PAGEPAGE818.2.3正方形知能演練提升實力提升1.四個角相等,四條邊也相等的四邊形肯定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四邊形2.如圖,正方形ABCD的邊長為8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一動點,則DN+MN的最小值為()A.8 B.10C.217 D.823.小明在學習了正方形之后,給同桌小文出了道題.從下列四個條件①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中選兩個作為補充條件,使?ABCD成為正方形,如圖,現有下列四種選法,你認為其中錯誤的是()A.①② B.②③C.①③ D.②④4.如圖,將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放,點A1,A2,…,An分別是正方形對角線的交點,則n個這樣的正方形重疊部分的面積和為()A.14cm2 B.n4C.n-14cm2 D.5.矩形各內角平分線若能圍成一個四邊形,則這個四邊形肯定是.

★6.以邊長為2的正方形的對角線的交點O為端點,引兩條相互垂直的射線,分別與正方形的邊交于A,B兩點,則線段AB的最小值是.

7.如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E,F分別在OD,OC上,且DE=CF,連接DF,AE,AE的延長線交DF于點M.求證:AM⊥DF.8.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD交于點O,E是BD延長線上的點,且△ACE是等邊三角形.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若∠AED=2∠EAD,求證:四邊形ABCD是正方形.9.已知正方形ABCD的邊長為a,兩條對角線AC,BD相交于點O,P是射線AB上隨意一點,過點P分別作直線AC,BD的垂線PE,PF,垂足為E,F.(1)如圖①,當點P在線段AB上時,求PE+PF的值;(2)如圖②,當點P在線段AB的延長線上時,求PE-PF的值.圖①圖②★10.如圖,在邊長為5的正方形ABCD中,點E,F分別是BC,DC邊上的點,且AE⊥EF,BE=2.(1)延長EF交正方形外角平分線CP于點P(如圖),試推斷AE與EP的大小關系,并說明理由;(2)在AB邊上是否存在一點M,使得四邊形DMEP是平行四邊形?若存在,請賜予證明;若不存在,請說明理由.創新應用11.如圖①,在正方形ABCD中,P是BD上的一點,點E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD于點F.圖①圖②(1)證明:PC=PE;(2)求∠CPE的度數;(3)如圖②,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當∠ABC=120°時,連接CE,摸索究線段AP與線段CE的數量關系,并說明理由.參考答案實力提升1.A四個角相等的四邊形是矩形,四條邊相等的四邊形是菱形,既是菱形又是矩形的四邊形肯定是正方形,故選A.2.B連接BM交AC于點N(圖略),此時DN+MN有最小值,且DN+MN=BM=BC2+3.B4.C5.正方形6.2如圖,∵四邊形CDEF是正方形,∴∠OCD=∠ODB=45°,∠COD=90°,OC=OD.∵AO⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠COA+∠AOD=90°,∠AOD+∠DOB=90°,∴∠COA=∠DOB.∵在△COA和△DOB中,∠∴△COA≌△DOB,∴OA=OB.∵∠AOB=90°,∴△AOB是等腰直角三角形,由勾股定理,得AB=OA2+OB2=2OA,要使AB最小,只要OA取最小值即可,依據∵O是正方形CDEF的對角線的交點,且正方形邊長為2,∴OA=12CD=1,即AB=27.證明在正方形ABCD中,AO=DO=OC,AC⊥BD,∴∠AOE=∠DOF=90°,∠OAE+∠AEO=90°.又DE=CF,∴OE=OF,∴△AOE≌△DOF.∴∠AEO=∠DFO,∠OAE+∠DFO=90°.∴∠AMF=90°,∴AM⊥DF.8.證明(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO.又△ACE是等邊三角形,∴EO⊥AC,即DB⊥AC.∴?ABCD是菱形.(2)∵△ACE是等邊三角形,∴∠AEC=60°.∵EO⊥AC,∴∠AEO=12∠AEC=30°∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°.∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.∵四邊形ABCD是菱形,又∠ADC=2∠ADO=90°.∴四邊形ABCD是正方形.9.解(1)∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF∥AC.同理PE∥BD.∴四邊形PFOE為矩形,故PE=OF.又∠PBF=45°,∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB.在Rt△OBC中,OB2+OC2=BC2,∴2OB2=a2.∴OB=22即PE+PF=22(2)∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF∥AC.同理PE∥BD.∴四邊形PFOE為矩形,∴PE=OF.又∠PBF=45°,∴PF=BF.∴PE-PF=OF-BF=OB.由(1)得OB=22∴PE-PF=2210.解(1)AE=EP.理由:在AB上取一點G,使BG=BE,連接GE,∵AB=BC,∴AG=EC.∵AE⊥EF,∴∠2+∠3=90°.∵四邊形ABCD為正方形,∴∠B=∠BCD=90°.∴∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2.又∠AGE=∠ECP=135°,∴△AGE≌△ECP.∴AE=EP.(2)在AB邊上存在一點M,使四邊形DMEP是平行四邊形.證明過程如下:在AB邊上取一點M,使AM=BE,連接ME,MD,DP.在正方形ABCD中,AD=BA,∠DAM=∠ABE=90°,∴Rt△DAM≌Rt△ABE.∴DM=AE,∠1=∠4.∴DM=EP.∵∠1+∠5=90°,∴∠4+∠5=90°.∴AE⊥DM.∵AE⊥EP,∴DM∥EP.∴四邊形DMEP為平行四邊形.創新應用11.(1)證明∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.∵DP=DP,∴△ADP≌△CDP.∴PA=PC.又PA=PE,∴PC=PE.(2)解∵△ADP≌△CDP,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴∠DAP=∠E.∴∠FCP=∠E.∵∠PFC=∠DFE