PAGE1-課后限時集訓(五十七)排列與組合(建議用時：40分鐘)A組基礎達標一、選擇題1．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋bi，其中虛數的個數是()A．30 B．42C．36 D．35C[因為a＋bi為虛數，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數原理知可以組成6×6＝36個虛數．]2．高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參與社會實踐，但去何工廠可自由選擇，甲工廠必需有班級要去，則不同的安排方案有()A．16種 B．18種C．37種 D．48種C[三個班去四個工廠不同的安排方案共43種，甲工廠沒有班級去的安排方案共33種，因此滿意條件的不同的安排方案共有43－33＝37種．故選C.]3．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為()A．40 B．16C．13 D．10C[分兩類狀況：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．依據分類加法計數原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．]4.一個旅游景區的巡游線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路巡游A，B，C三個景點及沿途風景，則不重復(除交匯點O外)的巡游線路有()A．6種 B．8種C．12種 D．48種D[從點P處進入后，參觀第一個景點時，有6個路口可以選擇，從中任選一個，有Ceq\o\al(1,6)種選法，參觀完第一個景點，參觀其次個景點時，有4個路口可以選擇，從中任選一個，有Ceq\o\al(1,4)種選法，參觀完其次個景點，參觀第三個景點時，有2個路口可以選擇，從中任選一個，有Ceq\o\al(1,2)種選法，則共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝48(種)線路．故選D.]5．某地實行高考改革，考生除參與語文、數學、英語統一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學生甲要想報考某高校的法學專業，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數為()A．6 B．12C．18 D．19D[在物理、政治、歷史中選一科的選法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種．所以學生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)，故選D.]6．(2024·南昌一模)某校畢業典禮上有6個節目，考慮整體效果，對節目演出依次有如下要求：節目甲必需排在前三位，且節目丙、丁必需排在一起．則該校畢業典禮節目演出依次的編排方案共有()A．120種 B．156種C．188種 D．240種A[法一：記演出依次為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法種數分別為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，故總編排方案有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝120(種)．法二：記演出依次為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的狀況有4種，則有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(種)；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的狀況有3種，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的狀況有3種，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)．]7．(2024·長沙模擬)三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數是()A．72 B．144C．240 D．288D[第一類：選一對夫妻相鄰捆綁，插入其次對夫妻中間，最終一對夫妻排在首尾，則有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝48.其次類：選一對夫妻相鄰捆綁，插入形如BCbc(其中Aa，Bb，Cc為三對夫妻)中，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)＝240種．故共有48＋240＝288種排列方式．]二、填空題8．由數字2,0,1,9組成沒有重復數字的四位偶數的個數為________．10[依據所組成的沒有重復數字的四位偶數的個位是否為0進行分類計數：第一類，個位是0時，滿意題意的四位偶數的個數為Aeq\o\al(3,3)＝6；其次類，個位是2時，滿意題意的四位偶數的個數為Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4.由分類加法計數原理得，滿意題意的四位偶數的個數為6＋4＝10.]9．國家教化部為了發展貧困地區的教化，在全國重點師范高校免費培育教化專業師范生，畢業后要將他們安排到相應的地區去任教．現要將6名免費培育的教化專業師范畢業生平均安排到3所學校去任教，有________種不同的安排方法．90[先把這6名畢業生平均分成3組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))種方法，再將這3組畢業生安排到3所學校，有Aeq\o\al(3,3)種方法，故將這6名畢業生平均安排到3所學校去任教，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)安排方法．]10．12個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，要求每個盒子中的小球個數不少于其編號數，則不同的方法有________種．10[先把每個盒子裝上與其編號數相同的小球，還剩2個小球，2個小球裝在4個盒子里需3個隔板，3個隔板看成3個元素，共5個元素，最終從5個元素里選出3個隔板就行了，共有Ceq\o\al(3,5)＝10種．]B組實力提升1．(2024·日照模擬)甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每一級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法總數為()A．336 B．84C．343 D．210A[若3人站在不同的臺階上共有Aeq\o\al(3,7)種不同的站法；若3人中恰有2人同時在一個臺階上，則共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)種不同的站法．故共有Aeq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)＝336種不同的站法，選A.]2．把3男2女5名新生安排到甲、乙兩個班，每個班分到的新生不少于2名，且甲班至少安排1名女生，則不同的安排方案種數為()A．16 B．20C．26 D．40A[把5名新生安排到甲、乙兩個班，每個班分到的新生不少于2名，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)種安排方案，其中甲班都是男生的安排方案有(Ceq\o\al(2,3)＋1)種，則不同的安排方案種數為Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)－(Ceq\o\al(2,3)＋1)＝16.故選A.]3.(2024·衡水模擬)已知一個公園的形態如圖所示，現有3種不同的植物要種在此公園的A，B，C，D，E這五個區域內，要求有公共邊界的兩塊相鄰區域種不同的植物，則不同的種法共有________種．18[依據題意，分兩步進行分析．第一步，對于A，B，C區域，三個區域兩兩相鄰，種的植物都不能相同，將3種不同的植物全排列，支配在A，B，C區域，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)種法；其次步，對于D，E區域，若A，E區域種的植物相同，則D區域有1種種法，若A，E區域種的植物不同，則E區域有1種種法，D區域有2種種法，則D，E區域共有1＋2＝3(種)不同的種法．故不同的種法共有6×3＝18(種)．]4.如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩頂點異色，假如只有5種顏色可供運用，則不同的染色方法種數是________．420[法一：由題設，四棱錐S-ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，不同的染色方法共有5×4×3＝60(種)．當S，A，B染好時，不妨設其顏色分別為1,2,3，其余兩種顏色為4,5，若C染2，則D可染3或4或5，有3種不同的染色方法；若C染4，則D可染3或5，有2種不同的染色方法；若C染5，則D可染3或4，有2種不同的染色方法．所以當S，A，B染好時，C，D還有7種不同的染色方法，故不同染色方法有60×7＝420(種)．法二：以S，A，B，C，D的依次分步染色．第一步，S點染色，有5種不同的方法．其次步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種不同的方法．第三步，B點染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種不同的方法．第四步，C點染色，也有3種不同的方法，但考慮到D點與S，A，C分別在同一條棱上，須要對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種不同的染色方法；當A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種不同的染色方法，D點也有2種不同的染色方法．由分步乘法、分類加法計數原理，得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)