第3章圓（單元測試?培優卷）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選

項，其中只有一項符合題目要求）

（24-25九年級上?黑龍江齊齊哈爾?期末）

1.在△NBC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,〃是N8的中點，以點。為圓心，2為半徑

作。C,則（）

A.點M在0c上B.點M在OC外

C.點M在。C內D.點初與OC的位置關系不能確定

（24-25九年級上?廣東東莞?期中）

2.如圖，在。。中，AB=CD，則下列結論錯誤的是（）

A.AB=CDB.AC=BDC-AC=BDD.AD=BD

（24-25九年級上?浙江溫州?期末）

3.如圖，己知。。的半徑為5,弦A8與弦CD位于圓心。的異側，AB//CD,CD=6,在

上取點E,連結并延長交CD于點尸.若OE:。尸=1:2,則的長為（）

E

A.12B.2VHD.V21

（24-25九年級上?浙江杭州?期中）

4.如圖，在以點。為圓心的半圓中，4B是直徑，AD+BC^CD＞連接ZC,2D交于點

E,連接。。交RD于點尸，若=則CE:C4的值是（）

試卷第1頁，共8頁

c

I).

2R6D.如

A.D.-------

323

（23-24九年級下?浙江杭州?開學考試）

5.如圖，在△/BC中，/A4c=90。，AB=AC,E為/C邊上一點，連接BE,以48為直

則華（

徑的圓分別交8C,BE于D,漢兩點，連接DH,設NABE=a

A.1-tanaB.cosa-sinaC.tana-sinaD.1-coscr

（2024?重慶?模擬預測）

6.如圖，43為圓。的直徑，延長4B至點尸，尸。為圓。的切線，點。為切點，過點。

作。交于點C,BC=1,CO=2,過點/作NEL48交尸。延長線于點E,則線段PE

為（）

7V5

~T~

（23-24九年級下?全國?期末）

7.已知正十邊形內切圓的半徑是4,那么這個正十邊形的面積是（）

A.80sin36°B.160tanl8°C.80cos36°D.160cotl80

（2024?湖北武漢?模擬預測）

8.如圖，點C是。。的半徑上一點，將扇形沿/C折疊，使弧AB'恰好經過圓心

0,其中8點的對應點是夕，若4408=105。，則絲的值是（）

試卷第2頁，共8頁

A.V3-V2B.V2-Ic.yD.V3-1

（24-25九年級上?浙江?期中）

9.如圖，直角三角板N8C疊放在量角器上，N4=30。,N8=66,43均落在量角器的外圓

弧上，A點在量角器上的讀數為30。,/。與圓弧交于點。，已知Z8||斯，則麗的長為

（）

A.兀B.2兀C.371D.6兀

（2024?重慶渝中?二模）

10.如圖，。。的半徑是6,直線EF與。。相切于點尸，連接。￡、。廠分別交。。于點

B、點、C,若點/為圓周上一點且NA4c=37.5。，ZE=60°,則斯的長為（）

A.3亞+&B.3G+3C.273+6D.3V2+6

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（23-24九年級上?江西贛州?期末）

11.如圖，已知。。的兩弦48、相交于E,且點A為也的中點，若ZOBA=32。，則ACEA

的度數為.

試卷第3頁，共8頁

（23-24九年級上?全國?單元測試）

12.如圖，已知矩形48cD的四個頂點都在圓。上，且以,展=L2,則4408=

（24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?期中）

13.如圖，48為。。的直徑，眩CD〃AB,過圓心。作0EJ.48交于點尸，交半圓于

點E,連接4D,若點尸為的中點，則NA4O=

（24-25九年級上?陜西西安?期中）

14.如圖所示，點A,B,C在。。上，其中A為A4c上異于點B和點C的任意一點，若

ABAC=60°,平分/C,OFVAB,連接斯，若。。的半徑為6,則斯的長為.

（2024九年級上?全國?專題練習）

15.如圖，在平面直角坐標系中，點尸（0,-3）,0（九1）,連接。0,尸0.當NOQP最大時，m

的值為.

試卷第4頁，共8頁

（2024?江蘇常州?二模）

16.如圖，N8為。。的直徑，C為。。上一點，BD平濟/4BC,與過點/的。。的切線

交于點。，與。。交于點尸，與/C交于點E.記△/￡>￡的面積為H，的面積為S2,

若要=2,貝tanNABC=_________.

?2

（2024九年級下?全國?專題練習）

17.如圖，正六邊形的半徑為1,點〃在邊上運動，連接NM,則NM的長度可以是—

（只寫出一個滿足條件的值即可）.

18.如圖，以銳角△NBC的三條邊為直徑作圓.如果三角形外的陰影部分總面積為450,而

三角形內部的深色陰影部分面積為90,則△/2C的面積為.

試卷第5頁，共8頁

H

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習）

19.如圖，是。。的直徑，。是弦/C的延長線上一點，S.CD=AC,的延長線交。。

于點￡.

⑴求證：CD=CE；

（2）連接/E,若4>=26。,求/歷1E的度數.

（24-25九年級上?福建福州?期末）

20.如圖所示，某果園形狀為一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形.為更好的表示該

果園中地點位置，如圖建立直角坐標系.已知點/、8、C、。分別是該果園與坐標軸的交

點，若4（-1,0）,且。。=。3=3。4,42為半圓的直徑，

⑴求該拋物線的解析式；

（2）求這個果園被y軸截得的線段。的長.

（24-25九年級上?江蘇無錫?期末）

21.如圖，以/。為直徑的與△ABC的邊8C相切于點。，分別與AB、NC交于點￡、

F,連接跖、DF、DE.

試卷第6頁，共8頁

A

⑵若/。=4,8=3,BD=6,求EF的長.

（24-25九年級上?廣西貴港?期末）

22.如圖1,△48C中，點。為NC邊上一點，以點。為圓心，0C為半徑作圓與相切于

⑴求證：3c是。。的切線；

（2）若。。的半徑為2vLON=46,求8C;

⑶在（2）的條件下，如圖2,點E在①上，若8=6,求NCED的度數.

（24-25九年級上?廣東惠州?期末）

23.如圖CD是。。的直徑，A是。。上異于C、。的一點，點8是DC延長線上一點，連

接N8、AC,AD,S.ZBAC=ZADB.

【認識圖形】

（1）求證：直線是。。的切線；

【探索關系】

（2）若tan/ND3=g,探求8c與C。的數量關系；

【解決問題】

（3）在（2）的條件下，作的平分線4P交。。于P,交CD于E,連接PC、PD,

若AB=2娓,求尸足夕力的值.

試卷第7頁，共8頁

(23-24九年級上?陜西渭南?期末)

24.【問題背景】

如圖，△NAD內接于O。，是。。的直徑，點C為優弧48。的中點，連接

AC,CD,OC.

【問題探究】

(1)如圖1,求證：CO平分N/CD；

(2)如圖2,延長NC,相交于點求證：BA=BE；

【拓展提升】

(3)在(2)的條件下，若CE=4后，BD=6,求的長.

試卷第8頁，共8頁

1.B

【分析】本題考查勾股定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，點與圓的位置關系，解題

的關鍵在于熟練掌握相關知識.利用勾股定理求出42,再結合直角三角形性質得到CM,

最后根據點到圓心的距離與半徑的數量關系判斷到點與圓的位置關系判斷，即可解題.

【詳解】解：；NC=90。，AC=2,BC=4,

AB=ylAC2+BC2=275，

是的中點，

:.CM=-AB=4i,

2

:以點C為圓心，2為半徑作。C,且2〈石，

.?.點M在OC外，

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關系，根據弧、弦、圓心角的關系逐項判斷即可求解，

掌握弧、弦、圓心角的關系是解題的關鍵

【詳解】解：A>■-AB=cb，

AB=CD,該選項正確，不合題意；

B、'-AB=CD，

CD—AD=AB—AD，

-AC=BD^

.-.AC-BD,該選項正確，不合題意；

■■AB=CD>

■■CD-ADAB-AD

■-AC=BD，該選項正確，不合題意；

D、由已知條件無法判斷彳B與曲相等，故無法判斷4。與8。相等，該選項錯誤，符合題

思；

故選：D.

答案第1頁，共26頁

3.B

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握垂徑定理是解

題的關鍵；

連接0D,根據可得AMEOs八NFO,即可得到空="=!，進而求得

ONOF2

OM、ON的長度，再利用勾股定理即可求解

【詳解】解：連接05,OD,作MN1CD于點、N,

?.?皿|CD,

:△MEOsxNFO,MN1AB,

.OMOE

'~ON~~OF~2'

-MNLCD,

ND=-CD=3,

2

在RUOND中，ON=yjOD--ND2=752-32=4，

：.0M=-ON=2,

2

在RtA〃3O中，

MB=y]OB2-OM2=V52-22=而，

AB=2MB=2V21,

故選：B

4.D

【分析】本題考查圓周角定理，連接證明ACEB是等腰直角三角形，得到

BC=CE=^AB,勾股定理得到力。=石8。，即可得出結論.

【詳解】解：連接02BC,

■■AD+BC=CD>

ZCOD=ZAOD+ZBOC,

答案第2頁，共26頁

?：/COD+ZAOD+ZBOC=180°,

???/CO￡>=90。，

.?.NCBD=L/COD=45°,

2

???48為直徑，

：.NACB=90°,

.?.△BCE為等腰直角三角形，

：.BC=CE=-AB,

2

?1?AC=^AB2-BC2=yf3BC=辰E，

5.B

【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對

的弦是直徑.也考查了相似三角形的判定與性質和解直角三角形.

連接如圖，先根據圓周角定理得到//。3=90。，則利用等腰三角形的性質得到

BD=CD,/曰。=ZC=45°,再證明力加5ABeE得到第;的，接著利用等線段代

ECBE

DH4RAF4RAJ7

換得到加二族然后根據正弦和余弦的定義得到5=蕨，sma=而，從而得

到里=cosa—sino.

DC

【詳解】解：連接如圖,

是直徑,

:.NADB=9。°,

答案第3頁，共26頁

ADYBC,

vABAC=90°,AB=AC,

BD=CD,/曰O=AC=45°,

丁/BHD=/BAD,

/BHD=ZC,

???/HBD=ZCBE,

.MHDS^CE,

PH_BD

正一版

PHEC

DH_ZC-ZE_AB—AE_AB4E

~DC~BE"~BE

.AE

在RdABE中，cosa=——，sma=----

BEBE

DH

二.---=coscr-sma.

DC

故選：B.

6.B

【分析】該題主要考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，切線的性質等知識點，解題

的關鍵是證明三角形相似.

連接。。，根據PD為圓。的切線，得到NODP=90。，設圓。的半徑為八則OC=r-1,

根據勾股定理的戶=（一琰+2?,解得：尸=2.5,得出。。=2.5,。。=1.5,證明△。。。-△。噂，

算出ORPD,CP,AP,證明尸，根據相似三角形的性質即可求解；

【詳解】解：連接。。，

???尸。為圓。的切線,

??.ZODP=90°,

設圓O的半徑為r,貝！］。。=尸-1,

答案第4頁，共26頁

-DCLAB,

'-OD2=OC2+CD2,即/=(—lf+22,

解得：r=2.5,

.??。。=2.5,。。=1.5,

?"DOC=/DOP,ZDCO=ZODP=90°,

XODCS^OPD,

OPPCCD

''~OP~~OD~~PD"

：,OP=—,PD=—,

63

o20

??.CP=OP—OC=—,AP=——，

33

???ZDCP=ZEAP=90°,

XDCPSREAP,

PE_AP

''~PD~~CP'

.-.PE=—.

3

故選：B.

7.B

【分析】本題考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形的概念是解題的關鍵，根據題意畫出

圖形，可得正十邊形的半徑4。=4,并求出C8的長，進而即可得到的面積，將A/BC

的面積乘以10即可得到答案.

【詳解】解：由題可得圖如下：點。為切點，連接力。，

正十邊形的中心角/氏4。=360。+10=36。，

："BAD=ACAD=18。，BD=CD,

???正十邊形內切圓的半徑是4,

??.AD=4,CB=2BD=2x4tanl8°=8tan18°,

答案第5頁，共26頁

：.S△ABRC=—2xADxBC=16tanl8°，

.?.正十邊形的面積=lOx16tanl8°=160tanl8°.

故選：B.

8.B

【分析】此題考查了折疊的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性

質.過點。作ODL/C并延長交懿于點O',設扇形/O8的半徑為「，根據折疊的性質得

出OD=O'D,AO=AO'=OO'=r,則△/OO，是等邊三角形，根據等邊三角形的性

質得出乙4。0'=60。，CD=OD=^r,根據角的和差求出/COD=45。，根據等腰直角三角

形的判定與性質求出OC=亞C0="r,根據線段的和差求出=據此求解即可.

【詳解】解：如圖，過點。作OD1/C并延長交就于點。，

設扇形NO8的半徑為「，

由折疊的性質可得，AC1OO',OD=O'D,AO=AO'=OO'=r,

■■是等邊三角形，

ZAOO'=60°,

■.■ZAOB=105°,

NCOD=45°,

AC±OO',OD=O'D,

:.OD=-OO'=-r,ZDCO=45°=ZCOD,

22

:.CD=OD=-OO'=-r

22

OC=42CD=—r

2

BC=OB-OC=r-—r=2~^r,

22

2-0

生二百91,

OCV2

-----r

2

答案第6頁，共26頁

故選：B.

9.B

【分析】連接。4。尻。〃，08與。。相交于點H,由等腰三角形性質得到

Z0AB=Z0BA=30。,由圓周角定理得出ZDOB=2/DAB=60。,再由。4=OB，得出

AH^AB=3石，從而求出OA=6,最后由弧長公式可得結果.

【詳解】解：連接。4。民。。，08與QD相交于點H,

???OA=OB,

NOAB=/OB4=3Q°,

ZAOB=120°

???/DOB=2ZDAB=60°,

???ZDOB=ZDOA=60°9

???OA=OB,

???AH=-AB=3y/3,

2

?AH36,

OA=---------=—j=r~=6

sin600-73

V

OA=OB=6,

cr?60萬x6-

/.BD=----------=271,

180

故選：B

【點睛】本題考查了弧長公式，圓周角定理，等腰三角形的性質，解直角三角形及平行線的

性質，解決本題的關鍵是熟練掌握弧長公式及圓周角定理.

10.C

【分析】本題考查切線的性質，圓周角定理，解直角三角形，連接OP,利用切線的性質得

答案第7頁，共26頁

OP

到。尸，即，利用解直角三角形得到尸E=——,利用圓周角定理得到尸=75。，進

tan60°

而得到NPOb=45。，再利用解直角三角形得到P方=OPtan45。，結合斯=尸￡+尸尸求解,

即可解題.

【詳解】解：連接。尸，

???直線斯與OO相切于點尸，OO的半徑是6,

/.OP1EF9

：.PE=3~匚=26

tan60°tan60°

?;BC=BC，/A4c=37.5。，

/EOF=75°,

?.?NEOP=90°—NE=30。，

/尸。尸=75。-30。=45。，

PF=OP-tan45°=6,

EF=PE+PF=2A/3+6,

??.EF的長為2退+6,

故選：C.

11.58。##58度

【分析】本題主要考查運用垂徑定理求值，連接。/交CD于點尸，則由垂徑定理得

OAYCD,由。/=。8得/。42=/。衣4=32°,再根據直角三角形兩銳角互余可求值.

【詳解】解：連接CM交8于點R如圖，

答案第8頁，共26頁

,?,點/為①的中點，

0A±CD,

：./FAE+NAEF=90。,

■■■OA=OB,

NOAB=NOBA=32°,

NAEF=90°-ZFAE=90°-32°=58°,

即/CE/=58°,

故答案為：58°.

12.120°##120度

【分析】本題考查了矩形的性質，圓心角和所對弧的關系.

連接根據矩形的性質得出/8/。=90。，則AD為直徑，點。、B、。三點共線，再根

據2：/虎=1：2,得出4OD://O3=1:2，即可解答.

【詳解】解：連接8,

???四邊形/3C。是矩形，

ABAD=90°,

??.2D為直徑，點。、B、。三點共線，

,；/茄：展=1：2，

ZAOD:ZAOB=1:2,

...ZAOB=180°x2=120。，

1+2

答案第9頁，共26頁

13.15°##15度

【分析】在Rt^OED中，由銳角三角函數得到b=30。，再根據平行得到N2=30。，再

結合等邊對等角以及三角形的外角定理即可求解.

【詳解】解：連接則OE=OD

?:弦CD〃AB,OELAB

■.OFLCD,

???點廠為OE的中點，

.-.OF=-OE^-OD,

22

./「A八OF1

sinZFDO=-----=—,

OD2

???/0。/=30。，

???CD//AB,

；?/ODF=/2=30。

OD=OA

???/l=N3,

???Z2=Z1+Z3,

.-.2Z1=3O°,

??.N1=15。，

故答案為：15。.

【點睛】本題考查了圓的有關概念，解直角三角形，平行線的性質，等腰三角形的性質，三

角形的外角性質，正確添加輔助線是解題的關鍵.

14.3>/3

【分析】連接BC，利用垂徑定理得出E,尸分別為NC,中點，進而得出族=：8C,

再連接。8,OC,利用圓周角定理求出N8OC的度數，最后結合。。的半徑為6即可解決

問題.

答案第10頁，共26頁

【詳解】解：連接8C,

?.?。￡平分"，

.?.點E為/C中點，

尸是ZX/BC的中位線，

:.EF=-BC.

2

連接。5,0C,過點。作2C的垂線，垂足為M,

ABAC=60°,

NBOC=120°.

■：OB=OC,OMA.BC,

ZBOM=-NBOC=60°,BC=IBM,

2

.-.ZOW=900-60°=30°.

又BO=6,

OM=3,

BM=V62-32=373，

BC=60，

:.EF=-BC=343.

2

故答案為：35/3.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質、三角形中位線、垂徑定理及勾股

定理，熟知圓周角定理、等腰三角形的性質及垂徑定理是解題的關鍵.

15.2或-2

【分析】題目主要考查坐標與圖形，直線與圓的關系及勾股定理解三角形，理解題意，作出

輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵

根據題意得出點0在直線丁=1上，OP=3,作出相應圖形得出當△OPQ的外接圓。Q與直

答案第11頁，共26頁

線y=i相切時/。。尸最大，結合圖形求解即可.

【詳解】解：???。（相,1）,

.??點。在直線y=i上.

???0尸=3,

當△。尸0的外接圓。。與直線y=l相切時（如圖）,

此時N。。尸最大.設直線＞=1交y軸于點

過點Q作"GLOP于點G,

13

則尸G=—OP=—,

22

連接OQOJ,則四邊形0QMG是矩形,

MQ=Ofi=m,MG=OXQ=0聲=g,

.,.在RtAOjG尸中，加=O[G=J。]尸2一尸G?=2.

由對稱性知，7"=-2符合題意,

.?.加=2或機=一2,

故答案為：2或-2.

16.2亞

【分析】方法一：根據其=蕓=2得到。E=23E,則助=3BE,再證明

o26乜

△ABDs^CBE,得到空=萼=［，設8C=x,AB=3x,則/C=^AB2-BC2=2⑸，

ADBD3

ATi—

即可得到tan/ABC=—=2V2；

BC

方法二：如圖所示，連接/尸，根據稱=弓|=2得至=

S^ABD~3$./班，再證明

d2DEj

答案第12頁，共26頁

ND=NAED,得到=則EF=；DE=BE；證明△/￡尸口力比，得到

AE-CE=BE-EF；如圖所示，過點E作EG,4s于G,可得4D=3￡G,由角平分線的性

質得到EC=EG,則/￡>=/￡=3CE,進而得到4C=4CE,BE=mCE,有勾股定理得到

BC=^BE--CE1=垃CE，貝1JtanZABC=-==272.

【詳解】解：方法一：???要=警=2,

d2￡>JD

*'?DE=2BE,

BD=3BE,

???為。。的直徑，

:.ZAFB=ZAFB=90°,

???力。是OO的切線，

ABAD=90°,

???ZZ>+ZABD=/CBE+/CEB=90°,

?；BD平分/ABC,

??.AABD=ZCBD,

ZAED=/CEB,

???Z\ABDs/\CBE,

BCBE

BD~3J

設5C=x,AB=3x,

■■AC-sjAB2-BC2=2及x，

ATi—

tanzL45C=—=2<2；

BC

方法二：如圖所示，連接,尸，

?.。=匹=2

"S?BE，

*',DE=2BE，S/BD=3S“BE，

???48為（DO的直徑，

.??/AFB=/AFB=90。,

???4D是。O的切線，

???/BAD=90°,

答案第13頁，共26頁

???ND+ZABD=ZCBE+ZCEB=90°,

,；BD平分NABC,

:?/ABD=/CBD,

???ND=/CEB,

???ZAED=/CEB,

/D=/AED,

AD=AE,

：,EF=-DE=BE,

2

NEAF=NEBC,

AAEFS^BEC,

AE_EF

??耘一布，

AECE=BEEF-

如圖所示，過點七作￡6_145于G,

D

AD=3EG,

?；BD平分/ABC,EG.LAB,ZC=90°,

:.EC=EG,

??.AD=AE=3CE,

???3C￡2=5￡2,AC=ACE,

???BE=CCE,

???BC=YIBE2-CE2=41CE，

…cAC4CEc氏

tanN/5C*—-----——7=—=2/2?

BCgCE

答案第14頁，共26頁

故答案為：20.

【點睛】本題主要考查了切線的性質，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，勾股定理，

直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的性質與判定，角平分線的性質等等，正確作出輔助

線構造相似三角形，直角三角形是解題的關鍵.

17.1.8

【分析】此題主要考查了正多邊形的性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質,

勾股定理等知識，設正六邊形的中心為。，連接。4,OF,OE,AE,AD,根據正六邊

形的性質得A/O尸和A。跖為等邊三角形，然后可由勾股定理求出/T,進而得=再

求出40=2,根據4W在邊研）上運動得最后在這個的范圍內取一個值即可.

【詳解】解：設正六邊形的中心為。，連接。尸，OE,AE,AD,

根據正六邊形的性質得：4。經過點。，乙4。尸=360。+6=60。，OA=OF=OE=OD=1,

.4/0尸為等邊三角形，

...AF=OA=OF^1,ZOFA=60°,

同理：AOER為等邊三角形，

ZOFE=60°,

ZOFA=ZOFE=60°,

又4F=EF,

AELOF,

.-.FT=OT=-OF,AT=EF,

2

在RtA/RT中，4F=1,FT=0.5,

由勾股定理得：AT=^AF2-FT2=^-,

2

AE=2AT=y/3,

又,.Q=OD=1,

答案第15頁，共26頁

AD=2,

?.?NM在邊ED上運動，

AE<AM<AD,

即：<AM<2,

4〃=1.8.

故答案為：1.8（答案不唯一）.

18.180

【分析】本題考查了扇形的面積的計算，圓的面積的計算，正確的識別圖形找出各圖形之間

的關系是解題的關鍵.設△/BC外的6個小弓形的面積和為S弓形

,觀察圖形得到$弓*外的3個半圓的面積和一三角形外的陰影部分總面積=A/2C外

的3個半圓的面積和-450,得到的面積=；（另外3個半圓的面積和S弓衫-三角形內

部的深色陰影部分面積），于是得到答案

【詳解】解：設△/呂。外的6個小弓形的面積和為S號形，

s弓彩外的3個半圓的面積和-三角形外的陰影部分總面積=A/8C外的3個半圓的面

積和-450,

??.△4BC的面積=；（另外3個半圓的面積和-S弓形-三角形內部的深色陰影部分面積）

=；[另外3個半圓的面積和-（“SC外的3個半圓的面積和-450）-90]

=1（450-90）

=180；

故答案為：180.

19.（1）見解析

（2）NB/E=38°

【分析】（1）連接3c.首先證明=推出a4=ND=NE即可解決問題；

（2）連接根據N84E=9（F-N/3E,只要求出//BE即可.

【詳解】（1）證明：連接3C,

答案第16頁，共26頁

E

B

Q^\；是OO的直徑,

"yeZ)

:.ZACB=90°,即3C_L4D,

VCD=AC,則BC垂直平分/Z),

/.AB—BD,

/A=/D,

???ZA=/E,

ZD=ZE,

CD=CE；

(2)解：連接/E,

???NABE是A4BD的一個外角，

ZABE=ABAC+ZD=52°,

；AB是。。的直徑，

NAEB=90°,

ZBAE=90°-52°=3S°.

【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，三角

形的外角性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.

20.(1)y=x~—lx—3；

(2)CD=V3+3.

【分析】本題考查了拋物線與圓的綜合，待定系數法求函數解析式，直徑所對圓周角為

90°,相似三角形的判定和性質等知識.

答案第17頁，共26頁

（1）根據題意求得8（3,0）,。（0,-3）,設拋物線的解析式為y="x+l）（x-3）,利用待定

系數法求解即可；

（2）由直徑所對圓周角為90。，可證A/COSACB。，可得CO=右，由CD=OC+OD即可

求解.

【詳解】（1）解：???/（-：!,0）,且。。=08=30/,

:.OD=OB=3,

???5（3,0）,。（0,-3）,

二設拋物線的解析式為>=。（》+1）（》-3）,

把。（0,-3）代入得-3=a（0+1）（0-3）,

解得a=1,

???設拋物線的解析式為〉=（X+：1）（X-3）=X2-2X-3；

（2）解：如圖所示，連接NC,BC,

???/8是半圓的直徑，

ZACB=90°=ZCOA=ZCOB,

ZACO=90°-ZBCO=ZCBO,

.MACOSACBO,

AOCO

"CO）

■■CO2=OAOB=M=3,

CO-^3（負值舍去），

■■CD=OC+OD=y/3+3.

答案第18頁，共26頁

21.(1)見解析

672V13

⑵*

【分析】(1)由切線的性質得//。。=44刃=90。，從而尸+/C。尸=90。，由圓周角

定理得N4FD=Na叨=90。，從而NC+/CQ/=90。，得到進而可證

△AEFs"CB；

9

(2)由勾股定理求出/C=5,AB=2灰,證明△CEDs^c。/,求出。/二^,然后根據

△/￡尸s"C5即可求解.

【詳解】(1)證明：???0。與△/3C的邊相切，

NADC=/ADB=90°,

；"ADF+/CDF=9。。.

???40為OO的直徑，

：.ZAFD=ZCFD=90°,

.-.ZC+ZCDF=90°,

???ZC=ZADF.

,-AF=AF^

；,NC=NADF=NAEF.

?：/EAF=/CAB,

AAEFSDCB.

(2)解：vAD=4,CD=3,BD=6,ZADC=ZADB=90°,

???/C=舟+42=5,45=用+42=2屈.

???ZC=ZC,ZCFD=NADC,

nCFDs^CDA,

CFCD

??五一就‘

CF_3

二亍一丁

.AF_8^/13

,^B~65

答案第19頁，共26頁

由(1)得AAEFs"CB,

.EF_AF_8V13_EF

"BC~AB~65-3+6’

,皿72V13

??EF=-----?

65

【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理，靈活

運用各知識點是解答本題的關鍵.

22.(1)證明見解析;

(2)8C=6；

(3)ZCED=120°.

【分析】(1)連接根據切線的性質可得乙4。。=90。，則有44+44。￡>=90。，又

ZAOD=ZACD+ZODC=2ZACD,ZABC=2ZACD,ti^ZAOD=ZABC,所以

ZA+ZABC=90°,再通過三角形的內角和定理可得44c8=90。，從而求證；

(2)連接。D,由正弦可得sin/4=^=￥=L,求出4=30。，再通過

OA4g2

tanNA=tanZ30°=—=即可求解；

AC3

(3)在優弧也上取一點尸，連接CF、DF,由三角形的外角性質求出/。。。=120。，通

過圓周角定理可得/尸=g/COD=60。，最后由圓內接四邊形的性質即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接。。，

???OC為半徑作圓與AB相切于點D,

??.ODLAB,

???//。0=90。，

.^ZA+ZAOD=90°,

?：OC=OD,

???/ACD=/ODC,

??.NAOD=ZACD+ZODC=2NACD,

答案第20頁，共26頁

???/ABC=2/ACD,

??.ZAOD=/ABC,

ZA+ZABC=90°,

：.ZACB=90°f

ACLBC,

??,oc為OO的半徑,

???6C是oo的切線;

圖1

???oc為半徑作圓與AB相切于點D,

???ODLAB,

.^ZADO=90°,

???O。的半徑為2百，OA=4也,

./,0。2Gl廠

sinZ-A=——=--r==—,AC=OA+OC=6J3,

OA4732

ZA=30°,

由（1）得：ZACB=90°,

tanZ.A=tanZ30°=，

AC3

BC43

FF

BC=6；

（3）解：如圖，在優弧歷上取一點尸，連接CRDF,

答案第21頁，共26頁

：.zcoD=no0,

,-.ZF=-ZCOD=60°,

2

?.?四邊形CEZ）廠是。。內接四邊形，

.?./CEA+N尸=180°,

：.ZCED=12.0o.

【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，解直角三角形，切線的判定與性質,

三角形的外角性質，三角形內角和定理等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

23.（1）見解析；（2）CD=3BC理由見解析；（3）PE-PA=21.

【分析】（1）連接04,由等邊對的等角的性質，得出=根據直角所對的圓

周角是直角，得到NC4D=90。，進而推出。4,N8,即可證明結論；

（2）證明A/BCSA。詡，得到喋=啜=及二，從而得出8。=4改7,即可得到結論；

BDABAD2

（3）由（2）可得。）=加，利用同弧所對的圓周角相等以及直角所對的圓周角是直角，

得出CD2=2尸。2=54,則PC?=27,再證明^ACP^CEP，得出尸￡.尸/=PC2