安徽省長豐縣高中數學第三章導數及其應用3.3導數在研究函數中的應用3.3.3函數的最大（小）值與導數教學設計新人教A版選修1-1課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教材分析嘿，親愛的同學們，今天咱們要一起探索一個超級有趣的數學世界——導數在研究函數中的應用，尤其是函數的最大（小）值問題。咱們這節課要深入挖掘新人教A版選修1-1第三章的內容，把那些抽象的數學符號變成我們手中解決實際問題的利器。準備好了嗎？讓我們一起開啟這趟數學探險之旅吧！????二、核心素養目標分析同學們，通過這節課的學習，我們要培養以下幾個核心素養：一是數學抽象能力，通過導數的概念，學會從具體問題中抽象出數學模型；二是邏輯推理能力，通過導數的運算和函數性質，鍛煉我們的邏輯思維能力；三是數學建模能力，學會運用導數解決實際問題，將數學與生活相聯系；四是數學運算能力，熟練掌握導數的計算方法，提高運算技巧。這些核心素養將幫助我們在數學學習的道路上越走越遠！????三、學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識。

同學們在進入本節課之前，應該已經學習了函數的基本性質、極限的概念以及導數的基本運算。這意味著他們已經具備了一定的數學基礎，能夠理解函數圖像的基本特征，以及如何計算簡單的導數。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格。

同學們對于數學的興趣參差不齊，有的同學對數學充滿好奇，渴望探索數學的奧秘；有的同學可能覺得數學枯燥，但對解決實際問題有著濃厚的興趣。在能力方面，部分同學能夠迅速掌握新知識，而有的同學可能需要更多的時間和練習。學習風格上，有的同學偏好通過視覺學習，有的則更傾向于動手操作或聽覺學習。

3.學生可能遇到的困難和挑戰。

在本節課中，學生可能會在理解導數的概念上遇到困難，因為導數是一個抽象的概念，需要同學們具備較強的邏輯思維能力。此外，導數的計算可能會讓學生感到繁瑣，尤其是在處理復雜函數時。此外，如何將導數應用于解決實際問題，找到函數的最大值和最小值，也是同學們可能面臨的挑戰。我們需要通過實例講解和小組討論等方式，幫助學生克服這些困難。四、教學方法與策略為了達到教學目標，我將采用多種教學方法。首先，通過講授法介紹導數的基本概念和性質，確保基礎知識扎實。接著，運用案例研究法，讓學生通過實際案例理解導數在求解函數最大值和最小值中的應用。在討論環節，鼓勵學生提出問題，進行小組討論，增強互動。此外，我會設計一些簡單的數學游戲，如“猜數字游戲”，讓學生在輕松的氛圍中練習導數的計算。最后，利用多媒體教學，展示函數圖像和導數關系，幫助學生直觀理解。通過這些方法，提高學生的參與度和學習效果。????五、教學過程設計**導入環節（5分鐘**）

1.**情境創設**：同學們，你們有沒有想過，為什么有些商品打折后反而更貴了呢？其實，這個問題就涉及到函數的最大值和最小值。今天，我們就來探索一下，如何利用導數來找到函數的最大值和最小值。（用時1分鐘）

2.**提出問題**：請同學們思考，如果我們有一個商品的價格函數，我們如何知道在什么時候這個商品的價格是最高的，或者最低的呢？（用時1分鐘）

3.**小組討論**：請大家分成小組，討論一下，你們認為在數學上，我們應該如何解決這個問題？（用時2分鐘）

**講授新課（15分鐘**）

1.**導數概念回顧**：首先，我們回顧一下導數的概念，導數可以理解為函數在某一點上的變化率。如果導數大于0，函數在這個點上是遞增的；如果導數小于0，函數在這個點上是遞減的；如果導數等于0，函數可能在這個點上有極值。（用時3分鐘）

2.**函數極值介紹**：接下來，我們介紹函數的極值。極值可以是最大值或最小值，它出現在函數的導數為0的點或者導數不存在的點。（用時3分鐘）

3.**導數與極值的關系**：現在，我們來探討導數與函數極值之間的關系。如果函數在某個點的導數為0，那么這個點可能是極值點。但是，我們還需要檢查這個點的二階導數，來確定它是最大值點還是最小值點。（用時3分鐘）

4.**實例分析**：通過幾個具體的例子，讓學生理解如何應用導數來找到函數的最大值和最小值。（用時3分鐘）

**鞏固練習（15分鐘**）

1.**練習題展示**：我將給出幾道練習題，讓同學們嘗試獨立完成，題目包括求函數的導數、判斷極值點以及求極值。（用時5分鐘）

2.**小組討論**：同學們在小組內討論自己的答案，并互相檢查。（用時5分鐘）

3.**答案講解**：每組選一個代表來講解他們的解題思路，其他同學可以補充或提出疑問。（用時5分鐘）

**課堂提問（5分鐘**）

1.**提問環節**：我將會隨機提問一些同學，檢查他們對導數和極值概念的理解。（用時2分鐘）

2.**反饋與總結**：對學生的回答進行反饋，總結本節課的重點內容。（用時3分鐘）

**師生互動環節（5分鐘**）

1.**角色扮演**：設計一個情景，讓學生扮演數學家，討論如何用導數解決實際問題。（用時2分鐘）

2.**小組競賽**：進行一個小型的競賽，看哪個小組能最快找到給定函數的最大值和最小值。（用時3分鐘）

**教學過程總結（5分鐘**）

1.**回顧重點**：回顧本節課的主要內容和關鍵步驟。（用時2分鐘）

2.**布置作業**：布置一些相關的作業題，讓學生課后鞏固所學知識。（用時3分鐘）

整個教學過程共計45分鐘，旨在通過多種教學方法和活動，幫助學生深入理解導數在研究函數中的應用，培養他們的數學思維和解決問題的能力。六、學生學習效果1.**概念理解**：學生對導數的概念有了更深入的理解，能夠區分導數、函數的增減性以及極值之間的關系。他們能夠解釋導數在函數圖像上的幾何意義，即切線的斜率。

2.**計算能力**：學生在導數的計算上有了顯著的提高。他們能夠熟練地運用導數的定義和求導法則來計算簡單函數的導數，并且在解決實際問題時能夠正確地應用導數。

3.**問題解決**：學生學會了如何運用導數來求解函數的最大值和最小值，這包括識別極值點、計算二階導數以判斷極值的類型，以及在實際問題中應用這些概念。

4.**邏輯推理**：通過本節課的學習，學生的邏輯推理能力得到了鍛煉。他們能夠通過導數的符號來判斷函數的單調性，并通過導數的零點來尋找極值點。

5.**數學建模**：學生能夠將實際問題抽象為數學模型，并運用導數來分析和解決問題。例如，他們可以計算商品在不同價格下的最大利潤，或者確定最佳投資策略。

6.**批判性思維**：在討論和練習環節中，學生被鼓勵提出問題、分析不同解法，這有助于培養他們的批判性思維能力。

7.**合作學習**：通過小組討論和競賽活動，學生學會了如何與他人合作，共同解決問題。這種合作學習經驗有助于他們在團隊環境中更有效地工作。

8.**自主學習**：學生在完成作業和課后練習的過程中，逐漸學會了如何自主學習。他們能夠獨立查找資料、解決問題，并在遇到困難時尋求幫助。

9.**情感態度**：學生對數學的興趣和信心得到了提升。他們開始認識到數學在解決實際問題中的重要性，并對數學學習產生了更積極的情感態度。

10.**實際應用**：學生能夠將所學的數學知識應用于日常生活和未來的學習中。例如，他們可以分析股市走勢、預測天氣變化，或者設計簡單的物理實驗。七、典型例題講解1.**例題**：已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+2$，求$f(x)$的極值。

**解答**：

首先，我們求出函數的導數：

$$

f'(x)=3x^2-6x+4

$$

接著，令導數等于0，解得：

$$

3x^2-6x+4=0

$$

解這個一元二次方程，得到：

$$

x=1\quad\text{或}\quadx=\frac{2}{3}

$$

然后，我們計算這兩個點的二階導數：

$$

f''(x)=6x-6

$$

當$x=1$時，$f''(1)=0$，這表明$x=1$是一個拐點，不是極值點。

當$x=\frac{2}{3}$時，$f''\left(\frac{2}{3}\right)=0$，同樣不是極值點。

因此，我們需要檢查導數的符號變化來確定極值點。我們發現，當$x<\frac{2}{3}$時，$f'(x)>0$；當$\frac{2}{3}<x<1$時，$f'(x)<0$；當$x>1$時，$f'(x)>0$。因此，$x=\frac{2}{3}$是函數的極大值點，$x=1$是函數的極小值點。

計算極大值和極小值：

$$

f\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^3-3\left(\frac{2}{3}\right)^2+4\left(\frac{2}{3}\right)+2=\frac{8}{27}-\frac{12}{9}+\frac{8}{3}+2=\frac{74}{27}

$$

$$

f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1+2=4

$$

所以，函數的極大值是$\frac{74}{27}$，極小值是4。

2.**例題**：已知函數$f(x)=e^x-x$，求$f(x)$的最大值。

**解答**：

首先，求出函數的導數：

$$

f'(x)=e^x-1

$$

令導數等于0，解得：

$$

e^x-1=0\Rightarrowe^x=1\Rightarrowx=0

$$

因為$e^x$是單調遞增的，所以$x=0$是$f(x)$的唯一臨界點。

我們發現，當$x<0$時，$f'(x)<0$；當$x>0$時，$f'(x)>0$。因此，$x=0$是$f(x)$的極小值點。

但是，我們需要檢查$x=0$是否是最大值點。由于$e^x$在$x=0$處取得最小值1，而$-x$在$x=0$處取得最大值0，所以$f(x)$在$x=0$處取得最大值：

$$

f(0)=e^0-0=1

$$

3.**例題**：已知函數$f(x)=\sqrt{x^2+4}$，求$f(x)$的最小值。

**解答**：

首先，求出函數的導數：

$$

f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

$$

令導數等于0，解得：

$$

\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}=0\Rightarrowx=0

$$

因為$x$不能為0，所以我們需要檢查$x$的極限。當$x\to\infty$時，$f'(x)\to0$；當$x\to-\infty$時，$f'(x)\to0$。因此，$x=0$是$f(x)$的極小值點。

計算極小值：

$$

f(0)=\sqrt{0^2+4}=2

$$

所以，函數的最小值是2。

4.**例題**：已知函數$f(x)=x^4-8x^3+18x^2-8x+1$，求$f(x)$的最大值。

**解答**：

首先，求出函數的導數：

$$

f'(x)=4x^3-24x^2+36x-8

$$

令導數等于0，解得：

$$

4x^3-24x^2+36x-8=0

$$

解這個一元三次方程，得到：

$$

x=1\quad\text{或}\quadx=2\quad\text{或}\quadx=3

$$

然后，我們計算這三個點的二階導數：

$$

f''(x)=12x^2-48x+36

$$

當$x=1$時，$f''(1)=0$，這表明$x=1$是一個拐點，不是極值點。

當$x=2$時，$f''(2)=0$，這表明$x=2$是一個拐點，不是極值點。

當$x=3$時，$f''(3)=0$，這表明$x=3$是一個拐點，不是極值點。

因此，我們需要檢查導數的符號變化來確定極值點。我們發現，當$x<1$時，$f'(x)>0$；當$1<x<2$時，$f'(x)<0$；當$2<x<3$時，$f'(x)>0$；當$x>3$時，$f'(x)>0$。因此，$x=1$和$x=3$是$f(x)$的極小值點，$x=2$是$f(x)$的極大值點。

計算極大值：

$$

f(2)=2^4-8\cdot2^3+18\cdot2^2-8\cdot2+1=16-64+72-16+1=9

$$

所以，函數的最大值是9。

5.**例題**：已知函數$f(x)=\ln(x)-x$，求$f(x)$的最小值。

**解答**：

首先，求出函數的導數：

$$

f'(x)=\frac{1}{x}-1

$$

令導數等于0，解得：

$$

\frac{1}{x}-1=0\Rightarrow\frac{1}{x}=1\Rightarrowx=1

$$

因為$x$必須大于0，所以$x=1$是$f(x)$的唯一臨界點。

我們發現，當$0<x<1$時，$f'(x)>0$；當$x>1$時，$f'(x)<0$。因此，$x=1$是$f(x)$的極大值點。

但是，我們需要檢查$x=1$是否是最大值點。由于$\ln(x)$在$x=1$處取得最小值0，而$-x$在$x=1$處取得最大值-1，所以$f(x)$在$x=1$處取得最大值：

$$

f(1)=\ln(1)-1=0-1=-1

$$

所以，函數的最小值是-1。八、教學評價與反饋1.**課堂表現**：

課堂表現方面，學生的參與度較高，大部分同學能夠積極回答問題，并在小組討論中發揮積極作用。在講解導數的概念和極值問題時，學生們表現出濃厚的興趣，能夠跟隨教學節奏，對復雜的概念有了一定的理解。

2.**小組討論成果展示**：

在小組討論環節，各小組都能夠圍繞問題展開深入的討論，并提出自己的見解。尤其在解決實際問題時，學生們能夠結合生活經驗，提出創新性的解決方案。例如，在討論如何通過導數確定商品的最佳定價時，學生們提出了多種策略，如考慮市場需求、成本等因素。

3.**隨堂測試**：

隨堂測試結果顯示，大部分學生對導數的概念和極值問題的理解較為扎實。在測試中，學生們能夠熟練地計算導數、判斷極值點，并正確地應用這些知識解決實際問題。但也有一部分學生在處理復雜函數時，對導數的計算和判斷極值點的過程感到困惑。

4.**課后作業反饋**：

課后作業方面，學生們普遍能夠按時完成，且作業質量較高。在作業中，學生們能夠運用所學知識解決類似問題，但部分學生在面對新問題時，仍然存在一定的困難。教師將對這些學生在課后進行個別輔導，以幫助他們克服難關。

5.**教師評價與反饋**：

針對課堂表現，教師將鼓勵學生繼續保持積極的學習態度，并提出以下反饋：

-對于課