2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判別式教學(xué)設(shè)計(jì)（新版）湘教版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間設(shè)計(jì)思路嗨，同學(xué)們！今天我們來(lái)一起探索一元二次方程的神秘世界，特別是關(guān)于它的根的判別式。我會(huì)像講故事一樣，帶著你們一步步走進(jìn)這個(gè)奇妙的世界。首先，我們會(huì)通過(guò)一些有趣的例子，來(lái)感受根的判別式的魅力。然后，我們會(huì)用一些實(shí)用的方法，來(lái)找出方程根的性質(zhì)。最后，我會(huì)和你們一起動(dòng)手解決一些實(shí)際問(wèn)題，讓你們真正掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。準(zhǔn)備好了嗎？讓我們一起開(kāi)啟數(shù)學(xué)的冒險(xiǎn)之旅吧！??????核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的能力，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。通過(guò)探究一元二次方程根的判別式，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模意識(shí)。同時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，提高其數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-**核心內(nèi)容**：掌握一元二次方程根的判別式的概念和計(jì)算方法，理解判別式與方程根的關(guān)系。

-**詳細(xì)列明**：重點(diǎn)講解如何識(shí)別一元二次方程的判別式，如何計(jì)算判別式的值，以及如何根據(jù)判別式的值判斷方程的根的情況。例如，講解方程\(ax^2+bx+c=0\)的判別式為\(b^2-4ac\)，并讓學(xué)生通過(guò)具體的例子，如\(x^2-3x+2=0\)，計(jì)算判別式，并討論根的情況。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-**難點(diǎn)內(nèi)容**：理解判別式的幾何意義以及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

-**詳細(xì)列明**：難點(diǎn)在于幫助學(xué)生理解判別式\(b^2-4ac\)如何直觀地反映出方程根的性質(zhì)（兩個(gè)實(shí)根、一個(gè)重根或沒(méi)有實(shí)根）。例如，當(dāng)判別式大于0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；當(dāng)判別式等于0時(shí)，方程有一個(gè)重根；當(dāng)判別式小于0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。難點(diǎn)還在于將這一理論應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，如解決物理中的拋物線(xiàn)問(wèn)題或工程設(shè)計(jì)中的問(wèn)題。通過(guò)具體的物理實(shí)驗(yàn)或工程案例，讓學(xué)生感受判別式在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材，以方便課堂互動(dòng)和課后復(fù)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與一元二次方程根的判別式相關(guān)的圖片、圖表，以及講解判別式概念的動(dòng)畫(huà)視頻，以增強(qiáng)直觀理解。

3.實(shí)驗(yàn)器材：準(zhǔn)備一些簡(jiǎn)單的幾何工具，如直尺、圓規(guī)等，用于輔助學(xué)生進(jìn)行幾何作圖，以理解判別式的幾何意義。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，以便學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，同時(shí)確保實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)安全，方便進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)或工程案例分析。教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：同學(xué)們，你們還記得小時(shí)候玩過(guò)的拋球游戲嗎？當(dāng)球拋向空中，它的軌跡是什么樣的？今天我們就來(lái)探究一個(gè)和這個(gè)游戲有關(guān)的問(wèn)題——一元二次方程的根的判別式。通過(guò)這個(gè)有趣的問(wèn)題，我們可以了解數(shù)學(xué)是如何解釋和預(yù)測(cè)現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象的。

-回顧舊知：在上一節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了什么？是的，一元二次方程及其解法。今天，我們將深入探討方程的根與判別式之間的關(guān)系。

2.新課呈現(xiàn)（約15分鐘）

-講解新知：首先，我會(huì)詳細(xì)講解一元二次方程根的判別式的概念，即\(b^2-4ac\)的含義，以及它如何幫助我們判斷方程根的性質(zhì)。

-舉例說(shuō)明：通過(guò)展示一些具體的方程，如\(x^2-3x+2=0\)，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算判別式，并討論根的情況。

-互動(dòng)探究：我會(huì)提出問(wèn)題，讓學(xué)生分組討論，比如：“如果判別式為正，方程的根有什么特點(diǎn)？”通過(guò)討論，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

3.鞏固練習(xí)（約20分鐘）

-學(xué)生活動(dòng)：接下來(lái)，我會(huì)分發(fā)一些練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成。這些題目包括計(jì)算判別式、判斷根的性質(zhì)以及解一元二次方程。

-教師指導(dǎo)：在學(xué)生練習(xí)的過(guò)程中，我會(huì)巡視教室，觀察他們的解題過(guò)程，并適時(shí)提供幫助。對(duì)于特別困難的題目，我會(huì)組織學(xué)生討論，共同解決問(wèn)題。

4.拓展延伸（約10分鐘）

-我會(huì)引入一些拓展問(wèn)題，比如：“如果判別式接近于0，方程的根會(huì)有什么特點(diǎn)？”讓學(xué)生思考并嘗試解答。

-通過(guò)這些拓展問(wèn)題，我希望學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到更廣泛的情境中。

5.實(shí)驗(yàn)活動(dòng)（約15分鐘）

-在教室的一角，我會(huì)設(shè)置一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，準(zhǔn)備一些簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)器材，如小球、斜面等，用于演示拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和一元二次方程的關(guān)系。

-學(xué)生分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀察并記錄數(shù)據(jù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)驗(yàn)證判別式與方程根的關(guān)系。

6.總結(jié)反思（約5分鐘）

-在課程接近尾聲時(shí)，我會(huì)讓學(xué)生回顧今天所學(xué)的內(nèi)容，提問(wèn)：“我們今天學(xué)習(xí)了什么？”

-我會(huì)總結(jié)重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)一元二次方程根的判別式的重要性，并鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)探究數(shù)學(xué)的奧秘。

7.課后作業(yè)（約5分鐘）

-我會(huì)布置一些課后作業(yè)，包括一些應(yīng)用題和思考題，讓學(xué)生在課后鞏固所學(xué)知識(shí)，并培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料

-《一元二次方程在工程中的應(yīng)用》：介紹一元二次方程在建筑設(shè)計(jì)、機(jī)械制造等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的重要性。

-《數(shù)學(xué)史上的判別式》：簡(jiǎn)要介紹判別式的歷史背景和發(fā)展過(guò)程，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歷史的興趣。

-《一元二次方程與物理運(yùn)動(dòng)》：探討一元二次方程在物理學(xué)中的應(yīng)用，如拋體運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)系統(tǒng)等，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)與物理的緊密聯(lián)系。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究

-**探究一元二次方程根的分布**：引導(dǎo)學(xué)生思考，如果將一元二次方程的系數(shù)\(a\)、\(b\)、\(c\)分別取不同的值，方程的根會(huì)發(fā)生怎樣的變化？鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)計(jì)算和繪圖來(lái)探究根的分布規(guī)律。

-**研究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系**：讓學(xué)生探究一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，如韋達(dá)定理，并嘗試證明這些關(guān)系。

-**應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題**：鼓勵(lì)學(xué)生從生活中尋找與一元二次方程相關(guān)的問(wèn)題，如優(yōu)化問(wèn)題、最值問(wèn)題等，嘗試運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決這些問(wèn)題。

-**探索一元二次方程的幾何意義**：引導(dǎo)學(xué)生思考一元二次方程的圖像與判別式之間的關(guān)系，如拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)等，通過(guò)幾何方法加深對(duì)一元二次方程的理解。

-**比較一元二次方程與其他類(lèi)型方程的解法**：讓學(xué)生比較一元二次方程、一次方程和二次方程的解法，分析不同類(lèi)型方程的解法特點(diǎn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生在課堂上的參與度是評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要指標(biāo)。我會(huì)觀察學(xué)生在課堂上的發(fā)言次數(shù)、提問(wèn)頻率以及解決問(wèn)題的能力。

-對(duì)于積極參與課堂討論、能夠正確回答問(wèn)題、在小組合作中起到領(lǐng)導(dǎo)作用的學(xué)生，我會(huì)給予正面的評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)。

2.小組討論成果展示：

-在小組討論環(huán)節(jié)，我會(huì)評(píng)估學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和溝通能力。我會(huì)查看每個(gè)小組的討論記錄，以及他們展示的成果。

-優(yōu)秀的討論成果展示將包括清晰的解題思路、邏輯嚴(yán)密的分析和富有創(chuàng)意的解決方案。

3.隨堂測(cè)試：

-為了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)一元二次方程根的判別式的理解和應(yīng)用能力，我會(huì)設(shè)計(jì)隨堂測(cè)試題，包括選擇題、填空題和簡(jiǎn)答題。

-通過(guò)隨堂測(cè)試，我可以了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，以及他們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中的困難。

4.學(xué)生自評(píng)與互評(píng)：

-我會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，反思自己在課堂上的表現(xiàn)和學(xué)習(xí)效果。

-同時(shí)，我會(huì)安排學(xué)生之間的互評(píng)，讓學(xué)生互相學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：

-針對(duì)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，我會(huì)提供具體的反饋，包括他們的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方。

-對(duì)于學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)，我會(huì)給予肯定和表?yè)P(yáng)，以增強(qiáng)他們的自信心。

-對(duì)于學(xué)生的不足，我會(huì)提出建設(shè)性的意見(jiàn)，幫助他們找到解決問(wèn)題的方法。

-例如，如果學(xué)生在計(jì)算判別式時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，我會(huì)建議他們加強(qiáng)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練，并提供一些練習(xí)題供他們練習(xí)。

-如果學(xué)生在應(yīng)用判別式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)感到困難，我會(huì)引導(dǎo)他們思考如何將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，并給出一些具體的案例供他們參考。

-我還會(huì)定期與學(xué)生家長(zhǎng)溝通，分享學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度和表現(xiàn)，共同關(guān)注學(xué)生的成長(zhǎng)。

-通過(guò)這樣的評(píng)價(jià)與反饋機(jī)制，我相信學(xué)生能夠更好地理解一元二次方程根的判別式，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上不斷進(jìn)步。重點(diǎn)題型整理1.題型一：計(jì)算一元二次方程的判別式并判斷根的性質(zhì)

-題目：求解方程\(x^2-5x+6=0\)的根，并判斷根的性質(zhì)。

-解答：判別式\(Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\)。因?yàn)閈(Δ>0\)，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

2.題型二：根據(jù)判別式判斷方程根的情況

-題目：已知方程\(ax^2+bx+c=0\)的判別式\(Δ=15\)，且\(a\neq0\)，求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

-解答：因?yàn)閈(Δ=15>0\)，根據(jù)判別式的性質(zhì)，方程\(ax^2+bx+c=0\)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

3.題型三：利用判別式解一元二次方程

-題目：求解方程\(2x^2-4x-6=0\)的根，并判斷根的性質(zhì)。

-解答：判別式\(Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)=16+48=64\)。因?yàn)閈(Δ>0\)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。根為\(x_1=\frac{4+\sqrt{64}}{4}=2\)和\(x_2=\frac{4-\sqrt{64}}{4}=-1\)。

4.題型四：根據(jù)根的性質(zhì)確定方程的系數(shù)

-題目：已知方程\(x^2+4x+3=0\)有一個(gè)重根，求方程的系數(shù)\(a\)、\(b\)、\(c\)。

-解答：因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)重根，所以判別式\(Δ=0\)。計(jì)算判別式\(Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\)。由于\(Δ=0\)，所以\(a\)、\(b\)、\(c\)的值分別是\(1\)、\(4\)、\(3\)。

5.題型五：應(yīng)用判別式解決實(shí)際問(wèn)題

-題目：一輛汽車(chē)以\(60\)公里/小時(shí)的速度行駛，從\(A\)地出發(fā)前往\(B\)地，已知\(A\)地到\(B\)地的距離為\(180\)公里。若汽車(chē)行駛過(guò)程中速度恒定，求汽車(chē)從\(A\)地出發(fā)\(x\)小時(shí)后，汽車(chē)行駛距離與剩余距離的比值的平方根。

-解答：汽車(chē)行駛\(x\)小時(shí)后，行駛距離為\(60x\)公里，剩余距離為\(180-60x\)公里。比值平方根為\(\sqrt{\frac{60x}{180-60x}}\)。根據(jù)實(shí)際情況，這個(gè)比值平方根應(yīng)大于等于\(0\)且小于等于\(1\)。因此，我們可以設(shè)置不等式\(\sqrt{\frac{60x}{180-60x}}\geq0\)且\(\sqrt{\frac{60x}{180-60x}}\leq1\)，進(jìn)而求解\(x\)的范圍。教學(xué)反思與總結(jié)今天的課，咱們一起探索了一元二次方程根的判別式，我覺(jué)得挺有意思的。先說(shuō)說(shuō)我自己的感受吧。

首先，我覺(jué)得今天的導(dǎo)入做得不錯(cuò)。我通過(guò)拋球游戲這個(gè)大家都熟悉的例子，讓學(xué)生們感受到了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，他們興趣挺高的。不過(guò)，我發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)學(xué)生對(duì)于一元二次方程的基本概念還是有些模糊，我可能在導(dǎo)入時(shí)可以更簡(jiǎn)潔地回顧一下舊知，幫助這些學(xué)生快速進(jìn)入狀態(tài)。

接著，新課的講解部分，我盡量用簡(jiǎn)單易懂的語(yǔ)言來(lái)解釋判別式的概念，我覺(jué)得效果還可以。但是，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)于判別式的幾何意義理解起來(lái)比較吃力。下次，我打算用一些更直觀的圖形或者動(dòng)畫(huà)來(lái)幫助他們理解這個(gè)概念。

在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生們都很積極地參與進(jìn)來(lái)，討論得很熱烈。我看到他們互相幫助，共同解決問(wèn)題的樣子，真的很開(kāi)心。不過(guò)，也有個(gè)別小組討論時(shí)聲音太大，影響了其他小組，我需要在管理上做得更好，確保每個(gè)小組都能安靜、高效地討論。

隨堂測(cè)試的時(shí)候，大部分學(xué)生都能正確地計(jì)算出判別式，并判斷出根的性質(zhì)。但是，有幾個(gè)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)顯得有些吃力，這可能是因?yàn)樗麄儗?duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的理解還不