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文檔簡介
武威市重點中學2025年第二學期高三開學考數學試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.2.已知拋物線經過點,焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.3.已知集合,,則中元素的個數為()A.3 B.2 C.1 D.04.已知等邊△ABC內接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點,則的最大值是()A. B.1 C. D.25.已知函數的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.6.已知數列中,,且當為奇數時,;當為偶數時,.則此數列的前項的和為()A. B. C. D.7.已知拋物線上一點到焦點的距離為,分別為拋物線與圓上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.8.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統紋樣.為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內,并向該正方形內隨機投擲200個點,己知恰有80個點落在陰影部分據此可估計陰影部分的面積是()A. B. C.10 D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.11.執行如圖所示的程序框圖,當輸出的時,則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.12.設分別為雙曲線的左、右焦點,過點作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點,若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示,在正三棱柱中,是的中點,,則異面直線與所成的角為____.14.在的展開式中,各項系數之和為,則展開式中的常數項為__________________.15.已知集合,,則________.16.若直線與直線交于點,則長度的最大值為____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,,,,分別為,的中點,為棱上一點,若平面.(1)求線段的長;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知三棱柱中,,是的中點,,.(1)求證:;(2)若側面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)在中,,.已知分別是的中點.將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:(1)證明:平面平面(2)求平面與平面所成二面角的大小.20.(12分)已知拋物線的焦點為,點,點為拋物線上的動點.(1)若的最小值為,求實數的值;(2)設線段的中點為,其中為坐標原點,若,求的面積.21.(12分)已知動圓經過點,且動圓被軸截得的弦長為,記圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的標準方程;(2)設點的橫坐標為,,為圓與曲線的公共點,若直線的斜率,且,求的值.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形且∥,側面為等邊三角形,且平面平面.(1)求平面與平面所成的銳二面角的大小;(2)若,且直線與平面所成角為,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據題意,可得幾何體,利用體積計算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算,屬于基礎題.2.A【解析】
先求出,再求焦點坐標,最后求的斜率【詳解】解:拋物線經過點,,,,故選:A【點睛】考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式,基礎題.3.C【解析】
集合表示半圓上的點,集合表示直線上的點,聯立方程組求得方程組解的個數,即為交集中元素的個數.【詳解】由題可知:集合表示半圓上的點,集合表示直線上的點,聯立與,可得,整理得,即,當時,,不滿足題意;故方程組有唯一的解.故.故選:C.【點睛】本題考查集合交集的求解,涉及圓和直線的位置關系的判斷,屬基礎題.4.D【解析】
如圖所示建立直角坐標系,設,則,計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系,則,,,設,則.當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了向量的計算,建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.5.D【解析】
運用輔助角公式,化簡函數的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數的解析式,集合正弦函數的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數為輔助角,由于函數的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數必須取得最大值和最小值,所以可設,,所以,當時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數的圖象與性質,其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數的解析式,合理利用正弦函數的對稱性與最值是解答的關鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.6.A【解析】
根據分組求和法,利用等差數列的前項和公式求出前項的奇數項的和,利用等比數列的前項和公式求出前項的偶數項的和,進而可求解.【詳解】當為奇數時,,則數列奇數項是以為首項,以為公差的等差數列,當為偶數時,,則數列中每個偶數項加是以為首項,以為公比的等比數列.所以.故選:A【點睛】本題考查了數列分組求和、等差數列的前項和公式、等比數列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎題.7.D【解析】
利用拋物線的定義,求得p的值,由利用兩點間距離公式求得,根據二次函數的性質,求得,由取得最小值為,求得結果.【詳解】由拋物線焦點在軸上,準線方程,則點到焦點的距離為,則,所以拋物線方程:,設,圓,圓心為,半徑為1,則,當時,取得最小值,最小值為,故選D.【點睛】該題考查的是有關距離的最小值問題,涉及到的知識點有拋物線的定義,點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑,二次函數的最小值,屬于中檔題目.8.B【解析】
利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若,則,故或,當時,直線,直線,此時兩條直線平行;當時,直線,直線,此時兩條直線平行.所以當時,推不出,故“”是“”的不充分條件,當時,可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷,前者應根據系數關系來考慮,后者依據兩個條件之間的推出關系,本題屬于中檔題.9.D【解析】
直接根據幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據幾何概型:,故.故選:.【點睛】本題考查了根據幾何概型求面積,意在考查學生的計算能力和應用能力.10.D【解析】
結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.11.B【解析】若輸入,則執行循環得結束循環,輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執行循環得結束循環,輸出,符合題意;若輸入,則執行循環得結束循環,輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執行循環得結束循環,輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.12.C【解析】
如圖所示:切點為,連接,作軸于,計算,,,,根據勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示:切點為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據勾股定理:,解得.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
要求兩條異面直線所成的角,需要通過見中點找中點的方法,找出邊的中點,連接出中位線,得到平行,從而得到兩條異面直線所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【詳解】取的中點E,連AE,,易證,∴為異面直線與所成角,設等邊三角形邊長為,易算得∴在∴故答案為【點睛】本題考查異面直線所成的角,本題是一個典型的異面直線所成的角的問題,解答時也是應用典型的見中點找中點的方法,注意求角的三個環節,一畫,二證,三求.14.【解析】
利用展開式各項系數之和求得的值,由此寫出展開式的通項,令指數為零求得參數的值,代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式各項系數和為,得,所以,的展開式通項為,令,得,因此,展開式中的常數項為.故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中常數項的計算,涉及二項展開式中各項系數和的計算,考查計算能力,屬于基礎題.15.【解析】
利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數,偶數,.故答案為:.【點睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.16.【解析】
根據題意可知,直線與直線分別過定點,且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點在以為直徑的圓上,結合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過定點,直線可化為,所以其過定點,且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點在以為直徑的圓上,作圖如下:結合圖形可知,線段的最大值為,因為為線段的中點,所以由中點坐標公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:【點睛】本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關系;考查數形結合思想和運算求解能力;根據圓的定義得到交點在以為直徑的圓上是求解本題的關鍵;屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)先證得,設與交于點,在中解直角三角形求得,由此求得的值.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)由題意,,設與交于點,在中,可求得,則,可求得,則(2)以為原點,方向為軸,方向為軸,方向為軸,建立空間直角坐標系.,,,,,易得平面的法向量為.,,易得平面的法向量為.設二面角為,由圖可知為銳角,所以.即二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查根據線面垂直求邊長,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取的中點,連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標系,求出平面的法向量,計算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點,,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內作直線的垂線,以為原點,以,,為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設平面的法向量為,,,則,即,令可得:,,,,.直線與平面所成角的正弦值為,.【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質,考查空間向量與空間角的計算,屬于中檔題.19.(1)證明見解析(2)45°【解析】
(1)設的中點為,連接,設的中點為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導出,從而平面,則,即,進而平面,推導四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.(2)以B為原點,在平面中過B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】(1)∵是的中點,∴.設的中點為,連接.設的中點為,連接,.易證:,,∴即為二面角的平面角.∴,而為的中點.易知,∴為等邊三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分別為的中點.∴四邊形為平行四邊形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如圖,建立空間直角坐標系,設.則,,,,顯然平面的法向量,設平面的法向量為,,,∴,∴.,由圖形觀察可知,平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小,難度一般,通常可采用幾何方法和向量方法兩種進行求解.20.(1)的值為或.(2)【解析】
(1)分類討論,當時,線段與拋物線沒有公共點,設點在拋物線準線上的射影為,當三點共線時,能取得最小值,利用拋物線的焦半徑公式即可求解;當時,線段與拋物線有公共點,利用兩點間的距離公式即可求解.(2)由題意可得軸且設,則,代入拋物線方程求出,再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由題,,若線段與拋物線沒有公共點,即時,設點在拋物線準線上的射影為,則三點共線時,的最小值為,此時若線段與拋物線有公共點,即時,則三點共線時,的最小值為:,此時綜上,實數的值為或.因為,所以軸且設,則,代入拋物線的方程解得于是,所以【點
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