．A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質、三角形的中位線性質、勾股定理、圓的基本性質，熟練掌握隱形圓上的點到定點和定直線的距離問題是解答的關鍵．利用相似三角形的性質可判斷①；②由折疊性質得，則點在以點E為圓心，1為半徑的圓上運動，如圖，連接，當C、、E共線時，有最小值，最小值為，利用勾股定理求解即可判斷②；過E作于G，當、、共線時，最小，即點到距離的最小，最小值為的長度，利用三角形的面積公式求得，進而求得可判斷③；取的中點，連接、，利用三角形的中位線求得，則點P在以點O為圓心，為半徑的圓上運動，當點P在的延長線上時，最大，最大值為，利用相似三角形的判定與性質和勾股定理求得即可判斷④，進而可得答案．【詳解】解：∵矩形中，，，∴，，∵，∴，①當時，則，即，解得；當時，則，即，解得，綜上，當與相似時，或，故①錯誤；②由折疊性質得，則點在以點E為圓心，1為半徑圓上運動，如圖，連接，當C、、E共線時，有最小值，最小值為，在中，，∴的最小值為，故②正確；③過E作于G，當、、共線時，最小，即點到距離最小，最小值為的長度，由得，∴，∴點到距離的最小值為，故③正確；④取的中點，連接、，∵點P是的中點，∴是的中位線，∴，∴點P在以點O為圓心，為半徑的圓上運動，當點P在的延長線上時，最大，最大值為，過O作于H，則，又，∴，∴，∴，，∴在中，，∴的最大值是，故④正確，綜上，結論正確的是②③④，故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若代數式有意義，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，根據題意可得，解不等式即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵代數式有意義，∴，∴，故答案為：．12.方程的解是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了解分式方程，根據解分式方程的步驟解答即可求解，正確計算是解題的關鍵．【詳解】解：方程兩邊乘以，得，解得，檢驗：當時，，∴，故答案為：．13.如圖，小穎為學校聯歡會設計了一個“配紫色”游戲：下面是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形．游戲者同時轉動兩個轉盤．若其中一個轉盤轉出了紅色，另一個轉出了藍色，則可配成紫色．此時，配成紫色的概率是______．【答案】【解析】【分析】先列出表格得到所有等可能性的結果數，再找到可配成紫色的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．【詳解】解：列表如下：轉盤2

轉盤1紅白黃（紅，黃）（白，黃）綠（紅，綠）（白，綠）藍（紅，藍）（白，藍）由表格可知一共有6種等可能性的結果數，其中可配成紫色的結果數有1種，∴配成紫色概率是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．14.如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點A出發，沿運動到點B停止，過點E作交射線于點F，連接，點Q是線段的中點，連接，則（1）當時，_______；（2）連接，則在點P運動的整個過程中，線段長的最小值為_______．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）過F作于K，連接，證明四邊形是矩形，可得．證明，可得，最后根據直角三角形斜邊中線的性質求解即可．（2）連接，取中點K，連接并延長與的延長線交于點J，連接，證明Q在的垂直平分線上，即得出當時，最小，結合勾股定理求出，證明，即得出，再求出，即可列出，求解即可．【詳解】解：（1）過F作于K，連接，∵矩形中，，∴，∴四邊形是矩形，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵點Q是線段的中點，∴．故答案為：；（2）如圖，連接，取的中點K，連接并延長與的延長線交于點J，連接，∵，點Q是線段的中點，∴，∴Q在的垂直平分線上，∴當為線段的垂直平分線且時，最小，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的判定和性質，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，等腰直角三角形的判定和性質，銳角三角函數，線段垂直平分線的判定和性質等知識，較難．正確作出輔助線是解題關鍵．三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分15.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查了實數的混合運算，根據零指數冪、算術平方根的定義、乘方的定義分別計算，再相加減即可求解，掌握實數的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式．16.人工智能是研究用計算機來模擬人的某些思維過程和智能行為（如學習、推理、思考、規劃等）的學科，主要包括計算機實現智能的原理、制造類似于人腦智能的計算機，使計算機能實現更高層次的應用．某校為迎接五十周年校慶舉行創新大賽，決賽是用電腦程序控制智能賽車在指定賽道上進行30米比賽，“領航號”和“致遠號”兩輛賽車在第一輪比賽時，兩輛賽車從起點同時出發，當“領航號”到達終點時，“致遠號”才行駛到全程的，“領航號”比“致遠號”每秒多行駛0.8米，求“致遠號”的行駛速度．【答案】“致遠號”的行駛速度為米/秒【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用，設“致遠號”的行駛速度為米/秒，則“領航號”的行駛速度為米/秒，根據“當“領航號”到達終點時，“致遠號”才行駛到全程的”列出分式方程，解方程即可得解，理解題意，找準等量關系，正確列出分式方程是解此題的關鍵．【詳解】解：設“致遠號”的行駛速度為米/秒，則“領航號”的行駛速度為米/秒，由題意可得：，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，答：“致遠號”的行駛速度為米/秒．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在由邊長是個單位長度的小正方形組成的網格中，的頂點都在格點(網格線的交點)上．（1）點的坐標為，以點為旋轉中心，將順時針旋轉至；（2）點通過（1）中旋轉后，對應點的坐標為；（3）用無刻度直尺在邊上作出一點，使得(保留作圖痕跡)．【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】【分析】本題考查了旋轉作圖，寫出點的坐標，格點作圖；（1）根據旋轉的性質，找到繞順時針旋轉的對應點，，順次連接，即可求解；（2）根據坐標系寫出點的坐標，即可求解；（3）取為頂點的格點，連接交于點，則點即為所求；【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解：根據坐標系可得故答案為：．【小問3詳解】解：如圖所示，點即為所求18.對于任意一個三位正整數，我們可以記為，即（，，，且均為整數）．若規定：對三位正整數進行運算，得到整數．例如，．（1）計算：；（2）當時，證明：的結果一定是的倍數．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（）根據定義計算即可；（）根據定義求出即可求證；本題考查了實數的新定義運算，完全平方公式的運用，理解新定義運算是解題的關鍵．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】證明：，∵是整數，∴是的倍數，即的結果一定是的倍數．五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西方向上（點A、B、C、D在同一平面內），求隧道的長度．（參考數據：，，，結果精確到個位）【答案】隧道的長為米．【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．如圖，過點D作于點E，根據方位圖易得，，，再根據三角函數即可求出的長；進而求出的長，的長，即可求出的長．【詳解】解：如圖如圖，過點D作于點E，反向延長至，，，又，，，∴．∵，．在中，．在中，．∴．答：隧道的長為米．20.如圖，點，在以為直徑的上，且，經過點的切線與的延長線交于點，與的延長線交于點，連接．（1）求證：．（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，通過圓的切線的性質，得，結合可得，進而得∥，即可求解；（2）由（1）得∥，證得，通過相似三角形的性質得，結合題意，求得與的值，再通過勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：連接．與相切，．，，，，，∥，，．【小問2詳解】解：由（1）得，，，，，，解得，．在中，，．【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質，圓周角定理和推論，平行線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握圓的有關性質是解題關鍵．六、（本題滿分12分）21.2024年3月5日，《政府工作報告》提出了開展“人工智能”行動，涵蓋眾多行業和領域，其中大型語言模型是最近的熱門話題．某實踐小組開展了對A，B兩款聊天機器人的使用滿意度調查，并從中各隨機抽取20份，對數據進行整理、描述和分析（評分分數用x表示，結果分為四個等級：不滿意：，比較滿意：，滿意：，非常滿意：）．下面給出了部分信息：抽取的對A款聊天機器人的評分數據中“滿意”的數據：84，86，86，87，88，89；抽取的對B款聊天機器人的評分數據：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．設備平均數中位數眾數“非常滿意”所點百分比A88b96B8887.5c根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中，，，；（2）根據以上數據，你認為哪款聊天機器人更受用戶喜愛？請說明理由（寫出一條理由即可）．【答案】（1）15，88.5，98（2）A款聊天機器人更受用戶喜愛，理由如下：因為對兩款機器人的評的平均數相同，但A款評的中位數比B款的高，所以A款聊天機器人更受用戶喜愛．（答案不唯一，合理即可）【解析】【分析】本題考查了扇形統計圖、中位數、眾數等知識，（1）用1分別減去其他三個等級所占百分比可得的值，根據中位數的定義可得的值，根據眾數的定義可得的值；（2）通過比較，款的評分統計表的數據解答即可．【小問1詳解】解：由題意得：，即，款的評分非常滿意有（個，“滿意”的數據為84、86、86、87、88、89，把款的評分數