專題02不等式與基本不等式

目錄

題型一：不等式性質及解法

易錯點01忽略不等式性質成立的前提條件

易錯點02解分式不等式時變形不等價

易錯點03一元二次型不等式恒成立問題混淆范圍

易錯點04解含參不等式討論不全

易錯點05多變量不等式問題混淆主元

題型二基本不等式

易錯點06基本不等式求最值忽略前提條件

題型一：不等式性質及解法

易錯點01：忽略不等式性質成立的前提條件

易錯陷阱與避錯攻略

典例2.（24-25高三上?上海?期中）若。、b、ceR,a>b,則下列不等式中成立的是（）

a2>b2

C.-->——a|c|>b\c\

c+1c+1

【答案】C

【分析】由不等式的性質和反例即可判斷.

【詳解】對于AB：取=滿足。>6,顯然!<1,/不成立，錯誤;

對于C：因為百所以,正確;

對于D：取c=0,顯然力|>小|不成立，錯誤,

故選：C

【易錯剖析】

在應用不等式性質進行判斷時，若忽略。力是否同號，容易錯選若忽略不一定同大于零，容易錯選

B,由于忽略c是否為零，容易錯選D

【避錯攻略】

1不等式的性質及推論

性質1：不等式的傳遞性：設a,b,c均為實數，如果且6>c,那么a>c

性質2：不等式的加法性質：設a,b,c均為實數，如果a>b,那么a+c>b+c

性質3：不等式的乘法性質：設a,6,c均為實數，如果a>b且c>0,那么ac>bc,如果a>b且c<0,那么ac<bc

推論1.如果a>b,c>4/那么a+c>6+d

推論2.如果。>6,c<d那么a-c>6-d

推論3.如果a>6>0,c>d>0那么

推論4.如果a>6>0,那么!〈工

ab

推論5.如果。>b>0,d>c>0那么@>2

cd

推論6.如果a>b>0,那么a">6"（"是正自然數）

推論7.如果a>6>0,那么a">6"（"是正自然數）

【提醒】（1）不等式的性質3中在不等式兩邊同乘一個因式時一定要判斷正負；

（2）推論1逆命題不成立，且“同向不等式只能相加，不等號方向不變，不能相減”.

（3）推論3、推論5、推論6、推論7中要注意成立的前提條件，即均為正數的同向不等式相乘，得同

向不等式，并無相除式.

2判斷不等關系成立的常用方法：

（1）直接利用不等式的性質進行推理判斷.；

（2）比較法：一是作差比較：即作差、變形、判斷差式與0的大小、下結論；二是作商法：即作商、變形、

判斷商式與1的大小、下結論.

（3）構造函數利用函數的單調性；

（4）特殊值排除法.

易錯提醒：（1）一般數學結論都有前提，不等式性質也是如此.在運用不等式性質之前，一定要準確把握前

提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.

（2）不等式性質包括“充分條件（或者是必要條件）”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎，后

者一般是解不等式的理論基礎.

舉一反三

1.（24-25高三上?河北滄州?期中）已知。>6>c,則下列不等式一定成立的是（）

A.ab>bcB.ac1>be2

C.—^―>—^―D.a（a-c）>b（b-c）

a—ca-c

【答案】C

【分析】對A,舉反例；對B,舉反例；對C,根據不等式性質推理可得；對D,舉反例說明.

【詳解】對于A,當a=l,6=-l,c=-2時，不滿足湖>左，故A錯誤；

對于B,當c=0時，ac2=be2,故B錯誤；

對于C,因為a>6>c,所以。一。>0,所以一'一>0,則，>上，故C正確；

a-ca-ca-c

對于D,當。=T力=-2,c=-3時，不滿足a（a-c）>6（b-c）,故D錯誤.

故選：C.

2.（2024?福建泉州?一模）若實數。>6>0,則下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3"<0.3'B.lga>lgbC.D.血

a-\b-\

【答案】c

【分析】根據指數函數的性質判斷A,根據對數函數的性質判斷B,利用特殊值判斷C,根據塞函數的性質

判斷D.

【詳解】因為了=0.3、在定義域R上單調遞減且。>6>0,所以0.3"<0.3J故A正確；

因為y=l改在定義域（0,+8）上單調遞增且。>6>0,所以lga>lg6,故B正確；

當時，-^―>0>-^-故C不正確；

a-10-1

因為>=正在定義域［0,+⑹上單調遞增且“>6>0,所以故D正確.

故選：C.

3.（24-25高三上?山東泰安?期中）（多選）已知a,b,xwR,則下列命題正確的是（）

A.若貝B.若a>b,則ae"〉加”

ab

C.若a>b>0,貝I>—D.若In—>0,貝（ja>b

a+\ab

【答案】BC

【分析】由不等式的基本性質即可判定各個選項.

【詳解】A選項：當。=-1,6=2時，但”<人故A錯誤；

ab

B選項：?.?/>（）,.??當a>6時，aex>bex,故B正確;

C選項：Ta〉b>0,Q+ab>6+Q6,a(l+6)>6(1+〃)，由a+1〉0,a>0,

1+bq(l+6)b(\+a)b

------------------------------——故C正確;

1+aQ(1+Q)Q(1+Q)a

D選項：ln9>0,則￡>1,當6<0時，a<b,故D錯誤.

bb

故選：BC.

?易錯題通關

1.（24-25高三上?上海?期中）已知。<6<0,則（）

A.—<1B.—<—C.ab<b2D.a2>b2

bab

【答案】D

【分析】根據不等式的性質判斷，錯誤的可舉例說明.

2

【詳解】a<b<Of例如a=-2,b=-1,此時‘==ab=2>l=b,ABC均錯;

ba2b

2222

q<6<0時，a-b<O,a+b<0fa-b=（a-b）｛a+/?）>0,BPa>bD正確.

故選：D.

2.（23-24高三上?四川瀘州?階段練習）若a>b>0,c<09則下列結論正確的是（）

A.ac>beB.a+c<b+c

117

C.—<—D.a-c<b-c

ab

【答案】c

【分析】根據不等式的性質以及作差法可求得結果.

【詳解】對于A：因為”>6>0,c<0,利用不等式的性質得ac〈比，故A錯誤；

對于B：根據不等式可加性可知：a>b>0,c<0,則a+c>b+c,故B錯誤；

對于C：作差可得工-，=生；，因為。>6>0,所以">0,6-。<0,則』<!，故C正確；

ababab

對于D：c<0,則-c>0,根據不等式可加性可知：a-c>b-c,故D錯誤.

故選：C.

3.（24-25高三上?山東臨沂?期中）已知非零實數0,6滿足。>b,貝|（）

A.B.a2>b2C.a3>b3D.ac2>be2

ab

【答案】C

【分析】根據給定的條件，結合不等式的性質以及作差法，可得答案.

【詳解】對于A,當a>0>6時，->0>y,故A錯誤；

ab

對于B,當。=1,6=-2時，顯然,但是/<〃，故B錯誤；

對于C,當ab〉O時，〃一〃=（q-6）（/+仍+/72）>0,當時<0時，a>O>b,則故C正確;

對于D,當。=0時，ac2=bc2=0,故D錯誤.

4.（24?25高三上?廣東?階段練習）下列結論正確的是（）

A.若a〉b>0,則q"B.若則

ab

C.a+—N2D.2a—3

a

【答案】D

【分析】對于A,B,C用特殊值即可排除，對于D,用作差法即可比較大小.

【詳解】對于A,取,2=0,此時碇2=慶2,故A錯誤；

對于B,取。=1,6=-1，滿足!,此時a>b,故B錯誤；

ab

對于C,取a=—1,此時a+L=-2,故c錯誤；

a

對于D,因為（2a-3）=（a-1）+2>0,故/>2a—3，所以a?22a-3正確.

故選：D.

5.（24-25高三上?重慶?期中）已知a>b,c<d<Q,貝|（）

A.a+c>b+dB.a+c2>b+d2C.ac>bdD.ac2>bd~

【答案】B

【分析】由不等式的性質可得B；舉出反例可得A、C、D.

【詳解】對A：取。=1,6=0,c=-2,d,止匕時a+c=6+d=-l,故A錯誤；

對B：由c<d<0,則c2>[2,又a>b,故a+c2>b+/，故B正確；

對C：取“=1,6=0,c=-2,〃=一1,止匕時ac=—2<6d=0,故C錯誤；

對D：取a=—1,b=—2,c=—2,d=—1,此時ac2=—4<bd2=—2,故D錯誤；

故選：B.

6.（24-25高三上?山東聊城?期中）已知a,6,cwR,a>b,則下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b2B.—1-->2C.g]UD，ac。>be。

【答案】C

【分析】根據題意，分別舉出反例即可判斷ABD,由指數函數的單調性，即可判斷C.

【詳解】取。=1/=-2,滿足”>b,但是力<〃，故A錯誤；

取a=l,6=-2,滿足a>b,但是2+/=-2+[-!]=二<2,故B錯誤;

abI2）2

因為y=在R上單調遞減，由0>b可得[g[,故C正確；

取a=l,b=_2,c=0,滿足,但是ac?=次2,故D錯誤；

故選：C

7.（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習）下列命題中，真命題的是（）

A.若。<6,則一>7

ab

B.若a>b,貝

C.若a>b>c>0,貝1]巴>山

bb+c

D.若0<Q<6<C,貝！Jlog,。<log,b

【答案】c

【分析】利用特殊值判斷A、B、D,利用作差法判斷C.

【詳解】對于A：當“=-1,6=1時，滿足。<6,但是!<1,故A錯誤;

ab

對于B：當〃=1,6=-1時，滿足但是/=62>必，故B錯誤；

aa+ca(b+c)-b(a+c)c(a-b)

對于C：

bb+cb(b+c)b(b+c)

aa+cc(a-b)

又a>b>c>0,所以"6>0,所以了一區7-方伍+c）>。,即am，故c正確;

對于D：當0<c<l時y=log°x在（0,+e）上單調遞減，又0<a<6<c,所以log。a>log。6,故D錯誤.

故選：C

8.（24-25高三上?江蘇無錫?期中）（多選）下列說法中正確的有（）

A.若〃>b>0,c<d<0f貝ijacvbd

B.若a>b>0,c<0,貝!J—>—

ab

C.若-1<ZJ<0,則2<〃一b<3

D.若。<0,ab>d,則

【答案】ABD

【分析】利用不等式的基本性質逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，因為Q〉b>0,c<d<0,貝！J-c>-d>0,

由不等式的基本性質可得-，則acvbd,A對；

對于B選項，因為。>6>0,不等式的兩邊同時除以必可得

ab

因為c<0,由不等式的基本性質可得反>：,B對；

ab

對于C選項，因為1<。<3,-\<b<0,貝

由不等式的基本性質可得1<。-6<4,C錯；

對于D選項，因為a<0,ab>a2,由不等式的基本性質可得6<。<0,則-6>-a>0,

由不等式的基本性質可得/</,口對.

故選：ABD.

9.（24-25高三上?河南安陽?期中）（多選）已知4,6,c,d為實數，則下列結論正確的有（）

A.若a>6,則

B.若a>b,c>d,貝［Ja+c>b+d

C.若e">eJ則!<:

ab

D.若Ina>ln6,Inc>Ind,則

【答案】BD

【分析】由不等式的基本性質即可判斷選項AB,不等式的基本性質結合指數函數的性質即可判斷C選項,

不等式的基本性質結合對數函數的性質即可判斷D選項.

【詳解】A選項，當cWO時結論不成立，A錯誤；

B選項，由不等式的性質可知B正確；

C選項，由e">eJ得a>b,當a>O>b時，結論不成立，C錯誤；

D選項，由Ina>Inline>1而，得a>b>0,c>d>0,由不等式的性質可知“c>,D正確.

故選：BD.

10.（24-25高三上?山東煙臺?期中）（多選）已知。<0,6>0且a+6>0,則（）

A.a1<b2B.a2+ab>0C.—+-7<0D.（a-1）（Z?-1）<0

ab

【答案】AC

【分析】利用作差法結合平方差公式判斷A正確；利用不等式的性質可知選項B錯誤；通分之后判斷分子

和分母的符號可得選項C正確；舉反例說明選項D錯誤.

【詳解】A.,由a<0,b>0得a—b<0,

因為。+6>0,所以/一/=m+b)(q-b)<0,即選項A正確.

B.由Q<0,a+b>0,a(a+b)<0,BPa2+tz/?<0,選項B錯誤.

C.由avO,b>0得ab〈O,

因為a+6>0,所以1+：=*<0,選項C正確.

abab

D.令。=一：/=1,則(。-1)(6-1)<0不成立，選項D錯誤.

故選：AC.

易錯點02：解分式不等式時轉化不等價

易錯陷阱與避錯攻略

2—x

典例(24-25甘肅蘭州?期中)不等式一21的解為()

X

A.{x|0<x<l}B.{%|x<0或％21}

C.{x|0<x<l}D.{x|x<0^x>l}

【答案】A

【分析】把分式不等式轉化為整式不等式，即可得解.

2-x2-x2-2xfx(l-x)>0

【詳解】由上三21,得上上-120,即上士20,因此n,解得0<x?l,

XXX[xWU

所以原不等式的解集為{x|0<x<l).

故選：A

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略XW1這一條件而造成化簡不等價而出錯.

【避錯攻略】

1.基本思路：應用同號相乘(除)得正，異號同號相乘(除)得負，將其轉化為同解整式不等式.在此

過程中，變形的等價性尤為重要.

2.基本方法：

①通過移項，將分式不等式右邊化為零；

②左邊進行通分，化為形如的形式；

g(x)

③常見同解變形:

(1)>0o/(x>g(x)>0

g(x)

(2)0<=>/(x)-g(x)<0

g(x)

(3)g(無)[g(x)#O

f(x)/(x)-g(x)^O

(4)

g(x)、g(x)xO

易錯提醒：求解不等式時，一定要注意化簡的等價性，如去分母時要保證分母不為0、平方時范圍不能變大、

兩邊同乘（除）一個因式時要注意判斷因式的符號等.

舉一反三

1.（24-25高三上?北京?階段練習）函數/卜）=產|的定義域為（）

A.(13)B.[1,4)

C.(-0o,l)U(4,+oo)D.(-co,l]u(4,+co)

【答案】D

【分析】函數定義域：二次根式被開方數為非負數.

【詳解】由題設二X—二1N0,

x-4

j（x-l）（x-4）>0

[x-4w0

xe(-oo,1]“4,+??).

故選：D

2.（24-25高一上?上海?期中）“x>l”是“1<1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由:<1得{x|x<0或x>l},進而根據概念直接求解即可.

【詳解】解：解不等式工<1得：L<1OLL_I<0O&<0OX（1-X）<0OX<0或x>l,

XXXX

因為{x|x>l}是{x|x<0或X>1}的真子集，

所以，{x|x>1}是何x<0或x>1}的充分不必要條件，

即“x>1”是“4<1”的充分不必要條件.

X

故選：A

3.（24-25高三上?安徽?階段練習）已知集合〃=卜7^萬<2},2V={x|x2-x-2<0},則（）

A.{x|-l<x<5jB.{x[l<x<5}

C.{乂-1（尤<2}D.{x|l<x<2j

【答案】D

【分析】分別求出不等式的解集，再利用交集的運算法則求解.

【詳解】由已知得”={x|lWx<5},N={x\-l<x<2},

即AfcN={x|lVx<2}

故選：D.

?易錯題通關

1.（24-25高三上?江蘇宿遷?期中）若集合/={-1,0,1,2},5=jx|^->o1,則/口3=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1）

【答案】B

【分析】解出集合8,再根據交集含義即可得到答案.

【詳解】由題意得\\,解得04x<2,即8=x04x<2,

則/c8={0,l}.

故選：B.

2.（24-25高三上?重慶?階段練習）“x>l”是“」<1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

【答案】A

【分析】將-1<1化簡，再根據充分必要條件關系判斷.

X

1y-L1

【詳解】—<1=----->0=x(x+l)>0ox<-l或%>0,

由x>l成立可以推出或x>0,但x<—l或x>0成立不能推出1>1,

所以X>1是的充分不必要條件

X

故選：A.

3.(24-25高三上?河南?階段練習)不等式°的解集為()

x--2x+3

A.RB.{x|x>l}C.{x|x<l}D.{x|x<-l)

【答案】C

【分析】判斷分母的正負，再去分母求解即得.

Y—1

【詳解】由/_2x+3>0,得一―-<0^x-l<0<=>x<l.

故選：C

4.(2024?陜西西安三模)若集合/=k|正<2},5={-3,-1,0,1,3),則工口8=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3)

【答案】C

【分析】先求解根式不等式，化簡集合4,然后再根據集合交集運算規則即可求解.

【詳解】依題意得/=卜?42}=[0,4],貝UC3={0,1,3}.

故選：C.

1_?x

5.(24-25高三上?山東德州?期中)已知夕：q：--<0,若夕是9的充分不必要條件，則。的取

x+2

值范圍是()

A.Q<—2B.a4-2

C.。<—D.a&—

22

【答案】A

【分析】先解分式不等式，根據充分不必要條件的定義結合集合間的基本關系計算即可.

1_O1

【詳解】由一^Y40可得(l-2x)(x+2)wo(x+2*o),解之得x<-2或xN：,

x+22

設P：x<a,對應/=(-8,可,

q：匕其解集對應8=（-*一2）u

x+2|_2）

則夕是4的充分不必要條件等價于4是B的真子集，所以。<-2.

故選：A

3

6.（24?25高三上?河南?階段練習）使不等式^一41成立的一個必要不充分條件是（）

2-x

A.（-oo,-l）U（2,+00）B.（-oo5-l]U（2,+oo）

C.(-oo,-l)o[2,+oo)D.(-oo,-l]u[2,+oo)

【答案】D

【分析】利用分式不等式化簡可得xN2或x<-l,即可根據真子集關系求解.

【詳解】由241可得解得%>2或

2-x2-x

3

設不等式「VI成立的一個必要不充分條件構成的集合是A,

則（-8,+司是A的一個真子集，結合選項可知A可以為（-8,-1]32,+CO）,

故選：D

7.（24-25高三上?上海?期中）不等式2與x+：3W0的解集為______.

x-1

【答案】-1,11

【分析】把分式不等式轉化為整式不等式求解.

2r+3(2x+3)(x-l)<03

【詳解】一<o<^<=>—<x<1?

x-1rx—lwO2'

故答案為：[-3][）.

Y—6

8.（24-25高三上?上海?階段練習）已知不等式一的解集為A,若則實數。的取值范圍為—

ax-1

【答案】<2>—gSca<0

【分析】根據條件,利用分式不等式的解法,得到（辦-1）[（1--5]>0,再結合5任4,從而得到5a（5a-l）>0,

即可求解.

【詳解】由=>1,得到°一等價于（辦一1）口一。）無一5]>0,

ax-1ax-\

因為5任/,則有（5a-l）[（l-a）x5-5]V0,gp5fl（5a-l）>0,解得。2g或a40,

故答案為：a>^a<0.

9.（24-25高三上?上海浦東新?期中）不等式^^W3的解集為_________.

x-1

【答案】[-3,1）

【分析】根據條件，利用分式不等式的解法即可求出結果.

【詳解】由內可/3,得到至手忘0,

x-lx-1

等價于01-，，解得-3"<1,

[x—lwO

所以不等式的解集為

故答案為：13,1）.

易錯點03：解含參不等式討論不全面出錯

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25山東高三聯考）（多選）對于給定實數。，關于龍的一元二次不等式（“x-l）（x+l）<0的解集可

能是（）

A.1x|-l<x<—jB.{x|xw-l}C.—<x<-l|D.R

【答案】AB

【詳解】由（"-l）（x+l）<0,分類討論。如下：

當Q〉0時，—1<X<一;

a

當a=0時，x>-1；

當一1<。<0時，工或1〉一1；

a

當。=一1時，X;

當4<-1時，X<-1^X>—.

a

故選：AB.

【易錯剖析】

本題在求解過程中對參數〃的分類討論容易不全面而漏解失分.

【避錯攻略】

1.二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系

項目/>0J=0J<0

12V

y=ax2-\-bx-\-c(tz>0)

的圖象

Xl\|g/X2X

O\Xi=X2XO\X

有兩個相等的實數根

ax2-\~bx-\~c—0(。>0)有兩個不相等的實數沒有

b

的根

根修，X2（X1<X2）~~X2=實數根

一2a

ax2-\~bx~\~c>0(tz>0)

{x\x<X\,或X>X2}R

的解集

ax2-\-bx~\-c<0(tz>0)

{x\X\<X<X2}00

的解集

2解不含參數的一元二次不等式的一般步驟

第一步（化標準）：通過對不等式變形，使不等式右側為0,二次項系數為正；

第二步（判別式）：對不等式左側進行因式分解，若不易分解，則計算相應方程的判別式;

第三步（求實根）：求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有無實根；

第四步（畫圖象）：根據一元二次方程根的情況畫出相應的二次函數的圖象；

第五步（寫解集）：根據圖象寫出不等式的解集.

3解含參數的一元二次不等式的一般步驟

【注意】

求解方程的根時可優先考慮用因式分解的方法求解，不能因式分解時再求判別式/,用求根公式計算.

易錯提醒：含參數一元二次不等式的求解最容易出現的錯誤就是討論不全面，在求解過程緊抓三點就可以

有效的避免失誤：一是分析二次項系數是否需要討論；而是分析方程根的存在型是否需要討論；三是根的

大小關系是否需要討論.

舉一反三

1.(24-25高三上?安徽?階段練習)設實數加，〃滿足加+”>0,則關于x的不等式(x-m)(x+〃)>0的解集為

()

A.{x|x<-n^x>m}B.{x|x<-m^x>n\

C.{x\-n<x<m}D.{x\-m<x<n}

【答案】A

【分析】根據二次不等式與二次函數的關系，給合題意，可得答案.

【詳解】因為加>一”,所以不等式的解集為{x|x<-"或x>w}.

故選：A.

2.(23-24江蘇徐州?階段練習)(多選)對于給定的實數關于實數x的一元二次不等式。(x-4(*+1)>。

的解集可能為()

A.0B.{-1}

C.(a,-l)D.(-co,-l)U(a,+<?)

【答案】ACD

【分析】首先討論三種情況討論不等式的形式，再討論對應方程兩根大小，得不等式的

解集.

【詳解】對于一元二次不等式“x-a)(x+l)>0,則a*0

當a>0時，函數>=a(x-a)(x+l)開口向上，與x軸的交點為0,-1,

故不等式的解集為xe(-a),-l)u(a,+e)；

當a<0時，函數>=a(x-a)(x+l)開口向下，

若。=-1,不等式解集為0；

若不等式的解集為(-1,4),

若。<-1,不等式的解集為(凡-1),

故選：ACD

3.(24-25高三上?江蘇鹽城?開學考試)(多選)已知集合/={x[l<x<4},B={x\x2-(a+l)x+a<0},則下

列命題中正確的是()

A.若/U3=8,則“24

B.若/U2=N,貝IJ14a44

C.若BPlN=B,貝（jl<a<4

D.若/|"|3=0,貝！|a<l

【答案】AB

【分析】討論。，求集合B,在結合集合關系在各選項的條件下列不等式求。的范圍，由此可判斷各選項.

［詳解］B=1x|x2-(a+l)x+a＜o!=|x|(x—l)(x—tz)＜0j.

.,.當a>l時，2={x[l<x<a}；

當a=l時，B=0；

當a<l時，8={x[a<x<l}.

對于選項A,若/U8=B,則/=故正確.

對于選項B,若/U8=N,則臺1/,故14aW4,故正確.

對于選項C,若8口/=5,則故1W4,故錯誤.

對于選項D,若/門8=0,貝故錯誤.

故選：AB.

易錯題通關

1-x

1.(24-25高三上?湖北?階段練習)已知集合力=xW0={x|J_（2a+l）x+a（a+l）W0},若

x+2

是的必要不充分條件，則實數。的取值范圍是()

A.a<-3^a>lB.aV-3或。>1

C.。＜一3或D.。＜一3或。＞1

【答案】C

【分析】由題意確定554列出不等式即可求解.

【詳解】A=xxx21或％<-2}

B=1x|*_（2a+1）X+Q（Q+1）Wo}={x[a<x<a+\^

因為“xw/”是“xwB”的必要不充分條件，所以5u4,

所以a+l<-2或aNL解得:a<-3或a21.

故選:C

2.(24-25高三上?北京?階段練習)已知2={>wR|/+23+加2一4<0},5={xeN||x|<1},^A[}B=B,

那么實數加的取值范圍是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-2,2)D.[-2,2]

【答案】C

【分析】解不等式化簡集合45,再利用交集的結果列式求解即得.

【詳解】不等式X?+2加x+一4<0=++2)(x+加-2)<0,解得一加一2<x<-〃z+2,

貝/={x|-a-2Vxe-機+2},而2={0},由/Cl3=3,得0e/,

因止匕一"2—2<0<—機+2,角星得一2<機<2,

所以實數〃?的取值范圍是(-2,2).

故選：C

3.(23-24高三上?浙江紹興?期末)(多選)已知aeR,關于x的一元二次不等式(◎-2)(x+2)>0的解集可

能是()

【答案】ACD

2

【分析】分Q=o,。〉0,。<0三種情況結合4與-2的大小關系討論，可得不等式的解集.

a

【詳解】當a=0時，(辦一2)(x+2)=—2(x+2)〉0nx<—2；

當Q>0時，(ax—2)(x+2)=a[x—■|[(x+2)>0nx>"|或工<一2,故A正確；

當a<0時，(ax—2)(x+2)=Q(x)(x+2),

2

若—=一2no=-1,則解集為空集；

a

22

若—<_2n-l<a<0,則不等式的解為：一<x<-2,故D正確；

aa

22

若一>-2na<-l,則不等式的解為：-2<x<—,故C正確.

aa

故選：ACD

4.（23-24高三上?河北邢臺?階段練習）（多選）關于x的不等式（辦-l）（x+2”2）>0的解集中恰有4個整

數，則。的值可以是（）

123

A.——B.——C.——D.-1

234

【答案】AD

【分析】利用已知條件判斷。的符號，求出不等式對應方程的根，然后列出不等式求解即可.

【詳解】關于x的不等式（GT）（X+22）>0的解集中恰有4個整數，

所以。<0,因為時，不等式的解集中的整數有無數多個.

不等式（ax—l）（x+2。-2）>0,對應的方程為：（ax-l）（x+2a-2）=0,

方程的根為：,和2-2a；

a

由題意知，一<0,則2-2。44,解得a2-1；

a

當。=-1時，不等式的解集是（-1,4）,解集中含有4個整數：0,1,2,3；滿足題意.

當。=一；時，不等式的解集是（-2,3）,解集中含有4個整數：-1,0,1,2；滿足題意.

當。€（-1,一；）時，不等式的解集是《，2-2°）,此時:e（-2,-l）,2-2ae（3,4）,

解集中含有5個整數：-1,0,1,2,3；不滿足題意.

當ae'”）時，不等式的解集是（：，2-2a）,1e（-?,-2）,2-e（2,3）,

解集中含有整數個數多于4個，不滿足題意.

綜上知，。的值可以是-1和-g.

故選：AD

5.（24-25高三上?河南安陽?期中）已知不等式以2+6x+c>0的解集為3-1<x<2}.若不存在整數x滿足不

等式（aAx+*2+2c）（2c-加）<0,則實數左的取值范圍是.

【答案】口,4]

【分析】根據一元二次不等式的解集，結合韋達定理可得。<0,b=-a,c=-2a,然后代入目標不等式化簡

即可得解.

【詳解】不等式辦2+6x+c>0的解集為{x|-l<x<2},

貝iJa<0,且一1,2分另ij為方程辦2+樂+°=0的兩根,

-1+2=--,

由根與系數的關系，得agp6=-a,c=-2a

-1x2=-,

a

將6=-a,c=-2a代入不等式(。米+b左2+2c)(2c-6x)<0,

化簡得力（fct-V-4）（x-4）＜0,即（區—/一4）（%—4）〈0

容易判斷左=0或左＜0時，均不符合題意，所以左＞0.

/J2A\

所以原不等式即為［x-一廠J（x-4）＜0,

斤2

依題意應有34上+=445且左＞0,所以14后44.

k

故答案為：口,4］

6.（2024高三?全國?專題練習）解關于x的不等式：ax2-（3a+l）x+3＜0（其中。＞0）.

【答案】答案見解析

【分析】因式分解，結合分類討論，根據一元二次不等式的解的性質即可求解.

【詳解】因為。＞0,不等式可化為（x-3）（x-：j＜0,下面分類討論：

①當3=工，即時，不等式化為（X-3＞＜0,此時不等式無解；

a3

②當3＜,，即0＜。＜工時，解得3＜了＜工；

a3a

③當工＜3,即./時，解得，＜x＜3；

a3a

綜上：當。=1時，解集為0;

當0＜a＜；時，解集為［卜＜工＜：］；

當時，解集為［xp＜x＜3

7.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習）已知關于x的一元二次不等式G2+X+6＞0的解集為

(-oo,-2)u(l,+8)

⑴求。和6的值

(2)求不等式ax?—(2a+6+2)cx+c?—1<0的解集

【答案】（1）。=1,b=-2

（2）（c-l,c+l）

【分析】（1）根據一元二次不等式的解、根與系數關系列方程組來求得。力.

（2）先因式分解，進而求得不等式的解集.

【詳解】（1）依題意，關于x的一元二次不等式辦2+x+6>o的解集為（-*-2）3（1,+%）

a>0

所以-2+1=-1，解得a=1,6=-2.

a

-2xl=-

a

（2）由于a=l,6=-2,所以不等式ox?-（2a+6+2）cx+<?-1<0,

即x2-2cx+c2-1=[x-（c-l）][x-（c+l）]<0,由于c-]<c+],

所以不等式的解集為c-l<x<c+l,

所以不等式以2-（2。+6+2）3+02-1<0的解集"-1,。+1）.

易錯點04：二次型不等式恒成立問題混淆范圍

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?山東臨沂?期中）“。<3”是“不等式/一如+220在（。,+8）上恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】分離參數得到x+2z。在（0,+8）上恒成立，由基本不等式求出X+2N2也，得到OV20，根據

a<3^a<2V2,042也na<3求出答案.

【詳解】不等式/一辦+2N0在（0,+8）上恒成立，

2

即X+—2〃在（0,+8）上恒成立，

其中X+2N2JT1=2啦，當且僅當x=2即片/時，等號成立，

X\XX

故a?2V2，

由于。<33/420,a<2V2=>a<3>

故。<3是不等式/-“X+220在(0,+8)上恒成立的必要不充分條件.

故選：B

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略在(0,+“)上這一條件而誤認為在R上恒成立而而出錯.

【避錯攻略】

對于一元二次型不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區間上全部在x軸

上方，恒小于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區間上全部在x軸下方，解決一元二次不等式中的恒

成立、能成立問題常常轉化為求二次函數的最值或分離參數后求最值的方法解決問題.

1、在R上的恒成立問題

Q〉0a=b=0,

①二次型不等式以2+區+c>0在R上恒成立或者解集為R時，滿足