上海市華師大二附中2025屆招生全國統一考試復習檢測試題(一)數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．則下列結論中表述不正確的是()A．從2000年至2016年，該地區環境基礎設施投資額逐年增加；B．2011年該地區環境基礎設施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C．2012年該地區基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D．為了預測該地區2019年的環境基礎設施投資額，根據2010年至2016年的數據（時間變量t的值依次為）建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型，根據該模型預測該地區2019的環境基礎設施投資額為256.5億元.2．已知直線：過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．已知函數，且)，則“在上是單調函數”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．5．雙曲線：（，）的一個焦點為（），且雙曲線的兩條漸近線與圓：均相切，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．已知，則的取值范圍是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]7．設函數，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．8．下列與函數定義域和單調性都相同的函數是（）A． B． C． D．9．集合，，則（）A． B． C． D．10．設集合則（）A． B． C． D．11．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，它歷史悠久，風格獨特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個窗花內部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內的概率是（）A． B． C． D．12．已知，是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點.若依次構成等差數列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數滿足，其中是虛數單位，是的共軛復數，則________.14．若函數為奇函數，則_______.15．由于受到網絡電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經濟損失，現將地區200家實體店該品牌洗衣機的月經濟損失統計如圖所示，估算月經濟損失的平均數為，中位數為n，則_________.16．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個焦點為、，點P是第一象限內雙曲線上的點，且，tan∠PF2F1＝﹣2，則雙曲線的離心率為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求函數f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．18．（12分）已知橢圓的長軸長為，離心率（1）求橢圓的方程；（2）設分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點，是橢圓上在第一象限的一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，問與面積之差是否為定值？說明理由.19．（12分）在數列中，，（1）求數列的通項公式；（2）若存在，使得成立，求實數的最小值20．（12分）已知是公比為的無窮等比數列，其前項和為，滿足，________．是否存在正整數，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．21．（12分）唐詩是中國文學的瑰寶.為了研究計算機上唐詩分類工作中檢索關鍵字的選取，某研究人員將唐詩分成7大類別，并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機抽取了500篇，統計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數，得到下表：愛情婚姻詠史懷古邊塞戰爭山水田園交游送別羈旅思鄉其他總計篇數100645599917318500含“山”字的篇數5148216948304271含“簾”字的篇數2120073538含“花”字的篇數606141732283160（1）根據上表判斷，若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機抽取一篇，則它屬于哪個類別的可能性最大，屬于哪個類別的可能性最小，并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率；（2）已知檢索關鍵字的選取規則為：①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關系，則“某字”為“某類別”的關鍵字；②若“某字”被選為“某類別”關鍵字，則由其對應列聯表得到的的觀測值越大，排名就越靠前；設“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應的觀測值分別為，，.已知，，請完成下面列聯表，并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計含“花”字的篇數不含“花”的篇數總計附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63522．（10分）一個工廠在某年里連續10個月每月產品的總成本（萬元）與該月產量（萬件）之間有如下一組數據：1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過畫散點圖，發現可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數加以說明；（2）①建立月總成本與月產量之間的回歸方程；②通過建立的關于的回歸方程，估計某月產量為1.98萬件時，產品的總成本為多少萬元？（均精確到0.001）附注：①參考數據：，，，，.②參考公式：相關系數，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據圖像所給的數據，對四個選項逐一進行分析排除，由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對于選項，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對于選項，令代入回歸直線方程得億元，故選項描述不正確.所以本題選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進行預測的方法，屬于基礎題.2．A【解析】

根據直線：過雙曲線的一個焦點，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因為直線：過雙曲線的一個焦點，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，，所以雙曲線方程為.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.3．C【解析】

先求出復合函數在上是單調函數的充要條件，再看其和的包含關系，利用集合間包含關系與充要條件之間的關系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域為或，（且）令，其在單調遞減，單調遞增，在上是單調函數，其充要條件為即.故選：C.【點睛】本題考查了復合函數的單調性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎題.4．A【解析】

根據向量的運算法則展開后利用數量積的性質即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查數量積的運算，屬于基礎題.5．A【解析】

根據題意得到，化簡得到，得到答案.【詳解】根據題意知：焦點到漸近線的距離為，故，故漸近線為.故選：.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，雙曲線的漸近線，意在考查學生的計算能力和轉化能力.6．D【解析】

設，可得，構造（）22，結合，可得，根據向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設，則，，∴（）2?2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又則[0，2]．故選：D．【點睛】本題考查了向量的運算綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.7．B【解析】

采用排除法：通過判斷函數的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數的定義域為，其關于原點對稱，因為,所以函數為奇函數,其圖象關于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和特殊點函數值符號判斷函數圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.8．C【解析】

分析函數的定義域和單調性，然后對選項逐一分析函數的定義域、單調性，由此確定正確選項.【詳解】函數的定義域為，在上為減函數.A選項，的定義域為，在上為增函數，不符合.B選項，的定義域為，不符合.C選項，的定義域為，在上為減函數，符合.D選項，的定義域為，不符合.故選：C【點睛】本小題主要考查函數的定義域和單調性，屬于基礎題.9．A【解析】

計算，再計算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，屬于簡單題.10．C【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合，則.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，屬于簡單題.11．D【解析】

由幾何概型可知,概率應為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應用,屬于基礎題.12．D【解析】

如圖所示，設依次構成等差數列，其公差為.根據橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設，代入已知條件進行化簡，根據復數相等的條件，求得的值.【詳解】設，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復數，考查復數相等的條件，屬于基礎題.14．-2【解析】

由是定義在上的奇函數,可知對任意的,都成立,代入函數式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域為,,是奇函數,則,即對任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查奇函數性質的應用,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.15．360【解析】

先計算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，，面積和超過0.5，所以中位數在第二塊求解，然后再求得平均數作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數字特征，考查運算求解能力以及數形結合思想，屬于基礎題.16．【解析】

根據正弦定理得，根據余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23，聯立方程得到，計算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1?PF2cos∠F1PF23，②①②聯解，得，可得，∴雙曲線的，結合，得離心率.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析【解析】

將函數解析式化簡即可求出函數的最小正周期根據正弦函數的圖象和性質即可求出函數在定義域上的最大值和最小值【詳解】（Ⅰ）由題意得原式的最小正周期為.（Ⅱ），.當，即時，；當，即時，.綜上，得時，取得最小值為0；當時，取得最大值為.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開，輔助角公式，三角函數的性質等，較為綜合，也是常考題型，需要計算正確，屬于基礎題18．（1）（2）是定值，詳見解析【解析】

（1）根據長軸長為，離心率，則有求解.（2）設，則，直線，令得，，則，直線，令，得，則，再根據求解.【詳解】（1）依題意得，解得，則橢圓的方程.（2）設，則，直線，令得，，則，直線，令，得，則，.【點睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系，還考查了平面幾何知識和運算求解的能力，屬于中檔題.19．（1）；（2）【解析】

（1）由得，兩式相減可得是從第二項開始的等比數列，由此即可求出答案；（2），分類討論，當時，，作商法可得數列為遞增數列，由此可得答案，【詳解】解：（1）因為，，兩式相減得：，即，是從第二項開始的等比數列，∵∴，則，；（2），當時，；當時，設遞增，，所以實數的最小值．【點睛】本題主要考查地推數列的應用，屬于中檔題．20．見解析【解析】

選擇①或②或③，求出的值，然后利用等比數列的求和公式可得出關于的不等式，判斷不等式是否存在符合條件的正整數解，在有解的情況下，解出不等式，進而可得出結論.【詳解】選擇①：因為，所以，所以．令，即，，所以使得的正整數的最小值為；選擇②：因為，所以，．因為，所以不存在滿足條件的正整數；選擇③：因為，所以，所以．令，即，整理得．當為偶數時，原不等式無解；當為奇數時，原不等式等價于，所以使得的正整數的最小值為．【點睛】本題考查了等比數列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21．（1）該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大，屬于“其他”類別的可能性最小；屬于“山水田園”類別的概率約為；屬于“其他”類別的概率約為（2）填表見解析；選擇“花”，“簾”作為“愛情婚姻”