第23章解直角三角形

一、選擇題（本大題共10小題,每小題4分，滿分40分）

1.已知實(shí)數(shù)a=tan30°,b=sin45°,c=cos60°,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

2.如圖,在RMABC中,AC=4,BC=3,NC=90。，則sinA的值為()

35C.1

A-4B-3D-5

（第2題）（第4題）

4

3.如圖，在MBC中，AB=AC=5,sinB=^,則3c的長(zhǎng)是()

A.3B.6C.8D.9

4.[2024?長(zhǎng)春]2024年5月29日16時(shí)12分，"長(zhǎng)春凈月一號(hào)"衛(wèi)星搭乘谷神星

一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射.如圖，當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R

處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為。千米，仰角為8,則此時(shí)火箭距海平面

的高度人￡為（）

A.asin殲米千米C.acos殲米千米

sin6cos0

5.若a,用一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角，且滿足|sin”坐|+（小-tan舒=0,則

此三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

6.[2024?資陽(yáng)]第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（/CME-14）會(huì)標(biāo)如圖①所示，會(huì)標(biāo)中心

的圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的"弦圖"，如圖②所示的"弦圖"是由四

個(gè)全等的直角三角形SA3E,ABCF,ACDG,功和一個(gè)小正方形EFGH

拼成的大正方形A3CD若ER:=1:3,則sinNA3E=(

B

A雪t

D.辛

C5

②

7.[2024眉山]如圖,在矩形ABCD中，A3=6,3C=8,點(diǎn)E在。C上，把「ADE

沿AE折疊，點(diǎn)。恰好落在BC邊上的點(diǎn)R處，則COSNCEF的值為（）

A亞C-|

a4B.亭D4

（第9題）

8,構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要體現(xiàn)，在計(jì)算tan15°

時(shí)，如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,ZABC=30°,AC=1,延長(zhǎng)CB使BD

Ar1

=AB,連接AD,得N。=15°,所以tan15°=①

2-^3

=2-4.類比這種方法，則tan22.5°的值為（）

（2+小）（2-小）

A.y[2+1B.^2C.A/2-1D.1

9.如圖，在MBC中,AB=AC,BC=8,E為AC邊的中點(diǎn)，線段3E的垂直平

分線交邊BC于點(diǎn)D設(shè)BD=xIL^AACB=y則x與y滿足的關(guān)系式為()

A.x-y2=3B.2x-y2=6C.3x-y2=9D.4x-y2=12

10.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=6,D為AC上任意一

點(diǎn)，R為A3的中點(diǎn)，連接3D,E在皮）上且N3EC=90°,/A

連接EF,則EF的最小值為（）/

B.273-3

I-6c

C.3V3-3D.3

二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，滿分20分）

11.[2024?南通]若菱形的周長(zhǎng)為20cm,且有一個(gè)內(nèi)角為45°,則該菱形的高為

12.已知a,銳角，且a+￡=90°,cos￡=0.76，貝！]sina=

13.如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)

C的仰角為60。，沿山坡向上走到P處再測(cè)得

點(diǎn)C的仰角為45°,已知0A=100米，山坡

坡度為i=1:3,且。，A,3在同一條直線

上,則此人所在位置點(diǎn)尸的鉛直高度為米.

14.利用科普書上的有關(guān)公式，發(fā)現(xiàn)銳角三角函數(shù)存在這樣的公式:若a,仍銳

tana+tanB

角且a+￡W9O°,貝!!tan(a+后=----------^如：tan75°=tan(30°+45°)=

1-tanQtanp

.

tan300+tan45°3+1r-

--------；——；=一后=2+小.利用此公式求解下列問(wèn)題：

1-tan30°tan45°,

1-3

(1)若NA,ZB為銳角且NA+ZB=45°,貝!](1+tanA)(l+tanB)=

(2)(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)...(1+tan43°)(1+tan44°)=.

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

15.計(jì)算：啦sin45°-2cos30°+,(1-tan60°)2).

16.[2024?浙江]如圖，在MBC中，ADYBC,AE是3c邊上的中線，A3=10

AD-6,tanZACB=1.

⑴求3C的長(zhǎng)；

⑵求sinZDAE的值.

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.通過(guò)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條

邊長(zhǎng)的比值是一一對(duì)應(yīng)的，因此，兩條邊長(zhǎng)的比值與角的大小之間可以相互

轉(zhuǎn)化.類似地，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰

三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)（。即）如圖①在MBC中AB=AC,

底邊BC

底角的鄰對(duì)記作canB,這時(shí)canB-,容易知道一個(gè)角的大小

腰

與這個(gè)角的鄰對(duì)值也是一一對(duì)應(yīng)的.根據(jù)上述角的鄰對(duì)的定義，解答下列問(wèn)

題：

(l)can300=；

Q

⑵如圖②,已知在AABC中,AB=AC,canB=^,S^ABC=24,求△ABC的周

長(zhǎng).

18.[2024?瀘州]如圖，海中有一個(gè)小島C,某漁船在海中的A點(diǎn)測(cè)得小島。位于

東北方向上，該漁船由西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)3點(diǎn)，測(cè)得小島C位于北

偏西30。方向上,再沿北偏東60。方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后到達(dá)D點(diǎn),這時(shí)

測(cè)得小島C位于北偏西60。方向上.已知A,C相距30nmile.求C,。間的

距離(計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)不取近似值).

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

19.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中'ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,

請(qǐng)按要求完成下列各題：

⑴若ADII3C（D為格點(diǎn)）,連接CD,則線段CD的長(zhǎng)為；

⑵請(qǐng)你在AABC的三個(gè)內(nèi)角中任選一個(gè)銳角,若你所選的銳角是_________則

它所對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)值是_______；

⑶若E為BC的中點(diǎn)，求tanZCAE的值.

20.[2024?北京]如圖，在四邊形ABCD中，E是A3的中點(diǎn),DB,CE交于點(diǎn)F,

DF=FB,AFWDC.

⑴求證：四邊形ARCD為平行四邊形；

(2)若NEFB=90°,tanZFEB=3,EF=1,BC的長(zhǎng).

D,

六、（本題滿分12分）

21.[2024?廣東]中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大

貢獻(xiàn).為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形

PQMN充電站的平面示意圖，矩形A3CD是其中一個(gè)停車位.經(jīng)測(cè)量/ABQ

=60°,AB=5Am,CE=1.6m,GH±CD,GH是另一個(gè)車位的寬，所有車

位的長(zhǎng)、寬相同，按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：（結(jié)果精確到01m,參考數(shù)據(jù)：小，1.73）

⑴求PQ的長(zhǎng)；

⑵該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長(zhǎng).

七、(本題滿分12分)

22.[2024淄博]如圖，一次函數(shù)y=kxx+2的圖象與反比例函數(shù)y=中的圖象相交

于,4),4兩點(diǎn)，與％,y軸分別相交于點(diǎn)C,D且tanZACO=2.

⑴分別求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)以點(diǎn)D為圓心,線段DB的長(zhǎng)為半徑作弧，與x軸正半軸相交于點(diǎn)E,連接

AE,BE.求"BE的面積；

⑶根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫出關(guān)于X的不等式上IX+2＞米的解集.

八、(本題滿分14分)

23.閱讀下列材料，解決后面的問(wèn)題：

我們知道，三角形的面積等于二分之一底乘高.在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后，還可

以這樣求三角形的面積：對(duì)于AABC,a,b,c分別為NA,ZB,ZC的對(duì)邊,

則其面積S=^absinC=^Z?csinA=^casinB.

⑴如圖①,在"BC中,ZA=3O°,b=2,c=3,求"BC的面積；

(2)如圖②，K^ABC中，已知A3=2,3C=1,。為AC上一點(diǎn)，求證：BD=

2sin(Z1+Z2)

2sinZ1+sinZ2'

⑶正數(shù)a,b,c,d,e,/滿足a+b=c+d=e+f=1,求證：af+be+de<1.

①②

答案

一、l.A2,D3.B4.A5.C

6.C【點(diǎn)撥】根據(jù)題意,設(shè)=x，則=3x.

“AB—DAH,四邊形EFGH為正方形,

AH=BE=3x,EF=HE-x..,.AE=4x.

■.ZAEB=90°,：.AB=yjAE2+BE2=5%.

.,AE4x4

-'smAABE=AB=^c=5-

7.A【點(diǎn)撥】?.?四邊形ABCD是矩形,

：.AD=BC=8,DC=AB=6,ZB=ZC=90°.

■.?把MDE沿AE折疊，點(diǎn)。恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處,

：.AF=AD=8,EF=DE.

：.BF=\)AF2-AB2=-62=2s.

.'.CF=BC-BF=8-2^7.

在Rt&EFC中，CE=DC-DE=6-EF,

由勾股定理，得EF2=CE2+CF2.

：.EF-=(6-EF)2+(8-2幣F

32-8^7

.,.EF=.

32-8市8幣-14

?.CE=6-=3.

8.C【點(diǎn)撥】如圖所示，在RfABC中，NC=90°,ZABC=45°,延長(zhǎng)C3使

BD=AB,連接AD，得ND=22.5°.

設(shè)AC=3C=1,貝!]A3=3D=啦,

*--1-一、歷一1

/.tan22.5°一CD-1+口21.

9.C【點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A作AQ_L3C于點(diǎn)°,過(guò)點(diǎn)E作EM_LBC于點(diǎn)連接

.AB=AC,BC=8,tanZACB=y,

一.EM-0

'-CQ=4'CM=CQ=y-

■BE的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,BD=x,

.,.BD=DE=x.

：AQ±BC,EM±BC,：.AQ\\EM.

又???￡為AC的中點(diǎn),：.MC=^CQ=2.

.,.EM=2y,DM-8-2-x=6-x.

在Rt^EDM中，由勾股定理得x2=(2y)2+(6-x)2,即3x-y2=9.

10.C【點(diǎn)撥】取BC的中點(diǎn)Q,連接EQ,FQ.

??,R為A3的中點(diǎn)，

：ZACB=9O°,ZA=30°,BC=6,

?'?AC=梟*=6小，：.FQ=34.

3

；NBEC=90°,Q為BC的中點(diǎn),

.,.EQ=^BC=3.

當(dāng)E,F,Q三點(diǎn)共線時(shí)，EF的值最小，

：.EF=FQ-EQ=3小-3.

二、1112.0.76

13.(254-25)【點(diǎn)撥】作PE_L03于點(diǎn)E,Pb_LC。于點(diǎn)E

在RtMOC中，A。=100米，ZCAO=60°,

.".CO=AO-tan60°=100\/5米.

設(shè)PE=x米,易知FO=x米.

PE1

',^=2,「/E=3x米.

在R8PCF中，ZCPF=45°,CF=(10073-x)米,PF=OE=OA+AE=(100

+3x)米.

易得弘=。R，」.100+3%=10師7,

解得x=25小-25.；.PE=(25木-25)米.

14.(1)2(2)222

三、15.【解】原式-2x坐+N(tan60。-1戶

=1-y[3+(tan60°-1)

=1-小+小-1

=0.

16.【解】(1)：AD±BC,AB=10,AD=6,

：.BD=y/AB^AD2=yj102-62=8.

.tanZACB=l,..DC=AD=6.

..BC=BD+DC=8+6=14.

(2)；AE是3c邊上的中線,

..BE=，C=7.

：.DE=BD-BE=8-7=1.

：AD±BC,：.AE=ylAD2+DE2=^62+I2=^37.

,DE1A/37

'-smZDAE=AE=^=37-

四、四【解】⑴小

⑵過(guò)點(diǎn)A作AE±BC于點(diǎn)E.

8

.「can3=5,...可設(shè)BC=8x,貝(]AC=5x.

'.'AB=AC,AE1.BC,「.AB=5x,BE=4x.

：.AE=\)AB2-BE2=3x.

，.,SMBC=24,

-^BC-AE=12%2=24,解得x=啦(負(fù)值已舍去).

：.AB=AC=5\[2,BC=8\[2.

：.^ABC的周長(zhǎng)=5^2+5^2+872=1隊(duì)

18.【解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE_LAB于點(diǎn)E.

由題意得NC4E=90°-45°=45°,2ECB=30°,/ECD=60°,ACBD=30°+

60°=90°,

：.ADCB=NECD-ZECB=30°.

.AC=30nmile,

.CE=AC-cos45°=15^/2nmile.

CEr-

在Rt^BCE中，BC=---------=l(hj6nmile.

cos30°

在Rt^BCD中，CD=-=2O\/2nmile,

cos30°

答：C,。間的距離為20^211mile.

五、19.【解】⑴小

-x/5

(2)ZACB；當(dāng)-(答案不唯一)

【點(diǎn)撥】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形易得A3=小,AC=2y[5,BC=5,

：.AB2+AC2=BC2.

」.△ABC是直角三角形,且N3AC=90。.

.'.sinZACB=筮;=坐.

⑶如圖，由平行線等分線段定理以及網(wǎng)格可知BC

的中點(diǎn)E在格線上,即格線AN過(guò)點(diǎn)E,

在R8ANC中，AN=4,NC=2,

NC1

/.tanZCAE=萬(wàn)q=5.

20.(1)【證明】「E是IB的中點(diǎn),：.AE=BE.

：DF=FB,是△ABD的中位線.：.EF\\AD.

又???ARIIDC，，四邊形ARC。為平行四邊形.

(2)【解】：AEFB=90°,.-.ZCFB=180°-90°=90°.

FB

在中，

R8EFBtanZFEB=rrL=3,EF=1,

/.FB=3.

由⑴知EF是YBD的中位線，

：.AD=2EF=2.

???四邊形ARC。為平行四邊形,：.CF=AD=2.

;在RtACFB中,

由勾股定理得CB=y/cF2+FB2=V13.

六、21.【解】(11?四邊形PQMN是矩形，

.?.NQ=NP=90。.

在Rt^ABQ中，4ABQ=60°,AB=5Am,

-'-AQ=AB-sinAABQ=乎m,Z.QAB=30°.

,??四邊形A3CD是矩形，

：.AD=BC,乙BAD=NABC=ZBCD=90°.

：.^BCE=9Q°,：.ACBE=30°.

tanZCBE$

.-.AD=^m.

：^PAD=180°-30°-90°=60°,

4小

..AP=AD-cosZ.PAD=5m.

35s

.*.PQ=AP+AQ=JQ-6.1(m).

CE

(2)在Rt^BCE中，BE=-----------=3.2m,

sinZCBE

在RtABQ中，QB=AB-cosZ.ABQ=2.7m.

???該充電站有20個(gè)停車位，

：.QM=QB+20BE=66.7m.

???四邊形PQMN是矩形，，PN=QM=66.7m.

七、22.【解】⑴在y=Eix+2中，當(dāng)無(wú)=0時(shí)，y=2,

.,.D(0,2).：.OD=2.

'.'tanZACO=2,

.,.在Ry)。中，tanZDCO==2.

：.OC=-1,0).

把C(T,0)的坐標(biāo)代入y=Mx+2中，得0=-ki+2,

解得ki=2,

一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x+2,

在y=2x+2中,當(dāng)y=2x+2=