專題02不等式與基本不等式

目錄

題型一：不等式性質及解法

易錯點01忽略不等式性質成立的前提條件

易錯點02解分式不等式時變形不等價

易錯點03一元二次型不等式恒成立問題混淆范圍

易錯點04解含參不等式討論不全

易錯點05多變量不等式問題混淆主元

題型二基本不等式

易錯點06基本不等式求最值忽略前提條件

題型一：不等式性質及解法

易錯點01：忽略不等式性質成立的前提條件

易錯陷阱與避錯攻略

典例2.（24-25高三上?上海?期中）若。、b、ceR,a>b,則下列不等式中成立的是（）

a2>b2

C.-->——a|c|>b\c\

c+1c+1

【答案】C

【分析】由不等式的性質和反例即可判斷.

【詳解】對于AB：取=滿足。>6,顯然!<1,/不成立，錯誤;

對于C：因為百所以,正確;

對于D：取c=0,顯然力|>小|不成立，錯誤,

故選：C

【易錯剖析】

在應用不等式性質進行判斷時，若忽略。力是否同號，容易錯選若忽略不一定同大于零，容易錯選

B,由于忽略c是否為零，容易錯選D

【避錯攻略】

1不等式的性質及推論

性質1：不等式的傳遞性：設a,b,c均為實數，如果且6>c,那么a>c

性質2：不等式的加法性質：設a,b,c均為實數，如果a>b,那么a+c>b+c

性質3：不等式的乘法性質：設a,6,c均為實數，如果a>b且c>0,那么ac>bc,如果a>b且c<0,那么ac<bc

推論1.如果a>b,c>4/那么a+c>6+d

推論2.如果。>6,c<d那么a-c>6-d

推論3.如果a>6>0,c>d>0那么

推論4.如果a>6>0,那么!〈工

ab

推論5.如果。>b>0,d>c>0那么@>2

cd

推論6.如果a>b>0,那么a">6"（"是正自然數）

推論7.如果a>6>0,那么a">6"（"是正自然數）

【提醒】（1）不等式的性質3中在不等式兩邊同乘一個因式時一定要判斷正負；

（2）推論1逆命題不成立，且“同向不等式只能相加，不等號方向不變，不能相減”.

（3）推論3、推論5、推論6、推論7中要注意成立的前提條件，即均為正數的同向不等式相乘，得同

向不等式，并無相除式.

2判斷不等關系成立的常用方法：

（1）直接利用不等式的性質進行推理判斷.；

（2）比較法：一是作差比較：即作差、變形、判斷差式與0的大小、下結論；二是作商法：即作商、變形、

判斷商式與1的大小、下結論.

（3）構造函數利用函數的單調性；

（4）特殊值排除法.

易錯提醒：（1）一般數學結論都有前提，不等式性質也是如此.在運用不等式性質之前，一定要準確把握前

提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.

（2）不等式性質包括“充分條件（或者是必要條件）”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎，后

者一般是解不等式的理論基礎.

舉一反三

1.（24-25高三上?河北滄州?期中）已知。>6>c,則下列不等式一定成立的是（）

A.ab>bcB.ac1>be2

工〉工

C.D.a（a-c）>b（b-c）

a-ca-c

2.（2024?福建泉州一模）若實數Q>6〉0,則下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3”<0.36B.\ga>\gb---<----D.y[a>4b

。一1b-1

3.（24-25高三上?山東泰安?期中）（多選）已知Q,b,xeR,則下列命題正確的是（）

A.若一〈:，貝B.若a>b,則*>加”

ab

C.右Q>6>0,貝I-->—D.若ln@>0,貝！Ja>b

a+\ab

叁易錯題通關

1.（24-25高三上?上海?期中）已知。<6<0,則（）

A.—<1B.—<—C.ab<b2D.a2>b1

bab

2.（23-24高三上?四川瀘州?階段練習）若a>b>0,c<09則下列結論正確的是（）

A.ac>beB.a+c<b+c

117

C.—<—D.a-c<b-c

ab

3.（24-25高三上?山東臨沂?期中）已知非零實數Q,b滿足。>6,貝（！（）

A.—<—B.a2>b2C.a3>b3D.ac2>be2

ab

4.（24-25高三上?廣東?階段練習）下列結論正確的是（）

A.若。>6>0,貝!B.若貝!

ab

C.。十一妾2D.〃222Q-3

a

5.（24-25高三上?重慶?期中）已知。>b,c<d<0f貝!J（）

A.a+c>b+dB.a+c2>b+d2C.ac>bdD.ac2>bd2

6.（24-25高三上?山東聊城期中）已知。也C￡R,G>6,則下列不等式一定成立的是（）

A.a1>b2B.，+*>2C.[Jac1>be1

7.（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習）下列命題中，真命題的是（）

A.若。<6,則一>；

ab

B.若a>b,貝U/AQ/J〉/

C.若a>b>c>。,貝I]2>什

bb+c

D.若0<Q<6<C,貝！Jlog,。<log,b

8.（24-25高三上?江蘇無錫?期中）（多選）下列說法中正確的有（）

A.若。>b>0,c<d<0,貝ijacvbd

B.若a>b>0,c<0,貝!J—>—

ab

C.若-1<Z?<O,則2<〃一b<3

D.若。<0,ab>a2>Pl!|b2>a2

9.（24-25高三上?河南安陽?期中）（多選）已知。，4Gd為實數，則下列結論正確的有（）

A.若a>b,則小,33

B.若a>b,c>d,貝！]Q+c>b+d

C.若e">eJ則L：

ab

D.若Ina〉In/?,Inc>Ind,貝（Jac>bd

10.（24-25高三上?山東煙臺?期中）（多選）已知。<0,b>0且。+6>0,則（）

A.a2<b2B.a2+ab>0C.-+y<0D.（—l）<0

ab

易錯點02：解分式不等式時轉化不等價

12易錯陷阱與避錯攻略

2—x

典例（24-25甘肅蘭州?期中）不等式一21的解為（）

X

A.{x|0<x<l}B.{%|x<0或

C.{x|0<x<l}D.{x|x<0^x>l}

【答案】A

【分析】把分式不等式轉化為整式不等式，即可得解.

2—x2—x2—2xfx（l—x）0

【詳解】由——>1,得-----1>0,即----->0,因此,解得

xxx[xwnU

所以原不等式的解集為{xl0<x<l）.

故選：A

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略XW1這一條件而造成化簡不等價而出錯.

【避錯攻略】

1.基本思路：應用同號相乘（除）得正，異號同號相乘（除）得負，將其轉化為同解整式不等式.在此

過程中，變形的等價性尤為重要.

2.基本方法：

①通過移項，將分式不等式右邊化為零；

②左邊進行通分，化為形如42的形式;

g（x）

③常見同解變形:

〃x)

⑴0=/(x>g(x)>0；

g(x)

〃x)

(2)0=〃x>g(x)<0；

g(x)

7(xbg(x)Z0

(3)g(>x0)=[

g(無)wo

/(x)-g(x)<0

(4)

g(x/I&GN。

易錯提醒：求解不等式時，一定要注意化簡的等價性，如去分母時要保證分母不為0、平方時范圍不能變大、

兩邊同乘（除）一個因式時要注意判斷因式的符號等.

舉一反三

1.（24-25高三上?北京?階段練習）函數的定義域為（)

A.(1,4)B.[1,4)

C.（-℃,l）U（4,+co）D.（-oo,l]u（4,+oo）

2.（24-25高一上?上海?期中）“x>l”是“2<1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高三上?安徽?階段練習）已知集合={x|x2-x-2<o},則（）

A.{x|-l<x<5}B.{x|l<x<5}

C.{x|-l<x<21D.{x|l<x<2}

易錯題通關

1.（24-25高三上?江蘇宿遷?期中）若集合N={-l,0,l,2},5=jx|^->o1,則工口3=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1）

2.（24-25高三上?重慶?階段練習）“x>l”是“二<1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

3.（24-25高三上?河南?階段練習）不等式—<0的解集為（）

x-2x+3

A.RB.{x|x>l}C.{x|x<l}D.{x|x<-l}

4.（2024?陜西西安?三模）若集合4=卜也<2},5={-3,-1,0,1,3）,則（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3）

1—2x

5.（24-25高三上?山東德州?期中）已知。：xMa,4：--<0,若。是4的充分不必要條件，則。的取

x+2

值范圍是（）

A.u<—2B.a4—2

1,1

C.。<—D.aS—

22

3

6.（24-25高三上?河南?階段練習）使不等式9一41成立的一個必要不充分條件是（）

2-x

A.U（2,+co）B.（-8,-1]U（2,+8）

C.（-<?,-l）u[2,+oo）D.（-8,-1][[2,+oo）

7.（24-25高三上?上海?期中）不等式半葭0的解集為______.

x-1

Y—6

8.（24-25高三上?上海?階段練習）已知不等式二^>1的解集為A,若5e力，則實數。的取值范圍為—

ax-1

SY+3

9.（24-25高三上?上海浦東新?期中）不等式的解集為_________.

x-1

易錯點03：解含參不等式討論不全面出錯

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25山東高三聯考）（多選）對于給定實數。，關于x的一元二次不等式（G-1）（X+1）<0的解集可

能是（）

A.l<x<—j>B.{x|xw—1}C.|-<x<—11D.R

【答案】AB

【詳解】由（"-l）（x+l）<0,分類討論。如下：

當。>0時，—1<x<—；

a

當。=0時，x>-1；

當時，x<，或x>-l；

a

當。=-1時，xw-1；

當a<-l時，x<-l或x>L

a

故選：AB.

【易錯剖析】

本題在求解過程中對參數a的分類討論容易不全面而漏解失分.

【避錯攻略】

1.二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系

項目J>0J=0J<0

v

4/V

y=ax2-\~bx~\~C(Q>0)

的圖象

XNQ/X2XO\Xi=X2X

有兩個相等的實數根

QN+&+。=0(6Z>0)有兩個不相等的實數沒有

b

的根根修，X2（Xi<X2）X\=乃=實數根

2a

ax2-\~bx~\-c>0(tz>0)

{x\x<Xi,或介歷}R

的解集l2al

QN+&+C<0(6Z>0)

{%Xi<X<%2}00

的解集

2解不含參數的一元二次不等式的一般步驟

第一步（化標準）：通過對不等式變形，使不等式右側為0,二次項系數為正；

第二步（判別式）：對不等式左側進行因式分解，若不易分解，則計算相應方程的判別式;

第三步（求實根）：求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有無實根；

第四步（畫圖象）：根據一元二次方程根的情況畫出相應的二次函數的圖象;

第五步（寫解集）：根據圖象寫出不等式的解集.

3解含參數的一元二次不等式的一般步驟

【注意】

求解方程的根時可優先考慮用因式分解的方法求解，不能因式分解時再求判別式/,用求根公式計算.

易錯提醒：含參數一元二次不等式的求解最容易出現的錯誤就是討論不全面，在求解過程緊抓三點就可以

有效的避免失誤：一是分析二次項系數是否需要討論；而是分析方程根的存在型是否需要討論；三是根的

大小關系是否需要討論.

舉一反三

1.（24-25高三上?安徽?階段練習）設實數加，〃滿足機+〃>0,則關于x的不等式（x-%）（x+"）>0的解集為

（）

A.{xlx<-n^x>m}B.{x\x<-m^x>n}

C.{x\-n<x<m}D.{x\-m<x<n}

2.（23-24江蘇徐州?階段練習）（多選）對于給定的實數。，關于實數x的一元二次不等式。（x-??（x+l）>0

的解集可能為（）

A.0B.{-1}

C.（a,-l）D.（-°o,-l）U（a,+°o）

3.（24-25高三上?江蘇鹽城?開學考試）（多選）已知集合/={祖<」<4},8=卜丫一（a+l）x+a<0},則下

列命題中正確的是（）

A.若{U8=B,則〃之4

B.若=貝!

C.若Bp|Z=3,貝

D.若4r）5=0,貝lja<l

>易錯題通關.

1.（24-25高三上,湖北,階段練習）已知集合4=—={x|——（2Q+l）x++1）W0},若

“XW/”是。￡8”的必要不充分條件，則實數Q的取值范圍是（）

A.〃4-3或B.〃4-3或〃>1

C.1<一3或D.1<-3或

2.（24-25高三上?北京?階段練習）已知/={x￡R|%2+2加x+加2一4<。},5={xGN||x|<1）,且=

那么實數機的取值范圍是（）

A.（-14）B.C.（-2,2）D.[—2,2]

3.（23-24高三上?浙江紹興?期末）（多選）己知“eR,關于x的一元二次不等式（◎-2）（x+2）>0的解集可

能是（）

4.（23-24高三上?河北邢臺?階段練習）（多選）關于x的不等式（"-1）（》+20-2）>0的解集中恰有4個整

數，則。的值可以是（）

123

A.——B.——C.——D.-1

234

5.（24-25高三上?河南安陽?期中）已知不等式ar+bx+oQ的解集為{N-1<x<2}.若不存在整數x滿足不

等式（“履+bk2+2c）（2c-6x）<0,則實數人的取值范圍是.

6.（2024高三?全國?專題練習）解關于x的不等式：ax2-（3a+l）x+3<0（其中0>0）.

7.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習）已知關于x的一元二次不等式辦?+x+6>0的解集為

（一co,-2）u（l,+oo）

（1）求。和6的值

（2）求不等式蘇-（2a+b+2）cx+c2-l<0的解集

易錯點04：二次型不等式恒成立問題混淆范圍

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?山東臨沂?期中）“。<3”是“不等式/一方+2N0在（0,+功上恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】分離參數得到。在（o,+“）上恒成立，由基本不等式求出x+2“百，得到“w2VL根據

XX

a<3幺aM2血,aV2&na<3求出答案.

【詳解】不等式/一辦+220在（0,+動上恒成立，

2

即X+—在（0,+8）上恒成立，

X

其中》+工22、11=2也，當且僅當x=2即》=后時，等號成立，

X\XX

故aW2近，

由于“<33/42逝，a<272=>A<3>

故。<3是不等式/一狽+2z0在（。,+8）上恒成立的必要不充分條件.

故選：B

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略在（0,+。）上這一條件而誤認為在R上恒成立而而出錯.

【避錯攻略】

對于一元二次型不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區間上全部在x軸

上方，恒小于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區間上全部在無軸下方，解決一元二次不等式中的恒

成立、能成立問題常常轉化為求二次函數的最值或分離參數后求最值的方法解決問題.

1、在R上的恒成立問題

a>0[a=b=Q,

①二次型不等式以2+樂+°>0在氏上恒成立或者解集為k時，滿足〈或〈

A<0[c>0

a>0fa=Z）=0,

②二次型不等式以2+區+0之0在尺上恒成立或者解集為氏時，滿足〈或〈

A<0[c>0

a<0fa=Z)=0,

③二次型不等式a^+bx+cvO在R上恒成立或者解集為R時，滿足〈、八或八

A<0[c<0

a<0[a=Z)=0,

④二次型不等式a^+bx+cwo在R上恒成立或者解集為R時，滿足〈或〈

A<0[c<0

2、在給定區間上的恒成立問題

方法一：若/(x)〉0在集合/中恒成立，即集合z是不等式/(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由

子集的含義求解參數的值(或范圍)；

方法二：轉化為函數值域問題，即已知函數/(x)的值域為[機,〃],

則/(x)>a恒成立=/(x)min>a,即小?a；

/(x)<a恒成立=/(x/ax<。，即〃Wa.

易錯提醒：|求解二次型不等式恒成立問題時要注意兩個關鍵點：一看二次項的系數；二看不等式恒成立(有

解)的區間.

舉一反三

1.(24?25高三上?遼寧?階段練習)已知命題p：VXGR,6tx2-ax+l>0;q：3XGR,一―%+口工。.均為真

命題，則。的取值范圍是()

A.(-<?,4)B.[0,4)C.10。D.0,1

2.(24-25高三上?河北石家莊?階段練習)若函數/(x)=lg(加/-蛆+2)的定義域為R,則實數僅取值范圍

是()

A.[0,8)B.(8,+(?)C.(0,8)D.(-℃,0)u(8,+(?)

3.(24-25高三上?山西?階段練習)若不等式對任意的xeR恒成立，則4a+6的最小值為

()

A.2-72B.4C.5D.4亞

能易錯題通關.

1.(24-25高三上?安徽合肥?階段練習)命題“V無eR,使得2/+(a-l)x+g>0”成立的一個充分不必要條

件可以是()

A.(0,1)B.(—3,+oo)C.(-L3)D.(—3,1)

2.(24-25高三上?北京?階段練習)已知命題?：3x0eR,x：+2%+aV0是假命題，則實數。的取值范圍是

A.（-oo,l]B.[l,+℃）C.（-84）D.（l,+°o）

3.（24-25高三上?四川成都?階段練習）已知關于x的不等式辦2-2尤+3a<0在（0,2]上有解，則實數a的取

值范圍是（）

A.1一B.一0°，9C.（-℃,0]D.（-<?,0）

4.（24-25高三上?河南?階段練習）若命題“上仁&62加-依':+1<0”是假命題，則實數上的取值范圍是（）

5.（24-25高三上?內蒙古赤峰?階段練習）（多選）已知命題p:VxeR,x2+（2a+l）x+4>0,則命題。成立的

一個充分條件可以是（）

A.\Q卜3<6Z<—?

B.

53

C.a——<a<—

22

6.（24-25高三上?湖南?期中）已知命題：“VXERMY一"一2<0”為真命題，則。的取值范圍是.

7.（24-25高三上?黑龍江綏化?期中）命題3,2],-一2、-2〃20”為假命題,則實數。的范圍為.

8.（24-25高三上?遼寧?期中）已知關于*的不等式（x-a）[x2-（2a+l）x+24+2]N0在xe[0,+功上恒成立,

則實數。的取值集合為;

9.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（X）=X2+X+6,若存在e[0,2],使得/'（x。）2/一。成立，則

實數a的取值范圍是—.

10.（24-25高三上?江蘇泰州?期中）已知函數/（x）=x-2,g（x）=mx2-2mx+l（meR,m^0）.

⑴若對任意無eR,不等式g（x）>〃x）恒成立，求加的取值范圍；

（2）若對任意再e[1,2],存在％e[3,4],使得g（xj=f（%）,求機的取值范圍.

易錯點05：多變量不等式中混淆主元出錯

易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25齊魯名校共同體聯考)已知函數/(x)是定義在[-1,1]上的奇函數，對于任意玉，x2e[-l,

1],&//總有/(*)一蟲>0且/(1)=1.若對于任意ae[-1,1],存在xe[-1,1],使/(x)Wd-2a”l

.X1-x2

成立，則實數，的取值范圍是()

A.—B.t4-1—y/3或+1

C.怎0或，》2D.后2或《-2或％=0

【解析】解：???/(x)是定義在[-1,1]上的奇函數，

.?.當西、x2e[-l,1],且X|+%H0時，有““J—"[>>0,

玉-x2

.??函數〃x)在[-1,1]上單調遞增.

(1)=1,

“X)的最小值為/(-1)=-/(1)=-1,最大值為/(1)=1,

若對于任意1],存在無e[-l,1],使-2af-l成立，

即產-2加-珍-1對所有ae[-1,1]恒成立，，產-2af20,

g(l)=〃-2例f22或《0

設g(a)=t2~2at=-2ta+12,則滿足

g(-l)=〃+2/》0或-2

:722或怎-2或f=0,

故選：D.

【易錯剖析】

因為題設條件中含有兩個變量的取值范圍，易分不清主元而出錯，此時可依次設定主元進行求解.

【避錯攻略】

關于不等式的恒成立問題，主元法是一個常用方法，所謂主元法就是在一個多元數學問題中以其中一

個為“主元”，將問題化歸為該主元的函數、方程或不等式等問題，其本質是函數與方程思想的應用.有些

看似復雜的問題，如果選取適當的字母作為主元，往往可以起到化難為易的作用。

易錯提醒：解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數；一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當主

元，求誰的范圍，誰就是參數.即把變元與參數交換位置，構造以參數為變量的函數，根據原變量的取值范

圍列式求解。

舉一反三

1.(24-25年高三專題訓練)已知對任意加?1,3],機/-加工-1〈-加+5恒成立，則實數x的取值范圍是

()

g,+C0

-8,'

22

2.設/(x)=x3+x(xeR)當0W。(春時/(^sin0)+/(l-m)^O,|'l^AL,則加的取值范圍是_

3.已知二次函數〃尤)=/-"+c,對任意xeR都有/(-2-幻=/(-2+x),且40)=6.

⑴求函數“X)的解析式；

(2)若對于Vw4-1,2],不等式時(x)-6<0恒成立，求x的取值范圍.

能易錯題通關

1.(24-25河北石家莊三中月考)已知任意ae[-1,2],若存在實數b使不等式|x?-ax區6對任意的

xe[0,2]恒成立，貝！]()

A.b的最小值為4B.b的最小值為6

C.6的最小值為8D.b的最小值為10

2.已知Vae[0,2]時，不等式江+(0+1卜+1-的<0恒成立，則x的取值范圍為.

3.設二次函數>=/+加龍.

(1)若對任意實數〃?40,1]/>0恒成立，求實數x的取值范圍；

⑵若存在[-4,0),使得函數值為4-4成立，求實數/的取值范圍.

4.已知二次函數y=依2+bx+2(a,6為實數)

(1)若x=l時，了=1且對力42,5),y>0恒成立，求實數。的取值范圍；

(2)若x=l時，了=1且對\/。?-2,-1],>>0恒成立，求實數x的取值范圍.

題型二基本不等式

易錯點06：基本不等式求最值忽略前提條件

,易錯陷阱與避錯攻略

典例14.（24-25高三上?江蘇?階段練習）下列函數中最小值為4的是（）

4,

A.y=lnx+—B.y=2x+22-x

Inx

…?12（/+5）

C.J=4|sinx|+――-D.y=\

|snw|"6+4

【答案】BC

【分析】對于BCD：利用基本不等式運算求解注意取等條件成立條件是否成立；對于A：取特值x=工代入

e

檢驗.

144

I1n?---------____1-I____S

【詳解】對于選項A：令》=上，可得e?1--1一，

ein—

e

4

所以4不是》=lnx+的最小值，故A錯誤；

lux

對于選項B：因為2，＞0,22-，＞0,則2*+22-工22,2可22-工=4,

當且僅當2，=22r,即x=l時，等號成立，

所以2*+22r的最小值為4,故B正確；

對于選項C：因為卜inx|＞0,則4,加|+廠'22/體inxl.p^u燈

11|sinx|V|sinx|

當且僅當體加|=占，即situ=±1時等號成立，所以＞=4年加|+1］的最小值為4,故C正確；

|sinx|2|sinx|

2（V+5）2（f+4）+2i--2

對于選項D：因為y=i_L-=2必百+^^,則

&+44+46+4

2&+4+.2＞22&+4x,2=4,

當且僅當24r%=—=二，即X?+4=1時等號成立，

VX+4

2（f+5）

但/w—3,所以歹=',的最小值不為4,故D錯誤；

G+4

故選：BC.

【易錯剖析】

如果忽略“一正”的判斷容易錯選A；如果忽略“等號”的檢驗容易錯選D.

【避錯攻略】

1.幾個重要的不等式

（1）t/2>0（<2e7?）,>0（<2>0）,|a|>e7?）.

（2）基本不等式：如果則巴|^?癡（當且僅當“a=b”時取""）.

特例：a>0,a+->2;-+->2（。）同號）.

aba

（3）其他變形：

①/+從2（"'）（溝通兩和a+b與兩平方和a2+b~的不等關系式）

2

②abWa-^~（溝通兩積ab與兩平方和a2+b2的不等關系式）

2

（4）③

2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個

方面的問題：

（1）拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形；

（2）代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；

（3）拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對

不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數

或加上一個數，“1”的代換法等.

易錯提醒：制用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數，如果有負數則考慮變形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側不能還含有核心變量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點：

①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突）

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始

范圍.

注意：形如y=x+q（a〉O）的函數求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數的單

X

調性求解.

■k舉一反三

25

1.（24-25高三上?北京?階段練習）x+2一的值可以為（）

x-1

A.