第2章相交線與平行線（培優篇）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.將一副三角板按如圖放置，則下列結論①4=/3；②如果N2=30。，則有AC//DE；

③如果Z2=45°，則有BC//AD；④如果Z4=ZC,必有Z2=30。，其中正確的有（）

A.①②③B.①②④C.③④D.①②③④

2.如圖，AB//CD,8凡。尸分別平分NA8E和/CUE,BF//DE,//與NABE互補，則

ZF的度數為

A.30°B.35°C.36°D.45°

3.如圖，直線AB//CD,點E在8上，點。、點P在A3上，NEO尸的角平分線0G交8

于點G,過點/作?LOE于點H,已知NOGD=148。，則的度數為（）

A.26°B.32°C.36°D.42°

4.如圖，45//。。/尸N=2/3硒，/"汨=2/63”,則/產與/〃的數量關系是（)

N

B

E

H

GD

A.ZF+ZH=90°B.ZH=2ZF

C.2ZH-ZF=180°D.3ZW-ZF=180°

5.如圖所示，直線c截直線。，b,給出下列以下條件:

①N4=N8；②Nl=/7；③N2=N6；（4）Z4+Z7=180°.

其中能夠說明a〃b的條件有

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖a是長方形紙帶，NDEF=26。，將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c,則

圖c中的NCFE的度數是（）

AEDAE_￡乂

D

A.102°B.108°C.124°D.128°

7.如圖，已知直線AB,CO被直線AC所截，AB//CD,E是平面內任意一點（點E不在直

線48,CD,AC上），設NDCE=。.下列各式：①a邛,②a-③180。-a-

B，@360°-a-p,ZAEC的度數可能是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

8.如圖，點E是邊DC上一點，連接AE交BC的延長線于點H,點

F是邊AB上一點，使得NFBE=NFEB,作NEEH的角平分線EG交BH于點G,若

ZDEH=W0°,則/BEG的度數是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

9.如下圖，下列條件中：①NB+/BCD=28。。；②N1=N2；③N3=N4；@ZB=Z5,

BCE

A.①②③④B.①②④C.①③④D.①②③

10.定義：平面內的直線h與12相交于點O,對于該平面內任意一點M,點M到直線h、

b的距離分別為a、b,則稱有序非負實數對（a,b）是點M的“距離坐標”，根據上述定義,

距離坐標為（2,1）的點的個數有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

11.如圖，已知AB〃DE,ZB=150°,ZD=145°,則NC=—度.

B

12.如圖，有兩個正方形夾在AB與CD中，且AB//CD,若NFEC=10。，兩個正方形臨邊夾

角為150°,則/I的度數為_______度（正方形的每個內角為90。）

13.如圖，已知EF/7GH,A、D為GH上的兩點，M、B為EF上的兩點，延長AM于點C,

AB平分NDAC,直線DB平分NFBC,若NACB=100。，則/DBA的度數為.

14.線段AB和線段CD交于點O,OE平分/AOC,點F為線段AB上一點（不與點A和點O

重合）過點F作FG//OE,交線段CD于點G,若NAOD=110。,則NAFG的度數為°,

15.如圖，AB〃CD,點P為CD上一點，/EBA、/EPC的角平分線于點F,已知NF=

40°,則NE=度.

16.如圖,直線MN〃PQ,點A在直線MN與PQ之間，點B在直線MN上,連結AB.ZABM

的平分線BC交PQ于點C,連結AC,過點A作ADXPQ交PQ于點D,作AF±AB交PQ

于點F,AE平分NDAF交PQ于點E,若NCAE=45。，ZACB=|-ZDAE,則NACD的度

數是.

B

N

PCFEDO

17.在同一平面內，NA與E>8的兩邊一邊平行，另一邊垂直，且NA比08的3倍少10。.則

DB.

18.平面內不過同一點的〃條直線兩兩相交，它們交點個數記作凡，并且規定為=0,則%=

19.如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，在A,B,C三處經過三次拐彎，此時

道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行（即AE〃C。），若/A=120。，/8=150。,則/C的度數

是

20.已知AB〃CD,點、M、N分別為A3、8上的點，點、E、F、G為AB、CD內部的

3

點，連接FM、FN、EM、EN、CM.GN,ME_LNE于E,ZBMF=-ZBME,

3

ZDNF=-ZDNE,MG平分/AMF,NG平6/CNF,則/MGN（小于平角）的度數為

三、解答題（本大題共8小題，共80分）

21.（8分）如圖，RtAABC,ZA=90°.

（1）用尺規作圖法作NAB￡>=NC,與邊AC交于點。（保留作題痕跡，不用寫作法）;

(2)在(1)的條件下，當NC=30。時，求/班心的度數.

A

22.(8分)探究：

如圖①，在△ABC中，點。、E、尸分別在邊AB、AC、上，且DE〃BC,EF//AB,若/ABC

=65°,求NOEF的度數.請將下面的解答過程補充完整，并填空(理由或數學式)：

NDEF=()

'."EF//AB

：.=NABC()

，ZDEF=ZABC()

ZABC=65°

ZDEF=

應用：

如圖②，在△ABC中，點、D、E、尸分另IJ在邊48、AC、BC的延長線上，5.DE//BC,EF//AB,

若NABC=B，則NOEF的大小為(用含P的代數式表示).

23.（10分）已知：如圖，ZBAP+ZAPD^\80°,N1=N2.求證：AE〃PF.

AB

E

D

24.（10分）如圖,磁〃。4,/2=/4=100。,瓦尸在C2上,且滿足/R?C=/AOC,OE平分N80F

（1）求NEOC的度數.

（2）若平行移動AC,那么/0C8：ZOFB的值是否隨之發生變化?若變化，試說明理由;若不變，

求出這個比值.

25.（10分）如圖1,E是直線AB,CD內部一點，AB//CD,連接EA,ED.

（1）探究猜想：①若NA=30。，ZD=40°,則/AM等于多少度？

②若NA=20。，ZD=60°,則/AEO等于多少度？

③猜想圖1中NAE。，/EAB,/即C的關系并證明你的結論.

（2）拓展應用：如圖2,線段FE與長方形ABC。的邊AB交于點E,與邊CD交于點孔圖

2中①②分別是被線段回隔開的2個區域（不含邊界），P是位于以上兩個區域內的一點,

猜想/PEB,ZPFC,/EPF的關系（不要求說明理由）.

26.（10分）已知DB〃FG〃EC,A是FG上一點，ZABD=60°,NACE=36。，AP平分NBAC,

求：（1）NBAC的大小；（2）NPAG的大小.

27.（12分）如圖，點E,P分別在直線AB,8上，AB//CD,NCEE=60。.射線EM

從E4開始，繞點E以每秒3度的速度順時針旋轉至￡6后立即返回，同時，射線FN從FC開

始，繞點F以每秒2度的速度順時針旋轉至ED停止.射線FN停止運動的同時，射線也

停止運動，設旋轉時間為f(s).

⑴當射線FN經過點E時，直接寫出此時f的值；

⑵當30<t<45時，射線a17與bN交于點P,過點尸作行，月V交A3于點K,求NKPE；

(用含，的式子表示)

(3)當￡加//兩時，求，的值.

備用圖

28.(12分)如圖，在四邊形OBCA中，OA〃:BC,ZB=90°,OA=3,OB=4.

(1)若S四邊形AOBC=18,求BC的長；

(2)如圖1,設D為邊OB上一個動點，當ADLAC時，過點A的直線PF與/ODA的角平

分線交于點P,ZAPD=90°,問AF平分NCAE嗎?并說明理由；

(3)如圖2,當點D在線段OB上運動時，ZADM=100°,M在線段BC上，/DAO和/BMD

的平分線交于H點，則點D在運動過程中，/H的大小是否變化？若不變，求出其值；若

變化，說明理由.

參考答案

1.D

【分析】

根據/1+/2=/3+/2即可證得①；根據/2=30。求出/I與/E的度數大小即可判斷②；

利用N2求出/3,與NB的度數大小即可判斷③；利用/4=/C求出N1,即可得到N2的

度數，即可判斷④.

【詳解】

VZ1+Z2=Z3+Z2=9O°,

???N1=N3,故①正確；

???/2=30。，

Zl=900-Z2=60°

ZE=60°,

.\Z1=ZE,

???AC〃DE,故②正確；

?/N2=45。,

N3=45°,

???N5=45。，

AZ3=ZB,

???3C//AD,故③正確；

VZ4=ZC=45°,

???NCFE=NC=45°,

VZCFE+ZE=ZC+Z1,

???N1=NE=6O。，

???/2=90。-/1=30°,故④正確,

故選：D.

【點撥】此題考查互余角的性質，平行線的判定及性質，熟練運用解題是關鍵.

2.C

【分析】

延長BG交CD于G,然后運用平行的性質和角平分線的定義，進行解答即可.

【詳解】

解：如圖延長BG交CD于G

VBF//ED

.?.NF=NEDF

又,：DF平分NCDE,

NCDE=2NF,

：BF〃ED

ZCGF=ZEDF=2ZF,

VAB/7CD

.?.NABF=NCGF=2NR

:BF平分NABE

：.ZABE=2ZABF=4ZF,

又,：NF與/ABE互補

ABE=180°即5ZF=180°,解得NF=36°

故答案選C.

【點撥】本題考查了平行的性質和角平分線的定義，做出輔助線是解答本題的關鍵.

3.A

【分析】

依據NOGD=148。，可得NEGO=32。，根據AB〃CD,可得NEGO=NGOF,根據GO平分

ZEOF,可得NGOE=ZGOF,等量代換可得：ZEGO=ZGOE=ZGOF=32°,根據FHLOE,

可得：ZOFH=90o-32°-32o=26°

【詳解】

解：ZOGD=148°,

??.ZEGO=32°

???AB〃CD,

JZEGO=ZGOF,

???/EOF的角平分線OG交CD于點G,

AZGOE=ZGOF,

ZEGO=32°

ZEGO=ZGOF

ZGOE=ZGOF,

???ZGOE=ZGOF=32°,

?；FHLOE,

：.ZOFH=90o-32°-32o=26°

故選A.

【點撥】本題考查的是平行線的性質及角平分線的定義的綜合運用，易構造等腰三角形，用

到的知識點為：兩直線平行，內錯角相等.

4.D

【分析】

先設角，利用平行線的性質表示出待求角，再利用整體思想即可求解.

【詳解】

設'EB=a/HGC=B

則/FEN=2a,ZFGH=2/3

AB//CD

：?/H=ZAEH+/HGC

=ZNEB+ZHGC

=a+/3

ZF=ZFEB-ZFGD

=ZFEB-（180°-ZFGC）

=3a-（180。-3月）

=3（a+4）—180。

???ZF=3ZH-180°

.-.3ZH-ZF=18O°

故選：D.

【點撥】本題考查了平行線的性質，關鍵是熟練掌握平行線的性質，注意整體思想的運用.

5.D

【詳解】

根據平行線的判定，由題意知：

①：N6=/8,Z4=Z8,

AZ4=Z6,

：.a//b,故①對.

Z1=Z3,Z1=Z7,

Z3=Z7,

a//b,故②對.

③：Z2=Z6,

a//b,故③對.

@VZ4+Z7=180°,Z3+Z4=180°,

Z3=Z7,

a//b,故④對.

故選D.

點撥：此題主要考查了平行線的判定，關鍵是利用圖形中的條件和已知的條件，構造兩直線

平行的條件.

平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直

線平行.

6.A

【分析】

先由矩形的性質得出/BFE=/DEF=26°，再根據折疊的性質得出/CFG=180。-2NBFE,

ZCFE=ZCFG-ZEFG即可.

【詳解】

,?,四邊形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

NBFE=/DEF=26°,

ZCFE=ZCFG-ZEFG=180°-2ZBFE-ZEFG=180°-3x26°=102°,

故選A.

【點撥】本題考查了翻折變換（折疊問題）、矩形的性質、平行線的性質；熟練掌握翻折變

換和矩形的性質，弄清各個角之間的關系是解決問題的關鍵.

7.D

【分析】

根據點E有6種可能位置，分情況進行討論，依據平行線的性質以及三角形外角性質進行

計算求解即可.

【詳解】

解：（1）如圖1,由可得NAOC=NOCE/=B，

NAOC=ZBAEi+ZAEiC,

(2)如圖2,過E2作AB平行線，貝！|由A8〃C。，可得/I=/BAE2=a,Z2=ZDC￡2=p,

NAE2c=a+|3.

當AE2平分ABAC,CE2平分NACE)時，

NBAE2+/DCE2=gCZBAC+ZACD)=《X18O°=9O°,

即a+p=90°,

又,/ZAE2C=ZBAE2+ZDCE2,

：.NAE2c=180°-(a+p)=180°-a-p；

(3)如圖3,由A8〃C￡),可得N8OE3=/￡>CE3=B，

ZBAE3=ZBOE3+ZAE3C,

NAE3C=a-p.

E3

(4)如圖4,由AB〃CD,可得/BAE/+/AE4C+NOCE4=360。,

圖4

(5)(6)當點E在CD的下方時，同理可得，NAEC=a-p或0-a.

綜上所述，NAEC的度數可能為p-a,a+p,a-p,180°-a-p,360°-a-p.

故選：D.

【點撥】本題主要考查了平行線的性質的運用與外角定理，解題時注意：兩直線平行，同位

角相等；兩直線平行，內錯角相等.

8.B

【分析】

AD/7BC,ZD=ZABC,則AB〃CD,則/AEF=18O°-/AED-/BEG=18O0-20,在AAEF中，

100o+2a+180°-2p=180°,故B-a=40°,即可求解.

【詳解】

ZFEH的角平分線為EG,設NGEH=NGEF=[3,

VAD/7BC,AZABC+ZBAD=180°,

而/D=/ABC,AZD+ZBAD=180°,AAB#CD,

ZDEH=100°,則/CEH=/FAE=80°,

ZAEF=180°-ZFEG-ZBEG=180°-2p,

在ZKAEF中，

在AAEF中，80°+2a+180-2p=180°

故P-a=40°,

而ZBEG=ZFEG-ZFEB=P-a=40°,

故選：B.

【點撥】此題考查平行線的性質，解題關鍵是落腳于AAEF內角和為180。，即

100°+2a+180°-2p=180°,題目難度較大.

9.C

【詳解】

解：@VZB+ZBCD=180°,

，AB〃CD；

②；/1=/2,

，AD〃BC；

③：/3=/4,

，AB〃CD；

④：/B=/5,

，AB〃CD；

,能得到AB〃CD的條件是①③④.

故選C.

【點撥】此題主要考查了平行線的判定，解題關鍵是合理利用平行線的判定，確定同位角、

內錯角、同旁內角.平行線的判定：同旁內角互補，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；

同位角相等，兩直線平行.

10.C

【分析】

首先根據題意，可得距離坐標為（2,1）的點是到11的距離為2,到12的距離為1的點；然

后根據到L的距離為2的點是兩條平行直線，到12的距離為1的點也是兩條平行直線，可

得所求的點是以上兩組直線的交點，一共有4個，據此解答即可.

【詳解】

解：如圖1,

到11的距離為2的點是兩條平行直線13、14,到12的距離為1的點也是兩條平行直線15、16,

:兩組直線的交點一共有4個：A、B、C、D,

..?距離坐標為（2,1）的點的個數有4個.

故選C.

【點撥】此題主要考查了點的坐標，以及對“距離坐標”的含義的理解和掌握，解答此題的關

鍵是要明確：到h的距離為2的點是兩條平行直線，到12的距離為1的點也是兩條平行直

線.

11.65°

【分析】

過點C作C/〃A8,根據平行公理得9〃CF//ED,再依據平行線的性質求角即可.

【詳解】

解：過點C作C尸〃A8,如圖：

■.■AB//DE,

.-.AB//CF//ED.

,/AB//CF,

：,ZB+Z1=18O°,

ZB=150°,

4=30°,

CF//ED,

：.Z2+Z￡>=180°,

ZD=145°,

，N2=35°,

.-.ZBCE>=Z1+Z2=65°.

【點撥】本題考查了平行線的判定與性質，解題關鍵是依據平行公理作輔助線，熟練運用平

行線的性質解決問題

12.70.

【詳解】

作IF〃AB,GK〃AB,JH〃AB

因為

所以，AB//CD//IF//GK^JH

所以，ZIFG=ZFEC=10°

所以，ZGFI=90°-ZIFG=80°

所以，ZKGF=ZGFI=80°

所以，ZHGK=150°-ZKGF=70°

所以，ZJHG=ZHGK=70°

同理，Z2=90°-ZJHG=20°

所以，/1=90°-/2=70。

故答案為70

【點撥】本題考查了平行線的性質，正確作出輔助線是關鍵，注意掌握平行線的性質：兩直

線平行，內錯角相等.

13.50°

【詳解】

解：如圖，^ZDAB=ZBAC=x,BPZl=Z2=x."：EF//GH,.\Z2=Z3.在△ABC內，Z4=180°

-ZACB-Z1-Z3=180°-ZACB-2r=80。-2r.\?直線BD平分/FBC,：./5=；(180°

-Z4)=；(180°-80°+2x)=50°+x,ZDBA=1800-Z3-Z4-Z5

-180°-x-(80°-2x)-(50°+x)

=180°-x-800+2x-500-x

=50°.

故答案為50。.

點撥：本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，熟記性質并理清

圖中各角度之間的關系是解題的關鍵.

14.35。或145°.

【分析】

分兩種情況討論：點F在AO上，點F在OB上，依據平行線的性質以及角平分線的定義,

即可得到/AFG度數.

【詳解】

解：如圖，當點F在AO上時，

VZAOD=110°,

.,.ZAOC=70o,

又TOE平分NAOC,

ZCOE=35°,

VFG/7OE,

???NOGF=35。，

???NAFG=ZAOD+NOGF=110。+35。=145。；

D

VZAOD=110°,

???NAOC=70。，

XVOE平分NAOC,

???NAOE=35。，

VFG/7OE,

AZAFG=ZAOE=35°,

故答案為35。或145°.

【點撥】本題考查了平行線的性質以及角平分線的定義，熟記概念并準確識圖，理清圖中各

個角度之間的關系是解題的關鍵.

15.80

【詳解】

如圖，根據角平分線的性質和平行線的性質，可知NFMA二;NCPE=NF+N1,

ZANE=ZE+2Z1=ZCPE=2ZFMA,即ZE=2ZF=2x40°=80°.

故答案為80.

【分析】

延長FA與直線MN交于點K,通過角度的不斷轉換解得NBCA=45。.

【詳解】

解：延長FA與直線MN交于點K,

由圖可知/ACD=90°-NCAD=90°-(45°+/EAD)=45°-；ZFAD=45°-1(90°-ZAFD)=；

ZAFD,

因為MN〃PQ,所以/AFD=/BKA=90O-NKBA=90O-(180O-NABM)=NABM-90。，

所以NACD=：/AFD=g(/ABM-90o)=NBCD-45。，即NBCD-/ACD=NBCA=45。，

2

所以ZACD=90°-(45°+ZEAD)=45°-ZEAD=45°-yNBCA=45°-18°=27°.

故/ACD的度數是：27°.

【點撥】本題利用平行線、垂直、角平分線綜合考查了角度的求解.

17.25°或50。

【分析】

根據平行線的性質以及垂直的定義即可求解.

【詳解】

解：與B8的兩邊一邊平行，另一邊垂直，

有兩種情況，

如下圖所示：

由題意得，AC//BD,ZA=3ZB-10°,BCLAD

'：AC//BD

AZC=ZB

U：BC±AD

：.ZA+ZC=90°

.'.3ZB-100+ZB=90°,

：.ZB=25°

如下圖所示：

由題意得，AN//BM,ZA=3ZB-10°,BH±AM

'：AN//BM

：.ZA+ZM=180°,

?；BH上AM

：.ZB+ZM=90°

：.ZA-ZB=90°

ZA=3ZB-10°

3ZB-10°-ZB=90°,

.\ZB=50°,

綜上所述，N8的度數為25°或50°，

故答案：25°或50°?

【點撥】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是根據平行線的性質找出圖中角度之間的關

系.

18.1.n—1.

【分析】

2條直線相交只有一個交點，3條直線相交，交點數是1+2,〃條直線相交，交點數是

1+2+3H----F(zj-1),即aa=l+2+3n-----F(n-1)=n(n-1),可寫出％,。“一%_1的解.

【詳解】

解：求平面內不過同一點的〃條直線兩兩相交的交點個數，可由簡入繁，

當2條直線相交時，交點數只有一個；

當3條直線相交時，交點數為兩條時的數量+第3條直線與前兩條的交點2個，即交點數是

1+2；

同理，可以推導當n條直線相交時，交點數是1+2+3+…+(〃-1),即

=

c1n=1+2+3+..?+(幾-1)-1),

二.%=—x2x(2—1)=1,

2

ci—ci,=一n(n—1)—(n——2)=n—1,

22

本題的答案為：1,n-1.

【點撥】本題考查了平面內直線兩兩相交交點數的計算，涉及到一種很重要的數學方法數學

歸納法的初步應用接觸，此方法在推導證明中比較常用.

19.150°

【詳解】

如圖，過點B作BG〃AE,

因為AE〃CD,所以AE〃:BG〃CD.

所以NA=N2,Zl+ZC=180°.

因為NA=120°,所以N2=120°,所以Nl=150°-120°=30°.

所以NC=180"30o=150。，故答案為150。.

20.153°

【分析】

過點及尸,G,做EH,FK,GJ平行于AB，根據平行線的傳遞性及性質得

AMEN=ZBME+ZDNE,同理得出NMSV=ZAMG+NC?VG,令/BME=5a,則

NBMF=3a,NDNE=5b,則NDNF=3A,通過等量關系先計算出。+匕=18。，再根據角平

分線的性質及等量代換進行求解.

【詳解】

解：過點瓦尸,G,做平行于A3,如下圖:

ABIIEH,ABI/CD,

\EHIICD,

則ZBME=ZHEM,ZDNE=ZHEN,

:.ZMEN=NHEM+ZHEN=ZBME+NDNE,

同理可得：ZMGN=ZAMG+ZCNG,

令NBME=5a,則/RWF=3a,

/DNE=5b,貝1]/。八獷=3匕，

貝1]ZMEN=ZBME+NDNE=5a+5b=90°,

:.a+b=18°,

ZAMF=180°-ZBMF=180°-3a,

ZCNF=180。-ADNF=180。-3b,

「MG平分NAMF,NG平分ZCNF,

1313

ZAMG=-ZAMF=90°--a,ZCNG=-ZCNF=90°--b,

2222

3

ZMGN=ZAMG+CNG=180°——(a+6)=153°,

2

故答案是：153°.

【點撥】本題考查了平行線的性質、角平分線的性質，解題的關鍵是添加適當的輔助線，找

到角之間的關系，利用等量代換的思想進行計算求解.

21.(1)見解析；(2)N3DC=120。

【分析】

(1)以C為圓心，小于A3長為半徑畫弧.與AC、5c分別交于點E、尸;以點B為圓心，以CE

長為半徑畫弧，交A3于點G;以點G為圓心，以所長為半徑畫弧，交前弧與點H;連接

交AC于點。.此時，/題=/。.（2）由/人8口=/?=30。，結合ZA=90。，運用三角形外角

的象征即可完成解答.

【詳解】

（1）作法：①以C為圓心，小于A3長為半徑畫弧.與AC、3c分別交于點E、F.

②以點3為圓心，以CE長為半徑畫弧，交A3于點G.

③以點G為圓心，以所長為半徑畫弧，交前弧與點H.

④連接交AC于點D.此時，ZABD=ZC.

⑵VZC=30°

.?.NABD=NC=30°

XVZA=90°

ZBDC=120°

【點撥】本題主要考查了復雜的尺規作圖和三角形外角的性質，其中尺規作圖是解答本題的

關鍵.

22.探究：見解析；應用：見解析.

【分析】

探究:依據兩直線平行，內錯角相等以及兩直線平行，同位角相等，即可得到/DEF=NABC,

進而得出/DEF的度數.應用：依據兩直線平行，同位角相等以及兩直線平行，同旁內角

互補，即可得到NDEF的度數.

【詳解】

解：探究：VDE/7BC（已知）

；./DEF=NCFE（兩直線平行，內錯角相等）

VEF/7AB

.,.ZCFE=ZABC（兩直線平行，同位角相等）

.,.ZDEF=ZABC（等量代換）

VZABC=65°

ZDEF=65°

故答案為已知；ZCFE；兩直線平行，內錯角相等；ZCFE；兩直線平行，同位角相等；等

量代換；65°.

應用：VDE//BC

.?.NABC=/D=p

：EF〃AB

.?.ZD+ZDEF=180°

.?.NDEF=180。-ND=180。-p,

故答案為180°-p.

圖②

【點撥】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，同位角相等；兩直線平

行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等.

23.見解析

【分析】

由/54尸+/4/5。=180。可得AB〃CD,進而得到NBAP=NCPA,然后根據角的和差可得

NEAP=/FPA運用內錯角相等、兩直線平行證明即可.

【詳解】

證明：VZBAP+ZAPD=180°

；.AB〃CD

ZBAP=ZCPA

VZ1=Z2

AZBAP-Z1=ZCPA-Z2,即NEAP=/FPA

；.AE〃PF

【點撥】本題考查平行線的性質和判定，解題的關鍵是靈活應用平行線的性質定理和判定定

理.

24.(1)40°;(2)不變，ZOCB：ZOFB=1：2,理由見解析

【詳解】

(1)由于48=100。，易求NA08,而。￡、0c都是角平分線，從而可求NCOE；

(2)利用BC//OA,可知/AOC=/BC。，又因為/AOC=NC。凡所以就有/尸CO=N尸。C,

BPZBFO=2ZFCO=2ZOCB,那么/OCB：ZOFB=1：2；

解：(l)；C8〃0A,

：.ZBOA+ZB=\SQ°,

：.ZBOA^80°,

VZFOC=ZAOC,OE^ZBOF,

：./EOC=/EOF+/FOC=gZBOF+^-ZFOA^|(ZBOF+ZFOA)=x80°=40°；

⑵不變.

'JCB//OA,

：.ZOCB=ZCOA,ZOFB=ZFOA,

?：ZFOC^ZAOC,

：.ZCOA=^ZFOA,即/OC8:/OFB=1:2.

25.(1)①70。；②80。；?ZAED=ZEAB+ZEDC；(2)p點在區域①時，

ZPEB+ZPFC+ZEPF=360°；p點在區域②時，ZEPF=ZPEB+ZPFC

【詳解】

試題分析：(1)①根據圖形猜想得出所求角度數即可；

②根據圖形猜想得出所求角度數即可；

③猜想得到三角關系，理由為：延長AE與DC交于F點，由AB與DC平行，利用兩直線

平行內錯角相等得到一對角相等，再利用外角性質及等量代換即可得證；

(2)分兩個區域分別找出三個角關系即可.

試題解析：(1)①當NA=30°,ZD=40°,貝lJ/AED=70°

②當NA=20°,ZD=60°,則NAED=80°

③/AED,ZEAB,/EDC的關系為/AED=/EAB+/EDC

證明：圖1過點E作EF//AB,ZAEF=ZA.

VAB//CD,.*.EF//CD..*.ZFED=ZD.

/.ZAED=ZAEF+ZFED=ZA+ZD.

(2)圖2,p點在區域①時，ZPEB+ZPFC+ZEPF=360°

圖3,p點在區域②時，ZEPF=ZPEB+ZPFC

點撥：此題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解本題的關鍵.

26.(1)96°；(2)12°.

【詳解】

試題分析：(1)利用兩直線內錯角相等得到兩對角相等，相加即可求出所求的角；

(2)由AP為角平分線，利用角平分線定義求出/PAC的度數，由NPAC-NC4G即可求

/上4G的度數.

試題解析：3,:DB//FG//EC,

NBAG=NABD=60\ZCAG=NACE=36",

ABAC=/BAG+ZCAG=96。；

(2)VAP為NBAC的平分線，

:.ZBAP=ZCAP=48\

ZPAG=ZCAP-ZGAC=12°.

27.⑴f的值為30

⑵NKPE=90。T

(3”=72

【分析】

(1)ZCFE的度數