重難點10輕松解決空間幾何體的體積問題

【題型歸納目錄】

題型一：直接法

題型二：割補法

題型三：換底法

題型四：祖迪原理

【典型例題】

題型一：直接法

【典例1-1】(2024?高三?四川?期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面平面

ABCD,△口是邊長為2的正三角形，延長DP至點E,使得尸為線段DE的中點.

(1)證明：3E7/平面PAC.

(2)若ACLPB,求四棱錐E—ABCD的體積.

【典例1-2】(2024.高三.內蒙古錫林郭勒盟.期末)如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面ABCD,

AB//CD,NCZM=60。，AB=2AD=2CD=S,尸為棱SA上的一點，且AP=2尸S=4.

D——C

(1)證明：SC〃平面。尸3；

⑵求四棱錐S-ABCD的體積.

【變式1-1](2024.高二.陜西咸陽?階段練習)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是正方形，且尸B=PD.

⑴若叢，平面ABCD,AB=2PA=2,求三棱錐P-BCD的體積;

(2)求證：BD1PC.

題型二：割補法

【典例2-1】(2024?全國?高三專題練習)在多面體ASBCGA中，四邊形BCC內為矩形，。，M分別為

AC,BC的中點，4S/AB用，\S=^BBX,CCX=8,A瓦=^G=4,幺與G=90°.

(1)求多面體ASBCG瓦的體積;

(2)求三棱錐瓦的體積.

【典例2-2】(2024?廣東東莞?高一校考階段練習)如圖，在棱長為2的正方體A8CD-A耳GR中，截去三

棱錐4-A8。，求

（i）截去的三棱錐4-AB。的表面積；

（2）剩余的幾何體AB￡2-DBC的體積.

【變式2-1］（2024?遼寧沈陽?高二學業考試）過棱長為2的正方體的三個頂點作一截面，此截面恰好切去

一個三棱錐，則該正方體剩余幾何體的體積為（）

題型三：換底法

【典例3-1】（2024.高一.湖南張家界.期中）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，ZABC=ZACD=90°,

ZBAC=ZCAD=6O°,R4_L平面ABC。，PA=2,AB=1.設M,N分別為PD,AD的中點.

（1）求證：平面C^W〃平面E4B；

（2）求三棱錐C-PAB的體積.

【典例3-2】（2024.高三.四川成都.期末）如圖，四棱錐P-ABCD中，AD//BC,BCLCD,

BC=2CD=2.AD=272,平面ABCD4平面PAC.

p

(1)證明：PC1AB；

(2)若PA=PC=^AC,M是叢的中點，求三棱錐C-P3M的體積.

2

【變式3-1](2024?高三?全國?階段練習)如圖，在五面體MCDE中，四邊形A3CD的對角線AC/D交于

4J3

點尸，AABC為等邊三角形，AB±AD,BC±CD,AE=CE=*,AB=2.

3

⑴證明：AC_L平面3OE；

(2)若求五面體的體積.

題型四：祖晅原理

【典例4-1】(2024?高一?安徽合肥?期中)我國古代數學家祖唯求幾何體的體積時，提出一個原理：塞勢即

同，則積不容異.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個等高的幾何體被平行于這兩個面的平面去截，若

截面積相等，則兩個幾何體的體積相等，這個定理的推廣是：夾在兩個平行平面間的幾何體，被平行于這

兩個平面的平面所截，若截得兩個截面面積比為上則兩個幾何體的體積比也為左.已知線段長為4,

直線/過點A且與A2垂直，以B為圓心，以1為半徑的圓繞/旋轉一周，得到環體/；以A,B分別為上

下底面的圓心，以1為上下底面半徑的圓柱體N；過AB且與/垂直的平面為夕，平面&〃￡，且距離為〃，

若平面a截圓柱體N所得截面面積為每，平面a截環體M所得截面面積為邑，我們可以求出"的比值，

進而求出環體M體積為

【典例4-2］（2024?高一?河北邢臺?階段練習）祖眶Cgeng）（5世紀—6世紀），字景爍，祖沖之之子，范陽

郡道縣（今河北省流水縣）人，南北朝時期的偉大科學家.他在實踐的基礎上，于5世紀末提出了下面的體

積計算原理：“塞勢既同，則積不容異”.這就是“祖晅原理”.用現代語言可以描述為“夾在兩個平行平面之間

的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積

相等”.例如可以用祖晅原理推導半球的體積公式，如圖，半徑為R的半球與底面半徑和高都為R的圓柱放

置在同一底平面上，然后在圓柱內挖去一個半徑為R,高為R的圓錐后得到一個新的幾何體，用任何一個

平行于底面的平面a去截這兩個幾何體時，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體

2

的體積相等.若球心到平面a的距離為則平面a截半球所得的較小部分的幾何體的體積等

【變式4-1］（2024?江西九江?二模）根據祖眶原理，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于

這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖1所示，一個容器

是半徑為R的半球，另一個容器是底面半徑和高均為R的圓柱內嵌一個底面半徑和高均為R的圓錐，這兩

個容器的容積相等.若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同.如圖2,一個

圓柱形容器的底面半徑為4cm,高為10cm,里面注入高為1cm的水，將一個半徑為4cm的實心球緩慢放入

容器內，當球沉到容器底端時，水面的高度為cm.（注：次、1.26）

圖1圖2

【過關測試】

1.（2024.高二.貴州六盤水?期末）我國南北朝時期的數學家祖唯提出了一個原理：“累勢既同，則積不容

異”.也就是說“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩

個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”.現有某幾何體和一個圓錐滿足祖晅原理的條件，若

該圓錐的側面展開圖是一個半徑為4的半圓，則該幾何體的體積為.

2.（2024.四川瀘州.三模）如圖，已知直四棱柱■的底面是邊長為2的正方形，E,尸分別

為AA，A8的中點.

G

（1）求證：直線CF、ZM交于一點;

⑵若M=4,求多面體BCDtEF的體積.

3.（2024?高一?陜西西安?期中）如圖甲，在直角三角形ABC中，已知ABLBC,3c=4,AB=8,D,E分別

是AS,AC的中點.將△AOE沿。E折起，使點A到達點A的位置，且平面其￡>￡，平面。8CE,連接

得到如圖乙所示的四棱錐A-O8CE，M為線段AQ上一點.

⑴證明：平面。BCE；

（2）過B,C,〃三點的平面與線段4石相交于點N,直線EM與2C所成角的大小為45。，求三棱錐

A-BCN的體積.

4.（2024.高一.陜西渭南.期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD人平面ABEF,

AF//BE,AB±BE,BE=2,AF=1.

⑴求證：AC_L平面5￡>E；

（2）求三棱錐a-zxy的體積.

5.（2024?高一?福建寧德?階段練習）點￡,P分別是邊長為6的正方形ABCD的邊AB,3C的中點，沿圖

1中的虛線DE,EF,FD將VAZ）E,ABEF,ACDF,折起使A,B,C三點重合，重合后的點記為點

P,如圖2.

（1）頂點尸在平面DE尸內的正投影為點。，點0在平面尸EF的正投影為點連接并延長交E尸于點

G證明：G是E尸的中點；

（2）作出點M在平面尸的上的正投影R（說明做法的理由）并求四面體PQMR的體積

6.（2024?高一.湖南永州?階段練習）如圖，四棱錐P-AfiCD的底面為正方形，底面ABCD設平面

PAD與平面PBC的交線為I.

p

⑴證明：△平面PDC；

(2)0為/上的一點，當PD=45=2時求三棱錐。-ABC的體積;

7.(2024.高一.廣東深圳?期中)如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，側面ACQA為菱形，ZA,AC=60°,

AC=2,側面為正方形.點M為4C的中點，點N為AB的中點，點7/為AC的中點，且

1AB.

⑴證明：〃平面BCG瓦；

(2)證明：3C1平面ACGA；

(3)求三棱錐A-ABG的體積

8.(2024.高三.河南?階段練習)己知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形，陽，平面ABCD,

TT

PD=AD=CD=2,ZBAD=-,E為尸C上一點.

p

(1)平面P4Dc平面25C=/,證明：BC//1.

jr

(2)當直線BE與平面BCD的夾角為二時，求三棱錐P—BDE的體積.

9.(2024?高一.北京密云.期末)如圖，在四棱柱ABCD-A4GA中，底面是邊長為1的正方形，側棱

抽，平面ABCD,例=2,M是。A的中點.

⑴求證：22〃平面AWC；

(2)證明：AC1BD,；

(3)求三棱錐3-M4c的體積.

10.(2024?高一?黑龍江大慶.期末)在四棱錐P-/1BCD中，平面ABCD,四邊形A8CD是ZZMB=60。

的菱形，上4=AB=2,點〃是PC的中點.

⑴證明：B4〃平面MD8；

(2)求三棱錐尸-ADM的體積.

11.(2024?高一?河南許昌?階段練習)如圖，正方體ABCD-A宣C。'的棱長為°,連接

AC',A'D,AB,BD,BC',C'D,,得到一個三棱錐；求：

(1)三棱錐A-BCD的表面積與正方體表面積的比值;

⑵三棱錐A-3C'。的體積.

12.(9-10高二下?廣東佛山?期末)如圖，在三棱柱ABC-A/￡中，AC=3,BC=4,A5=5,

例=4,點。是AB的中點，CG，平面ABC.

(1)求證：AC±BC、

(2)求證：AG//平面C。與；

⑶求三棱錐G-瓦。的體積.

13.（2024?高一.福建福州?期末）如圖，正方形A8C。中，點