河南省濮陽市2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合4={尤1y=J—*+2x+15},3={x|y=ln(x2—x—6)},則AB=

()

A.[-3,-2)0(3,5]B,[-3,5]

C.RD.(TO,-2)U(3,4<O)

【答案】A

【解析】由—必+2%+1520,f#x2-2x-15<0,得—3WxW5,得4=[—3,5],

由6>0，得xv—2或x>3,得5=(-00,—2)u(3,+8),

所以AB=[-3,-2)o(3,5],

故選：A.

2.若i(l+z)=l,則z—z=()

A.-2B.0C.2iD.-2i

【答案】D

【解析】因?yàn)閕(l+z)=l,所以1+z=：=77=—i,z=—1—i,所以z=-1+i，

z—z=-1—i—(—l+i)=-2i,

故選：D.

3.已知圓。：爐+/=2與拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線相切，則p的值為()

A.也B.2-J2C.2D.4

【答案】B

【解析】由題意可知，圓。是圓心為原點(diǎn)，半徑為夜的圓，拋物線C的準(zhǔn)線方程為

x=_g由于拋物線。的準(zhǔn)線方程與圓。相切，則言=應(yīng)，解得°=2近.

故選：B.

4.我國古代《洛書》中記載著一種三階幻方：將1-9九個數(shù)字填入一個3x3的正方形方

格，滿足每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)字之和相同(如圖).已知數(shù)列{。/(”eN*)

的通項(xiàng)公式為4=2"+2,現(xiàn)將該數(shù)列的前16項(xiàng)填入一個4x4的正方形方格，使其滿足

四階幻方，則此四階幻方中每一行的數(shù)字之和為()

4K

A.60B.72C.76D.80

【答案】C

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，四階幻方所有數(shù)字之和為C.34）x16=38x數(shù)

2

xS

由于每行、每列、每條對角線上的數(shù)字之和都相等，所以每行的數(shù)字之和為二￡=76.

4

故選：C.

5.在《ABC中，BC=3,sinB+sinC=《"sinA，且一A3C的面積為工sinA,則

32

A=（）

兀兀兀2兀

A.-B.-C.-D.—

6433

【答案】D

【解析】設(shè)ABC中角A,5,C所對的邊分別為a,b,c,

因?yàn)閟in3+sinC=@^sinA，所以由正弦定理可得b+c=巫。=癡，

33

又SABc=gbcsinA=gsinA解得/?c=l,

所以由余弦定理可得COSA=/2+/嘰0+心2-/」29=

2bc2bc22

因?yàn)??0,兀）,所以A=W，

故選：D.

22

6.已知橢圓。：三+與=1（。〉人〉0）的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為4B,右焦點(diǎn)為尸，過

ab

廠且與X軸垂直的直線與直線AB交于點(diǎn)E,若直線AB的斜率小于巫，。為坐標(biāo)原

4

點(diǎn)，則直線A5的斜率與直線0￡的斜率之比值的取值范圍是（）

B.，

【答案】D

b

【解析】由已知得，直線A5的方程為y=—X+。,

a

be

設(shè)橢圓的焦距為2c（c>0）,由題意設(shè)點(diǎn)E（c,%）），則為=—+b,BPE\c,—+b\,

aa

h+bb(a+c),又］^上〈姮,

所以

a4

即Le<l,

所以

44

設(shè)直線AB的斜率與直線0E的斜率之比值為加，

b

ace.L111

貝朋二砸工廣大=；n=i-7TT又片e<i，所以.7”天

故選:D.

7.截交線，是平面與空間形體表面的交線，它是畫法幾何研究的內(nèi)容之一.當(dāng)空間形體表面

是曲面時，截交線是一條平面曲線；當(dāng)空間形體表面由若干個平面組成時，截交線是一個

多邊形.已知正三棱錐O—A5C,滿足=點(diǎn)p在

VA5C內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動，且|OP|=?,則點(diǎn)尸的軌跡與這個正三棱錐的截交線長度

為（）

D.---------------

2

【答案】A

【解析】

B

由題意可知，正三棱錐O—ABC,^^OA±OB,OB±OC,OA±OC,OA^3,

可得。4_L平面OBC,得底面正VA5C的邊長為3挺，設(shè)正VA5C的中心為E,

由七棱錐。-ABC=V三棱錐A-OBC,即^*]*。*^）xsin,xOE=§XQ><3><3X3,

得QE=G，又EP=SP、E0>2=6,

點(diǎn)尸在VABC內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動，且|OP|=&,

所以點(diǎn)P的軌跡是以。為球心，半徑為指的球面與VA5C內(nèi)部（含邊界）包含的平面相

交所得的弧，

即點(diǎn)尸的軌跡是以E為圓心，EP=J^為半徑的圓在VA5C內(nèi)部（含邊界）的弧，

如圖，作石于。，圓與AB交點(diǎn)為G、H,則EG=E〃=JL

V6

____/-JTJT

所以“口八ED2-2,則NGED=—,所以NGE"=—,

cos/GAD=----=-^T=-=------4?

EG&2

7171

則點(diǎn)尸的軌跡在VA5C內(nèi)部（含邊界）的弧所對的圓心角為2兀—3x—=—,

22

則弧長為巴乂石=叵，

22

即點(diǎn)P的軌跡與這個正三棱錐的截交線長度為叵.

2

故選：A.

8.「x]表示大于或者等于x的最小整數(shù)，[無」表示小于或者等于x的最大整數(shù).已知函數(shù)

/(%)=-+3(+。，)V。，且〃尤)滿足：對％,方eR有(%-%)(7(丈1)--(9))<0,

則a的可能取值是()

114

A.----B.0C.—D.一

939

【答案】C

【解析】由(%-%)(/(%)一/(%))V0得fix)在R上單調(diào)遞減,

當(dāng)x>0時，/(x)=e-Te(O,l),

當(dāng)xWO時，/(%)=「尤2+3ax+a]要遞減，且/(%)=「『+3ax+a]21,

對于A,當(dāng)〃=---時，

9

2

—當(dāng)>/(0)=—!1=0<1,不合題意，故A錯

f(x)=X2-—X——

393699

誤；

對于B,當(dāng)a=0時，/(尤)耳龍2]N/(O)=「O]=O<I,不合題意，故B錯誤；

2

1「，111

對于C,當(dāng)a=§時，/(x)=x+x+~二1,符合

1212

題意，故C正確；

4「，44x+|j>/(-|)=^<1,不合題

對于D,當(dāng)&=一時，/(%)=x~+—x+—

939

意，故D錯誤；

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結(jié)論正確的有()

A.若隨機(jī)變量。〃滿足〃=24+1,則￡)(〃)=2￡)C)+1

B.若隨機(jī)變量4?N(3,〃)，且P(J<6)=0.84，則尸(3<4<6)=0.34

C.若樣本數(shù)據(jù)=，〃)線性相關(guān)，則用最小二乘估計得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線

經(jīng)過該組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)叵，田

D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到％2=4.712.依據(jù)。=0.05的獨(dú)立性

檢驗(yàn)（鼠.05=3.841）,可判斷X與Y有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.05

【答案】BCD

【解析】對A,由方差的性質(zhì)可知，若隨機(jī)變量。〃滿足〃=24+1,則

DS）=22D/）=4D（小，故A錯誤；

對B,根據(jù)正態(tài)分布的圖象對稱性可得P（3<J<6）=P（J<6）—0.5=0.34,故B正確;

對C,根據(jù)回歸直線過樣本中心點(diǎn)可知C正確；

對D,由/=4.712〉3.841可知判斷X與Y有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.05,故D正

確

故選：BCD.

10.已知c>0,且2"=3〃=5°，則（）

A.a>b>cB.ac<b2

C.—+—>—D.^a+c=ac,則6=log310

abc

【答案】ACD

【解析】因?yàn)閏>0,設(shè)2"=3〃=5'=左

對A,知女>1,易知a>/?〉c.選項(xiàng)A正確.

對C,因?yàn)閍=log,k,b=log3k,c=log5k,所以工=logk2,-=log^3,

ab

』=log*5,于是［+,=108人,2+1。8左3=108*6>log?5=—,選項(xiàng)C正確.

cabc

對D,若a+c=ac,則一+工=1,即108/2+108*5=1（^10=1,貝”=10.

ac

由于=10知6=log310.選項(xiàng)D正確.

2

對B,取左=3,則/=1，由310g32=log38<2知Iog32<§,

2

310g53=log527>2知log53>§,所以logs2<logs3,gplog32-log35<1,

—=log2-log5<1=—z-,此時ac>b2>選項(xiàng)B錯誤.

ac3~3o

故選：ACD.

11.若函數(shù)/（x）的圖象連續(xù)不斷，且存在常數(shù)幾，使得〃尤+4+X”尤）=0對于任意實(shí)

數(shù)x恒成立，則稱/（九）為“學(xué)步”函數(shù).下列命題正確的是（）

A./(x)=x是“學(xué)步”函數(shù)

B.f(x)=a(。為非零常數(shù))為“學(xué)步”函數(shù)的充要條件是;1=—1

“學(xué)步”函數(shù)，且xe0,113

C.若/⑴是x=時，/(x)=,則x￡-2

4-4%29

4

時,/(%)=

5-2x

D.若〃力是4=2的“學(xué)步”函數(shù)，則/(%)在［0,2024］上至少有1012個零點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】對于A,7(x)=x是定義在R上的連續(xù)函數(shù),

/(x+2)+2/(x)=x+2+2x=(l+2)x+2,

不存在X(X￡R),使得/(x+；l)+2/(x)=0,故A錯誤;

對于B,函數(shù)/(x)=a(。為非零常數(shù))是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且

/(x+2)+X/(x)=Q+XQ=(1+2)Q,

當(dāng)之=—1時，〃苫+彳)+幾〃同=0對于任意的實(shí)數(shù)*恒成立,

若“尤+為+彳”》)=0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則(l+2)a=0,解得：2=-1,

故函數(shù)/(尤)=。(。為非零常數(shù))為“學(xué)步”函數(shù)的充要條件是;1=—1,故B正確;

對于C,若"％)是2=-1■的“學(xué)步”函數(shù)，則/

即〃x)=2/

因?yàn)閤e0,；1

時,〃x)=

4-4x

11

當(dāng)xe:2),3og，

x——e4—4卜一;10-4x，

2

，即/'［尤-］

又因?yàn)?(尤)=2/2/(x-l),gp/(x-l)=2/

4

所以/(可=8/8x―-,故c正確;

10-4%5-2%

對于D,由題意得：/(x+2)+2/(x)=0,

令x=0得：令2)+2/(0)=0,所以/⑵與/(0)異號，即/⑵?/(0)<0,

由零點(diǎn)存在性定理得：/(%)在(0,2)上至少存在一個零點(diǎn)，

同理可得：/(X)在區(qū)間(2.4),(4,6),(6,8)(2022,2024)上均至少有一個零點(diǎn)，

所以/(x)在［0,2024］上至少有1012個零點(diǎn)，故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.向量。力在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則以向量。力為鄰邊的平行四

邊形的面積是.

【答案】3

【解析】根據(jù)題意，將兩個向量平移至相同的起點(diǎn)，以起點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系如下所示:

則a=(2,1)3=(1,2),

/.\a-b2+24

又兩向量的夾角為銳角，

故sinQG=［,

則該平行四邊形的面積為5=同,卜加(。力)=J^x?xg=3.

故答案為：3.

13.橢球面鏡具有改變光路的方向、使光束會聚的作用，它經(jīng)常被用來制作精密的光學(xué)儀

器的部件.橢球面鏡是以橢圓的長軸為旋轉(zhuǎn)軸，把橢圓轉(zhuǎn)動180形成的立體圖形，其內(nèi)表

面全部做成反射面，中空，橢球面鏡可以將從某個焦點(diǎn)發(fā)出的光線全部反射到另一個焦點(diǎn)

處.從橢球面鏡的焦點(diǎn)鳥射出的兩條光線，經(jīng)橢球面鏡上的A3兩點(diǎn)反射后匯聚于焦點(diǎn)

F2,若3M=285,且|A團(tuán)=2a閭，則橢球面鏡的軸截面橢圓的離心率為.

【答案】也或上出

55

【解析】

設(shè)橢圓的長軸長為2a,焦距為2c,短軸長為2可鉆|=2/,

則|四|=2|A閭=4,忸閶=3九

由橢圓的定義得|M|+|初|=2a=6/,忸耳|+|陷|=2a=61,

所以忸周=31,因?yàn)閨明|=牝忸周=34AB|=|傷|+|巡|=5/,所以A耳，3%

又忸耳|=|即|=3f,所以B為橢圓的短軸端點(diǎn).

\BE\3,

設(shè)。為橢圓的中心，因?yàn)閏osN[55=上3=1=1-25111NOBF,,

\AB\5

所以sin/OBB=^,又在RtZXOBg中，OB±OF2.\OB\=b.\OF2\=c,

所以忸閭=J。?+J=a,所以sinNOBg=,

故答案為：昱

5

14.用一張A4紙圍繞半徑為廠的石膏圓柱體包裹若干圈，然后用裁紙刀將圓柱體切為兩

7T

段，如圖①所示?設(shè)圓柱體母線與截面的夾角為a0＜。＜—),如圖②將其中一段圓柱體

2

外包裹的A4紙展開鋪平，如果忽略紙的厚度造成的誤差，我們會發(fā)現(xiàn)剪裁邊緣形成的曲

線是正弦型曲線，如圖③建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，這條曲線的解析式可設(shè)為

/(%)=Asin(y%(A＞0,。＞0).若/'(X)的最小正周期為2兀，貝什=,此時，若

再有A=2,則sine=.

①②③

【答案】1叵

5

【解析】因?yàn)?（尤）的最小正周期為2兀，所以2兀廠=2兀，r=l；

若A=2,則八x）的最大值是2，最小值是—2，

則切口的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的豎直方向的距離為4，

所以tan6=2=L,。是銳角，所以sin6=@.

425

故答案為1；昱

5

四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體.該幾何體是上、

下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.在如圖所示的“曲池”中，

明，平面4月。12,延長4A，8c相交于點(diǎn)。-

2兀

,E為弧4用的中點(diǎn).

（2）若A4=4AD,求直線CE與平面DEB1所成角的正弦值.

（1）證明：連接。山，OXE,因?yàn)镋為弧4片的中點(diǎn),

JT

則/4。1石=§,△das為正三角形，于是

因?yàn)檎校矫鍭]B]G2，則有，平面4月孰2,

又平面A]BIG2,于是而DiEcDDi=D-

u平面DD]E,因此A，，平面DQE,又DEu平面D°E,

所以42，DE.

（2）解：以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，D01為無軸，QE為y軸，為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-盯z,

則E（O,Q,O）,-A0（0,0,T）,B,（2,AO）,

（22J

則CE/-：,*,，，DE=（0,A4）,04=（2,64）,

I22J

/、DE-m-6y+42=0

設(shè)平面。的法向量為機(jī)=（x,y,z）,則《廠

DB]-m=2%+J3y+42=0

令Z=G得，=（0,-4,g,

設(shè)直線CE與平面DEB1所成角為6,則

sin8=cos^CE,m

故直線CE與平面DEB1所成角的正弦值為笠.

16.假設(shè)在數(shù)字通信中傳送信號0與1的概率為0.8和02由于隨機(jī)干擾，當(dāng)傳送信號0

時，接收到信號為0的概率為0.8,當(dāng)傳送信號1時，接收到信號為1的概率為0.9.求：

（1）當(dāng)接收到信號0時，傳送的信號是0的概率；

（2）在信息傳送過程中，當(dāng)?shù)谝粋€人接收到信息后，將信息發(fā)送給第二個人，這樣依次傳

遞下去，在n次傳遞中，0出現(xiàn)的次數(shù)為X,求E（X）.

解：（1）記&="傳送信號0"，A="傳送信號1"，B="接收信號0”.

可知產(chǎn)（4）=0.8,P（A）=0.2,尸（314）=0.8,P（B|4）=0.1,

由貝葉斯公式得所求的概率為：

汽⑶=P（4）P（例4）=0.8X0.8=32

I》'P（4）P（5|4）+P（A）P（B|A）0.8x0.8+0.2x0.133,

即當(dāng)接收到信號0時，傳送的信號是0的概率為一.

33

（2）在一次傳送中，接收到。的概率為

P=P（4）P（6|4）+P（A）P（6|A）=0-8X0.8+0.2X0.1=0.66,

每次傳送都有相同的傳送概率和接收概率，則有X?6（〃,0.66）,

所以E（X）=0.66%

17.已知橢圓C：^+y2=1（67>1）離心率為子，橢圓C的動弦AB過橢圓C的右

焦點(diǎn)F,當(dāng)AB垂直x軸時，橢圓C在A,B處的兩條切線的交點(diǎn)為M.

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo).

（2）若直線AB的斜率為工，過點(diǎn)M作x軸的垂線1,點(diǎn)N為1上一點(diǎn)，且點(diǎn)N的縱坐

m

m11

標(biāo)為-二，直線NV與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，證明：7石+萬方為定值.

（1）解：e

解得片=5,所以橢圓方程—+y2=l,

5

又02=/—〃=5—1=4,所以右焦點(diǎn)尸（2,0）,

當(dāng)A5垂直x軸時，不妨設(shè)A2,，根據(jù)對稱性可知點(diǎn)M在無軸上,

且直線的斜率存在,

設(shè)直線的方程為〉=左（》-2）+g，

y=k(x-2)+^-

聯(lián)立2

X21

—+V-=1

I5,

消去y得:

-4x5f--2^

左2)=

IJ(1+50,

化簡得上2+芷左+±=0,解得上=一述，

555

所以直線M4的方程為y=-冬5》+石，

5

令y=。，解得x='|,故點(diǎn)AI的坐標(biāo)為['l，。

m

所以左NF='y=一根，故直線M7與AB垂直，

2--

2

[x2+5y2=5/\

聯(lián)立《，消去工得：9+5)3?9+4的?一1二0,

x=my+2'7

則%+%-22,<，

m+5m+5

所以

心J16加+4（療+5）275（m2+1）

AB|=Vl+m2\y-y\=>ll+m2?+%『一幻%=

12m2+5m2+5

..+2國l+“）

同理，PQ=—尹一」——~

X,s1+5冽

m2十。

2

11_病+51+5病_6（l+m）_375

P\AB\1PQ_2V5（m2+l）12百（1+/）―2應(yīng)1+加2廠5，

11

故14川+1n川為定值?

18.隨著大數(shù)據(jù)時代來臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問題引起了人們的高度關(guān)注，國際上常用的數(shù)據(jù)

加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密鑰長度也不同，其中RSA的密鑰長度

較長，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是

在RSA加密算法中的應(yīng)用.設(shè)p,q是兩個正整數(shù)，若p,q的最大公約數(shù)是1,則稱p,q

互素.對于任意正整數(shù)n,歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為

⑴試求。⑴+0（9）,0⑺+0（21）的值；

（2）設(shè)p,q是兩個不同的素數(shù)，試用p,k表示。（p*）（左eN*），并探究O（pq）與

和W（q）的關(guān)系；

（3）設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為冊=」/0（3"'）（meN*），求該數(shù)列的前m項(xiàng)的和

Tm.

解：（1）易得0。）=1,

不超過9且與9互素的正整數(shù)有1,2,4,5,7,8,則0（9）=6,

不超過7且與7互素的正整數(shù)有1,2,3,4,5,6,則0（7）=6,

不超過21且與21互素的正整數(shù)有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,貝U

研21）=12,

所以。⑴+0（9）=7,0（7）+奴21）=18.

（2）在不大于//的正整數(shù)中，只有p的倍數(shù)不與互素，而p的倍數(shù)有2I個，

因此0（p*）=pJpJ=（夕T）〃i.

由p，q是兩個不同的素數(shù)，得夕（0）=2一1,"（q）=q—1,

在不超過夕4—1的正整數(shù)中，P的倍數(shù)有4-1個，q的倍數(shù)有0-1個，

于是0（pq）=pq_l_（p_l）—（q—l）=pq_p—q+l=（p_l）（q_l）,

所以0（pq）=0（p）v（q）.

（3）根據(jù)⑵得/=（5根—3）x3%'

所以7；=2x3°+7x3+12x32+，+（5rn-3）-3m-1,

3圖=2x3+7x32+12x33++（5m-3）-3ffl,

兩式相減，得—2圖=2+5x3+5x3~++5-3"'】—（5機(jī)—3>3”',

15(1-3m-1)

所以-2北=-(5rn-3)-3m+2-

1-3

E115m11

?3m.